Esercizio

Esercizi del 19 aprile2012
Esercizio
Si effettui il lancio di un dado:
Calcolare:
1)
2)
3)
4)
La p. che esca un 2 oppure un 5;
La p. che esca un numero pari;
La p. che esca un numero divisibile per 3;
Dati gli eventi:
Evento A1 = ‘’esce 1 oppure 2’’;
Evento A2 =’’es ce 2 oppure 3’’
Calcolare P A1  A2 
Esercizio
Si conoscono le seguenti probabilità:
PB  0,05


P A / B '  0,40
P A / B  0,80
Calcolare la :
PB / A
Esercizio
In un aeroporto si hanno in media 9 reclami al giorno per smarrimento di bagagli. Qual è la p. che
in un giorno si abbiano:
1)sette reclami;
2)sette, otto o nove reclami;
3)meno di 5 reclami.
Esercizio
Se in un minuto in una banca arrivano in media 3 clienti qua lè la p. che nello stesso intervallo di tempo
arrivino esattamente due clienti? E più di due clienti?
1
Esercizio
Il 30% dei partecipanti a un concorso è di sesso femminile. Trovare la p. che scegliendo a caso 16 dei
candidati 4 siano femmine
Esercizio
Trovare la p. che in una famiglia di 5 figli si abbia:
1) Almeno un maschio;
2) 4 femmine
Esercizio
La p. che un soggetto abbia una certa malattia è pari al 3%.
La p. che un test diagnostico sia positivo se un soggetto è malato è di 0,9 mentre se un soggetto è sano la
p. che il test sia positivo è pari al 2%.
Si sceglie a caso un soggetto ed è risultato positivo al test. Qual è la p. che il soggetto sia malato?
2
Esercizio
Si effettui il lancio di un dado:
Calcolare:
5)
6)
7)
8)
La p. che esca un 2 oppure un 5;
La p. che esca un numero pari;
La p. che esca un numero divisibile per 3;
Dati gli eventi:
Evento A1 = ‘’esce 1 oppure 2’’;
Evento A2 =’’es ce 2 oppure 3’’
Calcolare P A1  A2 
Soluzione
Nel lancio di un dado si possono verificare gli eventi uscita 1,2,3,4,5,6 con p. pari a 1/6:
P1 
1
1
1
1
1
1
 P2   P3   P4   P5   P6 
6
6
6
6
6
6
1
1
2
1
P2  5  P   P   P   P 
6
6
6
3
1
1
1
3
1
2) P2  4  6   P   P   P   P   P 
6
6
6
6
2
1)
3)
1
1
2
1
P3  6  P   P   P   P 
6
6
6
 3
Calcoliamo le proprietà unione relative ad A1 e A2
4)
1
1 2 1
P A1  A2   P A1   P A2   P   P   
6
6 6 3
1
1 2 1
P A2  A3   P A2   P A3   P   P   
6
6 6 3
Per quanto riguarda la probabilità unione A1 e A2 occorre notare che i due eventi hanno in comune
l’evento uscita faccia 2 e quindi si
1
1
1 1
P A1  A2   P A1   P A2   P A1  A2   P   P   P  
 3
 3
6 2
3
Esercizio
Si conoscono le seguenti probabilità:
PB  0,05


P A / B '  0,40
P A / B  0,80
Calcolare la :
PB / A
Soluzione
Siamo di fronte a una applicazione del teorema di Bayes dove gli elementi conosciuti sono:
Probabilità a priori:
PB  0,05
 
P B '  0,95
Probabilità probative:


P A / B '  0,40
P A / B  0,80
Viene richiesta la probabilità a posteriori e quindi occorre calcolare i numeratori della stessa dati
dal prodotto delle probabilità probative per la corrispondente probabilità a priori:
P A / B  PB  0,80  0,05  0,04

  
P A / B '  P B '  0,40  0,95  0,38
la somma di tali probabilità costituisce il denominatore delle probabilità a posteriori che possono
essere calcolate con riferimento a B e B’
:
PB  P A / B  PB  P A / B' PB'  0,04  0,38  0,42
Le probabilità a posteriori sono( con riferimento a B) :
P  B / A 
P  A / B   P B 
0,04

 0,095
'
'
0,42
P  A / B   P B   P A / B  P B

  
(con riferimento a B’):
PB ' / A 
PA / B '  PB ' 
0,38

 0,905
'
'
P A / B   PB   PA / B  PB  0,42
4
I risultati ottenuti possono essere esposti in tabella e confrontati con le p. a priori ottenendo il
prospetto che segue:
Probabilità
B
B’
0,05
0, 95
1
A posteriori 0,095 0,905
1
A priori
totale
Esercizio
In un aeroporto si hanno in media 9 reclami al giorno per smarrimento di bagagli. Qual è la p. che
in un giorno si abbiano:
1)sette reclami;
2)sette, otto o nove reclami;
3)meno di 5 reclami.
Soluzione
 9
97
4782969
 0,000123  949  0,000123  0,117
1) f 9  esp 9 
7!
5040
 9 7 98 9 9 
   
2) f 7   f 8  f 9  exp  9
7
!
8! 9! 

 4782969 43046721 387420489 
 0,000123


  0,000123949  1067,63  1067,63 
40320
362880 
 5040
 0,0001233084,26  0,38
 9 0 91 9 2 9 3 9 4 
3) Px  5  f 0  f 1  f 2  f 3  f 4  exp  9      
 0! 1! 2! 3! 4! 
 0,0001  0,0011  0,0050  0,0150  0,0337  0,0549
5
Esercizio
Se in un minuto in una banca arrivano in media 3 clienti qual è la p. che nello stesso intervallo di tempo
arrivino esattamente due clienti? E più di due clienti?
Soluzione
 3
f 2 
32
9
esp 3   0,0498  949  0,000123  0,224
2!
2
 30

31
32
Px  2  1   f 0  f 1  f 2  1   exp  3  esp 3  3xp 3 
1!
2!
 0!

 1  0,0498  0,1494  0,2240   1  0,4232  0,577
Esercizio
Il 30% dei partecipanti a un concorso è di sesso femminile. Trovare la p. che scegliendo a caso 16 dei
candidati 4 siano femmine.
Soluzione
I dati a disposizione sono:
numero delle prove:
N  16
Numero dei successi:
x4
Probabilità del successo
  0,30
Probabilità dell’insuccesso:
1    0,70
La p. richiesta è data da:
16 
P X  x  4     0,30 4  0,7012  0,204
4
6
Esercizio
Trovare la p. che in una famiglia di 5 figli si abbia:
3) Almeno un maschio;
4) 4 femmine
Soluzione
La p. di avere M o F si suppone uguale per i due sessi e pari a ½.
Le p. richieste sono:
1)

 5 1 1 1 4  5  1 2 1 3  5 1 3 1 2  5  1 4 1 1  5 1 5
P X  x  1     
         
        

2  3 2 2
2  5 2
1 2 2
 2 2
 4 2
5 10 10 5
1




 0,97
32 32 32 32 32
 5 1 4 11 5
 
 0,16
2
32
 4 2
2) P X  x  4     
Esercizio
La p. che un soggetto abbia una certa malattia è pari al 3%.
La p. che un test diagnostico sia positivo se un soggetto è malato è di 0,9 mentre se un soggetto è sano la
p. che il test sia positivo è pari al 2%.
Si sceglie a caso un soggetto ed è risultato positivo al test. Qual è la p. che il soggetto sia malato?
Soluzione
Chiamiamo :
M il soggetto malato
  
 . M  soggettosano


TP il test positivo
7
Determiniamo le probabilità:
Probabilità a priori
PM   0,03
  
P . M   0,97


Probabilità probative o verosimiglianze
P.TP / M   0,9



P TP / M .   0,02


Calcoliamo la p. di TP



  
P.TP   PTP / M   PM   P TP / M   P M   0,9  0,03  0,02  0,97  0,027  0,0194  0,0464




La probabilità a posteriori è data da:
P.M / TP  
0,027
 0,58
0,0464
8