dimostrazione del teorema di deduzione (parte non banale 1°)

Corso di
LOGICA I (anno 2°):
istituzioni di logica come base
per la comprensione dell’informatica
Luisa Bortolotti
Trento, 12.11.2004
Lezione 19°: Dimostrazione del teorema di deduzione (parte
non banale 1°)
§ 19.1. La tecnica di dimostrazione per induzione matematica
L'implicazione da sinistra a destra (non banale) porta ad usare una particolare tecnica chiamata
tecnica di dimostrazione per induzione matematica.
La lunghezza di una formula: l ()
La lunghezza di  non è il numero dei simboli di , ma è il numero delle costanti logiche (dei
connettivi e dei quantificatori) che occorrono in .
La lunghezza di una dimostrazione (o deduzione): l (D)
La lunghezza di una dimostrazione (o deduzione) è il numero degli elementi che costituiscono la
successione di cui è formata quella deduzione.
Sarà un numero naturale maggiore o uguale a 1. La deduzione più semplice (successione finita di
formule) è costituita da una sola formula.
_ l(P1x1) = 0
tutte le formule atomiche hanno lunghezza 0
_ l(P1x1) = 1
la lunghezza di una negazione è 1
_  atomica = 0
 atomica = 0
se lego due formule e poi le nego avrò come lunghezza 2
() = 2
_ P25 t1______t25
una formula atomica con 25 termini ha lunghezza 0
_ P1x1
anche se breve, poiché contiene un connettivo, è di lunghezza 1.
Quando faccio sintassi introduco naturalmente dei numeri. Appena introdotti mi trovo in una
situazione in cui è necessario usare il principio di induzione matematica.
Ho a che fare con numeri e voglio dimostrare che una proprietà P vale per tutti i numeri naturali.
_____________________________
0
1
2
3
n
n+1
Voglio cioè dimostrare: x P x
Il metodo utile è: far vedere che 0 gode di questa proprietà e che poi qualunque numero io scelga
quella proprietà si trasmette da quel numero al suo successore. Poiché tutti i numeri che posso
raggiungere stanno su questa retta se ho una proprietà posso dedurre che vale per tutti i numeri
naturali.
Si può formalizzare così: P0y(PxPx') xPx
Se so che una proprietà vale per 0 e che preso un qualsiasi numero naturale allora quella proprietà
vale per il suo successore, posso concludere che quella proprietà vale allora per tutti i numeri
naturali (questo perché stanno tutti su quella retta).
E' un principio intuitivamente semplice. E' un principio che è posto alla base dell'assiomatizzazione
della matematica.
Possiamo utilizzare questo principio di induzione matematica per fare delle dimostrazioni.
§19.2. Ragionare per induzione
Ci sono dei casi in cui è utile ragionare per induzione.
Possiamo individuare due strutture del ragionamento induttivo.
Sono due formulazioni del tutto equivalenti. Entrambe sono giustificabili dal principio di induzione
matematica. L'unica differenza è costituita dall'ipotesi di induzione.
Prima struttura
1) P0
0 gode di P
Questa è la base.
2) Px
un generico numero x gode di P
Px'
allora x' (successore) gode di P
Primo momento: ipotesi di induzione.
Secondo momento: tesi di induzione.
Questo è il passo.
3)Applicando il principio di induzione matematica possiamo concludere che tutti i numeri godono
di quella proprietà.
In generale un ragionamento induttivo ha questa forma.
Seconda struttura
Ci sono dei casi in cui è più utile prendere questa seconda struttura.
1) P0
0 gode di P
Questa è la base.
La base è dunque uguale: si fa vedere che il primo elemento gode di P.
2) y<xPy
Px
Primo momento: ipotesi di induzione.
Secondo momento: tesi di induzione.
Questo è il passo.
Prendiamo un generico x. Facciamo l'ipotesi che tutti i predecessori di x godano di quella proprietà
(prendiamo tutto il segmento che precede x). Facciamo vedere che la proprietà si trasmette da tutto
il segmento precedente ad x (x=numero).
§19.3. Dimostrazione per induzione sulla lunghezza delle formule o delle
dimostrazioni
Il principio di induzione matematica è importante in logica perché quando si è nella sintassi è utile
introdurre dei numeri per indicare alcune proprietà logiche.
Il minimo della lunghezza di una formula è 0.
Il minimo della lunghezza di una dimostrazione (deduzione) è 1. E' il numero delle righe (elementi).
Facciamo spesso un ragionamento di questo tipo:
1) P()
Vogliamo dimostrare che  gode della proprietà P.
Innanzitutto dobbiamo far vedere che tutte le formule a cui abbiamo dato lunghezza 0 godono di
quella proprietà P.
2) l()=n P()
Se una formula  ha lunghezza n, allora  gode di quella proprietà.
Questa è l'ipotesi di induzione.
l()=n+1 P()
Questa è la tesi di induzione.
Mostriamo che la proprietà P metateorica considerata è goduta da tutte le formule di lunghezza n.
Ed è trasmessa ad ogni formula di lunghezza n+1 (la lunghezza si "trasmette" da tutte le formule
che hanno lunghezza n a tutte le formule che hanno lunghezza n+1). Per cui tutte le formule godono
di quella proprietà.
Anche:
2*) l()<n P()
Questa è l'ipotesi di induzione.
l()=n P()
Questa è la tesi di induzione.
In questa seconda formulazione consideriamo tutte le formule con una lunghezza minore ad n; esse
godono della proprietà P.
La P si trasmette da tutte le formule che hanno lunghezza minore di n a tutte le formule che hanno
lunghezza uguale ad n.
Quando vogliamo dimostrare che tutte le formule hanno una certa proprietà dimostriamo così.
Abbiamo ragionato per induzione sulla lunghezza delle formule.
Arrivederci al 19 novembre 2004: dimostrazione del teorema di deduzione (parte non banale
2°).
ã 2004 Luisa Bortolotti