Esame di profitto di Geometria superiore - Laurea magistrale in Matematica
novembre 2013
1. Per quali dei seguenti gruppi di Lie
T2
•
GL(n, R) •
C∗
la funzione esponenziale è suriettiva?
(a) per nessuno dei tre gruppi;
(b) solo per il primo ed il secondo gruppo;
(c) solo per il secondo e terzo gruppo;
(d) solo per il primo e terzo gruppo.
Soluzione. È ben noto che già per n = 1 l’esponenziale del gruppo GL(n, R)
non copre tutto il gruppo e che ogni numero complesso
di norma 1 si può scrivere
nella forma e2πiα con α ∈ [0, 1] e, quindi, T2 = (e2πiα , e2πiβ ) : (α, β) ∈ [0, 1]2 .
D’altronde, ogni numero complesso non nullo z si può rappresentare in forma
polare z = ρe2πiα con (ρ, α) ∈ R+ × [0, 1].
2. Sia X il campo vettoriale dell’algebra di Lie di GL(2, R) individuato dal vettore
tangente γ 0 (0), dove γ : R → GL(2, R) è la curva
1 t
t 7→
.
0 1
Se Xji denotano le funzioni componenti di X riferite alle coordinate globali di
GL(2, R) date dai coefficienti xji delle sue matrici, cioè
∂ XP = Xji (P ) ∂x
∀P ∈ GL(2, R),
i
P
j
individuare i valori di queste componenti per P = J :=
0
1
1
0
:
(a) X11 (J) = 1, X21 (J) = 0, X12 (J) = 0, X22 (J) = 0;
(b) X11 (J) = 0, X21 (J) = 1, X12 (J) = 0, X22 (J) = 0;
(c) X11 (J) = 0, X21 (J) = 0, X12 (J) = 1, X22 (J) = 0;
(d) X11 (J) = 0, X21 (J) = 0, X12 (J) = 0, X22 (J) = 1.
Soluzione. I valori Xji (J) sono dati dai coefficienti del prodotto JA, dove A
denota la matrice
0 1
0 0
che definisce il vettore XI2 = γ 0 (0).
3. Si consideri l’azione di SU (2) su sé stesso definita dalla funzione (P, X) 7→ P XP ∗ ,
dove P ∗ denota la matrice che si ottiene trasponendo P e sostituendone ciascun
coefficiente pji con il coniugato p̄ji . Individuare l’affermazione corretta:
(a) matrici di SU(2) aventi assegnati autovalori ed assegnata traccia stanno tutte
in una stessa orbita;
1
(b) matrici di SU(2) aventi assegnati autovalori stanno tutte in una stessa orbita,
ma matrici aventi la stessa traccia possono stare in orbite diverse;
(c) matrici di SU(2) aventi assegnata traccia stanno tutte in una stessa orbita,
ma matrici aventi stessi autovalori possono stare in orbite diverse;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione. Il gruppo SU(2) consiste delle matrici della forma
a b
M :=
−b a
con (a, b) una coppia di numeri complessi tale che aa + bb = 1. Gli autovalori di
una tale matrice M sono le radici del polinomio
χM (x) = x2 − x trM + 1,
per cui due matrici di SU(2) hanno gli stessi autovalori esattamente quando hanno
la stessa traccia e questi autovalori sono numeri complessi coniugati perché χM
è a coefficienti reali, visto che la traccia trM è data dal numero reale a + a =
2<(a). Più precisamente, questi autovalori sono sempre distinti tranne che per
a = ±1 e b = 0, cioè per M = ±I2 . Dunque le matrici di SU(2) sono tutte
diagonalizzabili e, per il teorema spettrale, la diagonalizzazione può essere eseguita
mediante una matrice unitaria, anzi mediante una matrice di SU(2) tenuto conto
che ogni√ matrice unitaria U ∈ U(2) si decompone nel prodotto della matrice
scalare det U I2 per una matrice di SU(2). Adesso si può concludere utilizzando
il fatto che per una matrice unitaria U vale l’identità U −1 = U ∗ .
4. Avendo l’informazione che lo spazio tangente al gruppo unitario U(n) nel suo
elemento neutro è individuato dalle matrici X ∈ M(n, C) tali che X ∗ = −X,
individuare tra le curve
it 0
(a) t 7→ Exp
;
0 0
0 it
(b) t 7→ Exp
;
−it 0
it t
(c) t 7→ Exp
;
−t 0
it
t
(d) t 7→ Exp
;
−t −it
di GL(2, C) quella che dà un sottogruppo ad un parametro di SU(2).
Soluzione. La condizione X ∗ = −X non è soddisfatta solo dalla matrice che
definisce la curva (b), ma delle rimanenti solo quella che dà la (d) ha traccia
nulla.
5. Una matrice n × n viene detta unipotente se M − In è nilpotente. Individuare
l’affermazione corretta per una data matrice M ∈ M(n, C):
(a) M nilpotente implica Exp(M ) unipotente, ma non è detto che valga il viceversa;
(b) Exp(M ) unipotente implica M nilpotente, ma non è detto che valga il viceversa;
2
(c) M è nilpotente se, e solamente se, Exp(M ) è unipotente;
(d) ambedue le implicazioni M nilpotente =⇒ Exp(M ) unipotente e Exp(M )
unipotente =⇒ M nilpotente possono essere non vere.
Soluzione. Sia P ∈ GL(n, R) una matrice che mette M in forma canonica di
Jordan, cioè P M P −1 è una matrice triangolare J = Jsr : allora anche Exp(J) è
1
2
n
una matrice triangolare i cui coefficientti sulla diagonale sono eJ1 , eJ2 , . . . , eJn .
r
Poiché Jrr = 0 ⇐⇒ eJr = 1 e nilpotenza e unipotenza sono proprietà che si
conservano per similitudine, si vede che l’affermazione corretta è la (c), ove si
tenga conto che Exp(J) = P Exp(M )P −1 .
6. Tra le seguenti funzioni lineari Ti S1 → T(0,1) R2
∂ d
7→ −a ∂x
;
(a) a dt
i
(0,1)
d
∂ (b) a dt
7→ −2aπ ∂x
;
i
(0,1)
d
∂ (c) a dt
7→ −a ∂y
;
i
(0,1)
d
∂ (d) a dt
7→ −2aπ ∂y
;
i
(0,1)
descritte al variare di a in R in termini di coordinate angolari t per S1 e coordinate cartesiane (x, y) per R2 , quale dà il differenziale in i = (0, 1) dell’inclusione
S1 ,→ R2 ?
Soluzione. Nelle coordinate prescritte l’inclusione
S1 ,→ R2 si rappresenta me
diante la funzione t 7→ cos(2πt), sin(2πt) il cui differenziale in i è la funzione
lineare (b).
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