Ana Millán Gasca a.a. 2010-2011 Complementi ed esercitazioni 4 1

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
a.a. 2010-2011
Complementi ed esercitazioni 4
1) Elencare e descrivere brevemente le implicazioni didattiche del tema I.
2) Quale è il confronto? (a) Maria ha trentasei anni e Giacomo ne ha quaranta. (b) In
un banco del mercato in un quartiere di Roma i tarocchi si vendono a 3 euro il kg;
in un banco in centro i tarocchi si vendono a 6 euro il kg.
3) Scelga diversi esempi di coppie di numeri naturali e provi a stabilire un confronto
additivo e un confronto moltiplicativo. Discuta le condizioni per poter stabilirlo.
4) Due definizioni matematiche: Quando si dice che un numero naturale è maggiore di
un altro numero naturale? Quando si dice che un numero naturale è multiplo di un
altro numero naturale? (La definizione non deve usare le cifre con cui i numeri
sono scritti!)
5) Quale decomposizione e quali proprietà sono utili nel calcolo mentale? 27 + 13,
27 + 14. 7+2, 2 +7. Costruire molti esempi.
6) Discuta le definizioni di unità e di numero dell’opera Elementi di Euclide.
7) Esplori le somme successive della successione dei numeri dispari:
1, 3, 5, 7, 9,11, …
Ogni numero dispari è della forma 2 " n #1 (si veda la lezione 3; si convinca
facendo degli esempi)
Calcoliamo quindi
!
1
1+ 3
1+ 3 + 5
1+ 3 + 5 + 7
!
(«OK, disse Roberto, risparmiati le spiegazioni. Lo capisce anche uno stupido
cosa succede. Sono tutti numeri saltellati, né più, né meno» Il mago dei numeri, La
quinta notte.)
Provi a ottenere una formula per la somma dei primi n numeri dispari, e quindi la
dimostri usando il principio di induzione
8) Dimostri usando il principio di induzione la proposizione seguente:
La somma degli angoli di un poligono convesso di n + 2 lati è n angoli piatti.
(Questo esercizio è risolto nelle Lezioni di matematica e didattica della matematica)
!
9) Molti esempi di dimostrazioni per induzione si possono trovare nella lezione 3 del
testo Lezioni di matematica e didattica della matematica che si trova sul sito. Questo è il
momento di studiarli.
10) Dimostri la proprietà transitiva della relazione binaria “essere maggiore o uguale”
nei numeri naturali.
Altri esercizi: Lezioni di matematica e didattica della matematica
La definizione di addizione e moltiplicazione dei numeri naturali a partire dall’operazione di passaggio
di un numero a quello successivo
DEFINIZIONE 3.1 (Addizione di numeri naturali) La somma a + b di due numeri naturali
a e b è definita da
a + 1 = suc(a)
!
a + (b + 1) = suc(a + b)
DEFINIZIONE 3.2 (Moltiplicazione di numeri naturali) Il prodotto di due numeri naturali
a e b è definita da
!
a "1 = a
a " (b + 1) = a " b + a
Entrambe queste definizioni sono definizioni ricorsive: si stabilisce la somma per
un primo numero ( b = 1)e !per i successivo di ogni numero (supposta nota la somma
a + b , posso calcolare la somma di a e il successivo di b) e quindi, per il principio di
induzione, la definizione è valida per ogni numero naturale.
!
!
Alcune citazioni lette e discusse in aula
«Abbiamo la facoltà di concepire che una unità può essere aggiunta a una collezione di
unità; è grazie all’esperienza che abbiamo l’occasione di esercitare tale facoltà e che ne
prendiamo coscienza; ma, da questo momento in poi, sentiamo che il nostro potere non
conosce limite e che potremmo contare indefinitamente, benché non abbiamo mai
contato che un numero finito di oggetti.»
Henri Poincaré, La scienza e l’ipotesi (1902), ed. italiana, Bompiani, Milano, 2003, p. 47
«Secondo la nostra concezione della logica come processo del pensiero, l’“ordine” è un
concetto primitivo al pari della “classe”, anzi la classe ordinata “precede”
psicologicamente la “classe” in cui gli elminti sono riuniti senza un ordine.»
Federico Enriques, Questioni riguardanti le matematiche elementari (1924), 1, p. 260.
“In primo luogo, la prevalenza della nozione di successivo al posto di quella euclidea di
molteplicità; uno spostamento dalla cardinalità all’ordinalità. Ma quello che è più
importante, nel nuovo oggetto c’è solo un posto secondario per il numero isolato,
moltitudine dei unità. Quello che conta è il sistema numerico nella sua totalità; solo in
questo sistema globale si può enunciare la proprietà di induzione, che ne fa il cardine
delle dimostrazioni matematiche.”
Enrico Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici, Torino, Bollati Boringhieri, 1999,
p.49
Per approfondire gli argomenti del tema II si consiglia la lettura di questo testo: Enrico
Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici, Torino, Bollati Boringhieri, 1999, capitolo
6 (“Vecchi nomi per nuove cose”) e appendice 8 (“Il ruolo del principio di induzione in
matematica”). Altre parti di questo libro saranno consigliate per il tema III.