Da Wikipedia Alla fine del XVII secolo il concetto di limite fu utilizzato

Sua Maestà
IL LIMITE
A cura di
Cosimo De Mitri
Da Wikipedia
Il concetto di limite è alla base dell'Analisi Matematica.
Esso è utilizzato per definire ad esempio la continuità, la derivabilità, l'integrabilità,
la convergenza delle serie numeriche, la completezza degli spazi hilbertiani.
L'idea era già presente in modo larvato nella Grecia antica,
per esempio nel metodo di esaustione ideato da Archimede.
Alla fine del XVII secolo il concetto di limite fu utilizzato in forma rudimentale
da Newton e Leibniz agli albori del calcolo infinitesimale.
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la retta y=l è asintoto orizzontale per x tendente a +
l
f(x)
f(x)
f(x)
x
x
x
In questa slide, si è visto x tendente a +
ed f(x) tendente ad un valore finito l
Nella prossima slide, x tenderà ad un punto finito x0
ed f(x) tenderà di nuovo ad un valore finito l
Quando x tende a +, dove tende f(x)?
In questo caso f è continua in x0,
dato che x0 Dom(f) e f(x0)=l
f(x)
f(x)
f(xf(x)
0)
f(x)
f(x)
l
f(x)
x
x x x0 x x
x
Quando x tende ad x , dove tende f(x)?
0
Invece qui la funzione ha in x0 una discontinuità (eliminabile):
esiste ed è finito il limite per x  x0, ma x0 Dom(f)
l
x0
Un altro caso di discontinuità eliminabile è il seguente:
esiste ed è finito il limite l per x  x0, x0 Dom(f), ma f(x0) l
l
f(x0)
x0
limite sinistro
Limiti laterali
limite destro
Qui è rappresentata una discontinuità di salto finito (1a specie):
esistono entrambi i limiti laterali per x  x0,
sono entrambi finiti, ma sono diversi fra loro
La differenza l2-l1
è chiamata salto
l2
l1
Il limite per x x0
non esiste!
x0
Da Wikipedia
Il concetto di limite è alla base dell'Analisi Matematica
Esso è utilizzato per definire ad esempio la continuità, la derivabilità, l'integrabilità,
la convergenza delle serie numeriche, la completezza degli spazi hilbertiani.
L'idea era già presente in modo larvato nella Grecia antica,
per esempio nel metodo di esaustione ideato da Archimede.
Alla fine del XVII secolo il concetto di limite fu utilizzato in forma rudimentale
da Newton e Leibniz agli albori del calcolo infinitesimale.
Le prime definizioni abbastanza rigorose risalgono al XIX secolo,
ad opera di Cauchy e Weierstrass.
Una teoria abbastanza completa del limite viene elaborata da Heine nel 1872.
Molti altri studiosi, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor, si sono occupati del problema
del limite, approfondendo l'argomento con lo studio dell'analisi infinitesimale.
Solo nel 1922 Moore e Smith sono riusciti a dare una nozione molto generale
(topologica) di limite, che è quella attualmente utilizzata in matematica.
La definizione
 J intorno di l  I intorno di x0 tale che,
 x Dom(f)  I -{x0}, si ha che f(x)J
J
l
x0
I
La definizione
Assumendo J della forma ]l-ε, l+ε[ e I della forma ]x0-δ, x0+δ[,
la definizione si riscrive così:
 ε > 0  δ > 0 tale che,  x Dom(f)-{x0},
se |x-x0| < δ allora | f(x)-l | < ε
l+ε
l
l-ε
x0-δ
x0
x0+δ
Qui la variabile
indipendente x
tende, da sinistra,
ad un punto finito x0,
e i corrispondenti
valori f(x) tendono a +
La retta x = x0
è asintoto verticale
per x x0Nota bene
x0
Il limite per x x0+ è 0
La discontinuità è
di seconda specie.
La definizione
J
 J intorno di +  I intorno sinistro di x0
tale che,
 xDom(f)  I -{x0},
si ha che f(x)J
Oppure, assumendo
J = ]k, + [ e I = ]x0-δ, x0]
k
k>0
δ>0
tale che,
 x Dom(f)-{x0},
x0-δ I
x0
se |x-x0| < δ
allora f(x) > k
Un caso molto ... patologico
Mentre x si avvicina al punto x0 = 0 descrivendone un
qualsiasi intorno sinistro o un qualsiasi intorno destro,
i valori f(x) spazzano infinite volte l'intervallo [-1, 1].
Il limite per x tendente a 0 non esiste.
Non perché i limiti laterali siano diversi fra loro,
ma perché addirittura essi stessi non esistono.
La discontinuità è di seconda specie.
Il caso delle successioni
E’ noto che le successioni sono funzioni il cui dominio è l’insieme dei numeri naturali.
Ne consegue che il grafico non è una curva ma un insieme di punti isolati.
Indichiamo con n la variabile indipendente, e con yn il termine n-imo della successione.
La variabile n può tendere solo a +.
La figura rappresenta il caso di una successione yn che tende ad un valore finito l.
def
l
 ε > 0   N tale che,  n> , | yn - l | < ε
In questo caso la
successione è
strettamente crescente,
e il limite l coincide
con l’estremo
superiore dei suoi
valori yn .
Il caso delle successioni
E’ noto che le successioni sono funzioni il cui dominio è l’insieme dei numeri naturali.
Ne consegue che il grafico non è una curva ma un insieme di punti isolati.
Indichiamo con n la variabile indipendente, e con yn il termine n-imo della successione.
La variabile n può tendere solo a +.
La figura rappresenta il caso di una successione yn che tende ad un valore finito l.
def
l
 ε > 0   N tale che,  n> , | yn - l | < ε
Invece in
quest’altro caso i
valori yn oscillano
alternatamente
attorno al limite l.
Una successione … irregolare
Qui è rappresentata una successione che non ammette limite (irregolare).
La sottosuccessione costituita
dai termini di indice dispari
(che è una successione costante)
converge ad un valore finito l
l
Invece la sottosuccessione
costituita dai termini di
indice pari diverge a +
FINE