Esercitazione 6
annuncio pubblicitario
Anno Accademico 2008-2009 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio 1 Sia L : R3 → R3 l’applicazione lineare rappresentata nella base canonica da: 1 0 0 A= 0 1 0 . 0 0 0 Di che trasformazione si tratta? Determinare Ker(L), Im(L), le loro dimensioni e una loro base. Esercizio 2 Sia L : R3 → R5 l’applicazione lineare rappresentata nella base canonica da: 1 4 1 2 5 0 . 3 6 0 A= 1 7 0 5 8 0 Determinare Ker(L), Im(L), le loro dimensioni e una loro base. Esercizio 3 Discutere la risolubilità dei seguenti sistemi Capelli: x + y + 2z x − 2y + z 3x + y + z 1 lineari utilizzando il Teorema di Rouché+ 3w = 13 +w = 8 −w = 1 2x + y + z 3x − 2y + z x +y −z 6x +z 5x − y + 2z − 2w = 1 − 6w = −2 −w = −1 − 9w = −2 − 8w = 3 Nel caso in cui i sistemi sono risolubili, si determini l’espressione generale della soluzione. Esercizio 4 a) Discutere l’esistenza di soluzioni non banali del sistema lineare omogeneo di 3 equazioni in 4 incognite x, y, z, t: hx −hy +t = 0 x −2y −z = 0 +y +hz +t = 0 al variare del parametro reale h e, quando esistono, trovare le soluzioni. b) Discutere la risolubilità del sistema non omogeneo, avente termine noto b = (1, −2, 2)T , al variare del parametro h. Esercizio 5 [Da un tema d’esame, 2007 ] Si consideri la seguente matrice: 1 1 2 0 0 2 m−1 1 , A= 0 2 0 0 1−m 2 0 −m ed il seguente termine noto: b = (3, −1, 2, 2)T , 1. Si determini, al variare del parametro m, il rango della matrice e una base dell’insieme immagine. 2. Usando il teorema di Rouché-Capelli, si discuta al variare del parametro m se il sistema lineare Ax = b ammette una soluzione e se questa è unica . 3. Si determini per quali valori di m il vettore xp = (0, 1, 1, 0)T è soluzione del sistema. 4. Per il valore m = −2 si determini una base di Ker(A). 5. Sempre per m = −2 si determini la soluzione generale del sistema Ax = b. 2
