Universit`a di Parma Corso di Laurea in Fisica

Università di Parma
Corso di Laurea in Fisica
Prova scritta di
Introduzione alla Meccanica Quantistica
19 febbraio 2005
Tempo della prova: 3 ore. Indicare nome e cognome sul retro dell’ultimo foglio.
Domanda 1. Una particella di massa m è intrappolata in una buca di
potenziale infinitamente profonda
0
per 0 < x < L
V(x) =
+∞ per x < 0 o x > L .
Sulla particella agisce poi una perturbazione avente energia potenziale U(x) =
λ sin(π x/L)2. Si chiede di calcolare il valore dell’energia dello stato fondamentale, in modo approssimato, utilizzando la teoria delle perturbazioni. Per
comodità si riportano le formule di prostaferesi in appendice al testo.
Domanda 2. Calcolare la lunghezza d’onda di De Broglie per una particella
di massa m e momento lineare p, nei casi seguenti
(1) m = me, p = 103eV
(2) m = me,p = 109eV
(3) m = mp, p = 103eV
(4) m = mp, p = 109eV
dove me è la massa dell’elettrone, mp la massa del protone.
Domanda 3. Nel modello di atomo a elettroni indipendenti (in cui si
trascura l’interazione tra gli elettroni) lo spettro di energia è fissato dal principio di Pauli (nessun elettrone può avere gli stessi numeri quantici, tenendo
conto anche dello spin). Indicando con E0 = − 21 me4/ℏ2 la scala di energia, qual’è un valore approssimato dell’energia dello stato fondamentale se
il numero atomico è Z = 9 (fluoro)? Lo stesso per Z = 11 (sodio).
Domanda 4. Un sistema quantistico elementare è descritto in un’opportuna
base di vettori di stato dalla Hamiltoniana


0 0 0
H = 0 0 E
0 E 0
con E reale positiva. Il sistema presenta due osservabili interessanti, A e B,
che sono rappresentate nella stessa base dalle matrici




0 −i 0
1 0 0
A =  i 0 0
B = 0 1 0  .
0 0 0
0 0 −1
1
2
Si chiede di calcolare il vettore di stato al tempo t > 0 posto che al tempo
t = 0 esso è fissato come
 
0
ψ(0) = 0 .
1
Inoltre si chiede di calcolare il valore di aspettazione di A e B al tempo t.
Formule di prostaferesi
2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β)
2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β)
2 sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β)
3
Prova scritta di
Introduzione alla Meccanica Quantistica
7 luglio 2005
Tempo della prova: 3 ore. Indicare Nome e cognome sul retro dell’ultimo foglio .
Domanda 5. Una particella di massa m è intrappolata in una buca di
potenziale infinitamente profonda
0
per 0 < x < L
V(x) =
+∞ per x < 0 e per x > L .
Sulla particella agisce poi una perturbazione avente energia potenziale U(x) =
λ cos(νπ x/L), con ν intero positivo. Si chiede di calcolare il valore dell’energia dello stato fondamentale, in modo approssimato, utilizzando la teoria
delle perturbazioni. Per comodità si riportano le formule di prostaferesi in
appendice al testo. Inoltre si suggerisce di utilizzare unità tali che m = 1/2
e L = π.
Domanda 6. Si dia una risposta argomentata alle due domande seguenti:
Se un elettrone fosse confinato in una regione di dimensioni pari al nucleo
atomico (∼ 1fermi) la sua energia cinetica dovrebbe essere dell’ordine di
O(1) MeV
O(100) MeV
O(104) MeV
Nel caso invece di un “punto quantico” di un nanometro, cioè una buca
di potenziale che confini l’elettrone in una regione spaziale di dimensioni
10−7cm, la sua energia cinetica dovrebbe essere dell’ordine di
O(10−4) eV
O(10−2) eV
O(1) eV
O(100) eV
Domanda 7. Nel problema della particella in una buca di potenziale infinita
(particella confinata nell’intervallo (−L, L)) si consideri una perturbazione
costituita da una barriera di potenziale
V0 (|x| < a)
V(x) =
0
(a < |x| < L)
essendo a < L e V0 una costante positiva. Si discuta qualitativamente lo
spettro di energia nei due casi limite
• V0 → +∞, tenendo fissi gli altri parametri;
• L → ∞, a → ∞ tenendo fissa la differenza L − a.
4
Formule di prostaferesi
2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β)
2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β)
2 sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β)
5
Prova scritta di
Introduzione alla Meccanica Quantistica
21 luglio 2005
Tempo della prova: 3 ore. Indicare Nome e cognome sul retro dell’ultimo foglio .
Domanda 8. Un sistema quanto-meccanico elementare è definito dalla seguente
matrice che rappresenta l’Hamiltoniana in una opportuna base di vettori
ortonormali


E0 λ
λ
0
 λ E0
0
0 

H=
 λ 0 2 E0
0 
0 0
0
3 E0
con E0 costante positiva. Assumendo che λ sia in modulo molto più piccola
di E0, valutare lo spettro dell’Hamiltoniana utilizzando qualche metodo di
approssimazione.
Suggerimento: utilizzare la nuova base di vettori suggerita dalla teoria delle perturbazioni al primo ordine in λ.
Domanda 9. Un atomo di idrogeno ionizzato cattura un muone (stessa
carica dell’elettrone ma massa circa 200 volte più grande). Qual’è l’energia dello stato fondamentale rispetto a quella dell’atomo di idrogeno? È
giustificata l’applicazione dell’Equazione di Schroedinger?
Domanda 10. Una particella di massa m e spin 0 si muove in una dimensione in presenza di una barriera infinita (convenzionalmente posta a x = 0)
e di un potenziale attrattivo che si può modellizzare con
V(x) = −λ δ(x − a)
essendo λ e a costanti positive e δ(x) la funzione di Dirac.
l’esistenza di stati legati nello spettro di energia.
Discutere