GEOMETRIA 1 - Corso di Geometria 1 (prima parte)

GEOMETRIA 1
Corso di Geometria 1 (prima parte)
Maria Dedò e Cristina Turrini
2010/2011
Maria Dedò e Cristina Turrini (2010/2011)
GEOMETRIA 1
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Vettori
index
1
Vettori
2
Retta, piano e spazio affini
3
Retta e piano proiettivi
4
Rappresentazione degli enti geometrici lineari
5
Questioni metriche
6
Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
7
Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
8
Geometria proiettiva
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Vettori
Richiami: vettori geometrici
Un vettore applicato v, (sulla retta, o nel piano, o nello spazio) è un segmento
orientato. Se il segmento orientato è di estremi A e B ed il verso è da A verso
−
→
B, si scrive anche v = AB, oppure v = B − A.
A viene detto punto di applicazione o punto di partenza, mentre B viene detto
punto di arrivo
A
−
→
AB -B
−
→
La retta di applicazione di AB è la retta per A e B
−
→
Il verso di AB è uno dei due possibili orientamenti per la retta per A e B.
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Vettori
−
→
Tra i vettori applicati vanno anche considerati i vettori nulli v = AA, di
estremi coincidenti.
Nell’insieme dei vettori applicati si può considerare la seguente relazione di
−
→ −→
equivalenza: i vettori AB e CD si dicono equipollenti se
1 sono entrambe nulli (ovvero A = B e C = D), oppure
2 hanno la stessa retta di applicazione, la stessa lunghezza (rispetto ad
un’unità di misura prefissata) e lo stesso verso, oppure
3 ABDC, (in quest’ordine!) è un parallelogrammo di cui AB e CD sono lati
opposti .
B
D
7
p
A
7
p
C
−
→ −→
OSSERVAZIONE - Se AB e CD sono due vettori equipollenti come in figura,
ABCD, in quest’ordine, non è un parallelogrammo.
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Vettori
ESERCIZIO: verificare che la relazione di equipollenza è una relazione di
equivalenza.
Le classi di equivalenza di vettori applicati vengono dette vettori, o vettori
−
→
liberi. Si scrive anche v = [AB], per denotare il vettore libero v rappresentato
−
→
dal vettore applicato AB.
Si può parlare di direzione e verso di un vettore libero. La direzione di un
vettore libero è la classe di equivalenza per parallelismo individuata dalla retta
di applicazione di uno dei suoi rappresentanti.
−
→
Il vettore libero [AA] viene denotato con 0 e detto vettore nullo o vettore zero.
Non si parla di direzione e verso per il vettore nullo.
OSSERVAZIONE - Dati un vettore libero v ed un punto P (della retta, o del
piano, o dello spazio) esiste un unico (punto Q e quindi un unico) vettore
−→
−→
−→
applicato PQ tale che v = [PQ], (si dice che PQ è ottenuto applicando v in P).
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Vettori
Tra i vettori liberi considereremo le seguenti operazioni.
SOMMA DI VETTORI
−
→
−→
La somma u + v del vettore u = [AB] e del vettore v = [CD] è il vettore libero
−→
u + v = [AQ], dove Q è il punto di arrivo del vettore che si ottiene applicando
v in B.
D
Q
7
7
u
p
-
p
A
v
C
B
regola del parallelogrammo
OSSERVAZIONE - La definizione di somma è ben posta (indipendente dai
rappresentanti).
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Vettori
PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UN VETTORE
−
→
Il prodotto λv del numero reale λ (detto scalare) per il vettore v = [AB] è il
−→
vettore libero λv = [AQ], dove,
−→
se λ 6= 0, allora AQ è il vettore che ha la stessa direzione di v, verso uguale o
opposto a quello di v a seconda che λ sia positivo o negativo ed inoltre tale
−→
−
→
che il rapporto tra la misura del segmento AQ e quella del segmento AB
(rispetto ad una fissata unità di misura) sia | λ |;
−→
se λ = 0, allora AQ è il vettore nullo (ovvero A = Q).
Q
λ=2 7
B
7
p
A
p
p
A A
λ = −2
/
Q
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Vettori
OSSERVAZIONE - La definizione di prodotto di uno scalare per un vettore è
ben posta.
PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI
∀u, v, w (vettori liberi) e ∀λ, µ (numeri reali) si ha
1
2
3
4
5
6
7
8
(proprietà commutativa) u + v = v + u
(proprietà associativa) u + (v + w) = (v + u) + w
(esistenza dell’elemento neutro) v + 0 = v
(esistenza dell’opposto di un qualsiasi dato vettore a) ∃b tale che
a+b=0
λ(u + v) = λu + λv
(λ + µ)v = λv + µv
(λµ)v = λ(µv)
1v = v.
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Vettori
Dipendenza e indipendenza lineare
Dati h vettori v1 , . . . , vh ed h scalari α1 , . . . , αh , si dice combinazione lineare
di v1 , . . . , vh con coefficienti α1 , . . . , αh , il vettore v così ottenuto:
v = α1 v1 + α2 v2 · · · + αh vh =
h
X
αi vi .
i=1
Consideriamo un insieme di vettori S = {v1 , . . . , vn }.
Se n > 1, si dice che S è linearmente dipendente (o equivalentemente si dice
che i vettori v1 , . . . , vn sono linearmente dipendenti) se almeno uno dei
vettori vi può essere scritto come combinazione lineare degli altri, ovvero se
(a meno di ordinare i vettori) esistono scalari β1 , . . . βn−1 tali che si abbia
P
vn = n−1
i=1 βi vi .
Linearmente indipendente significa "non linearmente dipendente".
Se n = 1, si dice che S = {v1 } è linearmente dipendente se v1 = 0,
linearmente indipendente se v1 6= 0, cioè un vettore è linearmente dipendente
se e solo se è il vettore nullo.
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Vettori
ESERCIZIO: Dare un esempio di 3 vettori v1 , v2 , v3 linearmente dipendenti,
ma tali che v3 non sia combinazione lineare di v1 e v2 .
−→
−→
−→
ESERCIZIO: Dati tre vettori indipendenti u = [OX], v = [OY] e w = [OZ], si
−→
stabilisca qual è la posizione del punto P tale che u + v + w = [OP].
ESERCIZIO: Dimostrare che
due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se, una volta applicati
nello stesso punto, risultano allineati
tre vettori nel piano sono sempre linearmente dipendenti
tre vettori nello spazio sono linearmente dipendenti se e solo se, una
volta applicati nello stesso punto, risultano complanari
quattro vettori (nel piano o nello spazio) sono sempre linearmente
dipendenti.
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Retta, piano e spazio affini
index
1
Vettori
2
Retta, piano e spazio affini
3
Retta e piano proiettivi
4
Rappresentazione degli enti geometrici lineari
5
Questioni metriche
6
Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
7
Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
8
Geometria proiettiva
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Retta, piano e spazio affini
Richiami: sistemi di riferimento nella retta e nel piano
Consideriamo una retta orientata r e un segmento U da assumersi come unità
−
→
di misura. Sia poi dato su r un segmento orientato AB.
U
−
→
AB
A
rB
−
→
Si dice misura con segno del segmento orientato AB il numero reale il cui
−
→
−
→
valore assoluto è la misura di AB rispetto a U e il cui segno è “+” se AB è
−
→
orientato concordemente al verso di r, “−” se AB è discorde col verso di r.
−
→
Per convenzione, indichiamo con AB la misura con segno di AB.
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Retta, piano e spazio affini
Proprietà della misura con segno (identità segmentarie fondamentali):
1 AB + BA = 0 ∀A, B ∈ r
2 AB + BC + CA = 0 ∀A, B, C ∈ r
La prima identità segue dalla definizione. Per la seconda identità, assumiamo
che A preceda C e C preceda B. Abbiamo |AB| = |AC| + |CB|, che, a causa
dell’ordine assunto, vuol dire AB = AC + CB. Quindi AB − AC − CB = 0,
ovvero AB + CA + BC = 0. Il ragionamento è analogo per gli altri possibili
ordinamenti di A, B e C.
rA
C
B
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Retta, piano e spazio affini
Un sistema di riferimento cartesiano su una retta r è una terna
R = {O, verso, U}, dove O ∈ r è un punto detto origine del riferimento), il
verso è uno dei due possibili su r, e U è un segmento (unità di misura):
Oq
Xq
U
r-
R permette di istituire una corrispondenza biunivoca fra r e l’insieme R dei
numeri reali:
r → R
X 7→ x = OX
Il numero reale x viene detto ascissa di X. Per dire che il punto X ha ascissa x
si scrive anche X ≡ (x).
Una retta r dotata di un sistema di riferimento R = {O, verso, U} viene anche
detta retta affine e indicata con A1 = (r, R).
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Retta, piano e spazio affini
r0Q
k
0
Q QU
QQ
Q
Q
Q
3r
U Q Q
O Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Un sistema di riferimento R su un piano π è dato da:
due rette incidenti che si intersecano in un punto O detto origine del
piano;
un’orientazione su ciascuna delle due rette;
un’unità di misura su ciascuna delle due rette.
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Retta, piano e spazio affini
(π, R riferimento) = A2 piano affine
asse y
P
Y
O
asse x
X
-
Fissato un qualunque punto P, si manda per P la retta parallela all’asse x che
taglia l’asse y in Y e retta parallela all’asse y che taglia l’asse x in X.
È possibile così instaurare una corrispondenza biunivoca:
A2 → R2 = R × R
x = OX (ascissa di P),
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P 7→ (x, y)
y = OY (ordinata di P)
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Retta, piano e spazio affini
Lo spazio affine A3
Un sistema di riferimento R nello spazio è costituito da
3 rette, non complanari, passanti tutte e tre per un punto O che verrà
detto origine del riferimento;
un’orientazione su ciascuna retta;
un’unità di misura su ciascuna retta.
III
O
- II
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Retta, piano e spazio affini
(Spazio, R) = A3 spazio
affine
Un sistema di riferimento R permette di istituire una corrispondenza
biunivoca:
A3 → R3 ,
nel seguente modo.
Dato un punto P, si considerino: il piano per P parallelo al piano(x, y), che
interseca l’asse z in Z; il piano per P parallelo al piano(x, z), che interseca
l’asse y in Y; il piano per P parallelo al piano(y, z), che interseca l’asse x in X.
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Retta, piano e spazio affini
q P
O
q
X
asse x
La corrispondenza sopra citata associa a P la terna di numeri reali (x, y, z),
dove
x = OX (ascissa di P)
y = OY (ordinata di P)
z = OZ (quota di P)
(x, y, z) vengono dette coordinate di P e si scrive P ≡ (x, y, z).
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Retta, piano e spazio affini
Componenti di un vettore in A3
Consideriamo lo spazio affine A3 , in cui si è fissato un sistema di riferimento
−
→
−→
R ed un vettore v = [AB] = [OP]. Con le notazioni introdotte in precedenza si
−→ −→ −→ −→
ha: OP = OX + OY + OZ.
Le coordinate (x, y, z) = (OX, OY, OZ) di P vengono anche dette componenti
del vettore v nel sistema di riferimento R.
Posto A ≡ (xA , yA , yA ) e B ≡ (xB , yB , zB ), si ha
(x, y, z) = (xB − xA , yB − yA , zB − zA ).
−
→
Pertanto le componenti del vettore v = [AB] nel riferimento R sono
(xB − xA , yB − yA , zB − zA ).
−
→
−→
OSSERVAZIONE - Due vettori non nulli u = [AB] e v = [CD] sono
−
→ −→
linearmente dipendenti (ovvero AB e CD sono paralleli) se e solo se hanno
componenti proporzionali , ovvero se e solo se esiste un numero reale λ tale
che sia (xB − xA , yB − yA , zB − zA ) = λ(xD − xC , yD − yC , zD − zC ) (dimostrarlo
per ESERCIZIO: un ingrediente fondamentale è il teorema di Talete).
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Retta e piano proiettivi
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1
Vettori
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Retta, piano e spazio affini
3
Retta e piano proiettivi
4
Rappresentazione degli enti geometrici lineari
5
Questioni metriche
6
Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
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8
Geometria proiettiva
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Retta e piano proiettivi
La retta proiettiva
Consideriamo il piano R2 , con coordinate (x0 , x1 ), e poniamo
X = R2 \ {0, 0}.
Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza:
Si dice che
(x0 , x1 ), (y0 , y1 ) ∈ X sono
equivalenti, e si scrive
(x0 , x1 ) ∼ (y0 , y1 ) , se
∃λ ∈ (R \ {0}) tale che sia
(y0 , y1 ) = λ(x0 , x1 ), ovvero
y0 = λx0 e y1 = λx1 .
√
√
Quindi, ad esempio, (1, 3) ∼ (1/5, 3/5) e (2, 3) ∼ (−2 2, −3 2).
Esercizio: verificare che ∼ è una relazione di equivalenza.
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Retta e piano proiettivi
L’insieme quoziente
Se x0 6= 0, (x0 , x1 ) ∼ (y0 , y1 ) vuol dire x1 /x0 = y1 /y0 .
Se x0 = 0, (0, x1 ) ∼ (0, y1 ) ∀x1 , y1 6= 0.
Dunque la relazione ∼ identifica tra loro tutti i punti (diversi dall’origine) che
appartengono ad una stessa retta per l’origine.
Sia (x0 , x1 ) ∈ X; si denota con [(x0 , x1 )], o anche con (x0 : x1 ), la classe di
equivalenza di (x0 , x1 ), pertanto
[(x0 , x1 )] = (x0 : x1 ) = {(y0 , y1 ) ∈ X | (y0 , y1 ) ∼ (x0 , x1 )}
è una retta per l’origine (privata dell’origine) e l’insieme quoziente, ovvero
l’insieme delle classi di equivalenza, X/∼ = {(x0 : x1 )} rappresenta l’insieme
di tutte e sole le rette per l’origine, ovvero il fascio di rette per l’origine
(ciascuna privata dell’origine).
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Retta e piano proiettivi
Le coordinate omogenee sulla retta
X/∼ viene detto retta proiettiva e indicato con P1 .
Sia l una retta per l’origine e sia
(x0 : x1 ) = l \(0, 0).
Se (a0 , a1 ) ∈ l \(0, 0), (a0 , a1 ) viene
detta una coppia di coordinate omogenee
di l.
Le coordinate omogenee non sono mai
contemporaneamente nulle e sono
definite a meno di un fattore di
proporzionalità λ ∈ (R \ {0}) .
1
(a0 : a1 ) viene detto punto di P .
P1 ←→ fascio di rette per (0, 0) nel piano
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Retta e piano proiettivi
La retta proiettiva come ampliamento della retta affine
Fissiamo la retta r di equazione
x0 = 1.
∀ l 3 (0, 0) (diversa dall’asse
x1 ), l taglia la retta r nel punto di
coordinate (1, a1 /a0 ), dove
(a0 , a1 ) è un punto di l \(0, 0).
Si è così definita una corrispondenza biunivoca
fascio \ { asse x1 } −→ r
l 7−→ (1, a1 /a0 )
ovvero, ricordando che l’asse x1 ha coordinate omogenee (0, 1),
P1 \ {(0, 1)} −→ A1
(a0 : a1 ) 7−→ a1 /a0
(1 : a) ←− a
(a0 , a1 ) coordinate omogenee, a coordinata affine
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Retta e piano proiettivi
1
P come quoziente e come ampliamento
Quando la retta l del fascio "tende" all’asse x1 , il punto (a0 : a1 ) "tende" a
(0 : 1) e il rapporto a1 /a0 −→ ∞. Possiamo allora, in qualche senso,
interpretare P1 come A1 ∪ {∞}.
Quindi, da una parte P1 è un quoziente del piano bucato (R2 \ {(0, 0)})/ ∼ e
dall’altra è un ampliamento della retta affine, ovvero A1 ∪ {∞}.
Più esplicitamente osserviamo che la corrispondenza biunivoca
P1 \ {(0, 1)} −→ A1
(a0 : a1 ) 7−→ a1 /a0
si estende a una corrispondenza biunivoca
P1 −→ A1 ∪ {∞}

a1 /a0 se a0 6= 0
(a0 : a1 ) −→

∞
se a0 = 0
che si inverte così a 7−→ (1 : a), se a 6= ∞, e ∞ 7−→ (0 : 1).
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Retta e piano proiettivi
Modello intuitivo di P1
Un modello di P1 , che per ora resta a livello intuitivo e verrà reso rigoroso con
l’introduzione della topologia, è la circonferenza.
Consideriamo la circonferenza γ e la retta r in figura. Per proiezione da N si
instaura una corrispondenza biunivoca γ \ {N} −→ r = A1
P 7−→< NP > ∩r, ove < NP > denota la retta per N e P.
che si può estendere a una corrispondenza biunivoca γ −→ P1 ponendo
N ←→ ∞. Punti che si "avvicinano" a N si proiettano su punti che "vanno
all’infinito"
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Retta e piano proiettivi
Alcune "asimmetrie" del piano affine
Nel piano affine A2 , si hanno le seguenti proprietà di incidenza.
1 ∀ P, Q ∈ A2 , con P e Q punti distinti tra loro, ∃! retta l ⊂ A2 tale
che P, Q ∈ l
2 ∀ l, l0 ⊂ A2 , con l ed l0 rette distinte tra loro, e non parallele tra loro,
∃! punto P ∈ A2 tale che P ∈ l ∩ l0 .
Nel piano affine A2 si hanno due diversi tipi di fasci di rette.
I fasci propri, le cui rette sono parametrizzate da R ∪ {∞}.
Ad esempio, le rette del fascio per P0 ≡ (1, 3) non parallele all’asse y,
hanno equazioni della forma y − 3 = m(x − 1), con m ∈ R.
La retta del fascio parallela all’asse y ha equazione x = 1 e si ottiene per
m → ∞.
I fasci impropri, le cui rette sono parametrizzate da R.
Ad esempio, le rette parallele alla retta di equazione y = 5x sono tutte e
sole quelle di equazione y = 5x + q, con q ∈ R.
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Retta e piano proiettivi
Il piano esteso
Per eliminare queste "asimmetrie" si introducono nuovi "punti"
rappresentativi delle direzioni delle rette del piano. Questi nuovi punti
verranno detti punti impropri o punti all’infinito (e gli usuali punti del piano
A2 si diranno allora punti propri o al finito).
Si dice allora piano esteso o piano ampliato l’insieme
A2 = A2 ∪ { direzioni delle rette di A2 }.
Se l è una retta di A2 , si denota con P∞ (l) o con dir(l) la direzione di l,
ovvero il punto improprio di l.
l ed l0 sono parallele (l k l0 ) se e solo se P∞ (l) = P∞ (l0 ).
Indichiamo con P, Q, . . . i punti di A2 .
P può essere un punto proprio (P = P ∈ A2 ), oppure una direzione
(P = P∞ (l)).
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Retta e piano proiettivi
I nuovi assiomi
Nel piano ampliato A2 si chiamano ancora rette i sottoinsiemi l = l ∪ P∞ (l)
ove l è una retta di A2 .
Vediamo se con queste nuove nozioni di punto e di retta si è ristabilita la
simmetria tra gli assiomi 1 e 2, ovvero vediamo se valgono gli assiomi
seguenti.
10
20
∀ P, Q ∈ A2 , con P 6= Q, ∃! retta l
∀
l, l0
⊂
A2 ,
con l 6=
l0 ,
tale che P, Q ∈ l
∃! punto P tale che P ∈ l ∩ l0 .
Per verificare la 10 dobbiamo distinguere tre casi.
P, Q propri
P proprio e Q improprio (o viceversa)
P, Q impropri
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Retta e piano proiettivi
La retta impropria
Nel caso P = P, Q = Q entrambe propri, l’unica retta per P e Q è la retta
l, con l 3 P, Q.
Nel caso P = P proprio e Q = P∞ (r) improprio, l’unica retta per P e Q
è la retta l, con l passante per P e parallela a r.
Nel caso P = P∞ (r), Q = P∞ (s) entrambe impropri non vi è nessuna
retta l per P e Q (una tale l sarebbe infatti una retta con due direzioni).
Per soddisfare la proprietà occorre che esista un’altra retta in A2 . Questa
nuova retta er non dovrà contenere alcun punto proprio (altrimenti per
quel punto passerebbe una retta con due direzioni diverse), inoltre er
dovrà contenere tutti i punti impropri (consideriamo infatti un punto
improprio P∞ (s), se si vuole che anche la proprietà 20 sia soddisfatta,
s ∩ er deve essere un punto che non può essere proprio, e pertanto è
l’unico punto improprio di s, ovvero P∞ (s).
In conclusione è necessario definire retta anche l’insieme er = r∞ di tutti
e soli i punti impropri. Tale retta viene detta retta impropria.
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Retta e piano proiettivi
Rette e punti nel piano esteso
Con l’introduzione della retta impropria tra le rette del piano esteso, sia
l’assioma 10 che l’assioma 20 sono soddisfatti.
Anche i fasci di rette nel piano esteso si comportano in modo "simmetrico".
Infatti anche i fasci impropri (che contengono in più la retta impropria) si
possono caratterizzare come insieme di tutte e sole le rette che passano per un
punto (che in questo caso sarà un punto improprio).
Riassumendo, in A2 :

propri
punti =

impropri

rette del piano affine completate con il punto improprio
rette =

retta impropria = insieme dei punti impropri
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Retta e piano proiettivi
La relazione di equivalenza
Sia
X = R3 \ {0, 0, 0}.
Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza:
Si dice che
(x0 , x1 , x2 ), (y0 , y1 , y2 ) ∈ X
sono equivalenti (e si scrive
(x0 , x1 , x2 ) ∼ (y0 , y1 , y2 )), se
∃ λ ∈ (R \ {0}) tale che sia
(y0 , y1 , y2 ) = λ(x0 , x1 , y2 ),
ovvero
y0 = λx0 , y1 = λx1 e
y2 = λx2 .
Punti equivalenti sono
allineati con l’origine.
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Retta e piano proiettivi
L’insieme quoziente
Sia (x0 , x1 , x2 ) ∈ X; si denota con (x0 : x1 : x2 ), la classe di equivalenza di
(x0 , x1 , x2 ), pertanto (x0 : x1 : x2 ) rappresenta una retta per l’origine, privata
dell’origine.
L’insieme quoziente, ovvero l’insieme delle classi di equivalenza,
X/∼ = {(x0 : x1 : x2 )} rappresenta l’insieme di tutte e sole le rette per
l’origine, ovvero la stella di rette per l’origine (ciascuna privata dell’origine).
X/∼ viene detto piano proiettivo e indicato con P2 .
Le classi (x0 : x1 : x2 ) vengono dette punti di P2 .
(x0 , x1 , x2 ) vengono dette coordinate omogenee del punto P = (x0 : x1 : x2 ).
Le coordinate omogenee non sono mai tutte e tre nulle e sono definite a meno
di un fattore di proporzionalità.
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Retta e piano proiettivi
La carta affine U0
Consideriamo ora il sottoinsieme U0 = {(x0 : x1 : x2 ) ∈ P2 : x0 6= 0} ⊆ P2 .
U0 è ben definito poiché se (x0 , x1 , x2 ) ∼ (x00 , x10 , x20 ), è x0 6= 0 ⇔ x00 6= 0.
U0 viene detto carta affine di P2 .
U0 è in corrispondenza biunivoca con A2 :
U0 → A 2 ,
(x0 : x1 : x2 ) 7→ (
x1 x2
, ).
x0 x0
L’applicazione è ben definita, poiché, se (x0 , x1 , x2 ) ∼ (x00 , x10 , x20 ) e x0 6= 0, è
x10
x00
x0
= xx10 e x20 = xx20 .
0
La corrispondenza si inverte così
U0 ← A2 ,
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(1 : x : y) (x, y).
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Retta e piano proiettivi
Coordinate omogenee nel piano
Identifichiamo ora A2 con U0 , otterremo un’identificazione del piano esteso
A2 con P2 .
Dato un punto P ∈ U0 = A2 di coordinate omogenee (x0 , x1 , x2 ), i numeri
x = xx10 , y = xx02 vengono detti coordinate affini del punto P.
Un punto P = (x0 : x1 : x2 ) ∈ P2 verrà detto proprio se x0 6= 0 (ovvero se
P ∈ A2 ), improprio se x0 = 0.
Alcuni testi adottano altre scelte per i "nomi" delle coordinate omogenee e
affini. Ad esempio:
(x, y, u) come coordinate omogenee e X = ux , Y = uy , come coordinate affini,
oppure
(x1 , x2 , x3 ) come coordinate omogenee e x = xx13 , y = xx23 , come coordinate
affini.
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
index
1
Vettori
2
Retta, piano e spazio affini
3
Retta e piano proiettivi
4
Rappresentazione degli enti geometrici lineari
5
Questioni metriche
6
Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
7
Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
8
Geometria proiettiva
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
Rappresentazione parametrica di una retta in A3
Nello spazio affine A3 , dotato del sistema di riferimento R, consideriamo un
vettore non nullo v, un punto P0 , e la retta r passante per P0 e parallela a v.
−−→
Poniamo P ≡ (x, y, z) e P0 ≡ (x0 , y0 , z0 ). Il vettore P0 P ha componenti
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ).
Indichiamo con (a, b, c) le componenti del vettore v ((a, b, c) 6= (0, 0, 0)).
R O
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Pq
P
0q
v
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r
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
−−→
Un punto P ∈ A3 appartiene alla retta r se e solo se il vettore P0 P è parallelo a
v, ovvero se e solo se esiste λ ∈ R tale che
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = λ(a, b, c), ovvero se e solo se esiste λ ∈ R tale che
(∗)
x = x0 + λa,
y = y0 + λb,
z = z0 + λc.
In forma vettoriale le (∗) si scrivono anche così:
P = P0 + λv.
P = P0 + λv, viene detta rappresentazione parametrica della retta r. In tale
rappresentazione i punti P di r sono in corrispondenza biunivoca con i valori
λ del parametro reale.
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
Abbiamo visto che ogni retta dello spazio ammette una rappresentazione
parametrica della forma (∗).
Viceversa, dati x0 , y0 , z0 , a, b, c ∈ R, con (a, b, c) 6= (0, 0, 0), l’insieme dei
punti dello spazio le cui coordinate si esprimono nella forma (∗), al variare di
λ ∈ R è una retta (la retta per P0 ≡ (x0 , y0 , z0 ) parallela a v = (a, b, c)). Ne
segue che
OSSERVAZIONE: Tutte e sole le rette dello spazio ammettono una
rappresentazione parametrica della forma (∗).
PROBLEMA: Può accadere che due diverse rappresentazioni della forma (∗)
rappresentino la stessa retta?
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
Rappresentazione parametrica di un piano in A3
Nello spazio affine A3 , dotato del sistema di riferimento R, consideriamo due
vettori linearmente indipendenti u e v, un punto P0 , e il piano π passante per
P0 e parallelo a u e v (u e v vengono detti vettori di giacitura di π).
Poniamo P0 ≡ (x0 , y0 , z0 ).
Indichiamo con (a, b, c) e con (m, n, p) le componenti dei vettori u e v
(rispettivamente).
−−→
Un punto P ≡ (x, y, z) ∈ A3 appartiene al piano π se e solo se il vettore P0 P è
combinazione lineare dei vettori u e v, ovvero se e solo se esistono λ, µ ∈ R
tali che (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = λ(a, b, c) + µ(m, n, p) ovvero se e solo se
esistono λ, µ ∈ R tali che
(∗∗)
x = x0 + λa + µm,
y = y0 + λb + µn,
z = z0 + λc + µp.
In forma vettoriale le (∗∗) si scrivono anche così:
P = P0 + λu + µv.
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
P = P0 + λu + µv, viene detta rappresentazione parametrica del piano π. In
tale rappresentazione i punti P di π sono in corrispondenza biunivoca con le
coppie ordinate di numeri reali (parametri) (λ, µ).
OSSERVAZIONE: Tutti i piani dello spazio ammettono una rappresentazione
parametrica della forma (∗∗) e tutti i sottoinsiemi dello spazio che ammettono
una rappresentazione parametrica della forma (∗∗) sono piani (dimostrazione
per ESERCIZIO).
PROBLEMA: Quando due diverse rappresentazioni della forma (∗∗)
rappresentano lo stesso piano?
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
Rappresentazione cartesiana di un piano in A3
Partiamo da un esempio. Consideriamo il piano π di rappresentazione
parametrica
(∗∗)
x = 2 − λ + 3µ,
y = −5 + 2λ + µ,
z = λ − 4µ.
Dalla prima relazione si può ricavare λ = 2 + 3µ − x e sostituirla nelle altre
due:
y = −5 + 2(2 + 3µ − x) + µ,
z = (2 + 3µ − x) − 4µ,
ovvero
y = 7µ − 2x − 1,
z = −µ − x + 2.
Dalla seconda si può ricavare µ e sostituirla nella prima ottenendo
y = 7(−z − x + 2) − 2x − 1,
equazione di primo grado in x, y e z in cui si sono "eliminate" λ e µ.
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
Questa "eliminazione dei parametri" si può fare in generale, passando così da
una rappresentazione parametrica ad una cartesiana. Infatti, consideriamo un
piano π di rappresentazione parametrica
(∗∗)
x = x0 + λa + µm,
y = y0 + λb + µn,
z = z0 + λc + µp.
Sappiamo che (a, b, c) 6= (0, 0, 0) (perché?)
Supponiamo ad esempio che sia a 6= 0.
Dalla prima delle relazioni in (∗∗) possiamo allora ricavare
λ = (x − x0 − µm)/a e sostituirlo nelle altre:
(∗ ∗ ∗)y = y0 +
(x − x0 − µm)b
+ µn,
a
z = z0 +
(x − x0 − µm)c
+ µp;
a
ovvero
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
b
na − mb
(∗ ∗ ∗)y = y0 + (x − x0 ) + µ
,
a
a
c
pa − mc
z = z0 + (x − x0 ) + µ
;.
a
a
Non può essere contemporaneamente na − mb = 0 e pa − mc = 0 (perché?)
pertanto da una delle relazioni in (∗ ∗ ∗) possiamo ricavare µ e sostituirlo
nell’altra ottenendo una relazione in cui le variabili x, y e z compaiono (al più)
al primo grado, ovvero una relazione del tipo:
(?)Ax + By + Cz + D = 0
che viene detta equazione cartesiana del piano π passante per P0 ed avente
come vettori di giacitura i vettori u e v. Si dice anche che l’equazione (?) è
ottenuta da (∗∗) eliminando i parametri.
Tutti e soli i punti del piano π passante per P0 ed avente come vettori di
giacitura i vettori u e v hanno coordinate che verificano la (?).
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
OSSERVAZIONE - Almeno una delle variabili ha coefficiente non nullo in
(?), (cioè si ha (A, B, C) 6= (0, 0, 0)) pertanto (?) è effettivamente
un’equazione di primo grado (in tre variabili).
OSSERVAZIONE - Abbiamo visto che ogni piano dello spazio ammette
un’equazione del tipo (?), per opportuni A, B, C, D ∈ R con
(A, B, C) 6= (0, 0, 0). Viceversa il luogo dei punti dello spazio le cui
coordinate verificano un’equazione del tipo (?) è un piano, comunque si
scelgano A, B, C, D ∈ R con (A, B, C) 6= (0, 0, 0).
Infatti, se ad esempio è A 6= 0, (?) rappresenta il piano passante per il punto
P0 ≡ (−D/A, 0, 0) e con giacitura data da u ≡ (−B/A, 1, 0) e
v ≡ (−C/A, 0, 1) (ovviamente lo stesso piano potrebbe essere individuato da
un altro suo punto e da altri due vettori a lui paralleli).
OSSERVAZIONE - Ax + By + Cz + D = 0 e A0 x + B0 y + C0 z + D0 = 0
definiscono lo stesso piano se e solo se (A, B, C, D) = ρ(A0 , B0 , C0 , D0 ) per
qualche ρ 6= 0.
PROBLEMA: Che cosa si può dire di un piano di equazione (?), se è D = 0?
E se invece è A = 0? E se invece è A = B = 0?
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
Rappresentazione cartesiana di una retta in A3
Consideriamo ora una retta r di rappresentazione parametrica
(∗)
x = x0 + λa,
y = y0 + λb,
z = z0 + λc,
con (a, b, c) 6= (0, 0, 0).
0
Se, ad esempio, è a 6= 0, si può ricavare λ = x−x
a dalla prima equazione e
sostituirlo nelle altre due, ottenendo così le due equazioni cartesiane
x − x0
x − x0
)b, z = z0 + (
)c,
a
a
che vengono dette equazioni cartesiane della retta r e che rappresentano due
(tra gli infiniti) piani passanti per r (fascio di piani di sostegno r).
(◦)
y = y0 + (
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
Le equazioni delle rette in P2
Torniamo ora al piano proiettivo e vediamo se anche in questo caso le rette
sono individuate da equazioni di primo grado.
Osserviamo preliminarmente che in P2 , con coordinate omogenee
(x0 : x1 : x2 ), un’equazione del tipo x1 − 2 = 0 non avrebbe alcun senso
perché (1 : 2 : 1) ∼ (2 : 4 : 2), eppure 2 − 2 = 0 ma 4 − 2 6= 0.
Invece un’equazione lineare omogenea, ovvero della forma
a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0 definisce un luogo in P2 perché è verificata da
(x0 , x1 , x2 ) se e solo se è verificata da (λx0 , λx1 , λx2 ).
Sia ora l ⊂ A2 una retta di equazione
a0 + a1 x + a2 y = 0 con (a1 , a2 ) 6= (0, 0).
In coordinate omogenee si ottiene a0 + a1 xx01 + a2 xx02 = 0,
ovvero a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0.
L’equazione a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0, verrà detta rappresentazione cartesiana
della retta in P2 .
In generale, per rappresentare luoghi nel piano proiettivo in coordinate
omogenee, si devono utilizzare equazioni omogenee.
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
Punti propri e impropri delle rette
Quali sono i punti P ∈ P2 che appartengono alla retta di equazione cartesiana
a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0?
Sia P = (x0 : x1 : x2 )
Se P ∈ A2 , ovvero x0 6= 0, allora, posto x = xx10 , y = xx20 si ha
a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0 ⇔ a0 + a1 xx10 + a2 xx20 = 0 ⇔
a0 + a1 x + a2 y = 0. Pertanto
P ∈ “nuova” retta ⇔ P ∈ “vecchia” retta l ⊂ A2 di equazione
a0 + a1 x + a2 y = 0.
Se P ∈
/ A2 , ovvero x0 = 0, allora a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0 diviene
a1 x1 + a2 x2 = 0, che è soddisfatta dall’unico punto P = (0 : a2 : −a1 ).
Scriveremo P = P∞ (l), oppure P = dir(l) e vedremo che effettivamente
P∞ (l) rappresenta la direzione di l.
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
L’equazione della retta impropria
Si noti che, se l e l0 sono due rette parallele in A2 , si ha l : a0 + a1 x + a2 y = 0
ed l0 : b0 + ka1 x + ka2 y = 0 e pertanto
P∞ (l0 ) = (0 : ka2 : −ka1 ) = (0 : a2 : −a1 ) = P∞ (l).
I punti di P2 \ A2 , ovvero i punti di coordinate (0 : x1 : x2 ), individuano le
direzioni delle rette di A2 .
L’equazione a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0 (con (a0 , a1 , a2 ) 6= (0, 0, 0)) viene detta
equazione generale della retta e
se (a1 , a2 ) 6= (0, 0), rappresenta una retta di A2 con l’aggiunta di un
punto (il suo punto improprio);
se (a1 , a2 ) = (0, 0), diventa x0 = 0 e rappresenta la retta impropria r∞ .
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Rappresentazione degli enti geometrici lineari
Equazione della retta per due punti in P2
Si può dimostrare che in coordinate omogenee l’equazione cartesiana della
retta passante per A ≡ (a0 : a1 : a2 ) e B ≡ (b0 : b1 : b2 ) diviene
x0 x1 x2 a a a 0 1 2 = 0,
b0 b1 b2 mentre una rappresentazione parametrica per tale retta è della forma
(
x0 = λa0 + µb0
x1 = λa1 + µb1
(λ, µ) 6= (0, 0).
x2 = λa2 + µb2
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Questioni metriche
index
1
Vettori
2
Retta, piano e spazio affini
3
Retta e piano proiettivi
4
Rappresentazione degli enti geometrici lineari
5
Questioni metriche
6
Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
7
Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
8
Geometria proiettiva
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Questioni metriche
Lo spazio euclideo E3
Consideriamo lo spazio affine A3 , con sistema di riferimento R.
Se le 3 rette del riferimento sono a due a due ortogonali, il sistema viene detto
ortogonale; se le 3 unità di misura coincidono il sistema viene detto
monometrico; un sistema ortogonale e monometrico viene detto ortonormale.
(Spazio, R) = A3
spazio
(Spazio, R ortonormale) = E3
affine
spazio
euclideo
Convenzione per stabilire qual è il primo asse (e il secondo, e il terzo):
(1) si fissa arbitrariamente una delle tre rette come terzo asse ,
(2) si immagina una persona posta in piedi lungo il terzo asse (asse z) con la
testa verso la freccia che osserva il piano degli altri due assi
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Questioni metriche
(3) si individua la rotazione ρ di ampiezza minima in verso antiorario che
manda uno nell’altro gli altri due assi
(4) il primo asse (asse x) è quello che tramite ρ viene mandato nel secondo
asse (asse y).
6
Z
P
O
X
Y-
Nello spazio euclideo, come
vedremo, si possono trattare
questioni di natura metrica, quali
le distanza tra punti , o le misure
degli angoli, concetti che invece
non avrebbero senso in ambito
affine.
OSSERVAZIONE - Nel piano E2 , la condizione (4) permette di individuare
quale tra i due assi di un sistema di riferimento sia da considersi come primo
asse e quale cone secondo.
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Questioni metriche
Distanza tra due punti, angolo tra due rette in E3
Se R è ortonormale, possiamo usare il teorema di Pitagora per trovare la
distanza dall’origine O di un punto P:
6 P
O
X
-
P0
OP2 = PP0 2 + OP0 2 = PP0 2 + XP0 2 + OX 2 = OX 2 + OY 2 + OZ 2 = x2 + y2 + z2
E analogamente si può dedurre la distanza tra due punti A = (xA , yA , zA ) e
B = (xB , yB , zB ):
AB2 = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 + (zA − zB )2
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Questioni metriche
Nel caso dello spazio euclideo si può anche parlare di modulo di un vettore
−
→
applicato AB (ed anche di un vettore libero) inteso come misura (assoluta) del
segmento AB.
−
→
−
→
Il modulo di AB viene denotato con |AB|, analogamente il modulo di u viene
denotato con |u|.
Un vettore di modulo 1 verrà detto versore.
Date due rette orientate r e s nello spazio euclideo, si può parlare di angolo tra
r e s (anche se queste non sono complanari), nel seguente modo: si fissa un
punto Q ∈ E3 , si considerano r0 k r per Q, e s0 k s per Q. Le rette r0 e s0 sono
complanari. Si può allora considerare l’angolo ϑ formato da r0 e s0
(0 ≤ ϑ ≤ π), che viene detto angolo tra le rette orientate r e s, e che è
indipendente dalla scelta di Q (ESERCIZIO: verificare questo fatto).
Non ha invece senso parlare di misura con segno di angoli tra rette nello
spazio, ovvero non ha senso parlare nello spazio di verso orario o antiorario
delle rotazioni.
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Questioni metriche
Date due rette orientate r e s nello spazio e due punti A e B su r, consideriamo
le proiezioni ortogonali A0 e B0 di A e B (rispettivamente) su s:
(piano per A ⊥ s) ∩ s = A0
(piano per B ⊥ s) ∩ s = B0 .
−
→
Ha senso parlare delle misure con segno AB e A0 B0 dei segmenti orientati AB e
−−
→
A0 B0 su r ed s rispettivamente e inoltre (per la definizione di angolo data
sopra) risulta:
A0 B0 = AB · cos ϑ,
dove ϑ denota l’angolo tra r e s.
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Questioni metriche
Misura degli angoli in E3
Consideriamo i tre versori i ≡ [(1, 0, 0)], j ≡ [(0, 1, 0)] e k ≡ [(0, 1, 0)] di E3
applicati in O e diretti come gli assi. Ogni vettore v ≡ [(a, b, c)] si può
scrivere come combinazione lineare di questi tre: v = ai + bj + ck.
Introduciamo un’operazione, prodotto scalare, che associa a una coppia
ordinata di vettori (u, v) un numero reale < u, v > definito nel seguente
modo:
< u, v >= 0, se almeno uno tra u e v è il vettore nullo,
< u, v >= |u||v|cos(α) (dove α denota l’angolo tra i vettori u e v),
altrimenti
PROPRIETÀ DEL PRODOTTO SCALARE
Comunque scelti tre vettori u, v e w, e comunque scelto lo scalare h ∈ R, si
ha:
< u, v >=< v, u >
< u + w, v >=< u, v > + < w, v >
< hu, v >= h < v, u >
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Questioni metriche
Consideriamo due vettori non nulli
u = ai + bj + ck e v = a0 i + b0 j + c0 k.
Il coseno dell’angolo α formato tra i vettori u e v può essere determinato così:
cos(α) =
<u,v>
|u||v|
=
<ai+bj+ck,a0 i+b0 j+c0 k>
(a2 +b2 +c2 )1/2 (a02 +b02 +c02 )1/2
=
aa0 +bb0 +cc0
(a2 +b2 +c2 )1/2 (a02 +b02 +c02 )1/2
L’ultima uguaglianza segue dalle proprietà del prodotto scalare e dal fatto che:
< i, i >=< j, j >=< k, k >= 1, < i, j >=< j, k >=< k, i >= 0.
In particolare u = ai + bj + ck e v = a0 i + b0 j + c0 k sono ortogonali se e solo
se aa0 + bb0 + cc0 = 0.
Si noti che, con questa osservazione, stiamo implicitamente dicendo che il
vettore nullo è da considerarsi ortogonale a tutti i vettori dello spazio.
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Questioni metriche
Parametri direttori di un piano in E3
Dati in E3 un punto P0 ≡ (x0 , y0 , z0 ) ed un vettore non nullo w = (A, B, C), il
piano π passante per P0 e ortogonale a w è l’insieme dei punti P ≡ (x, y, z)
−−→
dello spazio tali che P0 P sia perpendicolare a w.
6
P
q 0
w
6
−−→
Per quanto visto in precedenza la condizione w⊥P0 P si traduce in
(]) A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.
L’espressione (]) è l’equazione cartesiana del piano π; pertanto, nello spazio
euclideo, i coefficienti A, B, C dell’equazione cartesiana di un piano sono le
componenti di un vettore ortogonale al piano .
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60 / 109
Questioni metriche
Coseni direttori di una retta orientata in E3
Consideriamo ora in E3 una retta r rappresentata in forma parametrica dalle
relazioni
(∗)
x = x0 + λa,
y = y0 + λb,
z = z0 + λc.
Scegliamo su r una (delle due possibili) orientazioni e consideriamo gli angoli
α, β e γ che tale retta orientata forma rispettivamente con gli assi (orientati)
x, y e z.
−−→
Con le consuete notazioni, il vettore X0 X è la proiezione ortogonale sull’asse
−−→
−−→
x del vettore P0 P quindi, indicata con t = P0 P la misura con segno di P0 P, si
ha x − x0 = tcos(α) e analogamente y − y0 = tcos(β) e z − z0 = tcos(γ).
Pertanto
x = x0 + tcos(α),
y = y0 + tcos(β),
z = z0 + tcos(γ)
è una rappresentazione parametrica della retta (orientata) r. I tre numeri reali
cos(α), cos(β), cos(γ) vengono detti coseni direttori della retta orientata r.
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61 / 109
Questioni metriche
Poiché t = P0 P, si ha:
t2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = t2 (cos2 (α) + cos2 (β) + cos2 (γ))
da cui si ricava:
Se
(∗)
cos2 (α) + cos2 (β) + cos2 (γ) = 1
x = x00 + λa,
y = y00 + λb,
z = z00 + λc,
con (a, b, c) 6= (0, 0, 0), è un’altra rappresentazione parametrica della retta r,
allora i vettori di componenti (a, b, c) e (cos(α), cos(β), cos(γ)) individuano
la stessa retta e pertanto sono proporzionali. Ovvero:
OSSERVAZIONE: I parametri direttori di una retta sono proporzionali ai
coseni direttori della medesima (come retta orientata).
PROBLEMA: Come cambiano i coseni direttori se si inverte l’orientazione
della retta?
RICHIAMO: Una retta nel piano può essere rappresentata in forma
parametrica (in modo analogo a quanto avviene nello spazio) o in forma
cartesiana (con una sola equazione).
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Questioni metriche
Distanza tra un punto e un piano in E3
Partiamo da un esempio.
Siano P0 ≡ (1, 1, 1) e π il piano di E3 di equazione cartesiana
x − 2y + z − 3 = 0. Vogliamo calcolare la distanza δ tra P0 e π. Si ha
δ = |P0 H|, dove H è il piede della perpendicolare condotta da P0 a π. La retta
n passante per P0 e ortogonale a π è parallela al vettore v ≡ (1, −2, 1), e
quindi può essere rappresentata in forma parametrica da
x = 1 + λ, y = 1 − 2λ, z = 1 + λ.
Il punto H = n ∩ π corrisponde
al valore del parametro tH per
n qP
cui x − 2y + z − 3 =
60
(1+t)−2(1−2t)+(1+t)−3 = 0,
qH
cioè t = 1/2. Quindi
H ≡ (3/2, 0, 3/2) e
√
δ = (1/4 + 1 + 1/4)1/2 = 26 .
In modo analogo si procede in generale per determinare la distanza tra un
punto e un piano generici.
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Questioni metriche
Siano infatti P0 ≡ (x0 , y0 , z0 ) un punto e π il piano di E3 di equazione
cartesiana ax + by + cz + d = 0. Per calcolare la distanza δ = |P0 H| tra P0 e
π, si considera la retta orientata n passante per P0 e ortogonale a π (in cui si è
fissata una orientazione a piacere). I coseni direttori (cos(α), cos(β), cos(γ))
di n sono proporzionali a (a, b, c), ovvero si ha
(cos(α), cos(β), cos(γ)) = ±
(a2
1
(a, b, c)
+ + c2 )1/2
b2
(si ricordi che (cos(α), cos(β), cos(γ)) è un versore).
n qP
60
qH
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64 / 109
Questioni metriche
L’equazione cartesiana di π si può allora anche scrivere nella forma:
(◦) cos(α)x + cos(β)y + cos(γ)z + d0 = 0,
dove d0 = ± (a2 +b2d+c2 )1/2 . Una rappresentazione parametrica per n è della
forma
(.) x = x0 + tcos(α), y = y0 + tcos(β), z = z0 + tcos(γ),
con t = P0 P. Il punto H = n ∩ π corrisponde al valore del parametro tH che si
ottiene sostituendo le (.) nella (◦). Si ha cioè
cos(α)(x0 + tH cos(α)) + cos(β)(y0 + tH cos(β))+
+cos(γ)(z0 + tH cos(γ)) + d0 = 0, ovvero
x0 cos(α) + y0 cos(β) + z0 cos(γ) + d0 + tH = 0.
Ne segue che è δ = |tH | = |x0 cos(α) + y0 cos(β) + z0 cos(γ) + d0 |, o
equivalentemente
|ax0 + by0 + cz0 + d|
δ=
.
(a2 + b2 + c2 )1/2
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Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
index
1
Vettori
2
Retta, piano e spazio affini
3
Retta e piano proiettivi
4
Rappresentazione degli enti geometrici lineari
5
Questioni metriche
6
Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
7
Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
8
Geometria proiettiva
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Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
Cambiamento del sistema di riferimento in E3
Consideriamo in E3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R0 , ed un
punto P ≡ (x, y, z) in R. Lo stesso punto avrà coordinate P ≡ (x0 , y0 , z0 ) in R0 .
Vogliamo trovare la relazione tra (x, y, z) e (x0 , y0 , z0 ).
• I caso R e R0 differiscono solo per l’origine: stessa direzione e stesso verso
degli assi, U = U 0 .
Siano (a, b, c) le coordinate dell’origine O0 (del sistema di riferimento R0 )
rispetto al sistema di riferimento R
O0 = (a, b, c) in R
P ≡ (x, y, z), x = OX, y = OY, z = OZ
P ≡ (x0 , y0 , z0 ), x0 = O0 X 0 , y0 = O0 Y 0 , z0 = O0 Z 0
Indichiamo con Q il punto dell’asse x proiezione di O0 parallelamente al piano
degli assi y e z. Si ha OQ = a. Per le identità segmentarie fondamentali si ha
allora x = OX = OQ + QX = a + x0 (si ha infatti QX = O0 X 0 , perché si tratta
di segmenti tagliati dagli stessi due piani paralleli su rette parallele) e con
conto analogo y = b + y0 , z = c + z0
x0 = x − a;
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y0 = y − b
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z0 = z − c
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Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
• II caso R e R0 differiscono solo per il verso di uno o più assi: stessa
direzione e stessa origine, U = U 0 .
In questo caso si può verificare che, se ad esempio si cambia il verso degli x e
y, risulta
x0 = −x;
y0 = −y;
z0 = z.
Si noti che, perché sia R che R0 verifichino la convenzione adottata sulla scelta
dell’ordinamento degli assi, un cambiamento nel verso deve avvenire
necessariamente su un numero pari (zero o due) di assi.
• III caso R e R0 differiscono solo per le unità di misura: stessa direzione,
stesso verso e stessa origine.
Supponiamo che sia U = kU 0 , con k > 0.
In tal caso è
x0 = OX 0 (misurata rispetto a U 0 ) pertanto il segmento OX 0 di estremi O e X 0 è
tale che OX 0 = |x0 |U 0 .
Inoltre
x = OX (misurata rispetto a U) pertanto il segmento OX di estremi O e X è
tale che OX = |x|U.
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Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
Ma nel nostro caso (stessa origine e stessi assi, quindi stessi punti proiezione)
è X = X 0 e anche OX 0 = OX. Ne segue che
|x0 |U 0 = OX 0 = OX = |x|U = |x|kU 0
e quindi |x0 | = k|x|. Siccome però i versi dei due riferimenti sono uguali, x0 e
x sono concordi, da cui
x0 = kx.
• IV caso R e R0 differiscono solo per la direzione degli assi: stessa origine,
U = U 0.
Indichiamo con i, j e k i versori dei tre assi del riferimento R e con i0 , j0 e k0 i
versori dei tre assi del riferimento R0 .
Si ha
−→
OP = xi + yj + zk,
e anche
−→
(∗) OP = x0 i0 + y0 j0 + z0 k0 ,
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Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
Si avrà anche
i = a1,1 i0 + a2,1 j0 + a3,1 k0 ,
j = a1,2 i0 + a2,2 j0 + a3,2 k0 ,
per opportuni ap,q
k = a1,3 i0 + a2,3 j0 + a3,3 k0 ,
∈ R, con 1 ≤ p, q ≤ 3.
Allora
−→
OP = xi + yj + zk =
x(a1,1 i0 +a2,1 j0 +a3,1 k0 )+y(a1,2 i0 +a2,2 j0 +a3,2 k0 )+z(a1,3 i0 +a2,3 j0 +a3,3 k0 ) =
(a1,1 x + a1,2 y + a1,3 z)i0 + (a2,1 x + a2,2 y + a2,3 z)j0 + (a3,1 x + a3,2 y + a3,3 z)k0 .
Dal confronto con la (∗) si ricava allora
x0 = a1,1 x + a1,2 y + a1,3 z
y0 = a2,1 x + a2,2 y + a2,3 z
z0 = a3,1 x + a3,2 y + a3,3 z.
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Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
ovvero,
! in notazioni matriciali !
x0
a1,1 a1,2 a1,3
y0
= a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
z0
x
y
z
!
.
!
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3 .
PROPRIETÀ DELLA MATRICE A =
a3,1 a3,2 a3,3
Poiché (i, j, k) è una terna di versori mutuamente ortogonali (e così anche
(i0 , j0 , k0 )), si ha
1 =< i, i >=< a1,1 i0 + a2,1 0j0 + a3,1 k0 , a1,1 i0 + a2,1 0j0 + a3,1 k0 >= · · · =
a21,1 + a22,1 + a23,1
e analogamente
1 =< j, j >= a21,2 + a22,2 + a23,2
1 =< k, k >= a21,3 + a22,3 + a23,3
0 =< i, j >=< a1,1 i0 + a2,1 0j0 + a3,1 k0 , a1,2 i0 + a2,2 0j0 + a3,2 k0 >= · · · =
a1,1 a1,2 + a2,1 a2,2 + a3,1 a3,2
e analogamente
0 =< i, k >= a1,1 a1,3 + a2,1 a2,3 + a3,1 a3,3
0 =< j, k >= a1,2 a1,3 + a2,2 a2,3 + a3,2 a3,3 .
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Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
a1,1 a2,1 a3,1
a1,2 a2,2 a3,2
a1,3 a2,3 a3,3
!
la matrice trasposta
In altri termini, indicata con AT =
!
1 0 0
0 1 0 la matrice identità, si ha AAT = I.
di A, e con I =
0 0 1
Si dice allora che A è una matrice ortogonale.
Più avanti vedremo che ad ogni matrice quadrata M si può associare un
numero reale det(M) detto determinante di M e che tutte le matrici ortogonali
hanno determinante ±1.
Inoltre si potrebbe dimostrare che, poichè tanto R quanto R0 devono
soddisfare la convenzione sulla scelta di ordinamento tra gli assi, per la
matrice A del cambiamento di sistema di riferimento si ha in realtà det(A) = 1
(matrice ortogonale speciale).
ESERCIZIO - Determinare tutte le matrici ortogonali di ordine 2.
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Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
• caso generale Il cambiamento di sistema di riferimento più generale in E3
si ottiene componendo i quattro casi sopra descritti (si noti peraltro che il caso
II risulta un caso particolare del IV), pertanto risulterà descritto da un legame
del tipo
x0 = ρ(a1,1 x + a1,2 y + a1,3 z) + α
y0 = ρ(a2,1 x + a2,2 y + a2,3 z) + β
z0 = ρ(a3,1 x + a3,2 y + a3,3 z) + γ,
!
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
con ρ, α, β, γ ∈ R, ρ > 0 e A =
matrice ortogonale
a3,1 a3,2 a3,3
speciale (cioè con AAT = I e det(A) = 1).!
!
!
x0
x
α
y , x0 =
β , si
y0 , v =
Con notazioni matriciali, posto x =
γ
z
z0
scrive
(?) x0 = ρAx + v.
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Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
Cambiamento del sistema di riferimento in A3
Consideriamo ora due sistemi di riferimento affini R ed R0 e vediamo in
questo caso come siano legate le coordinate (x, y, z) e (x0 , y0 , z0 ) che uno stesso
punto P ha nei due riferimenti.
Consideriamo tre vettori non nulli a, b, c rispettivamente sugli assi x, y e z ed
altri tre vettori non nulli a0 , b0 , c0 sugli assi x0 , y0 e z0 . Ripetiamo nel caso affine
le considerazioni fatte sopra nel caso euclideo sostituendo (a, b, c) al posto di
(i, j, k) e (a0 , b0 , c0 ) al posto di (i0 , j0 , k0 ). Tutti gli argomenti esposti
continuano a valere salvo che quando si utilizza il fatto che (i, j, k) e (i0 , j0 , k0 )
sono terne di versori mutuamente ortogonali.
Ne ricaviamo che il più generale cambiamento di sistema di riferimento affine
è della forma
(??) x0 = Mx + v,
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Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
dove M è una matrice 3 × 3, v è un vettore a 3 componenti e inoltre si
potrebbe dimostrare che det(M) 6= 0 (vedremo più avanti che quest’ultima
condizione è equivale a dire che le colonne di M sono linearmente
indipendenti e questo a sua volta, per come M è costruita, equivale al fatto che
i vettori (a, b, c) sono linearmente indipendenti).
In realtà se si vuole che i due sistemi di riferimento verifichino la convenzione
sull’ordinamento degli assi risulta det(M) > 0.
ESERCIZIO - Si consideri una matrice in cui le colonne sono linearmente
dipendenti, ad esempio,
!
1 1 0
2 2 1
3 3 1
e l’applicazione f di E3 in sè definita da x0 = Mx. Si verifichi che f non è
biunivoca e quindi x0 = Mx non può rappresentare un cambiamento di
sistema di riferimento.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
index
1
Vettori
2
Retta, piano e spazio affini
3
Retta e piano proiettivi
4
Rappresentazione degli enti geometrici lineari
5
Questioni metriche
6
Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
7
Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
8
Geometria proiettiva
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Trasformazioni geometriche in A3
Consideriamo ora A3 con un sistema di riferimento fissato. L’equazione
matriciale
(??) x0 = Mx + v,
con det(M) 6= 0, può essere interpretata come una trasformazione
(corrispondenza biunivoca) α : A3 → A3 ; vediamo come. Dato P ≡ (x, y, z)
si può considerare P0 ≡ (x0 , y0 , z0 ), e definire α(P) = P0 . Vedremo più avanti
che la condizione det(M) 6= 0 garantisce l’invertibilità della α.
Le trasformazioni α : A3 → A3 definite come sopra verranno dette affinità.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Denotiamo con Aff (3) l’insieme delle affinità di A3 in sè.
OSSERVAZIONE - Aff (3) è un gruppo rispetto alla composizione.
Cenno di dimostrazione - La composizione della trasformazione α di
espressione x0 = Ax + a con la trasformazione β di espressione x0 = Bx + b, è
la trasformazione γ = β ◦ α data da x0 = BAx + Ba + b, dove BA è il prodotto
riga per colonna di B per A (A 7→ Ax + a 7→ B(Ax + a) + b = BAx + Ba + b,
per le proprietà del prodotto tra matrici).
La composizione di trasformazione è associativa.
L’applicazione identica è un’affinità (di espressione x0 = Ix + 0.)
L’inversa dell’affinità α espressa da x0 = Ax + a è l’affinità α−1 data da
x0 = A−1 x − A−1 a, dove A−1 denota la matrice inversa della matrice A.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Geometria affine
OSSERVAZIONE - È naturale considerare equivalenti in A3 due sottoinsiemi
dello spazio che si ottengano l’uno dall’altro con un’affinità: infatti in questa
situazione si può anche pensare alle due figure come la stessa figura vista da
sistemi di riferimento diversi.
PROPRIETÀ DELLE AFFINITÀ
∀α ∈ Aff (3), si ha
1 α è biunivoca;
2 α è continua;
3 α trasforma piani in piani (e conseguentemente rette in rette);
4 α trasforma piani paralleli in piani paralleli (e conseguentemente rette
parallele in rette parallele);
5 α conserva i rapporti tra le misure con segno di segmenti allineati.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Cenno di dimostrazione
1 La continuità segue dal fatto che le coordinate x0 , y0 e z0 sono espresse
come polinomi (di primo grado) nelle coordinate x, y e z.
2 Il piano di equazione P = P0 + λu + µv, viene mandato dall’affinità di
equazione x0 = Ax + b nel piano di equazione
P0 = AP0 + Aλu + Aµv + b = (AP0 + b) + λu0 + µv0 che passa per
Q0 = AP0 + b ed è parallelo ai vettori u0 e v0 .
3 Siano π e σ due piani paralleli, e consideriamo i piani α(π) e α(σ). Se
α(π) e α(σ) non fossero paralleli esisterebbe un punto
P0 ∈ α(π) ∩ α(σ), ma allora si avrebbe P = α−1 (P0 ) ∈ π ∩ σ.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
4 Consideriamo la retta r rappresentata in forma parametrica da
P = P0 + λv.
−−→
λ esprime la misura con segno del segmento P0 P, sulla retta affine r in
cui v individua tanto l’unità di misura quanto il verso.
Consideriamo poi l’affinità α di espressione x0 = Ax + a.
Il punto P0 è trasformato da α in P0 0 = AP0 + a, e il generico punto P di
r è trasformato in
P0 = A(P0 + λv) + a = AP0 + Aλv + a = Aλv + AP0 + a = P0 0 + λAv.
La retta α(r) risulta così individuata come la retta passante per P0 0 e
parallela al vettore Av.
−−−→
λ esprime quindi anche la misura con segno del segmento P0 0 P0 , sulla
retta affine α(r) in cui Av individua tanto l’unità di misura quanto il
verso. −
→ −→
Allora se AB e CD sono segmenti orientati su r, il rapporto tra le misure
−
→ −→
con segno di AB e CD su r è uguale al rapporto tra le misure con segno di
−−−−−−→ −−−−−−→
α(A)α(B) e α(C)α(D) su α(r).
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Siano dati tre punti A, B e C in A3 appartenti ad una stessa retta r e si
consideri un sistema di riferimento affine su r.
Si dice rapporto semplice della terna (A, B, C) (in quest’ordine) il numero
reale
(ABC) =
AC
,
BC
−
→
ottenuto come rapporto tra le misure con segno dei segmenti orientati AC e
−→
BC.
Ad esempio, se C è il punto medio tra A e B, risulta
AC
AC
(ABC) = BC
= −AC
= −1.
La proprietà 4 delle affinità può essere riscritta nel seguente modo
4’ α conserva i rapporti semplici di terne di punti allineati.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
OSSERVAZIONE - Le proprietà 1, 2, 3 e 4 (o 40 ) caratterizzano le affinità,
ovvero si può dimostrare che una trasformazione di A3 che verifichi 1, 2, 3 e 4
(o 40 ) è necessariamente un’affinità.
ESERCIZIO - Dare un esempio di affinità che NON conserva le misure degli
angoli.
ESERCIZIO - Mostrare con un esempio che in generale le affinità non
conservano i rapporti tra le misure di segmenti non allineati.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Trasformazioni geometriche in E3
Analogamente a quanto fatto in A3 , possiamo considerare in E3 un sistema di
riferimento (ortonormale) fissato ed interpretare le equazioni di un
cambiamento di sistema di riferimento come rappresentative di una
trasformazione di E3 in sè.
Le trasformazioni ε : E3 → E3 definite da
(?)x0 = ρAx + v,
con A matrice ortogonale speciale, ρ > 0, e v vettore colonna a 3 componenti,
vengono dette similitudini dirette. In particolare, vengono dette congruenze
dirette o isometrie dirette se ρ = 1.
Il numero reale ρ viene detto rapporto di similitudine.
OSSERVAZIONE - L’insieme delle similitudini dirette Sim+ (3) (e anche
l’insieme delle congruenze dirette Iso+ (3)) è un gruppo rispetto alla
composizione. Più precisamente si ha un’inclusione di sottogruppi
Iso+ (3) ⊆ Sim+ (3) ⊆ Aff (3).
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Geometria euclidea simile e geometria euclidea metrica
Le similitudini dirette sono le trasformazioni che corrispondono ad un
cambiamento di sistema di riferimento da R ortonormale a R0 ortonormale,
per cui, quando si trattano problemi che "hanno a che fare" con la forma è
naturale considerare "equivalenti" due figure di E3 che si ottengano l’una
dall’altra con una similitudine diretta (geometria euclidea simile).
Nel caso delle congruenze dirette inoltre queste corrispondono a cambiamenti
di sistema di riferimento in cui non viene alterata l’unità di misura, pertanto,
quando si vogliano fare considerazioni di natura metrica, risulta naturale
considerare equivalenti due figure di E3 che si ottengano l’una dall’altra con
una congruenza diretta (geometria euclidea metrica).
Se nella definizione di similitudine (risp. di congruenza) diretta si sostituisce
la condizione ρ > 0 con la condizione ρ 6= 0 si ottiene la nozione di
similitudine (risp. di congruenza). In questo caso il rapporto di similitudine è
il numero reale |ρ|.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Anche l’insieme Sim(3) delle similitudini (e l’insieme Iso(3) delle
congruenze) è un gruppo.
Le similitudini (e analogamente le congruenze) corrispondono a cambiamenti
nel sistema di riferimento euclideo quando non si tenga conto della
convenzione sulla scelta dell’ordinamento degli assi.
Le similitudini (e anche le congruenze) che non sono dirette vengono dette
inverse.
OSSERVAZIONE - Quanto detto finora a proposito di geometria affine ed
euclidea, di cambiamenti di sistema di riferimento, di trasformazioni, ecc.,
continua a valere con ovvi cambiamenti (semplificazioni) nel caso del piano.
Si parlerà quindi anche di affinità in A2 come trasformazioni che
corrispondono ai cambiamenti di sistema di riferimento, di similitudini e
congruenze in E2 (nel caso cioè di sistemi di riferimento ortonormali), ecc., di
congruenze e similitudini dirette e inverse. Hanno ovvio significato i simboli
Aff (2), Sim(2), ecc.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
PROPRIETÀ DELLE SIMILITUDINI
I Tutte quelle delle affinità.
II Conservano i rapporti tra le misure assolute di segmenti (anche non
allineati).
III Conservano le misure degli angoli.
PROPRIETÀ DELLE CONGRUENZE
i Tutte quelle delle similitudini.
ii Conservano le misure (in valore assoluto) dei segmenti.
OSSERVAZIONE - Si può dimostrare che la proprietà II caratterizza le
similitudini, nel senso che una trasformazione di E3 che conserva i rapporti tra
le misure (in valore assoluto) dei segmenti è necessariamente una similitudine.
Si può dimostrare che la proprietà ii caratterizza le congruenze, nel senso che
una trasformazione di E3 che conserva le misure assolute dei segmenti è
necessariamente una congruenza.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Esempi di similitudini e congruenze in E2 e E3
TRASLAZIONE
Dato un vettore v, la traslazione τv è la trasformazione che associa ad un
−→
punto P quell’unico punto P0 = τv (P) tale che [PP0 ] = v.
OSSERVAZIONI
1
2
3
L’espressione della traslazione τv in coordinate è data da
τv (x) = x0 = x + v.
La stessa definizione "funziona" sia in E2 che in E3 .
La traslazione è un’isometria diretta.
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RIFLESSIONE
Nel piano, fissata una retta r, la riflessione rispetto a r è la trasformazione σr
che associa al punto P quell’unico punto P0 = σr (P) tale che
P0 = P, se P ∈ r,
r è l’asse del segmento PP0 , se P ∈
/ r.
Quindi la retta s per P e P0 è ortogonale a r e H = r ∩ s è il punto medio di
PP0 .
Nello spazio, fissato un piano α, la riflessione rispetto a α è la trasformazione
σα che associa al punto P quell’unico punto P0 = σα (P) tale che
P0 = P, se P ∈ α,
α è il piano assiale del segmento PP0 , se P ∈
/ α.
Quindi la retta s per P e P0 è ortogonale a α e H = α ∩ s è il punto medio di
PP0 .
Maria Dedò e Cristina Turrini (2010/2011)
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
OSSERVAZIONE - La riflessione è una congruenza inversa.
ESERCIZIO - Verificare che nel piano la trasformazione data da
0 x
cos(θ) sen(θ)
x
=
y ,
sen(θ) −cos(θ)
y0
è la riflessione rispetto alla retta per l’origine che forma un angolo di θ/2 con
l’asse x.
ESERCIZIO - Scrivere le equazioni della riflessione rispetto alla retta di
equazione x − y + 2 = 0.
ROTAZIONE
Nel piano, fissato un punto C e un angolo θ, con 0 ≤ θ < 2π, si dice
rotazione ρ(C,θ) di centro C e angolo θ la trasformazione che associa al punto
P(6= C) quell’unico punto P0 = ρ(C,θ) (P) tale che la misura del segmento CP
[0 sia di ampiezza θ.
sia uguale alla misura del segmento CP0 , e l’angolo PCP
Il trasformato di C è C stesso.
Maria Dedò e Cristina Turrini (2010/2011)
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Nello spazio, fissata una retta orientata r ed un numero reale θ, con
0 ≤ θ < 2π, si dice rotazione di asse r e ampiezza θ la trasformazione ρ(r,θ)
che associa al punto P quell’unico punto P0 = ρ(r,θ) (P) tale che:
P0 appartiene al piano α passante per P e ortogonale a r
P0 è il punto trasformato di P rispetto alla rotazione, nel piano α, di
centro il punto C = α ∩ r e angolo θ (in senso antiorario se osservato
dalla semiretta positiva dell’asse r).
OSSERVAZIONE - Se P ∈ r, allora ρ(r,θ) (P) = P.
OSSERVAZIONE - La rotazione è una congruenza diretta.
ESERCIZIO - Verificare che nel piano la trasformazione data da
0 x
cos(θ) −sen(θ)
x
=
y ,
sen(θ) cos(θ)
y0
è la rotazione di angolo θ intorno all’origine.
ESERCIZIO - Scrivere l’equazione della rotazione di centro (1, 2) e angolo
π/4.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
OMOTETIE
Fissato un punto C ed un numero reale λ 6= 0, l’omotetia di centro C e
rapporto λ è la trasformazione ω(C,λ) che associa al punto P(6= P0 ) il punto
−→
−→
P0 = ω(C,λ) (P) che giace sulla retta per C e P e tale che sia CP0 = λCP. Se
P = C, si ha, in modo naturale, P0 = P.
OSSERVAZIONE 1
2
3
4
Un’omotetia di rapporto λ è una similitudine di rapporto |λ|
L’espressione in coordinate di una omotetia di centro l’origine è x0 = λx.
Quanto detto "funziona" sia nel piano che nello spazio.
Nel piano le omotetie sono sempre dirette, nello spazio sono dirette se e
solo se λ > 0.
ESERCIZIO - Come si può descrivere in altro modo un’omotetia di rapporto
−1?
Qual è l’espressione in coordinate dell’omotetia di centro (1, 2) e rapporto 3?
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
Classificazione delle isometrie in E2 e in E3
PROBLEMA - Ci sono altre isometrie o similitudini (oltre a quelle prima
descritte)?
Risposta: poche altre.
TEOREMA 1- Nel piano una qualunque isometria rientra in una delle
seguenti quattro tipologie:
a rotazione
b riflessione
c traslazione
d glissoriflessione
dove, fissata una retta r e un vettore v, con v k r, la glissoriflessione γ(r,v) di
asse r e vettore v è la trasformazione che si ottiene componendo la riflessione
di asse r con la traslazione di vettore v.
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
TEOREMA 2- Nello spazio una qualunque isometria rientra in una delle
seguenti sei tipologie:
a rotazione
b riflessione
c traslazione
d glissoriflessione (composizione di una riflessione rispetto a un piano α e
di una traslazione rispetto a un vettore v, con v k α)
e rotoriflessione (composizione di una rotazione di asse r e di una
riflessione rispetto a un piano α ⊥ r)
f avvitamento (composizione di una rotazione di asse r e di una traslazione
rispetto a un vettore v, con v k r).
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Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
TEOREMA 3 - (Sia nel piano che nello spazio) Una qualunque similitudine è
la composizione di una isometria e di una omotetia.
Il teorema 3 si dimostra facilmente (ESERCIZIO - Suggerimento:
componendo una similitudine di rapporto k con una omotetia di rapporto 1/k
si ottiene una similitudine di rapporto 1, cioè . . . )
I teoremi 1 e 2 sono conseguenza del seguente risultato.
TEOREMA - Ogni isometria del piano (rispett. dello spazio) è composizione
di al più 3 (rispett. 4) riflessioni.
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Geometria proiettiva
index
1
Vettori
2
Retta, piano e spazio affini
3
Retta e piano proiettivi
4
Rappresentazione degli enti geometrici lineari
5
Questioni metriche
6
Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo
7
Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea
8
Geometria proiettiva
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Geometria proiettiva
Proiettività tra rette
Una proiettività di P1 in sè è una trasformazione ω : P1 −→ P1 che, in
coordinate omogenee, si esprime nella forma ω((x0 : x1 )) = (x00 : x10 ), con
0
ρx0 = a00 x0 + a01 x1
ove a00 , a01 , a10 , a11 ∈ R e
a00 a11 − a01 a10 6= 0.
ρx10 = a10 x0 + a11 x1
a
a
6 0e
La condizione a00 a11 − a01 a10 6= 0 si scrive anche | a00 a01 | =
10
11
garantisce l’invertibilità della corrispondenza (si veda dopo).
In coordinate affini
x0 =
x = x1 /x0
e
x0 = x10 /x00 ,
ω si esprime nella forma
a10 +a11 x
a00 +a01 x .
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Geometria proiettiva
La definizione è ben posta
Si noti che la definizione data di proiettività è ben posta, ovvero passa ai
quozienti : P1 = R2 \ {0.0} −→ P1 = R2 \ {0.0}.
In effetti, nell’assegnare una corrispondenza η : P1 −→ P1 tramite coordinate
omogenee, bisogna sincerarsi che η dia lo stesso punto immagine di P1
quando viene calcolata su coordinate omogenee diverse ma corrispondenti
allo stesso punto di P1 . Non avrebbe alcun senso considerare una
corrispondenza η : P1 −→ P1 definita da η(x0 : x1 ) = (x0 : x1 + 1), dal
momento che si avrebbe η(1 : 1) = (1 : 2) e η(2 : 2) = (2 : 3), con
(1 : 1) = (2 : 2), ma (1 : 2) 6= (2 : 3).
Invece per ω si ha
ω(λx0 : λx1 ) = ω(x0 : x1 ),
∀λ ∈ R \ 0.
Infatti
ω(x0 : x1 ) = (a00 x0 + a01 x1 : a10 x0 + a11 x1 ) e
ω(λx0 : λx1 ) = (a00 λx0 + a01 λx1 : a10 λx0 + a11 λx1 ) =
(λ(a00 x0 + a01 x1 ) : λ(a10 x0 + a11 x1 )) =
(a00 x0 + a01 x1 : a10 x0 + a11 x1 ) = ω(x0 : x1 )
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Geometria proiettiva
Caratterizzazione delle affinità tra le proiettività tra rette
Si consideri la proiettività ω : P1 −→ P1 , che, in coordinate affini, si esprime
nella forma
h k
6 0.
| l m |=
x0 = l+mx
h+kx , con
L’immagine tramite ω del punto all’infinito ∞ ∈ P1 è ω(∞) = m/k,
infatti in coordinate omogenee si ha
ω(x0 : x1 ) = (hx0 + kx1 : lx0 + mx1 ), e quindi ω(0 : 1) = (k : m).
Viceversa, il punto di P1 che viene trasformato in ∞ è −h/k , cioè
ω(−h/k) = ∞, infatti ω(k : −h) = (hk − kh : lk − mh) = (0 : 1).
Una proiettività è una affinità se e solo se trasforma ∞ in ∞ (la verifica è
lasciata per esercizio).
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Geometria proiettiva
Birapporto
Dati quattro punti A, B, C e D di P1 , distinti a due a due, se sono tutti punti al
finito (cioè se A, B, C, D ∈ A1 ), si dice birapporto di A, B, C, D (in
quest’ordine) il rapporto tra i rapporti semplici (ABC) e (ABD) ovvero il
numero reale
AC
(c1 a0 −a1 c0 )·(d1 b0 −b1 d0 )
(ABC)
(c−a)(d−b)
AC·BD
BC
= AD
= AD·BC
= (d
, ove
(ABCD) = (ABD)
= (d−a)(c−b)
1 a0 −a1 d0 )·(c1 b0 −b1 c0 )
BD
a, b, c, d denotano rispettivamente le coordinate affini e
(a0 , a1 ), (b0 , b1 ), (c0 , c1 ), (d0 , d1 ) le coordinate omogenee dei punti
A, B, C, D.
La definizione data attraverso le coordinate omogenee si estende anche al caso
in cui uno dei punti è ∞.
ESEMPIO - Se i quattro punti A, B, C e D sono "equidistanziati", allora
(ABCD) = 4/3.
(ABCD) =
AC/BC
AD/BD
=
2/1
3/2
= 4/3
Le proiettività conservano il birapporto delle quaterne di punti sulla retta,
ovvero per una proiettività si ha (ω(A)ω(B)ω(C)ω(D)) = (ABCD).
Per provarlo si può fare una verifica diretta(esercizio).
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Geometria proiettiva
Sono equidistanti?
Possiamo stabilire se nella realtà i birilli qui fotografati sono disposti a
intervalli regolari lungo una retta?
Per rispondere dobbiamo fare una digressione.
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Geometria proiettiva
Prospettività
La definizione di proiettività di una retta in sè si estende in modo ovvio a
proiettività tra rette distinte.
Esempi significativi di proiettività tra rette (complanari) sono le prospettività.
Dati nel piano due rette r ed r0 ed un punto V fuori da esse, si può definire
un’applicazione da P1 = r ∪ {∞} a P1 = r0 ∪ {∞0 }, per proiezione da V,
come in figura.
Il punto di intersezione di r con la parallela a r0 mandata da V viene
trasformato nel punto improprio ∞0 di r0 . Il punto improprio ∞ di r viene
trasformato nel punto di intersezione di r0 con la parallela a r per V.
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Geometria proiettiva
Un esempio di prospettività
Le prospettività sono proiettività. Verifichiamo questa asserzione su un
esempio.
Supponiamo che le rette r ed r0 siano
rispettivamente l’asse delle ordinate e
l’asse delle ascisse, e che il centro di
proiezione sia il punto V ≡ (−1, 1). La
prospettività di centro V associa al punto
P ≡ (0, t) il punto P0 ≡ (t0 , 0), tale che
t
sia t0 = 1−t
La prospettività è pertanto la proiettività di equazione x0 =
x
1−x .
Si può dimostrare che una qualsiasi proiettività può essere ottenuta come
composizione di prospettività.
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Geometria proiettiva
Quattro punti allineati
La corrispondenza che sussiste tra i quattro punti allineati A, B, C, D e le loro
immagini A0 , B0 , C0 , D0 sul quadro è la prospettività di centro V nel piano che
contiene V ed i punti A, B, C, D, A0 , B0 , C0 , D0 .
Abbiamo già visto che, se i
quattro punti sono
equidistanziati, il birapporto
(ABCD) è 4/3.
Quindi anche il birapporto (A0 B0 C0 D0 ) deve essere 4/3 (il birapporto è un
invariante proiettivo).
Il nostro cervello è abituato a riconoscere immagini di oggetti disposti in
modo regolare, cioè a "calcolare birapporti".
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Geometria proiettiva
Affinità tra piani in coordinate omogenee
Avevamo definito affinità : A2 → A2 una trasformazione di equazioni
0
a11 a12 x = a11 x + a12 y + a
(∗)
a21 a22 6= 0.
y0 = a21 x + a22 y + b
Utilizzando la notazione matriciale, le relazioni (∗) si possono anche
riscrivere così:
!
! !
1 0
1
1 0
0
1
0 0
x = a a11 a12
x
(∗∗)
a a11 a12 6= 0.
b a21 a22 b a21 a22
y
y0
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Geometria proiettiva
Proiettività tra piani
Una proiettività ω : P2 → P2 è, per definizione, una corrispondenza che
associa al punto P ≡ (x0 : x1 : x2 ) il punto P0 ≡ (x00 : x10 : x20 ) tale che
( 0
a00 a01 a02 ρx0 = a00 x0 + a01 x1 + a02 x2
ρx10 = a10 x0 + a11 x1 + a12 x2
a10 a11 a12 6= 0,
a20 a21 a22 ρx0 = a x + a x + a x
2
20 0
21 1
22 2
ovvero
x00
ρ x10
x20
!
=A·
dove A =
x0
x1
x2
!
con det A 6= 0,
a00 a01 a02
a10 a11 a12
a20 a21 a22
!
.
La matrice A è definita a meno di una costante moltiplicativa 6= 0.
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Geometria proiettiva
Caratterizzazione delle affinità tra le proiettività tra piani
Se a01 = a02 = 0, ω diviene un’affinità in
A2 = U0 = {(x0 : x1 : x2 ) : x0 6= 0}. Infatti risulta necessariamente a00 6= 0 e
si può quindi porre a00 = 1, per cui ω assume la forma (∗∗).
La proiettività ω, in coordinate affini x =
(
x0 =
y0 =
x1
x0
ey=
x2
x0 ,
si esprime così:
a10 +a11 x+a12 y
a00 +a01 x+a02 y
a20 +a21 x+a22 y
a00 +a01 x+a02 y
Una proiettività è un’affinità se e solo se trasforma tutti i punti impropri in
punti impropri (la verifica è lasciata per esercizio).
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Geometria proiettiva
Prospettività tra piani
La definizione data di proiettività di un piano in sè si estende in modo ovvio al
caso di proiettività tra piani distinti.
Esempi significativi di proiettività tra piani (immersi nello spazio) sono le
prospettività.
Dati nello spazio due piani π ed π 0 (non paralleli tra loro) ed un punto V fuori
da essi, si considerino la retta r di intersezione di π con il piano per V
parallelo a π 0 e la retta r0 di intersezione di π 0 con il piano per V parallelo a π.
Si può definire un’applicazione da
π \ r a π 0 \ r0 , per proiezione da V,
come in figura.
Tale applicazione si estende ad una
applicazione (detta prospettività di
centro V) ωV : P2 → P2
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Geometria proiettiva
Punti di fuga
Si può dimostrare che una prospettività è una proiettività.
La prospettività ωV trasforma i punti impropri del piano π nei punti della retta
r0 (i punti di fuga).
I punti all’infinito del piano π sono "visti" su una retta.
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