1 DIPOLO ELEMENTARE

1 DIPOLO ELEMENTARE
Con il termine dipolo elementare si indica una sorgente di estensione spaziale molto
piccola (rispetto a λ), costituita da una densità di corrente orientata in una unica direzione, e
costante con essa.
Assumiamo l’asse z lungo la direzione della densità di corrente. Allora anche la corrente
I sarà rivolte lungo z, e sarà costante in un tratto ∆z pari alla lunghezza del dipolo elementare.
La ampiezza della sorgente sara’ data dal prodotto I∆z.
Per spiegare l’uso del termine dipolo per tale
sorgente, notiamo che la corrente J può essere ottenuta come corrente che scorre all’esterno di un
filo, ovvero di un cilindretto di C.E.P. lungo ∆z e
di raggio molto più piccolo della lunghezza, purchè
alle due estremità del filo siano posti due serbatoi
di cariche, ad esempio due dischi metallici di raggio
piccolo rispetto a λ ma grande rispetto a ∆z, che
formino le due armature di un condensatore in grado
di accumulare cariche. Con tale condensatore, è posFig 1: Filo (a sinistra) e
sibile che la corrente sul filo sia costante, anzichè andipolo elementare (a destra)
nullarsi alle estremità. Se confrontiamo le due situazioni di Fig. 1, notiamo che nella figura a sinistra
la corrente (che scorre verticalmente sul filo) deve
necessariamente annullarsi alle due estremità del filo. Invece la presenza dei due dischi nel
dipolo elementare riportato a destra evita che , alle estremità della parte verticale, la corrente
debba annullarsi. Poichè il filo è poi molto corto, possiamo applicare i principi di Kirchhoff,
concludendo che la corrente è costante su tutto il filo.
Applichiamo l’equazione di continuità alla regione
tratteggiata di Fig. 2, che contiene l’armatura superiore
del condensatore. Sia Q la carica immagazinata nella armatura, e I la corrente nel dipolo elementare, che entra
nella regione tratteggiata. Si ha allora
jω Q + (−I) = 0
I
da cui segue
I
jω
La carica accumulata nella armatura nel DT vale
q(t) = |Q| cos ωt + φ
Q=
Fig 2: Equazione di continuità
essendo φ la fase di Q.
Sull’altra armatura la carica sarà pari a −q(t). Si ha quindi un dipolo elettrico oscillante,
di momento, nel DT , pari a q(t) ∆z, e quindi, nel DF , dato da
1
I ∆z
(1)
jω
Ovviamente le armature devono accumulare questa carica q(t) senza produrre una d.d.p.
apprezzabile. Occorre quindi un condensatore di capacità elevata (che non sarebbe ottenibile
P = Q ∆z =
1
con un semplice filo, senza armature). La corrente di un dipolo elementare viene approssimata
con un impulso di Dirac spaziale.
Se scegliamo l’asse z allineato con la corrente, e indichiamo con rD la posizione del
dipolo, la densità di corrente corrispondente a un dipolo vale
JD (r) = I∆z δ(r − rD ) iz
(2)
2 CAMPO DI UN DIPOLO ELEMENTARE
In un sistema di riferimento sferico, il campo nel punto P = (r, θ, ϕ), prodotto da un
dipolo elementare di ampiezza I∆z, parallelo ed equiverso all’asse z e posto nell’origine è1
1
1
ζ I∆z
+
e−jβr 2 cos θ
Er = j
2λ r
jβr
(jβr)2
1
ζ I∆z
1
(3)
+
e−jβr sin θ
Eθ = j
1+
2λ r
jβr
(jβr)2
1
I∆z
1+
e−jβr sin θ
Hϕ = j
2λ r
jβr
Queste espressioni valgono in tutto lo spazio (fatta eccezione per il punto in cui si trova
il dipolo), ma sono abbastanza complesse, soprattutto da interpretare. Tuttavia tali espressioni
si possono semplificare nei due casi di punto campo P lontano dal dipolo, βr ≫ 1 o vicino al
dipolo βr ≪ 1. Ovviamene, nei punti a distanza intermedia tra queste, va necessariamente usata
l’espressione completa (3).
Se βr ≫ 1 si possono trascurare, nelle parentesi quadre della (3), tutti i termini rispetto
a 1, e quindi anche Er rispetto a Eθ .
In tal caso il campo diventa
ζ I∆z −jβr
e
sin θ
2λ r
(4)
1
I∆z −jβr
e
sin θ
= Eθ
Hϕ = j
2λ r
ζ
ovvero i campi variano con r allo stesso modo, e sono entrambi ortogonali alla direzione radiale
(campi trasversi).
Eθ = j
1
Le stesse espressioni in termini di momento di dipolo P = I∆z/jω si ottengono sostituendo il
primo fattore delle espressioni seguenti con
j
ζ jωP
ζωP
β2P
ζ I∆z
=j
=−
=−
2λ r
2λ r
2λ r
4πε0 r
I∆z
jωP
ωP
β 2 ωP
j
=j
=−
=− √
2λ r
2λ r
2λ r
4π ε0 µ0 r
2
In termini vettoriali, dalla (4) segue
E = ζ H × ir
(5)
La presenza del fattore e−jβr mostra che il campo di un dipolo elementare si propaga,
e si propaga in direzione radiale. Infatti, nel DT , tale fattore diventa
h
i
Re e−jβr ejωt = cos βr − ωt
ovvero identifica una onda che viaggia in direzione radiale (dal dipolo verso l’infinito).
Il campo (4) è quindi una onda sferica, con superfici equifase e equiampiezza sferiche.
Se però osserviamo il campo (4) solo in una regione limitata dello spazio, le superfici
sferiche equifase e equiampiezza sono indistinguibili da superfici piane. Infatti una sfera di
raggio R grande risulta indistinguibile dal suo piano tangente, se osservata in una zona di
dimensioni piccole rispetto a R. Ne segue che in una zona limitata dello spazio l’onda sferica
(4) è indistinguibile da una onda piana, in quanto non solo ha superfici equifase e equiampiezza
piane, ma vale anche la (5), che è la relazione tra i campi di una onda piana. Ovviamente, come
si vede dalla (5), l’onda piana viaggia in direzione radiale (nel punto di osservazione).
Poichè vale la sovrapposizione degli effetti, anche il campo di più dipoli, ovvero il campo
di una qualunque distribuzione di correnti1 , purchè di estensione spaziale limitata, ha, per
βr → ∞, le stesse proprietà del campo di un dipolo. In particolare tale campo è una onda piana
che viaggia verso l’infinito, e inoltre devono valere
lim r|E| < ∞
lim r|H| < ∞
r→∞
r→∞
(6)
lim r E−ζ H × ir = 0
r→∞
Le (6), e in particolare l’ultima di queste, prendono il nome di condizioni di Sommerfeld,
o condizioni di radiazione all’infinito. Il significato fisico di queste condizioni è che, all’infinito,
sia E, sia H devono essere infinitesime almeno del primo ordine, mentre la differenza E−ζ H×ir
deve esserlo di ordine superiore al primo 2 .
Passando al caso di campo vicino βr ≪ 1, allora nella parentesi quadra possiamo trascurare tutti i termini rispetto all’ultimo, e porre anche e−jβr ≃ 1.
Le (3) diventano allora
ζ I∆z
Er = j
2λ r
1
jβr
2
2 cos θ
2
1
ζ I∆z
sin θ
Eθ = j
2λ r
jβr
1
I∆z
Hϕ = j
sin θ
2λ r
jβr
(7)
1
Una qualunque distribuzione di correnti può sempre essere decomposta nella sovrapposizione
di dipoli elementari
2
In realtà andrebbe anche aggiunto che le componenti radiali dei campi Er ed Hr devono essere
di ordine superiore al primo.
3
Si vede immediatamente che, nelle (7), il campo E ed il campo H vanno all’infinito (per
r → 0) in modo diverso, e in particolare il campo magnetico è un infinito di ordine inferiore.
Tuttavia, non è possibile confrontare direttamente i due campi, che hanno unità di misura
diverse. Tuttavia, se consideriamo il campo lontano (o quello di una onda piana), notiamo che,
per esso |E| = |ζH|. D’altra parte, una onda piana esiste in assenza di sorgenti, e quindi è
ciascun campo che produce l’altro. Possiamo quindi cocncludere che, in una onda piana, i due
campi hanno la stessa “grandezza”. Pertanto, il modo giusto di confrontare campo elettrico e
magnetico è di confrontare |E| e |ζH|.
Per il campo vicino di un dipolo elementare si ha
|E|
=
|ζH|
p
√
sin2 θ + 4 cos2 θ 1
1 + 3 cos2 θ 1
=
sin θ
βr
sin θ
βr
Il primo fattore è maggiore di 1, ed il secondo è molto maggiore di 1. Ne segue che
vicino a un dipolo
|E|
≫1
|ζH|
=⇒
|E| ≫ |ζH|
e quindi il campo è essenzialmente elettrico (il campo magnetico è, entro certi limiti, trascurabile).
Se esprimiamo il campo elettrico della (7) in termini di momento di dipolo P = I∆z/jω ,
si ottiene
ζ jωP −1
1 1 ζω
1 1
P 2 cos θ =
P 2 cos θ
2 2 cos θ =
3
2λ r (βr)
2r λβ β
4πr 3 ε0
1 1 ζω
ζ jωP −1
1 1
sin θ = 3
Eθ = j
P sin θ =
P sin θ
2
2λ r (βr)
2r λβ β
4πr 3 ε0
Er = j
(8)
essendo λ β = 2π e
ω
ζ =
β
r
ω
µ0
=
√
ε0 ω µ0 ε0
r
1
µ0
1
=
√
ε0 µ0 ε0
ε0
Le espressioni (8) del campo di un dipolo elementare oscillante a frequenza ω sono
analoghe3 a quelle del campo elettrostatico di un dipolo costante. Va però tenuto presente che
queste ultime sono valide a qualunque distanza, mentre le (8) esprimono il campo del dipolo
oscillante solo se βr ≪ 1 ovvero se r ≪ λ. Questo conferma che, per regioni di dimensioni
piccole rispetto a λ, è possibile usare le leggi dei campi statici, e quindi i principi di Kirchhoff.
3
Naturalmente le (8) esprimono il campo, oscillante a frequenza ω, di un dipolo oscillante p(t) =
P0 cos ωt, e non quelle di un dipolo costante. Tuttavia, se consideriamo il campo (8) nel DT
otteniamo
P0
[2 cos θir + sin θiθ ] cos ωt
E=
4πε0 r3
Quest’ultima espressione è valida sia per ω = 0 qualunque sia r, sia per ω 6= 0, e r ≪ λ.
4
3 DIPOLO CORTO
Un dipolo elementare è di difficile realizzazione, a causa delle capacità terminali.
Dato che l’andamento del campo di un dipolo dipende essenzialmente dal fatto che la
corrente è concentrata in una regione molto piccola rispetto a λ (e dalla direzione della corrente
stessa), conviene quindi esaminare se una sorgente costituita solo dai due fili verticali (quindi
senza condensatore) sia utilizzabile come dipolo, ovviamente nella ipotesi che la sua lunghezza
2ℓ sia molto piccola rispetto a λ.
La struttura che consideriamo è riportata in Fig. 1.
Sappiamo che in regioni piccole rispetto a
z
λ possiamo utilizzare i principi di Kirchhoff. Nel
+l
nostro caso questi ci dicono che I(ℓ) = I(0), e
poichè I(ℓ) è necessariamente nulla, allora anche
la corrente sulla antenna è nulla. Quindi, apparIA
I(z)
entemente, una tale sorgente non funziona.
0
In realtà, i principi di Kirchhoff sono una
ottima approssimazione, ma sempre una approssimazione. E una approssimazione non è utilizzabile
quando il risultato approssimato è nullo.
-l
Pertanto, essendo I(0) = IA 6= 0, ci sarà
una corrente non nulla sulla antenna. Essendo coFig 1: Geometria e
munque l’antenna molto piccola tale corrente (non
corrente di un dipolo corto
potendo essere costante) varierà linearmente con z:
|z|
(9)
I(z) = IA 1 −
ℓ
Conseguenza di questo fatto è che vi sarà una carica accumulata lungo l’antenna. Se
consideriamo un tratto ∆z posto alla ascissa z, su di esso vi sarà una carica q(z) ∆z. Per
calcolarla consideriamo l’equazione di continuità della carica:
corrente uscente = −
d
carica contenuta
dt
che nel DF , e nel nostro caso, diventa
h
i
I(z + ∆z) + − I(z) = −jωq(z) ∆z
(10)
Risolvendo per la carica, e usando la (9), si ha
1
1 dI(z)
1 −IA
∆z =
(11)
∆z −jω dz
−jω ℓ
La carica q(z) e quella q(−z) costituiscono un dipolo di momento 2zq(z). Il momento
totale di dipolo sarà quindi
q(z) =
Z ℓ
IA ℓ
IA ℓ 2
IA
2
=
(12)
2z dz =
jωℓ 0
jωℓ 2
jω
0
L’espressione di Ptot è simile a quella (1) del momento di dipolo di un dipolo elementare,
ma il fattore geometrico coinvolto è la metà della lunghezza totale della sorgente. Ciò in
Ptot =
Z
ℓ
2zq(z) dz =
5
quanto la carica, per un dipolo corto, è distribuita lungo tutta la sorgente, e non concentrata
alle estremità.
Il campo di un dipolo corto è quindi lo stesso di un dipolo elementare (se la corrente ha
la stessa direzione), a patto di usare come ampiezza della sorgente IA ℓ.
4 POTENZA IRRADIATA DA UN DIPOLO
La potenza attiva irradiata da un dipolo (corto o elementare) può essere calcolata come
flusso della parte reale del vettore di Poynting su una superficie qualunque che racchiude il dipolo
1
. Conviene allora utilizzare una sfera di raggio R0 per semplicità.
Il vettore di Poynting di un dipolo ha due componenti:
1
1
1
1
E × H∗ =
[Er ir + Eϑ iϑ ] × Hϕ∗ iϕ = Er Hϕ∗ (−iϑ ) + Eϑ Hϕ∗ ir
2
2
2
2
Sostituendo le espressioni dei campi si ha, per le due componenti di S
S=
"
#∗
2 # "
2 2
1
ζ|I|
h
1
1
1
1
S · ir = Eϑ Hϕ∗ =
1+
+
sin2 θ
1+
2
2 4λ2 R02
jβR0
jβR0
jβR0
"
#∗
2 # "
1
1
1
1 ζ|I|2 h2
1
∗
S · iϑ = − Er Hϕ =
1+
+
2 cos θ sin θ
2
2 4λ2 R02 jβR0
jβR0
jβR0
(13)
(14)
dove si è indicato con h la lunghezza del dipolo elementare oppure la semilunghezza nel caso di
un dipolo corto.
Il prodotto dei due termini in parentesi quadra vale, rispettivamente
"
1
+
1+
jβR0
1
jβR0
2 # "
1−
1
jβR0
#
2
2 3
1
1
1
1
1
=1+
+
−
−
−
jβR0
jβR0
jβR0
jβR0
jβR0
3
3
1
1
= 1−j
=1−
jβR0
βR0
"
#
2 # "
1
1
1
+
1−
jβR0
jβR0
jβR0
2 2 3
1
1
1
1
+
−
−
=
jβR0
jβR0
jβR0
jβR0
3
3
1
1
1
1
−
= −j
−j
=
jβR0
jβR0
βR0
βR0
1
(15)
La superficie può essere qualunque in quanto non vi è nè dissipazione, nè sorgenti all’esterno
del dipolo
6
Sϑ è puramente immaginaria, quindi lo squilibrio tra le energie non è uniforme rispetto
a θ.
Molto più interessante è invece la componente radiale. La parte reale e quella immaginaria di S · ir valgono
S r · ir =
1 ζ|I|2 h2
sin2 θ ir
2 4λ2 R02
1 ζ|I|2 h2
sin2 θ ir
S i · ir = −
2 4λ2 R02
1
βR0
3
1 ζ|I|2 h2 1
=−
sin2 θ ir
2 4(2π)2 β R05
(16)
Risulta dS = R02 dΩ = R02 sin θdθdφ e quindi la potenza irradiata vale
1 ζ|I|2 h2
Sr · ir dS =
sin2 θ R02 sin θdθdφ
2 4λ2 R02
I
1 ζ|I|2 h2 8π
1 ζ|I|2 h2
2
sin
θ
sin
θdθdφ
=
=
2 4λ2
2 4λ2
3
Possiamo esprimere la potenza irradiata come
Pi =
I
I
Pi =
1 2πζ 2
|I|
2 3
2
h
λ
(17)
(18)
h
.
λ
Da un punto di vista pratico sembrerebbe che, per irradiare una certa potenza, possa
scegliere in modo arbitrario |I| e h, col vincolo che il prodotto resti costante. In realtà le antenne,
specie a bassa frequenza, sono realizzate con materiali non ideali: si ha quindi una dissipazione
per effetto Joule, proporzionale a |I|2 . L’efficienza di radiazione η, definita da
da cui notiamo che la potenza, oltre ad essere proporzionale a |I|2 , aumenta al crescere di
Potenza irradiata
Potenza irradiata + Potenza dissipata
risulta quindi tanto maggiore quanto più piccola è la corrente. Quiesto è uno dei motivi che
spinge a scegliere il valore di h il più grande possibile, compatibilmente con i vincoli realizzativi.
In realtà occorrerebbe anche essere certi che l’antenna sia ancora un dipolo elementare o
corto, il che richiede h ≪ λ, ma, almeno qualitativamente, la potenza irradiata aumenta (fissata
|I|) con le dimensioni anche per antenne differenti.
Possiamo anche esprimere la potenza irradiata in termini di momento di dipolo P .
Essendo jωP = Ih, si trova sostituendo
η=
1 2πζ 2
Pi =
ω |P |2
2 3
2
1
λ
(19)
β
ω
1
=
=
, essendo c la velocità della luce nel vuoto. Sostituendo
λ
2π
2πc
1 ζ
Pi =
ω 4 |P |2
(20)
2 6πc2
La dipendenza della potenza irradiata da ω 4 , fissato |P |, è, ad esempio, responsabile
del colore azzurro del cielo. La luce solare polarizza le molecole d’aria, trasformandole in dipoli
elettrici che reirradiano. La potenza reirradiata nel blu, λ = 400 nm, è 16 volte più grande di
Ora
7
quella reirradiata nel rosso, λ = 800 nm, e quindi nella luce diffusa verso la terra è presente solo
la prima.
Consideriamo infine l’energia immagazinata attorno al dipolo. Possiamo calcolare la
differenza tra le energie come flusso della parte immaginaria del vettore di Poynting tra due
sfere di raggio R0 ed R1 > R0 . Poichè sulla sfera interna il versore normale è −ir , anche qui
interessa solo la componente radiale di S. La potenza reattiva uscente vale allora
Pre = −
1
2
1
=
2
=
I
1 ζ|I|2 h2 1
1 ζ|I|2 h2 1
2
2
sin
θ
R
sin
θdθdφ
+
sin2 θ R02 sin θdθdφ
1
2 4(2π)2 β R15
2 4(2π)2 β R05
I
ζ|I|2 h2
1
1
− 3
sin2 θ sin θdθdφ
4(2π)2 β R03
R1
ζ|I|2 h2
1
1
−
6πβ
R03
R13
I
(21)
in quanto l’integrale vale 8π/3.
La potenza reattiva è sempre positiva, e quindi l’energia elettrica immagazinata è maggiore di quella magnetica immagazinata e anzi l’energia immagazzinata è quasi del tutto elettrica. Inoltre c’è energia solo molto vicino al dipolo, in quanto la potenza reattiva decade molto
rapidamente.
8
5 TEOREMA DI RECIPROCITÀ
Vedi file aggiuntivo IIIa
6 ESISTENZA E UNICITA’
Le leggi che regolano il campo elettromagnetico sono state espresse nella forma di
equazioni differenziali. Le suddette equazioni sono lineari, nel dominio della frequenza.
Quando si ha a che fare con equazioni differenziali ha senso porsi, oltre al problema
della ricerca delle soluzione e della loro proprietà, che sono stati discussi nei capitoli precedenti,
anche il problema della esistenza e unicità della soluzione.
Per quanto riguarda l’esistenza, assumiamo che le nostre equazioni, in quanto rappresentanti coerentemente un fenomeno fisico, abbiano comunque una soluzione.
Viceversa, per ottenere l’unicità di una certa soluzione, dovremo imporre alla soluzione
stessa delle ulteriori condizioni, che ricaveremo ovviamente anch’esse dalle proprietà fisiche del
fenomeno. Tali condizioni aggiuntive dipenderanno inoltre anche dal dominio (DT o DF ) in cui
scriviamo le equazioni. Nei prossimi paragrafi vedremo in dettaglio quali sono queste condizioni
aggiuntive.
Esiste comunque uno stretto legame tra le condizioni che assicurano l’unicità di una
soluzione e la sua esistenza, o meglio la sua possibile non–esistenza. Supponiamo infatti che, per
ottenere l’unicità della soluzione, si debba imporre un insieme di condizioni {C1 , . . . , CN }, che
indichiamo simbolicamente con C. Ciò significa che esisterà una sola soluzione delle equazioni di
Maxwell che soddisfa a tutte le condizioni di C . Supponiamo ora di voler cercare una soluzione
EU , HU che soddisfi non solo a tutte le condizioni di C , ma anche ad una condizione aggiuntiva
CA , ad esempio E(rx ) = 0. Da quanto detto, esiste una sola soluzione, Eu (r) che soddisfa a
C. Quindi, relativamente al campo elettrico nel punto scelto rx , possono verificarsi due casi: se
EU (rx ) è nullo, allora EU soddisfa anche a CA , se invece EU (rx ) 6= 0 la soluzione EU non soddisfa
a CA e quindi non esiste alcuna soluzione che soddisfi a tutte le condizioni di {C1 , . . . , CN , CA }
. Pertanto imporre una, o più, condizioni aggiuntive ad un insieme di condizioni sufficienti per
l’unicità impedisce di avere soluzioni (a meno che la condizione aggiuntiva non sia già compresa
nell’unica soluzione, e divenga quindi pleonastica).
9
7 IL SIGNIFICATO DELL’UNICITA’
Dai corsi di analisi matematica è noto il significato del concetto di unicità della soluzione
di una equazione differenziale ordinaria. Esattamente lo stesso significato vale anche per le
equazioni di Maxwell nel DT , nonostante queste ultime siano equazioni a derivate parziali. Per
il DF , invece, visto che tali equazioni regolano la soluzione a regime per sorgenti sinusoidali
isofrequenziali, il significato del concetto di unicità è, come vedremo, completamente diverso.
Per il DT dire che una soluzione E(r, t), H(r, t) è unica in un dato intervallo di tempo,
(T0 , T1 ), e dominio spaziale, Z, significa che non vi possono essere (in tale intervallo e dominio)
due diverse coppie di funzioni (E, H) che soddisfano le equazioni di Maxwell (con le eventuali
sorgenti) e un insieme sufficiente di condizioni aggiuntive. Per brevità, evitiamo di discutere
qui tali condizioni aggiuntive, e per esse rimandiamo, per esempio, a [1]. Tra le condizioni di
unicità nel DT vogliamo qui ricordare solo necessità di imporre una condizione iniziale, ovvero
di dover richiedere che, all’istante iniziale T0 , i campi in tutto il dominio Z assumano un ben
preciso valore:
E(r, 0) = E0 (r),
H(r, 0) = H0 (r)
∀r ∈ Z
(22)
dove E0 (r) e H0 (r) sono funzioni indipendenti e largamente arbitrarie.
Ben diverso il discorso per il DF , in quanto una soluzione E(r), H(r) nel DF non è
la soluzione di una equazione differenziale, ma solo una sua parte e precisamente la soluzione a
regime delle equazioni di Maxwell nel DT , nella ipotesi di sorgenti sinusoidali isofrequenziali.
Ciò significa che occorre considerare sorgenti che varino come cos(ω0 t + φ) applicate a partire
dall’istante iniziale T0 = −∞. All’istante attuale tali sorgenti daranno luogo a una soluzione
E(r, t), H(r, t), la cui parte a regime
ER (r, t) = Re E(r)ejω0 t
(23)
HR (r, t) = Re H(r)ejω0 t
può espressa tramite i fasori (dipendenti da r) E(r), H(r). Naturalmente, fissate le sorgenti, la
soluzione completa E(r, t), H(r, t) sarà unica se assegnamo opportune condizioni, comprese le
condizioni iniziali E(r, −∞), H(r, −∞). E, altrettanto naturalmente, tale soluzione dipenderà
dalle condizioni iniziali. È quindi possibile che la soluzione a regime (23), essendo una parte
della soluzione totale, dipenda anche essa dalle condizioni iniziali a T0 = −∞
Per definizione, diremo allora che la soluzione nel DF è unica se la soluzione a regime
è indipendente dalle condizioni iniziali, e viceversa.
Più formalmente, una qualunque soluzione con sorgenti sinusoidali può sempre essere
espressa come somma di due termini
E(r, t) = ET (r, t) + EF (r, t)
(24)
(e analogamente per H(r, t)) , in cui ET , detta soluzione transitoria, dipende dalle condizioni
iniziali mentre EF è sinusoidale e indipendente dalle condizioni iniziali 1
[1] Franceschetti: Campi Elettromagnetici, Boringhieri
1
La decomposizione (24) segue dalla teoria delle equazioni differenziali lineari: EF è un integrale
particolare della equazione completa, mentre ET è l’integrale generale della equazione omogenea
associata.
10
Se
lim ET (r, t) = 0
t→∞
∀r ∈ Z
(25)
allora EF costituisce l’unica soluzione a regime, qualunque siano le condizioni iniziali, (unicità
nel DF ). Se invece la (25) non è valida, allora la soluzione a regime dipende dalle condizioni
iniziali. Tuttavia mentre il termine EF è sempre alla frequenza ω0 delle sorgenti, la parte
dipendente dalle condizioni iniziali ET può contenere o non contenere un termine alla medesima
frequenza ω0 . Mentre nel primo caso non vi è unicità nel DF , nel secondo caso l’unicità sussiste
ancora in quanto la parte alla frequenza ω0 della soluzione a regime deriva solo da EF ed è
quindi indipendente dalle condizioni iniziali.
Va infine rimarcato che se si riesce a determinare, in un modo qualunque, una coppia
di funzioni vettoriali Ex , Hx che soddisfano sia le equazioni di Maxwell, sia ad un insieme di
condizioni sufficienti per l’unicità, allora tale coppia di funzioni è l’unica soluzione del nostro
problema.
8 UNICITA’ NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA
Consideriamo il problema di determinare il campo elettromagnetico in una regione Z
dello spazio, contenente eventualmente delle sorgenti. Il mezzo che riempie Z può essere omogeneo o non omogeneo. La unicità della soluzione si può dimostrare, essendo le equazioni lineari, supponendo, per assurdo, l’esistenza di due soluzioni distinte E1 , H1 e E2 , H2 , e poi
dimostrando che tali soluzioni devono necessariamente coincidere, ovvero che la loro differenza
E(r) = E1 (r) − E2 (r)
H(r) = H1 (r) − H2 (r)
(26)
dev’essere identicamente nulla.
D’altra parte la soluzione differenza E(r), H(r) è ancora soluzione delle equazioni di
Maxwell, ma con sorgenti di valore pari alla differenza tra quelli della prima soluzione e quelli
della seconda soluzione. E poichè le due soluzioni E1 , H1 e E2 , H2 sono prodotte dalle stesse
sorgenti, la soluzione differenza E(r), H(r) è prodotta da sorgenti nulle.
Conviene quindi cominciare a esaminare in quali casi un campo elettromagnetico in
una regione Z, in assenza di sorgenti, deve essere necessariamente nullo. Infatti, ognuno di
questi casi si tradurrà immediatamente in un insieme di condizioni sufficienti per l’unicità.
Naturalmente cercheremo soluzioni che sono continue a tutte le interfacce, o che soddisfano le
corrette condizioni di discontinuità in presenza di correnti superficiali.
È necessario inizialmente fare una prima distinzione tra i problemi interni, in cui la
regione Z è limitata, e i problemi esterni in cui la regione Z è tutto lo spazio, oppure è comunque
illimitata, poichè questi due problemi vanno esaminati separatamente.
Nel caso di problemi interni, il dominio Z è racchiuso da una, o più , superfici al finito,
che nel complesso costituiscono la frontiera di Z.
Per un problema esterno, invece, Z può avere varie tipologie:
• Z è tutto lo spazio
• Z è un semispazio (o un quadrante, o l’interno di un cono)
11
• Z è uno dei volumi dei punti preecedenti, da cui sono stati tolti uno o più domini
limitati.
La frontiera di Z in un problema esterno è quindi costituita da una porzione (di estensione angolare finita, eventualmente tutta) della sfera all’infinito1 , da una o più superfici (ma
anche nessuna) che terminano all’infinito (es, semipiani, superfici di un cono, etc.) e eventualmente da una o più superfici al finito.
Le condizioni sufficienti complete variano caso per caso, e verranno trattate nei paragrafi
successivi. L’unica condizione generale (che nel seguito chiameremo condizione al finito ) è
relativa alle superfici tutte al finito, sia che delimitino un problema interno, sia che siano una
parte eventuale della frontiera di Z in un problema esterno.
La condizione al finito è costruita nel modo seguente:
a) La parte di frontiera di Z costituita da superfici al finito è divisa (più precisamente
partizionata) in una o più zone;
b) Per ciascuna zona Zi viene assegnata una delle seguenti condizioni
1) il valore del campo elettrico tangente: Etan = E0i , con E0i noto e il pedice tan
che indica il componente di E tangente alla superficie;
2) il valore del campo magnetico tangente: Htan = H0i , con H0i noto;
3) una condizione di impedenza Etan − Zs Htan × in = Ezi con Ezi noto, Zs una
grandezza complessa (eventualmente variabile punto per punto di Zi ) con parte
reale non negativa ed in normale uscente dalla superficie;
4) una condizione di ammettenza Htan − Ys in × Etan = Hyi , duale di quella del
punto 3).
Tutte le condizioni 1–4) possono essere inomogenee o omogenee (ovvero le grandezze
note, e variabili punto per punto, E0i , H0i , . . ., possono essere diverse da zero oppure nulle.
Come detto prima, noi lavoreremo sul problema differenza, cercando condizioni che
garantiscono che l’unica soluzione di questo problema sia quella nulla. Se sul problema originario
imponiamo una qualunque delle condizioni 1–4), allora la soluzione del problema differenza deve
soddisfare esattamente la stessa condizione, ma sempre omogenea, essendo la differenza di due
condizioni uguali.
9 CONDIZIONI DI UNICITA’ NEL PROBLEMA INTERNO
Iniziamo a considerare i problemi interni.
Si ha unicità della soluzione se, oltre alla condizione al finito, esistono perdite all’ interno,
ovvero sulla frontiera di Z.
Quindi una soluzione (quella differenza) in assenza di sorgenti, con condizioni al finito
omogenee, è certamente nulla se vi sono perdite. In assenza di perdite, può essere nulla oppure
no (e quindi non abbiamo informazioni sulla unicità).
Per la dimostrazione, partiamo dal teorema di Poynting per il campo differenza E(r),
H(r) (26)
1
Si intende per sfera all’infinito una sfera di raggio grande a piacere.
12
I
ω
Sr · in dS +
2
S
Z
2
Z
ε2 |E| dV +
Z
Z
σ 2
1
|E| dV = − Re
2
2
Z
Z
E · J∗0 dV = 0
(27)
in cui S è la frontiera di Z e il secondo membro è nullo per l’assenza di sorgenti.
Per quanto riguarda il primo integrale, si ha
1
1
E × H∗ · in = Etan × H∗tan · in
2
2
in quanto contribuisce alla componente normale del vettore di Poynting solo la parte tangente
dei vettori di campo, per le proprietà del prodotto misto.
Nel caso delle condizioni 1 o 2 del paragrafo precedente, segue che
S · in =
S · in = 0
(28)
Se invece vale una condizione di impedenza, allora, sempre per le proprietà del prodotto
misto,
1 ∗
1
1
1
∗
Etan =
|Etan |2
S · in = Etan · Htan × in = Etan ·
∗
2
2
Zc
2Zc∗
da cui segue, essendo Re[Zc ] ≥ 0, che
1
Zc
2
Re [S · in ] = Re
|Etan | = Re
|Etan |2 ≥ 0
2Zc∗
2|Zc |2
(29)
Pertanto il primo integrale a primo membro della (27) è sempre maggiore o uguale a
zero. In particolare è maggiore di zero solo se assegnamo condizioni di impedenza con Zc a parte
reale positiva, altrimenti è sempre nullo.
Poichè anche gli altri integrali della (27) sono maggiori o uguali a zero, deve risultare
necessariamente
Z
Z
σ 2
ε2 |E|2 dV = 0
|E| dV = 0
(30)
Z 2
Z
e
I
Sr · in dS = 0
(31)
S
Se ci sono perdite interne al volume Z 2 , allora almeno una delle due costanti ε2 = Im[ε]
e σ è maggiore di zero. L’unico modo per cui il relativo integrale sia nullo, come richiesto da
(30), è che E ≡ 0 in tutto Z. Allora anche H ≡ 0 in tutto Z, essendo il rotore di un campo,
quello elettrico, identicamente nullo.
Il campo differenza è identicamente nullo, e c’è quindi l’unicità del problema di partenza.
Se non vi sono perdite interne, allora gli integrali della (30) sarebbero nulli anche se
il campo fosse diverso da zero (assenza di unicità) . Non si ha quindi, dalle (30) nessuna
informazione
2
La dimostrazione fatta richiede perdite in tutto il volume. Tuttavia basta che le perdite siano
presenti solo in una regione, purchè di volume maggiore di zero (ovvero non solo su di una
superficie). La dimostrazione di questo caso è però molto più complessa.
13
In assenza di perdite interne, comunuqe, l’unicità c’è se vi sono perdite sulle pareti,
ovvero se Re[Zc ] è strettamente maggiore di zero3 .
In tal caso, infatti, sostituendo (29) in (31)
Zc
Re
Sr · in dS =
|Etan |2 dS = 0
2|Zc |2
S
S
I
I
=⇒
Etan ≡ 0
su S
(32)
e dalla condizione di impedenza segue che anche Htan ≡ 0 su S.
Per dimostrare che in tal caso il campo interno è identicamente nullo, e quindi c’è
unicità, utilizziamo ancora il teorema di reciprocità tra il campo differenza E(r), H(r) ed il
campo ED (r), HD (r) prodotto da un dipolo elementare JD (r) = I∆z δ(r − rD ) iD posto in rD
interno a Z, e con iD qualunque. Possiamo anzi scegliere il campo del dipolo calcolato in spazio
libero, dato quindi dalle (3) (con r = |r − rD |).
Dal teorema di reciprocità segue
Z
I h
i
E(r) · JD (r) dV
E × HD − ED × H · in dS = −
Z
S
ovvero, per le proprietà degli integrali di flusso di dipendere solo dalle componenti tangenti del
campo
I h
S
i
Etan × HD − ED × Htan · in dS = −I∆z
Z
Z
E(r) · iD δ(r − rD ) dV
= −I∆z E(rD ) · iD
per le proprietà della delta di Dirac.
Nel nostro caso Etan ≡ 0 e Htan ≡ 0 su S. Quindi il primo membro e nullo e segue
E(rD ) · iD = 0
Per la arbitrarietà di rD e iD , segue che il campo elettrico ( e di conseguenza quello
magnetico) sono identiamente nulli dentro Z, e quindi si ha unicità.
Per concludere il discorso notiamo che se non vi sono perdite interne, nè perdite sulla
frontiera, allora non abbiamo informazioni sulla unicità. In tal caso, infatti, il campo differenza
può essere diverso da zero. Di conseguenza potrebbero esistere due (o più soluzioni) diverse
dello stesso problema.
Se la condizione al finito è del tipo 1) o 2) del paragrafo precedente, comunque, possiamo
caratterizzare meglio la non unicità. Infatti in tal caso per il campo differenza vale la (28)
I
I
Si · in dS = 0
Sr · in dS = 0 e
S · in = 0
=⇒
S
S
Quest’ultima relazione implica che, per il campo differenza, le energie elettriche e magnetiche sono uguali. Una tale soluzione viene detta risonante.
Pertanto, in assenza di sorgenti, e assegnando sulla frontiera solo componenti tangenti
dei campi, non vi è unicità, ma due soluzioni differiscono necessariamente per una soluzione
risonante.
3
Deve essere Re[Zc ] > 0 su tutta la frontiera di Z per la dimostrazione che segue. Tuttavia,
anche in questo caso basta che Re[Zc ] > 0 valga su di una parte, di area finita, della superficie,
con una dimostrazione che è però più complessa
14
10 CONDIZIONI DI UNICITA’ NEL PROBLEMA ESTERNO
Come abbiamo visto, le condizioni necessarie per l’unicità sono (quasi tutte) imposte
sulla frontiera di Z. Pertanto le differenze tra un problema esterno e un problema interno
dipendono, in primo luogo, dalla diversità di tale frontiera.
La frontiera di Z in un problema esterno può essere costituita da tre tipi distinti di
superfici
a) una porzione della superficie all’infinito (eventualmente tutta);
b) una o più superfici completamente al finito;
c) una o più superfici al finito che però si chiudono all’infinito.
Di esse, comunque, gli insiemi b) e c) possono essere anche vuoti.
Le condizioni che occorre imporre per avere l’unicità dipendono dalla superficie.
Sulla superficie all’infinito occorre imporre le condizioni di Sommerfeld (6).
Sulle eventuali superfici tutte al finito vanno imposte le stesse condizioni al finito usate
anche per il problema interno. Infine, sulle eventuali superfici di tipo c) vanno ancora imposte
le condizioni al finito, ma queste devono essere compatibili con le condizioni all’infinito.
In tali ipotesi, si ha unicità.
Se, ad esempio, ci interessa l’unicità in un semispazio, sul piano di delimitazione del
semispazio possiamo assegnare, ad esempio, la componente tangente del campo elettrico E0i .
Questo termine noto però ora non è più arbitrario, ma deve andare a zero almeno come r −1
(o r −2 , a seconda di quale componente consideriamo) andando verso l’infinito, in quanto le
condizioni di Sommerfeld prescrivono questo comportamento all’infinito. Se sul piano assumiamo
un sistema di riferimento polare R, φ, un E0i costante è inaccettabile, mentre sono accettabili
un E0i il cui modulo valga |E0i | = Kr −2 , con K costante, ovvero un E0i = K ′ r −1 iφ . E’ invece
inaccettabile un E0i = K ′ r −1 ir , perchè la componente radiale non può essere infinitesima solo
del primo ordine.
La dimostrazione è simile, salvo differenze tecniche, a quella del problema interno. La
condizione di Sommerfeld assicura che il flusso del vettore di Poynting sulla superficie all’infinito
si può scrivere come (vedi (32))
I
I
1
|Etan |2 dS
(33)
Re
S · in dS =
2ζ
S
S
ed è reale e non negativo. La (31) è ancora valida e segue che, su S, il campo elettrico, e di
conseguenza quello magnetico, è un infinitesimo di ordine 2 (maggiore di quello prescritto dalla
condizione di Sommerfeld). Ciò basta a garantire l’unicità.
Fisicamente, la condizione di Sommerfeld assicura che se il campo è diverso da zero,
allora manda potenza verso l’infinito. L’infinito si comporta quindi come pozzo di potenza e
quindi gioca il ruolo delle perdite nel garantire l’unicità.
15
11 TEOREMA DI EQUIVALENZA
Vedi file aggiuntivo IIIb
12 TEOREMA DELLE IMMAGINI
Vedi file aggiuntivo IIIc
16
APPENDICE 1: DISTRIBUZIONI TRIDIMENSIONALI
La distribuzione δ(t − t0 ) di Dirac rappresenta, nel caso monodimensionale, grandezze
che risultano concentrate in t0 . È ovviamente possibile, e utile, rappresentare, mediante enti
matematici analoghi, grandezze concentrate nello spazio a 3 dimensioni.
In particolare, per rappresentare una quantità concentrata in r − r 0 è possibile usare la
distribuzione δ tridimensionale
δ(r − r 0 )
che ha le dimensioni di m(−3) . In coordinate cartesiane, posto r = x, y, z e r 0 = x0 , y0 , z0 ,
vale la relazione
δ(r − r0 ) = δ(x − x0 ) · δ(y − y0 ) · δ(z − z0 )
in cui a secondo membro vi è il prodotto di δ monodimensionali.
Le proprietà più utilizzate di δ(r − r0 ) sono (analogamente al caso monodimensionale)
f (r)δ(r − r0 ) = f (r0 )δ(r − r0 )
Z
V
δ(r − r0 ) dV =

1

0
r0 ∈ V
/V
r0 ∈
Per la prima relazione occorre che f (r) sia continua in r0 . Nella seconda, qualora r 0 sia
sulla frontiera di V, va specificato se r0 appartiene o no al dominio di integrazione.
Anche su δ(r − r 0 ) si possono definire operazioni differenziali (sia derivate parziali semplici, sia tramite l’operatore ∇), e integrali, tra cui la trasformata di Fourier:
Z
δ(r − r 0 )e−jk·r dV = e−jk·r0
utilizzando le proprietà base della distribuzione δ.
Si può inoltre dimostrare 1 che
∇2
1
1
= −4π δ(r − r0 )
|r − r0 |
Tale relazione è in realtà già nota dalla elettrostatica, collegando il potenziale di una carica
puntiforme alla sua densità di carica, tramite l’equazione di Poisson
17
APPENDICE 2: POTENZIALI ELETTROMAGNETICI
Le onde piane sono soluzioni libere delle equazioni di Maxwell, ovvero sono campi elettromagnetici che possono esistere in tutto lo spazio anche in assenza di sorgenti. Tuttavia
interessano anche (e soprattutto) le soluzioni forzate, ovvero le soluzioni prodotte da correnti
elettriche (e magnetiche), in particolare da quelle impresse. Come abbiamo visto dal teorema
di Poynting, infatti, sono tali correnti che forniscono potenza al campo e, in definitiva, possono
produrlo.
Ci occuperemo principalmente del campo dovuto a correnti elettriche, rimandando a
più avanti quello dovuto a correnti magnetiche1 .
Consideriamo allora delle correnti elettriche (impresse o indotte) J in un mezzo equivalente al vuoto. Per semplicità considereremo anzi direttamente il vuoto, ma basterà introdurre
i valori di ε e µ per ottenere, se necessario, i risultati validi nel caso di altri mezzi.
Le equazioni di Maxwell da risolvere sono allora
∇ × E = −jωµ0 H
∇ × H = jωε0 E + J
∇ · ε0 E = ρ
∇ · µ0 H = 0
(34)
Possiamo esprimere la soluzione generale di tali equazioni in termini di potenziali elettromagnetici.
Infatti, dalla quarta equazione delle (34) segue l’esistenza di una funzione vettoriale
A(r) tale che
µ0 H = ∇ × A
(35)
Sostituendo poi nella prima segue
∇ × E = −jω∇ × A
∇ × (E + jωA) = 0
e quindi il vettore E + jωA è irrotazionale2 . Esiste quindi una funzione scalare φ(r) tale che
E + jωA = −∇φ
(36)
E = −jωA − ∇φ
1
∇×A
H=
µ0
(37)
Qualunque campo dovuto a sorgenti solo elettriche (eventualmente nulle) può quindi
essere espresso mediante i due potenziali A e φ, detti potenziale vettore e potenziale scalare.
Noti i potenziali, i campi si ottengono semplicemente per derivazione
1
Grazie alla sovrapposizione degli effetti, il campo di entrambe le correnti può essere calcolato
come somma del campo delle sole correnti elettriche e di quello delle sole correnti magnetiche
2
Questa relazione è più generale di quella elettrostatica (E è conservativo) e ad essa si riduce se
ω=0
18
Notiamo subito che, per un dato campo, esistono più coppie di potenziali possibili.
Siano A e φ una coppia di potenziali per un certo campo. Poichè il rotore di un gradiente è
nullo, allora anche
A′ = A + ∇ψ
fornisce lo stesso campo magnetico di A, qualunque sia la funzione scalare ψ(r). Per ottenere
lo stesso campo elettrico occorre modificare anche il potenziale vettore. Per ottenere che A′ e φ′ ,
essendo φ′ un potenziale scalare modificato, forniscano lo stesso campo elettrico dei potenziali
originari A e φ occorre imporre
−jωA − ∇φ = −jωA′ − ∇φ′ = −jω (A + ∇ψ) − ∇φ′
e risolvendo
∇φ′ = ∇φ − jω∇ψ
φ′ = φ − jωψ
Quindi tutte le coppie di potenziali possibili sono date da
A′ = A + ∇ψ
φ′ = φ − jωψ
(38)
al variare della funzione arbitraria ψ(r). Le (38) prendono il nome di trasformazioni di gauge, e
mostrano che, almeno nella fisica classica, solo i campi, e non anche i potenziali, hanno realtà
fisica. D’altra parte usare i potenziali fa guadagnare un grado di libertà (la scelta di ψ) che può
essere utile per semplificare la soluzione dei problemai elettromagnetici.
Per ricavare i potenziali, possiamo utilizzare le due equazioni di Maxwell inomogenee,
che non soso state ancora impiegate. Cominciamo a sostituire le (37) nella seconda delle (34).
Ricordando che la permeabilità magnetica µ0 è costante, e quindi può essere portata fuori
dall’operatore ∇, che è una derivata, si ha:
∇×
1
∇×A
µ0
= jωε0 (−jωA − ∇φ) + J
1
∇ × ∇ × A = ω 2 ε0 A − jωε0 ∇φ + J
µ0
∇ × ∇ × A = ω 2 ε0 µ0 A − jωε0 µ0 ∇φ + µ0 J
Ricordando che ∇ × ∇ × A = ∇∇ · A − ∇2 A, cambiando di segno e raccogliendo i
termini, si ottiene infine
∇2 A + β 2 A = ∇∇ · A + jωε0 µ0 ∇φ − µ0 J
h
i
= ∇ ∇ · A + jωε0 µ0 φ − µ0 J
(39)
p
essendo β = ω 2 ε0 µ0 la costante di propagazione dello spazio libero. Analogamente dalla terza
delle (34) segue
∇2 φ = −jω∇ · A −
19
ρ
ε0
(40)
Le (39,40) sono le equazioni per i potenziali, ma sono equazioni accoppiate. Poichè però
i potenziali possono essere variati secondo le (38) lasciando inalterati i campi (e le equazioni
(39,40), ovviamente nei nuovi potenziali), cerchiamo, se esiste una nuova coppia di potenziali
che conduce ad equazioni disaccoppiate. Una possibilità per disaccoppiare tali equazioni è di
cercare se esiste un ψ a cui corrispondono dei potenziali A′ e φ′ per cui l’espressione in parentesi
quadra della (39) si annulli.
Imponiamo allora che
∇ · A′ + jωε0 µ0 φ′ = 0
Usando le trasformazioni di gauge segue
∇ · A + ∇ · ∇ψ + jωε0 µ0 φ + jωε0 µ0 − jωψ = 0
∇ · A + ∇2 ψ + jωε0 µ0 φ + β 2 ψ = 0
Quest’ultima è la cercata equazione per ψ
∇2 ψ + β 2 ψ = −∇ · A − jωε0 µ0 φ
in cui a secondo membro c’è un termine noto. Poichè ψ fa variare i potenziali, ma non i campi,
esso non richiede alcuna condizione al contorno e quindi l’equaizone precedente ha sempre infinite
soluzioni. Pertanto esisterà sempre una coppia di potenziali3 A e φ per cui vale la gauge di
Lorentz
∇ · A + jωε0 µ0 φ = 0
(41)
Sostituendo la (41) nella (39), e ∇ · A, ricavato dalla (41), nella (40), si ottengono le
equazioni ai potenziali, nella gauge di Lorentz4
∇2 A + β 2 A = −µ0 J
(42)
ρ
∇2 ψ + β 2 ψ = −
ε0
Si noti che sia le tre componenti cartesiane di A, sia φ, soddisfano alle stesse equazioni.
Le (42) sono dette equazioni delle onde (o equazioni di Helmholtz ).
Le (42) sono equazioni disaccoppiate, e quindi più semplici da risolvere. Inoltre la
seconda delle (42) non è necessaria in quanto, noto A, il potenziale scalare φ può essere ottenuto
tramite derivate dalla gauge di Lorentz (41). Infatti in molti casi le relazioni tra campi e
potenziali sono espresse direttamente in termini della sola A
1
1
∇∇ · A = −jω A + 2 ∇∇ · A
E = −jωA +
jωε0 µ0
β
(43)
1
∇×A
H=
µ0
sostituendo φ dalla (41).
3
In realtà, per quanto detto prima, queste coppie sono infinite
4
In modo analogo si può dimostrare che esistono potenziali che soddisfano la gauge di Coulomb
∇ · A = 0, che conduce a equazioni parzialmente disaccoppiate, e, se ρ = 0, potenziali che
soddisfano alla gauge φ = 0
20
APPENDICE 3:
ELEMENTARE
POTENZIALE
VETTORE
DI
UN
DIPOLO
L’equazione d’onda (42) per il potenziale vettore di un dipolo elementare posto nell’origine può essere scritta come
∇2 A + β 2 A = −µ0 I∆z δ(r) iz
ed è una equazione inomogenea. Conviene cominciare a cercare una soluzione della equazione
completa, che dipenda direttamente da JD . Poichè l’operatore ∇2 è un operatore scalare,
esprimendo A in componenti cartesiane, segue
∇2 A = (∇2 Ax )ix + (∇2 Ay )iy + (∇2 Az )iz
e quindi esiste un integrale particolare che ha solo componente z. L’equazione d’onda diventa
quindi
∇2 Az + β 2 Az = −µ0 I∆z δ(r)
(44)
e avrà, per la simmetria del termine noto, una soluzione funzione solo di r = |r|. Tenendo conto
di questo, possiamo sviluppare il ∇2 ottenendo
1 d
2 dAz
r
+ β 2 Az = −µ0 I∆z δ(r)
(45)
r 2 dr
dr
Introduciamo una nuova incognita A0 , dipendente solo da r, definita da rAz = A0 .
Derivando quest’ultima si ha
dAz
dA0
dAz
dA0
=
=⇒
A0 + r 2
=r
dr
dr
dr
dr
Derivando ancora quest’ultima espressione segue
Az + r
dA0
d
d2 A0
dAz
dA0
+
+r
r2
=
dr
dr
dr
dr
dr 2
=⇒
d
dAz
d2 A0
r2
=r
dr
dr
dr 2
Sostituiamo nella (45)
ovvero
1 d2 A0
A0
= −µ0 I∆z δ(r)
r
+ β2
2
2
r
dr
r
1
r
d2 A0
2
+ β A0 = −µ0 I∆z δ(r)
dr 2
(46)
Per r 6= 0 la (46) è una equazione omogenea, ed ha come soluzione
ejβr
e−jβr
+C
(47)
r
r
I due termini della (47) sono due onde (confronta il paragrafo sulla propagazione di onde
piane) che viaggiano in direzione radiale, il primo verso r = +∞ e il secondo invece da r = +∞
verso r = 0. Quindi il primo termine è prodotto da sorgenti al finito, mentre il secondo può solo
A0 (r) = B e−jβr + C ejβr
=⇒
21
Az (r) = B
essere prodotto da sorgenti poste all’infinito. Poichè l’unica sorgente è posta in r = 0, occorre
prendere C = 0.
Il valore di B dipende invece dalla ampiezza del dipolo. Per calcolarlo sostituiamo Az (r)
nella equazione (44). Risulta
2
∇ Az = B∇
2
1 2 −jβr
1
−jβr
−jβr 2 1
+ 2∇e
·∇ +e
∇
=B ∇ e
r
r
r
r
1 2 −jβr
1
−jβr
−jβr
=B ∇ e
+ 2∇e
· ∇ − 4πe
δ(r)
r
r
−jβr 1
e
per le proprietà della delta spaziale di Dirac (vedi App. 1). Ovviamente, sempre per queste
proprietà, il termine esponenziale va calcolato in r = 0 e vale quindi 1. I primi due termini,
regolari, compensano β 2 Az e quindi segue, sostituendo nella (44),
−4Bπδ(r) = −µ0 I∆z δ(r)
=⇒
B=
µ0
I∆z
4π
(48)
Il potenziale vettore dipendente dal dipoloè quindi
e−jβr
µ0
I∆z
iz
(49)
4π
r
Nella (49), r è la distanza tra il punto campo, dove si richiede il potenziale vettore, e il
punto sorgente, dove è il dipolo (finora posto in r = 0). Se il dipolo è posto in rD , il potenziale
vettore è ancora dato da (49), ma r = |r − rD |.
A partire dalla (49), si può poi calcolare il campo per derivazione, usando le (43).
La (49) fornisce una ulteriore informazione importante: il potenziale vettore del dipolo è
allineato col dipolo stesso. Quindi il potenziale vettore, in un dato punto, è sempre proporzionale,
mediante una funzione scalare detta funzione di Green (o risposta impulsiva), all’ampiezza del
dipolo:
#
#
"
"
µ0 e−jβ|r−rD |
I∆z iz = g(|r − rD |) I∆z iz
A(r) =
4π |r − rD |
A(r) =
essendo
g(|r − rD |) =
la funzione di Green.
µ0 e−jβ|r−rD |
4π |r − rD |
22
APPENDICE 4: ANDAMENTO DEL CAMPO DI UN DIPOLO CORTO
Le normative italiane e internazionali impongono dei limiti al campo diffuso dell’ambiente, aprotezione della salute. Questi limiti1 riguardano tutte le grandezze di interesse, ovvero |E|,
|H| e |S|. Questi limiti sono da verificare normalmente in campo vicino o intermedio (in campo
lontano sono in genere largamente verificati), e poiché molte sorgenti, specie a bassa frequenza,
sono modellabili come un dipolo (elementare o corto), allora conviene vedere piú da vicino
l’andamento del campo vicino di un dipolo 2 .
I campi del dipolo sono dati dalle equazioni (3). Conviene peró esprimere tali campi in
funzione della potenza irradiata (un parametro usabile anche per dipoli elementari e, soprattutto,
per sorgenti approssimabili con dipoli. Dalla (18) segue
Pi =
4π ζ|I|2 ℓ2
3
4λ2
e quindi i campi possono essere espressi come
#
2
2
2 "
1
1
1
ζ |I|ℓ
1
2
2
|E| =
jβr + (jβr)2 4 cos θ + 1 + jβr + (jβr)2 sin θ
2λ r
)
" (" 2 4 #
2 #
2
1
1
1
1
3ζ Pi
sin2 θ
4 cos2 θ +
+
+ 1− 2 2
=
4π r 2
βr
βr
βr
β r
2
2 |I|ℓ
1 2
2
|H| =
1 + jβr sin θ
2λ r
2 #
"
3 Pi
1
=
1+
sin2 θ
2
4πζ r
βr
2
(50)
Moltiplichiamo e dividiamo per β 2 e poniamo X = 1/(βr)2 , in modo da avere una distanza normalizzata. Segue allora
n
i
o
h
3ζ Pi
|E| =
β 2 X X + X 2 4 cos2 θ + X + (1 − X)2 sin2 θ
4π
3ζ Pi
β 2 X 3 4 cos2 θ + sin2 θ + X 2 4 cos2 θ − sin2 θ + X sin2 θ
=
4π
3 Pi
3
Pi
2
2
2
β X [1 + X] sin θ =
β 2 [X 2 + X] sin2 θ
|H| =
4πζ
4πζ
2
(51)
1
Nella lettura dei testi normativi va ricordato che i limiti sono sempre riferiti al valore efficace
elle grandezze elettriche, anche a radiofrequenza. Questa convenzione é, per la RF, utilizzata
solo in questo caso. Pertanto, in questo paragrafo, supporremo di aver tradotto i limiti di legge
in limiti sul campo massimo.
2
In realtá vi sono anche molte sorgenti modellabili come un dipolo magnetico, i cui campi hanno
lo stesso andamento.
23
Fissata la direzione θ, |H|2 é chiaramente una funzione crescente di X, ovvero il campo
magnetico si riduce di ampiezza al crescere di r. Analogo comportamento ha |E|2 , anche se la
analisi é piú complessa3 .
Allo stesso modo é immediato vedere che, fissato X (ovvero r), |H|2 é una funzione
crescente di θ ∈ (0, π/2). Per quanto riguarda invece |E|2 , fissato X, la derivata della prima delle
(51) rispetto a θ vale
i
o
n h
3ζ Pi
∂
2
|E| =
β 2 X −4 X + X 2 2 cos θ sin θ + X + (1 − X)2 2 sin θ cos θ
∂θ
4π
3ζ Pi
β 2 X −3X 2 − 5X + 1 2 sin θ cos θ
=
4π
(52)
Questa derivata si annulla, oltre che per X = 0, anche nell’unico zero positivo di −3X 2 −
5X + 1, ovvero in X = 0.18. Si trova che per X > 0.18 (corrispondente a r < 0.375 λ) la derivata
(52) é negativa, ovvero |E|2 é decrescente per θ ∈ (0, π/2) ed ha il massimo in θ = 0. Invece per
X < 0.18, (corrispondente a r > 0.375 λ) il modulo del campo elettrico é crescente ed ha un
massimo in θ = π/2.
Queste considerazioni ci aiutano a trovare la distanza minima RE oltre la quale possiamo
garantire che il campo elettrico é minore di un valore limite EL . RE é quindi definito come il
piú piccolo rE tale che
|E(r > rE )| ≤ EL
∀ θ, φ
(53)
Poiché il campo elettrico é decrescente con r, la (53) é equivalente a
max |E(RE )| = EL
(54)
θ
in cui il massimo é calcolato sull’intervllo di interesse.
La (54) é una equazione di terzo grado. Per discuterne la soluzione conviene per prima
cosa riscriverla come

3
X 4 cos2 θ + sin2 θ + X 2 4 cos2 θ − sin2 θ + X sin2 θ =  h
3
EL
i
3ζ Pi
4π
β2
2
 = e2L
(55)
Se calcoliamo la derivata di |E|2 rispetto a X, fissato θ, si ha
h
3ζ Pi
4π
i
β2
3X 2 4 cos2 θ + sin2 θ + 2X 4 cos2 θ − sin2 θ + sin2 θ
Questa derivata puó avere radici reali positive solo se il secondo coefficiente é negativo (Teorema
di Cartesio), ovvero per sin2 θ > 0.8, ma allora il suo discriminante
4 cos2 θ − sin2 θ
2
− 3 4 cos2 θ + sin2 θ sin2 θ = 4 − 5 sin2 θ
2
− 3 4 − 3 sin2 θ sin2 θ =
25 sin4 θ − 40 sin2 θ + 16 − 12 sin2 θ + 9 sin4 θ = 34 sin4 θ − 52 sin2 θ + 16
é negativo e le radici sono complesse.
24
In particolare, in campo vicino (βr ≪ 1 ovvero X ≫ 1) possiamo usare le espressioni
(7) per i campi. Questo equivale a sostituire alla (55) la
X 3 4 cos2 θ + sin2 θ = X 3 3 cos2 θ + 1 = e2L
(56)
per la quale la equazione (54) é di soluzione immediata.
In Fig. 1 é riportato l’errore relativo su X dovuto all’uso della (56) al posto della
equazione corretta (55). Si vede che per eL > 30, la (56) fornisce un errore inferiore al 5%. Se
si accetta un errore del 10%, allora la (56) é utilizzabile per eL > 10.
25
o
θ=0o
θ=30o
θ=60
o
θ=90
errore su RE [%]
20
15
10
5
0
-5
-10
1
10
100
eL
Fig. 1: Errore relativo nell’uso della (56).
In maniera analoga, se X é abbastanza piccolo (quindi in campo lontano, ma non solo),
possiamo sostituire la (55) con
2
X 4 cos2 θ − sin2 θ + X sin2 θ = e2L
(57)
3
eliminando il termine con X e ottenendo quindi una equazione di secondo grado.
20
o
errore su RE [%]
θ=0o
θ=30o
θ=60o
15 θ=90
10
5
0
-5
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
eL
0.35
0.4
0.45
0.5
Fig. 2: Errore relativo nell’uso della (57).
In Fig. 2 é riportato l’errore relativo su X dovuto all’uso della (57) al posto della
equazione corretta (55). Si vede che per eL < 0.2, la (57) fornisce un errore inferiore al 5%. Se
si accetta un errore del 10%, allora la (57) é utilizzabile per eL < 0.4.
25
Per valori di eL intermedi occorre risolvere l’equazione completa (55). In Fig. 3 é
riportata la soluzione di tale equazione per alcuni valori di θ. Per gli altri valori é comunque
possibile interpolare.
X
θ=0o
θ=30o
o
θ=60
1 θ=90o
0.1
0.01
0.1
1
eL
θ=0o
θ=30o
θ=60o
o
12 θ=90
14
X
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
eL
Fig. 3: Soluzione della (55).
Discorso simile, ma molto piú semplice, vale per il campo magnetico. La distanza
minima RH oltre la quale possiamo garantire che il campo magnetico é minore di un valore
limite HL si trova risolvendo l’equazione di secondo grado
3 Pi
β 2 [X 2 + X] = HL2
(58)
4πζ
Per quanto riguarda invece la densità di potenza, poichè il relativo limite è pari a
(EL HL )/2, questo è sempre rispettato, se lo sono quelli sui campi elettrico e magnetico. Infatti
si ha
|S| =
1
1
1
|E × H∗ | ≤ |E| |H| ≤ EL HL
2
2
2
26
INDICE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
App. 1.
App. 2.
App. 3.
App. 4.
DIPOLO ELEMENTARE . . . . . . . . . . . . . . .
CAMPO DI UN DIPOLO ELEMENTARE
. . . . . . .
DIPOLO CORTO
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
POTENZA IRRADIATA DA UN DIPOLO
. . . . . . .
TEOREMA DI RECIPROCITÀ . . . . . . . . . . . .
ESISTENZA E UNICITA’ . . . . . . . . . . . . . . .
IL SIGNIFICATO DELL’UNICITA’
. . . . . . . . . .
UNICITA’ NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA . . . .
CONDIZIONI DI UNICITA’ NEL PROBLEMA INTERNO
CONDIZIONI DI UNICITA’ NEL PROBLEMA ESTERNO
TEOREMA DI EQUIVALENZA . . . . . . . . . . . .
TEOREMA DELLE IMMAGINI . . . . . . . . . . . .
DISTRIBUZIONI TRIDIMENSIONALI . . . . . . . . .
POTENZIALI ELETTROMAGNETICI . . . . . . . . .
POTENZIALE VETTORE DI UN DIPOLO ELEMENTARE
ANDAMENTO DEL CAMPO DI UN DIPOLO CORTO
.
27
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. 1
. 2
. 4
. 6
. 9
. 9
. 9
11
12
14
16
16
17
17
20
23