Anno Accademico 2008-2009
Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico
per Ingegneria Meccanica
Esercitazione 6
Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli.
Esercizio 1
Sia L : R3 → R3 l’applicazione lineare rappresentata nella base canonica da:
1 0 0
A= 0 1 0 .
0 0 0
Di che trasformazione si tratta? Determinare Ker(L), Im(L), le loro dimensioni e una loro
base.
Esercizio 2
Sia L : R3 → R5 l’applicazione lineare rappresentata nella base canonica da:
1 4 1
2 5 0
.
3
6
0
A=
1 7 0
5 8 0
Determinare Ker(L), Im(L), le loro dimensioni e una loro base.
Esercizio 3
Discutere la risolubilità dei seguenti sistemi
Capelli:
x + y + 2z
x − 2y + z
3x + y + z
1
lineari utilizzando il Teorema di Rouché+ 3w = 13
+w =
8
−w =
1
2x + y + z
3x − 2y + z
x +y −z
6x
+z
5x − y + 2z
− 2w = 1
− 6w = −2
−w =
−1
− 9w = −2
− 8w = 3
Nel caso in cui i sistemi sono risolubili, si determini l’espressione generale della soluzione.
Esercizio 4
a) Discutere l’esistenza di soluzioni non banali del sistema lineare omogeneo di 3 equazioni
in 4 incognite x, y, z, t:
hx −hy
+t = 0
x −2y
−z
= 0
+y +hz +t = 0
al variare del parametro reale h e, quando esistono, trovare le soluzioni.
b) Discutere la risolubilità del sistema non omogeneo, avente termine noto b = (1, −2, 2)T ,
al variare del parametro h.
Esercizio 5
[Da un tema d’esame, 2007 ] Si consideri la seguente matrice:
1
1
2
0
0
2 m−1 1
,
A=
0
2
0
0
1−m 2
0
−m
ed il seguente termine noto:
b = (3, −1, 2, 2)T ,
1. Si determini, al variare del parametro m, il rango della matrice e una base dell’insieme
immagine.
2. Usando il teorema di Rouché-Capelli, si discuta al variare del parametro m se il sistema
lineare Ax = b ammette una soluzione e se questa è unica .
3. Si determini per quali valori di m il vettore xp = (0, 1, 1, 0)T è soluzione del sistema.
4. Per il valore m = −2 si determini una base di Ker(A).
5. Sempre per m = −2 si determini la soluzione generale del sistema Ax = b.
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