26 9 2006-mar-29 Geometria e Topologia I (U1-4) Compattezza Alcune importanti proprietà di R (dove un sottoinsieme viene detto compatto se è chiuso e limitato): (i) L’immagine di un compatto è compatta. (ii) L’immagine di un intervallo chiuso è un intervallo chiuso (teorema del valore intermedio). (iii) Una funzione continua ammette massimo e minimo in ogni intervallo chiuso. (iv) Ogni successione di Cauchy converge. (v) Se A ⊂ R è compatto, allora ogni successione in A ammette una sottosuccessione convergente. Vedremo che queste proprietà derivano da certe proprietà topologiche della retta reale. Richiamiamo gli assiomi della retta reale R (un campo ordinato con due ulteriori assiomi): (9.1) Valgono i seguenti assiomi del campo ordinato dei numeri reali: (i) Assiomi di campo: (a) ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz). (b) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx. (c) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx + 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x 6= 0 =⇒ 1x = x. (d) ∀x ∈ R, ∃ unico y ∈ R : x + y = 0. ∀x ∈ R, x 6= 0, ∃ unico y ∈ R : xy = 1. (e) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz. (ii) Asiomi di campo ordinato: la relazione > induce un ordine totale su R in modo tale che (a) x > y =⇒ x + z > y + z. (b) x > y, z > 0 =⇒ xz > yz. (iii) Proprietà dell’ordinamento (continuo lineare): (a) (Completezza di Dedekind) La relazione d’ordine < ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha l’estremo superiore). (b) Se x < y, allora esiste un numero z ∈ R tale che x < z < y. (9.2) Definizione. Uno spazio topologico X viene detto di Hausdorff se per ogni x, y ∈ X, x 6= y, esistono due intorni Ux e Uy di x e y rispettivamente tali che Ux ∩ Uy = ∅. (9.3) Nota. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)). Abbiamo già accennato alla definizione di successione convergente (in spazi metrici). Definiamo ora la convergenza di successioni in spazi topologici. 26 2006-mar-29 D.L. Ferrario Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar-29 27 (9.4) Definizione. Si dice che una successione {xn } in X converge ad un punto x̄ ∈ X se per ogni intorno Ux̄ di x̄ esiste un intero n (che dipende da Ux̄ ) tale che j ≥ n =⇒ xj ∈ Ux̄ . In tal caso si scrive lim xn = x̄ n e si dice che xn converge a x̄. (9.5) Se xnk è una sottosuccessione di una successione convergente xn (con limite limn xn = x̄), allora la sottosuccessione converge al medesimo limite limk xnk = x̄. Dimostrazione. Vedi esercizio (4.6). q.e.d. (9.6) (Unicità del limite) Sia X uno spazio di Hausdorff e {xn } una successione in X. Se limn xn = x̄ e limn xn = ȳ, allora x̄ = ȳ. Dimostrazione. Esercizio (4.7). q.e.d. (9.7) Definizione. Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto {Ui }i di X (cioè una famiglia di aperti {Ui }i∈J tale che X = ∪i∈J Ui ) ha un sottoricoprimento finito, cioè esiste un sottoinsieme finito di indici J0 ⊂ J tale che X = ∪i∈J0 Ui (9.8) Nota. Uno spazio metrico si dice compatto quando lo spazio topologico associato (con la topologia metrica) è compatto. (9.9) Nota. Se B è una base di intorni per la topologia di X, e X è compatto, allora, in particolare, ogni ricoprimento di X mediante intorni (che sono aperti) di B ammette un ricoprimento finito. Viceversa, se ogni ricoprimento mediante intorni di B ammette un ricoprimento finito, allora X è compatto (cioè ogni ricoprimento di aperti ammette un sottoricoprimento finito, non solo ogni ricoprimento mediante intorni della base). Infatti, se {Ui } è un generico ricoprimento di X, allora (visto che ogni Ui è aperto) Ui = ∪j Bi,j dove i Bi,j sono una famiglia di intorni della base B (ogni aperto è unione di intorni aperti della base B). Ma allora [ X = ∪i Ui = ∪i ∪j Bi,j = Bi,j , i,j e quindi {Bi,j }i,j è un ricoprimento di X mediante aperti della base, che ammette l’esistenza di un sottoricoprimento finito X = Bi1 ,j1 ∪ Bi2 ,j2 ∪ · · · ∪ BiN ,jN . Dal momento che Ui = ∪j Bi,j , per ogni i, j si ha Bi,j ⊂ Ui , e quindi X = Ui1 ∪ Ui2 ∪ · · · ∪ UiN , cioè {Ui }i ammette sottoricoprimento finito. (9.10) Se X è compatto e C ⊂ X è un sottoinsieme chiuso, allora C è compatto (con la topologia indotta). D.L. Ferrario 2006-mar-29 27 28 2006-mar-29 Geometria e Topologia I (U1-4) Dimostrazione. Se {Ui }i∈J è un ricoprimento mediante aperti di C, allora, con un abuso di notazione, possiamo considerare un ricoprimento di C mediante aperti dato da {C ∩ Ui }i∈J , dove Ui sono aperti di X. Dato che C è chiuso X r C è aperto, e quindi {X r C} ∪ {Ui }i∈J è un ricoprimento aperto di tutto X (dato che C ⊂ ∪i Ui ), e quindi esiste un sottoricoprimento finito, che sarà della forma {X r C} ∪ {Ui }i∈J0 oppure {Ui }i∈J0 . In entrambi i casi, risulta C⊂ [ Ui , i∈J0 e quindi la tesi. q.e.d. (9.11) Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausforff è chiuso. Dimostrazione. Sia C ⊂ X sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff X. Dimostriamo che C è chiuso. Sia x ∈ X r C. Per ogni c ∈ C, dato che X è di Hausdorff, esistono due intorni disgiunti Uc e Vc tali che Uc ∩ Vc = ∅, c ∈ Uc , x ∈ Vc . Ora, {Uc }c∈C è un ricoprimento di C di aperti, quindi esiste un sottoricoprimento finito, cioè C ⊂ Uc1 ∪ Uc2 ∪ · · · ∪ UcN . L’intersezione di un numero finito di aperti è aperto, quindi V = Vc1 ∩ Vc2 ∩ · · · ∩ VcN è un aperto che contiene x. Dato inoltre che per ogni i = 1 . . . N , l’intersezione Vci ∩ Uci = ∅, V ∩ C = ∅, cioè V ⊂ X r C e quindi X r C è aperto per l’arbitrarietà di x, cioè C è chiuso. q.e.d. (9.12) L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta. Dimostrazione. Sia X compatto e f : X → Y una funzione continua. Dobbiamo dimostrare che f (X) è compatto con la topologia indotta da Y . Ogni ricoprimento aperto {Ui }i di f (X) in Y induce un ricoprimento aperto {f −1 (Ui )}i di X, che ha un sottoricoprimento finito dal momento che X è compatto. La tesi segue dal fatto che per ogni i f (f −1 (Ui )) ⊂ Ui . q.e.d. (9.13) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è compatto se e solo se Y è compatto. 28 2006-mar-29 D.L. Ferrario Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mar-29 29 Dimostrazione. Sia f : X → Y un omeomorfismo. Se X è compatto, allora f (X) = Y è compatto. Viceversa, se Y è compatto, allora X = f −1 (Y ) è compatto dato che f −1 è continua. q.e.d. (9.14) Teorema. Una funzione f : X → Y continua e suriettiva tra X compatto e Y Hausdorff è sempre chiusa, e dunque una mappa quoziente. Dimostrazione. Se C ⊂ X è un chiuso di X, allora per (9.10) C è compatto. Ma per (9.12) f (C) è compatto di Y , ed un compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso per (9.11), quindi f (C) è chiuso. Una funzione continua, suriettiva e chiusa è una mappa quoziente (vedi esercizio (3.7)). q.e.d. (9.15) Nota. Uno spazio X è compatto se ogni famiglia di chiusi {Ci } di X con intersezione vuota ammette una sottofamiglia finita con intersezione vuota (infatti. . . ). Questo consente di esprimere la compattezza nel seguente modo: diciamo che un famiglia J di chiusi di uno spazio topologico X ha la FIP (finite intersection property) se \ ∀J0 ⊂ J, |J0 | < ∞ =⇒ Ci 6= ∅ i∈J0 (l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Si può dimostrare che X è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota (vedi esercizio (4.8)). (9.16) Teorema (Tychonoff – fin(i)to). Se X e Y sono due spazi topologici compatti, allora il prodotto cartesiano X × Y (con la topologia prodotto) è compatto. Dimostrazione. Passo 1 : supponiamo che Y sia compatto, x0 ∈ X un punto e N ⊂ X × Y un intorno di {x0 } × Y in X × Y . Allora esiste un intorno W di x0 in X tale che N ⊃ W × Y (l’intorno W × Y è detto il tubo attorno a {x0 } × Y ). Dato che {x0 } × Y è compatto (è omeomorfo a Y !) è possibile estrarre sottoricoprimenti finiti da tutti i ricoprimenti dati dagli elementi della base di intorni (per la topologia prodotto) U × V (quelli che generano N con la loro unione. . . ). A meno di scartare qualche intorno della base, si può supporre che U1 × V1 , . . . , Un × Vn ricoprono {x0 } × Y . Sia W = U1 ∩ U2 ∩ · · · ∩ Un , che è un intorno aperto di x0 con la proprietà cercata: W × Y ⊂ N . passo 2 : Sia {Ui × Vi } un ricoprimento mediante aperti della base Ui × Vi . Dato che {x} × Y è compatto, è contenuto in un sottoricoprimento finito, e l’unione degli aperti di tale ricoprimento per quanto visto sopra contiene un aperto del tipo Wx × Y che contiene {x} × Y . Quindi per ogni x ∈ X si può troare un aperto Wx di X tale che Wx × Y è contenuto nell’unione di un un numero finito di aperti del ricoprimento. Ma dato che X è compatto, esiste una famiglia finita di Wi che ricopre X, e quindi il prodotto cartesiano X × Y è uguale al prodotto dei tubi Wxi × Y , ognuno dei quali è coperto dall’unione di un numero finito di aperti del ricoprimento {Ui × Vi }. q.e.d. (9.17) Il teorema appena visto non è il teorema di Tychonoff: il vero teorema stabilisce che il prodotto di una famiglia qualsiasi di compatti è compatto (nella topologia prodotto); se infatti la famiglia è infinita non si può ripetere il ragionamento sopra esposto. D.L. Ferrario 2006-mar-29 29