Introduzione al Design of Experiments

INTRODUZIONE AL DESIGN OF
EXPERIMENTS (Parte 1)
151
Introduzione
Un esperimento è una prova o una serie di prove. Gli
esperimenti
sono
largamente
utilizzati
nel
campo
dell’ingegneria. Tra le varie applicazioni;
Progettazione e sviluppo del prodotto;
Caratterizzazione e ottimizzazione dei processi;
Valutazione delle proprietà dei materiali.
Tutti gli esperimenti richiedono una pianificazione. Alcuni sono
progettati, alcuni in modo preciso, altri invece sono pianificati
poco e male.
Esiste un modo per “ottimizzare” gli esperimenti ?
Progettazione e Sviluppo Prodotto
152
1
Gli esperimenti nell’ingegneria
Gli esperimenti sono utilizzati per per studiare le prestazioni di
processi e di sistemi (es.: prodotti).
Fattori controllabili
x1
Input
x2
x3
xn
Processo / sistema
z1
z2
z3
Output
y
zn
Fattori non controllabili
Progettazione e Sviluppo Prodotto
153
Quali sono gli obiettivi degli esperimenti ?
Gli obiettivi degli esperimenti possono essere, tra i vari
possibili, i seguenti:
Determinare le variabili che hanno maggiore influenza
sulla risposta y;
Determinare quali valori assegnare alle variabili
controllabili x in modo che la risposta y sia sempre
prossima al valore desiderato;
Determinare quali valori assegnare alle variabili
controllabili x in modo che la variabilità della risposta y
sia minima;
Progettazione e Sviluppo Prodotto
154
2
Principi base del Design of Experiments
Casualizzazione (o randomizzazione):
Eseguire le prove di un esperimento in maniera tale da
distribuire aleatoriamente i fattori di disturbo (es.:
eseguire le prove di un esperimento in ordine casuale)
Replicazione:
Consiste nel ripetere le misure, idealmente in condizioni
diverse
Controllo locale:
Insieme delle operazioni intraprese dallo sperimentatore
per ridurre l’errore sperimentale (es.: utilizzo di unità
sperimentali omogenee, utilizzo dei blocchi)
Progettazione e Sviluppo Prodotto
155
Alcune definizioni
Variabile di risposta: la risposta del sistema oggetto
dell’esperimento
Fattore: variabile controllabile (variabile indipendente). Può
essere:
quantitativo (espresso da un reale o un intero);
qualitativo (espresso attraverso un attributo categorico);
Livello di un fattore: valore assunto dal rispettivo fattore;
Esperimento monofattoriale: esperimento in cui c’è solo
un fattore in gioco;
Esperimento multifattoriale: esperimento in cui c’è più di
un fattore in gioco;
Trattamento: insieme dei livelli imposti ad un’unità
sperimentale
Progettazione e Sviluppo Prodotto
156
3
Strategie di sperimentazione
Esempio: che esperimenti posso svolgere per trovare la
combinazione delle variabili che massimizza le prestazioni del
prodotto ?
Approccio a tentativi (best guess)
Molto utilizzato
Ha più successo di quanto si pensi, ma anche svantaggi
(es.: scarsa comprensione del sistema)
Variazione di un fattore alla volta (OFAT One Factor At-a
Time)
Abbastanza usato in campo ingegneristico
Poco efficiente
Utilizzo di piani fattoriali
Analisi sistematica della superficie di risposta del sistema
Progettazione e Sviluppo Prodotto
157
Piani fattoriali
In un esperimento fattoriale vengono testate tutte (piano
fattoriale completo) o parte (piano fattoriale
frazionario) delle combinazioni derivanti dai possibili livelli
dei fattori.
Esempio: esperimento del golf. Possibili fattori:
Tipo di mazza
Tipo di pallina
Tipo di bibita
Camminare / vetturetta
Condizioni atm.
Mattina / pomeriggio
…
Esempio di piano completo a 2 fattori
Progettazione e Sviluppo Prodotto
158
4
Esempio: piano fattoriale con 2 fattori
Nell’esperimento del golf consideriamo solo gli effetti del tipo
di mazza e del tipo di palla. L’esperimento può essere
rappresentato in uno spazio bidimensionale:
Effetto del tipo di
mazza
Effetto del tipo di
palla
Interazione
mazza/palla
Progettazione e Sviluppo Prodotto
159
Esempio: piano fattoriale con 3 fattori
Decidiamo di studiare, oltre agli effetti del tipo di mazza e del
tipo di palla, l’effetto della bibita utilizzata dal golfista.
L’esperimento può essere rappresentato in uno spazio
tridimensionale:
Progettazione e Sviluppo Prodotto
160
5
Esempio: piano fattoriale con 4 fattori
Oltre ai fattori già visti aggiungiamo lo studio dell’effetto del
mezzo di spostamento utilizzato. L’esperimento può essere
rappresentato in uno spazio a quattro dimensioni:
Progettazione e Sviluppo Prodotto
161
Piani completi e piani frazionari
In un esperimento fattoriale completo si considerano tutte
le possibili combinazioni combinazioni fattori / livelli.
In un esperimento fattoriale frazionario si considera una
parte di tutte le possibili combinazioni fattori / livelli.
Esempio di piano fattoriale frazionario
Progettazione e Sviluppo Prodotto
162
6
Procedura generale per la pianificazione degli
esperimenti
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Identificazione e formulazione del problema;
Scelta dei fattori, del numero dei livelli e dell’ampiezza degli
intervalli;
Scelta della variabile di risposta;
Individuazione del corretto piano sperimentale;
Esecuzione dell’esperimento;
Analisi statistica dei risultati;
Conclusioni
Progettazione e Sviluppo Prodotto
163
Esperimenti con un solo fattore.
Consideriamo il seguente esempio: una ditta produttrice di
calcestruzzo vuole verificare se l’aggiunta di un componente al
calcestruzzo
(emulsione di polimero) ne modifica la
resistenza. Osserviamo che:
Vi è un solo fattore in gioco (composizione del
calcestruzzo);
Il fattore è di tipo qualitativo;
Il fattore ha due livelli (polimero assente / polimero
presente)
Progettazione e Sviluppo Prodotto
164
7
Raccolta dei dati.
Supponiamo che lo sperimentatore abbia avuto a disposizione
10 provini di calcestruzzo normale e 10 di calcestruzzo
modificato;
Le prove sperimentali hanno fornito i seguenti risultati:
Progettazione e Sviluppo Prodotto
165
Visualizzazione dei dati: diagramma a punti
Visualizziamo i dati dell’esperimento in un diagramma a
punti.
Ciascun punto rappresenta un dato sperimentale. Il trattino
rosso orizzontale rappresenta la media campionaria.
Progettazione e Sviluppo Prodotto
166
8
Visualizzazione dei dati: box plot
Il digramma a scatola riporta il minimo, il massimo ed i
percentili 25 %, 50 % (mediana) e 75 %.
Progettazione e Sviluppo Prodotto
167
Interpretazione dei dati
A questo punto ci poniamo la seguente domanda: l’aggiunta
del polimero modifica la resistenza del calcestruzzo ? Ovvero:
la presenza del polimero è un fattore significativo ?
Intuitivamente possiamo dire che l’affidabilità dell’esperimento
e delle conclusioni dipenderanno dai seguenti fattori:
Numerosità del campione;
Distribuzione dei dati sperimentali
I risultati dell’esperimento sembrano indicare che l’aggiunta
del polimero influisce sulla resistenza del calcestruzzo.
Tuttavia siamo sicuri che le conclusioni dell’esperimento non
siano dovute a fattori casuali ?
Progettazione e Sviluppo Prodotto
168
9
Verifica di ipotesi statistiche
Formuliamo
il
problema
in
maniera
matematica.
L’interpretazione dei dati sperimentali dà origine a due ipotesi
statistiche (o meglio ad una ipotesi ed alla negazione della
stessa):
Ipotesi nulla (H0): la resistenza media del calcestruzzo
modificato è uguale a quella del calcestruzzo non
modificato: µ1 = µ2.
Ipotesi
alternativa (H1): la resistenza media del
calcestruzzo modificato è diversa da quella del
calcestruzzo non modificato: µ1 ≠ µ2.
Nota: nelle ipotesi di cui sopra si fa riferimento alla media
della popolazione (non alla media del campione).
Problema: verificare o rigettare l’ipotesi nulla a partire dai dati
campionari
Progettazione e Sviluppo Prodotto
169
Il test t di Student
Esistono numerosi test per la verifica di ipotesi statistiche (test
di significatività). Uno dei più utilizzati è il test t di Student.
Vale sotto l’ipotesi di
popolazioni distribuite normalmente;
uguali varianze dei due gruppi, ancorchè ignote
t =
µ1 − µ 2
2 n +n
2
σ 1
n1n 2
g1σ 1 + g 2 σ 2
g1 + g 2
2
σ =
2
Dove: µ1 , µ 2
rappresentano le medie campionarie dei due
gruppi;
σ 1 , σ 2 Le varianze campionarie dei due gruppi;
n1 , n 2 le numerosità dei due gruppi;
g 1 , g 2 i gradi di libertà dei due gruppi
Progettazione e Sviluppo Prodotto
170
10
Significato del parametro t
È un parametro di significatività:
Valori di t che sono prossimi allo zero sono conformi
all’ipotesi nulla;
Valori di t lontani dallo zero sono conformi all’ipotesi
alternativa;
È una misura di quanto sono lontane le medie in unità di
deviazione standard;
Può essere interpretato come rapporto segnale/rumore.
Osserviamo che:
La significatività aumenta all’aumentare della numerosità
del campione;
La significatività aumenta all’aumentare della differenza
tra le medie campionarie;
La significatività diminuisce all’aumentare della varianza
campionaria (maggiore dispersione dei dati)
Progettazione e Sviluppo Prodotto
171
Scelta del parametro t (1/2)
Come fissare un valore di t che serva da criterio di
accettazione / rifiuto dell’ipotesi nulla ?
Consideriamo la funzione densità di probabilità t di Student (a
18 g.d.l.):
Distribuzione t di Student a 18 gradi di libertà
0.4
0.35
0.3
0.25
p(t)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
t
1
2
3
4
5
Progettazione e Sviluppo Prodotto
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11
Scelta del parametro t (2/2)
L’uguaglianza delle medie della popolazione è tanto più
improbabile quanto t si allontana dallo zero. Si, ma quanto ?
Fissiamo, per esempio, due valori di t che intercettano due
zone del grafico: la zona interna costituita dal 95 % di
probabilità complessiva, e le due code (a dx e sx) di
probabilità complessiva 5 %.
Distribuzione t di Student a 18 gradi di libertà
0.4
0.35
0.3
p(t)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
t
1
2
3
4
5
Progettazione e Sviluppo Prodotto
173
Test di significatività
Questi punti corrispondono a valori di t = -1.734 e 1.734.
Se dunque il nostro valore di t è esterno a quest’intervallo
accettiamo l’ipotesi alternativa (è anche possibile che le
medie siano uguali, ma la probabilità è inferiore al 5 %)
Si dice anche che l’ipotesi alternativa è accettata con un
livello di significatività del 95 %.
Il livello del 95 % è molto usato in pratica. Tuttavia
potremmo voler essere ancora più restrittivi. Imponendo un
valore del 99 % otteniamo per t i valori –2.552 e 2.552.
Se il valore di t è interno all’intervallo concludiamo che non vi
è evidenza statistica di differenza tra le medie delle due
popolazioni. Come interpretiamo questo risultato ?
1)
non vi è, in effetti, differenza tra le medie
2)
la numerosità del campione non è sufficiente
Progettazione e Sviluppo Prodotto
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12
Riferimenti bibliografici
1.
2.
3.
D.C. Montgomery; Progettazione ed analisi degli esperimenti,
McGraw-Hill, 2005;
W. G. Cochran, G. M. Cox; Experimental Designs, John Wiley
& Sons, 1957;
G. Landenna, D. Marasini, A. Ferrari; La verifica di ipotesi
statistiche, Il Mulino, 1998
Progettazione e Sviluppo Prodotto
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