9 Compattezza

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Geometria e Topologia I (U1-4)
Compattezza
Alcune importanti proprietà di R (dove un sottoinsieme viene detto compatto se è chiuso e
limitato):
(i) L’immagine di un compatto è compatta.
(ii) L’immagine di un intervallo chiuso è un intervallo chiuso (teorema del valore intermedio).
(iii) Una funzione continua ammette massimo e minimo in ogni intervallo chiuso.
(iv) Ogni successione di Cauchy converge.
(v) Se A ⊂ R è compatto, allora ogni successione in A ammette una sottosuccessione
convergente.
Vedremo che queste proprietà derivano da certe proprietà topologiche della retta reale.
Richiamiamo gli assiomi della retta reale R (un campo ordinato con due ulteriori assiomi):
(9.1) Valgono i seguenti assiomi del campo ordinato dei numeri reali:
(i) Assiomi di campo:
(a) ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz).
(b) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx.
(c) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx + 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x 6= 0 =⇒ 1x = x.
(d) ∀x ∈ R, ∃ unico y ∈ R : x + y = 0. ∀x ∈ R, x 6= 0, ∃ unico y ∈ R : xy = 1.
(e) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz.
(ii) Asiomi di campo ordinato: la relazione > induce un ordine totale su R in modo tale che
(a) x > y =⇒ x + z > y + z.
(b) x > y, z > 0 =⇒ xz > yz.
(iii) Proprietà dell’ordinamento (continuo lineare):
(a) (Completezza di Dedekind) La relazione d’ordine < ha la proprietà dell’estremo
superiore (cioè ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha l’estremo superiore).
(b) Se x < y, allora esiste un numero z ∈ R tale che x < z < y.
(9.2) Definizione. Uno spazio topologico X viene detto di Hausdorff se per ogni x, y ∈ X,
x 6= y, esistono due intorni Ux e Uy di x e y rispettivamente tali che
Ux ∩ Uy = ∅.
(9.3) Nota. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)).
Abbiamo già accennato alla definizione di successione convergente (in spazi metrici). Definiamo ora la convergenza di successioni in spazi topologici.
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(9.4) Definizione. Si dice che una successione {xn } in X converge ad un punto x̄ ∈ X se
per ogni intorno Ux̄ di x̄ esiste un intero n (che dipende da Ux̄ ) tale che
j ≥ n =⇒ xj ∈ Ux̄ .
In tal caso si scrive
lim xn = x̄
n
e si dice che xn converge a x̄.
(9.5) Se xnk è una sottosuccessione di una successione convergente xn (con limite limn xn =
x̄), allora la sottosuccessione converge al medesimo limite limk xnk = x̄.
Dimostrazione. Vedi esercizio (4.6).
q.e.d.
(9.6) (Unicità del limite) Sia X uno spazio di Hausdorff e {xn } una successione in X. Se
limn xn = x̄ e limn xn = ȳ, allora x̄ = ȳ.
Dimostrazione. Esercizio (4.7).
q.e.d.
(9.7) Definizione. Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto
{Ui }i di X (cioè una famiglia di aperti {Ui }i∈J tale che X = ∪i∈J Ui ) ha un sottoricoprimento
finito, cioè esiste un sottoinsieme finito di indici J0 ⊂ J tale che
X = ∪i∈J0 Ui
(9.8) Nota. Uno spazio metrico si dice compatto quando lo spazio topologico associato (con
la topologia metrica) è compatto.
(9.9) Nota. Se B è una base di intorni per la topologia di X, e X è compatto, allora, in particolare, ogni ricoprimento di X mediante intorni (che sono aperti) di B ammette un ricoprimento
finito. Viceversa, se ogni ricoprimento mediante intorni di B ammette un ricoprimento finito,
allora X è compatto (cioè ogni ricoprimento di aperti ammette un sottoricoprimento finito,
non solo ogni ricoprimento mediante intorni della base). Infatti, se {Ui } è un generico ricoprimento di X, allora (visto che ogni Ui è aperto) Ui = ∪j Bi,j dove i Bi,j sono una famiglia di
intorni della base B (ogni aperto è unione di intorni aperti della base B). Ma allora
[
X = ∪i Ui = ∪i ∪j Bi,j =
Bi,j ,
i,j
e quindi {Bi,j }i,j è un ricoprimento di X mediante aperti della base, che ammette l’esistenza
di un sottoricoprimento finito
X = Bi1 ,j1 ∪ Bi2 ,j2 ∪ · · · ∪ BiN ,jN .
Dal momento che Ui = ∪j Bi,j , per ogni i, j si ha Bi,j ⊂ Ui , e quindi
X = Ui1 ∪ Ui2 ∪ · · · ∪ UiN ,
cioè {Ui }i ammette sottoricoprimento finito.
(9.10) Se X è compatto e C ⊂ X è un sottoinsieme chiuso, allora C è compatto (con la
topologia indotta).
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Dimostrazione. Se {Ui }i∈J è un ricoprimento mediante aperti di C, allora, con un abuso di
notazione, possiamo considerare un ricoprimento di C mediante aperti dato da {C ∩ Ui }i∈J ,
dove Ui sono aperti di X. Dato che C è chiuso X r C è aperto, e quindi
{X r C} ∪ {Ui }i∈J
è un ricoprimento aperto di tutto X (dato che C ⊂ ∪i Ui ), e quindi esiste un sottoricoprimento
finito, che sarà della forma
{X r C} ∪ {Ui }i∈J0
oppure {Ui }i∈J0 . In entrambi i casi, risulta
C⊂
[
Ui ,
i∈J0
e quindi la tesi.
q.e.d.
(9.11) Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausforff è chiuso.
Dimostrazione. Sia C ⊂ X sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff X. Dimostriamo
che C è chiuso. Sia x ∈ X r C. Per ogni c ∈ C, dato che X è di Hausdorff, esistono due
intorni disgiunti Uc e Vc tali che Uc ∩ Vc = ∅, c ∈ Uc , x ∈ Vc . Ora, {Uc }c∈C è un ricoprimento
di C di aperti, quindi esiste un sottoricoprimento finito, cioè
C ⊂ Uc1 ∪ Uc2 ∪ · · · ∪ UcN .
L’intersezione di un numero finito di aperti è aperto, quindi
V = Vc1 ∩ Vc2 ∩ · · · ∩ VcN
è un aperto che contiene x. Dato inoltre che per ogni i = 1 . . . N , l’intersezione Vci ∩ Uci = ∅,
V ∩ C = ∅,
cioè V ⊂ X r C e quindi X r C è aperto per l’arbitrarietà di x, cioè C è chiuso.
q.e.d.
(9.12) L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta.
Dimostrazione. Sia X compatto e f : X → Y una funzione continua. Dobbiamo dimostrare
che f (X) è compatto con la topologia indotta da Y . Ogni ricoprimento aperto {Ui }i di f (X)
in Y induce un ricoprimento aperto
{f −1 (Ui )}i
di X, che ha un sottoricoprimento finito dal momento che X è compatto. La tesi segue dal
fatto che per ogni i
f (f −1 (Ui )) ⊂ Ui .
q.e.d.
(9.13) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è compatto se e
solo se Y è compatto.
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Dimostrazione. Sia f : X → Y un omeomorfismo. Se X è compatto, allora f (X) = Y è
compatto. Viceversa, se Y è compatto, allora X = f −1 (Y ) è compatto dato che f −1 è continua.
q.e.d.
(9.14) Teorema. Una funzione f : X → Y continua e suriettiva tra X compatto e Y Hausdorff è sempre chiusa, e dunque una mappa quoziente.
Dimostrazione. Se C ⊂ X è un chiuso di X, allora per (9.10) C è compatto. Ma per (9.12)
f (C) è compatto di Y , ed un compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso per (9.11), quindi
f (C) è chiuso. Una funzione continua, suriettiva e chiusa è una mappa quoziente (vedi esercizio
(3.7)).
q.e.d.
(9.15) Nota. Uno spazio X è compatto se ogni famiglia di chiusi {Ci } di X con intersezione
vuota ammette una sottofamiglia finita con intersezione vuota (infatti. . . ).
Questo consente di esprimere la compattezza nel seguente modo: diciamo che un famiglia
J di chiusi di uno spazio topologico X ha la FIP (finite intersection property) se
\
∀J0 ⊂ J, |J0 | < ∞ =⇒
Ci 6= ∅
i∈J0
(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Si può dimostrare che X
è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota (vedi
esercizio (4.8)).
(9.16) Teorema (Tychonoff – fin(i)to). Se X e Y sono due spazi topologici compatti,
allora il prodotto cartesiano X × Y (con la topologia prodotto) è compatto.
Dimostrazione. Passo 1 : supponiamo che Y sia compatto, x0 ∈ X un punto e N ⊂ X × Y un
intorno di {x0 } × Y in X × Y . Allora esiste un intorno W di x0 in X tale che N ⊃ W × Y
(l’intorno W × Y è detto il tubo attorno a {x0 } × Y ). Dato che {x0 } × Y è compatto (è
omeomorfo a Y !) è possibile estrarre sottoricoprimenti finiti da tutti i ricoprimenti dati dagli
elementi della base di intorni (per la topologia prodotto) U × V (quelli che generano N con
la loro unione. . . ). A meno di scartare qualche intorno della base, si può supporre che
U1 × V1 , . . . , Un × Vn
ricoprono {x0 } × Y . Sia W = U1 ∩ U2 ∩ · · · ∩ Un , che è un intorno aperto di x0 con la proprietà
cercata: W × Y ⊂ N .
passo 2 : Sia {Ui × Vi } un ricoprimento mediante aperti della base Ui × Vi . Dato che
{x} × Y è compatto, è contenuto in un sottoricoprimento finito, e l’unione degli aperti di
tale ricoprimento per quanto visto sopra contiene un aperto del tipo Wx × Y che contiene
{x} × Y . Quindi per ogni x ∈ X si può troare un aperto Wx di X tale che Wx × Y è contenuto
nell’unione di un un numero finito di aperti del ricoprimento. Ma dato che X è compatto,
esiste una famiglia finita di Wi che ricopre X, e quindi il prodotto cartesiano X × Y è uguale
al prodotto dei tubi Wxi × Y , ognuno dei quali è coperto dall’unione di un numero finito di
aperti del ricoprimento {Ui × Vi }.
q.e.d.
(9.17) Il teorema appena visto non è il teorema di Tychonoff: il vero teorema stabilisce che
il prodotto di una famiglia qualsiasi di compatti è compatto (nella topologia prodotto); se
infatti la famiglia è infinita non si può ripetere il ragionamento sopra esposto.
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