UNIVERSITA’DI BOLOGNA
FACOLTA’DI ECONOMIA
METODI QUANTITATIVI (C.I)- METODI STATISTICI PER L’ANALISI
ECONOMICA - CLAME
Anno Accademico 2008-2009
Esame del 4/06/2008
PER FAVORE SCRIVERE NOME, NUMERO DI MATRICOLA E DATA SU OGNI FOGLIO CHE SI CONSEGNA
Esercizio
Verso la …ne della presidenza degli Stati Uniti di George W. Bush, l’Istituto Gallup ha svolto un’indagine sull’opinione
dei cittadini a proposito della moralità del Presidente nella guerra in Iraq. Sia la reale proporzione della popolazione
che sostiene la moralità di G.W.
Da un piccolo campione di 15 persone intervistate si trova che solo 2 credono che le azioni del presidente siano
state morali.
a )
Scrivere la funzione di verosimiglianza e trovare la stima di max verosimiglianza di
b )
Da indagini precedenti e’ragionevole supporre per
p
Pr( = p)
Scrivere la distribuzione a posteriori di
0:10
0:10
0:12
0:15
0:14
0:25
la seguente distribuzione di probabilità:
0:16
0:25
0:18
0:15
0:20
0:10
e trovare la moda a posteriori.
c )
Con la stessa a priori e gli stessi dati, quale sarebbe la probabilità predittiva che la prossima persona
intervistata sostenga la moralità di G.W.?
d )*
Si consideri ora una distribuzione a priori uniforme per Con gli stessi dati di sopra, trovare la probabilità
che tra le prossime 10 persone selezionate nell’indagine ve ne sia piu’di una a favore di G.W. Bush.
e )
Con un campione di 751 adulti, 150 dei quali pensano che George W. si e’comportato moralmente e una
a priori uniforme, trovare la stima di Bayes e la perdita di Bayes di .con una funzione di perdita quadratica.
Paragorare questi valori ai corrispondenti valori a priori.
f )
Usando una priori uniforme, trovare un intervallo di con…denza a posteriori a livello 95% per :
g )
Volendo scegliere una priori informativa Beta per dal precedente campione di 15 persone, delle quali 2 a
favore, quale priori si dovrebbe scegliere? Usando questa Beta trovare la posteriori per :
1
Soluzioni
a )
L( jy) = Pr(Y = yj ) =
n
y
L( jY = 2) = Pr(Y = 2j ) = 105
2
La funzione di verosimiglianza è
e la stima di max verosimiglianza di
y
)n
(1
y
: Poichè n = 15 e y = 2
)13
(1
= 2/15
b )
Dobbiamo calcolare le probabilità a posteriori di dati i dati, cioè Pr( = 0:10jy = 2) per ogni valore
di p = 0:10; 0:12, 0:14, 0:16; 0:18; 0:20. Sappiamo che ( jy = 2) = cL( jY = 2) ( ), con c una costante:
Moltiplicando il valore della priori per il valore della verosimiglianza per ogni p, e imponendo che la somma delle
probabilità a posteriori sia = 1, si ottiene
p
Probabilità a priori di = p
verosimiglianza di
Probabilità a posteriori di = p
0:10
0:10
0:267
0:098
0:12
0:15
0:287
0:157
0:14
0:25
0:290
0:265
0:16
0:25
0:279
0:255
0:18
0:15
0:258
0:141
0:20
0:10
0:231
0:084
La moda a posteriori è il valore con la massima probabilità a posteriori, cioè p = 0:14.
c )
Sia SI l’evento che il prossimo intervistato è a favore
Pr(SI j dati) =
=
6
P
i=1
6
P
i=1
Pr(SIj = pi ) Pr( = pi jdati)
pi Pr( = pi jdati) = media a posteriori di :
= 0:10 0:098 + 0:12 0:157 + 0:14 0:26 + 0:16 0:255 + 0:18 0:141 + 0:20 0:084
= 0:148
d )*
Una priori uniforme corrisponde a una Beta(a; b) con a = b = 1: In questo caso avendo osservato già r
successi in n prove di Bernoulli, l’espressione della probabilità predittiva del numero di successi s, in ulteriori m
prove è
m n
n+1
s
r
:
Pr(S = sjr) =
m+n m+n+1
s+r
Sostituendo i valori 0 e 1 per s e sostituendo anche m = 10; n = 15 e r = 2 si ottiene
Pr(S = 0jr) =
10
Pr(S = 1jr) =
Pr(S
15
2
25
3
15
2
25
2
16
16 15 14
:=
= 0:215
26
26 25 24
16
16 15 14 10
:=3
= 0:281
26
26 25 24 23
> 1jr = 2) = 1 0:215
= 0:504 = 50:4%
0:281:
e )
Se la priori e’Beta(1; 1) (uniforme), con un campione di 751 adulti, 150 a favore, la distribuzione a posteriori
è Beta(151; 602): Il valore atteso a posteriori per .(stima di Bayes) è 151=753 = 0:20 e la varianza a posteriori
(perdita di Bayes) è = 0:20 0:80=754 = 0:0002125
f )
Con i dati visti in precedenza, e usando un’approssimazione normale l’intervallo di con…denza a posteriori
a livello 95% per è
p
0:20 1:96 0:0002125 = 0:2 0:0286
[0:171; 0:229]
g )
Volendo scegliere una priori informativa Beta per dal precedente campione di 15 persone, delle quali 2 a
favore, si dovrebbe scegliere Beta(2; 13): Usando Beta(2; 13) come priori e i dati del punto e), la posteriori per
è Beta(152; 614) :
2
