3 Modelli cinetici di trasporto

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MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
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Modelli cinetici di trasporto
Il problema del trasporto di cariche nei semiconduttori rientra rigorosamente
nell’ambito dell teoria dei molti corpi in meccanica quantistica, ed in quanto
tale presenta delle difficoltà matematiche e computazionali notevoli che ne
rendono difficile l’utilizzo per applicazioni tecnologiche.
Per questo motivo adotteremo uno schema teorico meno fondamentale,
ma sufficientemente approssimato per la maggior parte delle applicazioni
tecnologiche, che ha il vantaggio di condurre a problemi matematici molto
interessanti ma trattabili nell’ambito delle conoscenze attuali e ad algoritmi
numerici di soluzione che sono implementabili con le attuali risorse di calcolo. L’approccio seguito è quello della teoria cinetica basata sull’equazione
semiclassica di Boltzmann.
3.1
Approssimazione delle bande energetiche
Nello schema semiclassico i pacchetti d’onda che descrivono elettroni in un
reticolo semiconduttore sono considerati molto localizzati. L’elettrone viene
descritto come una particella la cui velocità è identificata con la velocità di
gruppo del pacchetto d’onde. È stato visto precedentemente che la velocità
di gruppo di un elettrone vn (k) in una generica banda dipende dall’energia
En (k) mediante la relazione (vedi [2] per la derivazione)
vn (k) =
1
∇k En (k).
~
Spesso, per ottennere un modello semplice del trasporto, è utile utilizzare una descrizione semplificata della struttura a bande, basata su semplici approssimazioni analitiche. Ci limiteremo qui alla banda di conduzione
più bassa in energia, in quanto, nelle condizioni usuali per le applicazioni
tecnologiche, le bande di energia più elevata sono scarsamente popolate.
Come abbiamo visto, gli elettroni nella banda di conduzione più bassa
sono in massima parte concentrati attorno ai minimi locali di energia, le
cosiddette valli. Nell’approssimazione di bande paraboliche, la banda energetica in conduzione, Ec , è descritta con un paraboloide nell’intorno del
minimo di energia di ciascuna valle. Nel caso più semplice in cui la banda sia localmente isotropa intorno al punto di minimo, l’approssimazione
parabolica si riduce a
Ec (k) =
~2 |k|2
,
2m∗c
(1)
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MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
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dove si assume che k vari su tutto R3 , e m∗c è la massa efficace dell’elettrone
in banda di conduzione, che è data da me per una costante adimensionale
che dipende dal materiale, ad esempio per il Silicio m∗c = 0.32 me . Esplicitamente, nel caso parabolico, per la velocità di gruppo nella banda di
conduzione otteniamo
vc (k) =
~k
.
m∗c
(2)
Una approssimazione analitica più accurata, che tiene in conto la non
parabolicità alle alte energie, è data dalla relazione di dispersione di Kane
[2]
Ec (k) [1 + αc Ec (k)] =
~2 |k|2
,
2m∗c
(3)
dove α è il parametro di non parabolicità. Per il Silicio, αc =0.5 eV−1 per
ciascuna X-valle. Sia m∗c che αc possono cambiare per valli diverse. Per la
relazione di dispersione di Kane, la velocità di gruppo è data da
vc (k) =
m∗c [1
~k
.
+ 2αc Ec (k)]
(4)
Le versioni anisotrope della (1) e (3) sono pure utilizzate:
#
"
~2 |kl |2 |kt |2
+ ∗ ,
Ec (k) =
2 m∗c,l
mc,t
"
#
~2 |kl |2 |kt |2
Ec (k) [1 + αc Ec (k)] =
+ ∗ ,
2 m∗c,l
mc,t
dove m∗c,l e m∗c,t sono le masse efficaci longitudinali e trasverse in conduzione,
e il vettore d’onda è decomposto lungo le direzioni longitudinale e trasversa,
k = kl + kt .
Per la banda di valenza Ev è possibile effettuare un simile sviluppo
nell’intorno dei massimi. Nell’approssimazione parabolica si ha
Ev (k) = −
~2 |k|2
,
2m∗v
(5)
dove m∗v è la massa efficace nella banda di valenza. La corrispondente
velocità di gruppo vv è
vv (k) = −
~k
,
m∗v
(6)
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MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
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che deriva dalla relazione generale
1
vv (k) = − ∇k Ev (k).
~
Nelle approssimazioni parabolica e di Kane, sia nelle loro versioni isotrope
che in quelle anisotrope, la zona di Brillouin B viene convenzionalmente
estesa a tutto R3 .
Le approssimazioni parabolica e di Kane sono, appunto, solo approssimazioni. Nei simulatori più accurati, per poter vedere, ad esempio, la rottura dovuta a ionizzazione da impatto, oppure la coda di energia dovuta
alla penetrazione di elettroni caldi in un MOSFET, le bande vengono trattate mediante una tabulazione numerica, ad intervalli inferiori al mV , e la
superficie della banda viene descritta con interpolazione numerica su questa griglia, usando splines. Ovviamente, ad una maggiore accuratezza del
modello corrisponde una difficoltà computazionale molto maggiore.
3.2
Equazione semiclassica di Liouville
Si è visto che, nella descrizione semiclassica, in presenza di un potenziale
U (x) in aggiunta a quello periodico dovuto al reticolo, il moto di un elettrone
è retto dalle equazioni
ẋ = v(k),
k̇ =
1
F(x),
~
(7)
dove la velocità e la forza applicata sono date da
v(k) =
1
∇k E(k),
~
F(x) = −∇x U (x).
Nelle (7) l’indice di banda è stato omesso e il puntino indica la derivata
rispetto al tempo. Le equazioni (7) possono essere scritte come un sistema canonico per la coppia di variabili coniugate (x, p) = (x, ~k) con
Hamiltoniana H(x, ~k) = E(k) + U (x), ovvero
ẋ =
1
∇k H,
~
1
k̇ = − ∇x H.
~
Il trasporto nei solidi non è dovuto ad un singolo elettrone ma ad un
numero N di particelle. Indichiamo con xi e ki , i = 1, 2, . . . , N , la posizione e il vettore d’onda della particella i-esima. In linea di principio
il moto di un insieme di N elettroni può essere studiato risolvendo l’equazione di Schrödinger per la funzione d’onda per il sistema di N elettroni
ψ(x1 , · · · , xN ).
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MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
41
Nell’approssimazione semiclassica, assumendo che le forze siano indipendenti da tutti i ki e possano essere rappresentate da un campo gradiente con
potenziale U (x1 , · · · , xN ), il moto è ancora descritto da un sistema canonico
con Hamiltoniana
H(x1 , · · · , xN , ~k1 , . . . , ~kN ) =
N
X
Ei (ki ) + U (x1 , · · · , xN ),
i=1
ovvero
ẋi =
1
∇ k H ≡ vi ,
~ i
1
1
k̇i = − ∇xi H ≡ Fi .
~
~
(8)
A queste equazioni dobbiamo aggiungere le condizioni iniziali:
xi (0) = xi,0 ,
ki (0) = ki,0 .
(9)
Anche questo problema presenta difficoltà proibitive dal punto di vista computazionale, sia per il grande valore di N che per l’impossibilità di determinare in modo completo le condizioni iniziali di un sistema fisico. Diventa
pertanto necessario ricorrere a metodi della Meccanica Statistica.
Introduciamo la densità di probabilità congiunta
PN (x1 , . . . , xN , k1 , . . . , kN , t)
che, per ogni tempo t ∈ R, definisce la distribuzione di probabilità degli
elettroni nello spazio delle fasi F = R3N ×BN ⊂ R6N . In altre parole, fissata
una qualunque regione R dello spazio delle fasi F, la quantità seguente:
ZZ
PN (x1 , . . . , xN , k1 , . . . , kN , t) dx1 · · · dxN dk1 · · · dkN
R
rappresenta la probabilità che al tempo t il sistema degli N elettroni si trovi
nella regione R. Chiaramente, per definizione, deve aversi
ZZ
PN (x1 , . . . , xN , k1 , . . . , kN , t) dx1 · · · dxN dk1 · · · dkN = 1.
F
Procedendo come nella dinamica dei gas, è possibile trovare l’equazione
che descrive l’evoluzione temporale della densità di probabilità congiunta.
Consideriamo, dunque, una regione R0 di F e facciamola evolvere fino al
tempo t, ottenendo la regione
R(t; R0 ) = {(x, k) ∈ F | (x, k) = (x(t), k(t)),
soluzione di (8), (9), con (x0 , k0 ) ∈ R0 }.
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MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
42
In questa formula abbiamo usato la notazione concisa x = (x1 , . . . , xN ),
k = (k1 , . . . , kN ), x0 = (x1,0 , . . . , xN,0 ), k = (k1,0 , . . . , kN,0 ).
Se non avviene creazione nè distruzione di particelle, deve essere verificata l’uguaglianza:
ZZ
PN (x1 , . . . , xN , k1 , . . . , kN , t) dx1 · · · dxN dk1 · · · dkN
R(t;R0 )
ZZ
=
PN (x1 , . . . , xN , k1 , . . . , kN , 0) dx1 · · · dxN dk1 · · · dkN . (10)
R0
Ne segue una specie di analogo della conservazione di massa:
∂PN
+ ∇x · (PN ẋ) + ∇k · (PN k̇) = 0,
∂t
che si può scrivere nella forma
∂PN
+ ẋ · ∇x PN + k̇ · ∇k PN + PN (∇x · ẋ + ∇k · k̇) = 0.
∂t
Utilizzando (8), si ha
∇x · ẋ + ∇k · k̇ =
(11)
(12)
1
(∇x · ∇k H − ∇k · ∇x H) = 0,
~
e l’equazione (11) diventa
∂PN
+ ẋ · ∇x PN + k̇ · ∇k PN = 0.
(13)
∂t
Questa equazione rappresenta il contenuto del Teorema di Liouville [1]. In
maniera forse più espressiva, si può dire che la densità di probabilità si
conserva lungo il flusso di fase,
ṖN ≡
PN (x1 (t), . . . , xN (t), k1 (t), . . . , kN (t), t)
= PN (x1 (0), . . . , xN (0), k1 (0), . . . , kN (0), 0).
Un modo equivalente di riguardare il teorema di Lioville è quello di affermare
che, se non vi è creazione nè distruzione di particelle, l’elemento di volume
nello spazio delle fasi è invariante rispetto al flusso di fase,
dx1 (t) · · · dxN (t) dk1 (t) · · · dkN (t) = dx1 (0) · · · dxN (0) dk1 (0) · · · dxN (0).
Usando ancora una volta (8) nella (13), si vede che la densità di probabilità congiunta PN soddisfa l’equazione semiclassica di Liouville [3, 8]
N
N
∂PN X
1X
+
v(ki ) · ∇xi PN +
Fi · ∇ki PN = 0.
∂t
~
i=1
i=1
(14)
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MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
3.3
43
Equazione semiclassica di Vlasov
Assumiamo ora che le forze esterne possono essere espresse come la somma
di un campo elettrico esterno e del potenziale di interazione a due particelle,
U (x) =
N
X
i=1
U
ext
N
1 X
(xi ) +
U int (xi , xj ).
2
(15)
i,j=1
j6=i
Il potenziale d’interazione U int (x, y) soddisfa le proprietà
U int (xi , xj ) = U int (xj , xi ),
∇y U int (xi , xj ) = ∇x U int (xj , xi ),
∇x U int (xj , xi ) = −∇x U int (xi , xj ).
Di conseguenza, la forza agente sulla i-esima particella è
Fi (x) = −∇xi U ext (xi ) −
N
X
∇x U int (xi , xj )
(16)
j=1
j6=i
= Fext (xi ) +
N
X
Fint (xi , xj ),
(17)
j=1
j6=i
con
Fint (xi , xj ) = −Fint (xj , xi ).
(18)
Grazie alla proprietà (18), si può dimostrare che la densità PN è indipendente
dalla numerazione delle particelle, ovvero
PN (x1 , . . . , xN , k1 , . . . , kN , t)
= PN (xπ(1) , . . . , xπ(N ) , kπ(1) , . . . , kπ(N ) , t),
(19)
per ogni permutazione π di {1, . . . , N }, con xi ∈ R3 , ki ∈ B. Più precisamente, si vede che la (19) è verificata per ogni t se essa è verificata per t = 0.
La proprietà (19) ci dice che le particelle sono indistinguibili l’una dall’altra.
Procedendo come nella teoria classica [3], introduciamo la densità di
probabilità congiunta per un sottoinsieme di d particelle estratte da un
insieme di N particelle:
(d)
PN (x1 , . . . , xd , k1 , . . . , kd , t)
ZZ
=
PN (x1 , . . . , xN , k1 , . . . , kN , t) dxd+1 dkd+1 · · · dxN dkN .
(R3 ×B)N −d
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MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
44
(d)
Per capire come interpretare fisicamente PN , con 1 ≤ d ≤ N −1, prendi(1)
amo in esame PN . Questa funzione densità, per definizione, rappresenta la
densità di probabilità di una particella estratta da un insieme di N particelle.
Quindi, essendo le N particelle indistinguibili, essa ci dà informazioni sulle
grandezze macroscopiche legate allo spazio delle fasi “fisico”, F = R3 × B.
In particolare, mediante questa funzione possiamo calcolare la densità del
numero di elettroni. Sapendo che in totale ci sono N elettroni, la densità
del numero di elettroni nel volumetto dx dk centrato in (x, k) può essere
espressa come
(1)
N PN (x, k, t) dx dk.
Quindi la densità n del numero di elettroni per unità di volume si ottiene
sommando su tutti i possibili stati k:
Z
(1)
N PN (x, k, t) dk.
(20)
n(x, t) =
B
Analogamente, la velocità media u è data da
(1)
R
u(x, t) =
=
v(k)N PN (x, k, t) dk
R
(1)
PN (x, k, t) dk
B NZ
1
(1)
v(k)N PN (x, k, t) dk.
n(x, t) B
B
(21)
Allo stesso modo è possibile costruire altre grandezze macroscopiche.
(2)
La funzione densità PN ci dà informazioni sull’interazione tra due particelle estratte da un insieme di N , nello spazio delle fasi F 2 . L’interpretazione
(d)
delle funzioni PN , con 2 < d ≤ N − 1, è analoga. Queste considerazioni
potrebbero suggerire l’idea di trascurare queste funzioni e occuparci solo di
(1)
(1)
PN . In realtà vedremo che per determinare PN è necessario allo stesso
(d)
tempo determinare anche tutte le altre PN .
(d)
Per ottenere un’equazione per PN , con d = 1, . . . , N −1, è sufficiente integrare l’equazione di Liouville (14) rispetto a 3(N − d) variabili di posizione
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MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
45
e vettore d’onda, ottenendo:
d
d
i=1
d
d
X X
i=1
(d)
X
∂PN
1 X ext
(d)
(d)
+
v(ki ) · ∇xi PN +
F (xi ) · ∇ki PN
∂t
~
+
1
~
(d)
Fint (xi , xj ) · ∇ki PN
i=1 j=1
j6=i
d
X
1
+ (N − d)
~
ZZ
(d+1)
Fint (xi , xd+1 ) · ∇ki PN
dxd+1 dkd+1 = 0. (22)
i=1
La (22) viene detta gerarchia BBGKY, dai nomi degli scienziati che per
primi l’hanno studiata (Bogoliubov, Born, Green, Kirkwood, Yvon). Si
tratta infatti di una gerarchia di equazioni, nel senso che l’equazione per una
(d)
(d+1)
variabile, PN , dipende dalla successiva, PN
. Quindi, come accennato
(1)
precedentemente, la densità di probabilità per una particella, PN , dipende
(d)
da tutte le altre densità di probabilità, PN , d = 1, . . . , N − 1.
Nonostante le equazioni siano tutte accoppiate, è possibile ricavare un’equazione per la densità di probabilità di una particella estratta da un insieme
molto grande di particelle, facendo tendere N → ∞. In questa operazione di
passaggio al limite è fondamentale l’ipotesi che le particelle siano indipendenti, nel senso che la densità di probabilità congiunta di due elettroni è
uguale al prodotto delle densità di probabilità dei singoli elettroni,
(2)
(1)
(1)
PN (x1 , x2 , k1 , k2 , t) = PN (x1 , k1 , t)PN (x2 , k2 , t).
(23)
Inoltre, ricordando l’espressione (20), che vorremmo abbia senso anche dopo
il passaggio al limite, definiamo la funzione
(1)
fN (x, k, t) = N PN (x, k, t).
Allora, dalla (22) scritta per d = 1, si ricava subito
1
∂fN
+ v(k) · ∇x fN + Fext (x) · ∇k fN
∂t
~
Z
1
1
int
F (x, y)n(y, t) dy · ∇k fN = 0,
+ 1−
~
N
(24)
dove la densità del numero di particelle, n, è definita dalla (20). Supponiamo
che esista il limite di fN per N → ∞, ed indichiamolo con f :
f (x, k, t) = lim fN (x, k, t).
N →∞
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
46
La funzione f viene detta funzione di distribuzione. Passando al limite in
(24), si trova (almeno formalmente) che f soddisfa l’equazione semiclassica
di Vlasov
∂f
1
+ v(k) · ∇x f + Feff (x, t) · ∇k f = 0,
∂t
~
dove la forza efficace Feff è definita come
Z
eff
ext
Fint (x, y) n(y, t) dy,
F (x, t) = F (x) +
(25)
(26)
R3
con
Z
f (x, k, t) dk
n(x, t) =
B
L’equazione (25) vale per qualunque sistema di particelle semiclassiche
soggette ad un potenziale esterno e ad un potenziale di interazione binaria.
Per distinguere tra elettroni e lacune occorre specificare questi potenziali,
come vedremo nella prossima sezione.
3.4
Equazione autoconsistente di Poisson
La relazione (26) scritta in termini di potenziale elettrico è equivalente ad
una equazione di Poisson. Supponiamo prima che le nostre particelle siano
elettroni. Allora possiamo scrivere
Fext = −qEext ,
(27)
dove Eext è il campo elettrico “esterno”, dovuto ad una distribuzione di
carica ρext “esterna” (cioè non trasportata dagli elettroni). Quindi deve
valere la relazione
∇x · (s Eext ) = ρext ,
(28)
con s costante dielettrica del semiconduttore.
Per quanto riguarda la forza di interazione tra elettrone ed elettrone,
int
F , essa è data semplicemente dalla forza di Coulomb,
Fint (x, y) = −
q2 x − y
.
4πs |x − y|3
Introduciamo il campo elettrico “interno” Eint , definito da
Z
1
Fint (x, y) n(y, t) dy
Eint (x, t) =
−q R3
Z
q
x−y
=
n(y, t) dy.
4πs R3 |x − y|3
(29)
(30)
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
47
Quindi, Eint rappresenta il campo elettrico dovuto alle interazioni di Coulomb
di una particella generica con le rimanenti particelle. Procedendo come in
elettrostatica, si riesce a provare la relazione
∇x · (s Eint (x, t)) = −qn(x, t).
(31)
Usando le precedenti espressioni, possiamo scrivere la forza efficace come
Feff = −qEeff ,
(32)
dove il campo elettrico efficace Eeff è la somma di due termini,
Eeff = Eext + Eint .
(33)
Usando le relazioni (28) e (31), il campo elettrico efficace soddisfa la relazione
∇x · (s Eeff (x, t)) = ρext − qn(x, t).
(34)
Infine, trascurando effetti magnetici, possiamo definire il potenziale elettrico
efficace, V eff , mediante l’espressione
Eeff (x, t) = −∇x V eff (x, t).
(35)
In conclusione, l’equazione di Vlasov (25) e la relazione (26) si possono
scrivere nella forma delle due equazioni accoppiate:
q
∂f
+ v(k) · ∇f − Eeff · ∇k f = 0,
∂t
~
−∇x · (s ∇x V eff ) = ρext − qn,
(36)
(37)
dove il campo elettrico Eeff (x, t) = −∇x V eff (x, t) è la somma del campo
elettrico esterno e di quello autoconsistente dovuto alle interazioni elettrostatiche a lungo raggio. Ricordiamo che
Z
n(x, t) =
f (x, k, t) dk.
B
Il sistema (36)-(37) è noto come sistema di Vlasov-Poisson. Nel seguito
ometteremo il suffisso eff e parleremo semplicemente di campo elettrico e
potenziale elettrico.
Le considerazioni fatte fin qui per elettroni si possono estendere facilmente a lacune, cambiando q in −q. Per completezza scriviamo il sistema
di Vlasov per la funzione di distribuzione fv per le lacune:
∂fv
q
+ vv (k) · ∇fv − E · ∇k fv = 0,
∂t
~
−∇x · (s ∇x V ) = ρext + qp,
(38)
(39)
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MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
con
48
Z
p(x, t) =
fv (x, k, t) dk.
B
Nel caso di sistemi bipolari, in cui intervengono sia elettroni che lacune,
l’equazione di Poisson per il potenziale elettrico autoconsistente che compare
in (36) e (38) diventa
−∇x · (s ∇x V ) = q(ND − NA − n + p).
(40)
Si noti che la densità di carica ρext è stata espressa come
ρext = q(ND − NA ),
dove ND e NA sono, rispettivamente, le densità di ioni donori e accettori
(droganti).
3.5
Equazione semiclassica di Boltzmann
La descrizione presentata per il moto di elettroni nei solidi è valida nel caso
di un cristallo perfettamente periodico. I semiconduttori reali non possono
essere considerati come cristalli ideali periodici per molte ragioni. Infatti la
stretta periodicità viene distrutta da :
• dislocazioni nel cristallo;
• atomi mancanti (vacanze);
• atomi occupanti regioni vuote nel caso ideale (interstiziali) ;
• stress meccanici ;
• drogaggio con impurezze ;
• vibrazioni termiche del reticolo (fononi)
Le più importanti cause di imperfezioni sono le ultime due.
L’effetto della deviazione del cristallo dalla idealità può essere preso in
considerazione in modo perturbativo, descrivendo l’interazione degli elettroni con il cristallo di ioni come solo approssimativamente periodico. Le
piccole deviazioni dalla periodicità sono trattate come piccole perturbazioni
attorno al potenziale periodico. In particolare l’effetto delle vibrazioni termiche degli ioni sulla dinamica degli elettroni può essere descritto come
scattering con i fononi. Formalmente questi effetti sono tenuti in conto
introducendo un membro di destra non nullo nell’equazione di Vlasov che
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
49
descrive l’effetto dello scattering, ottenendo cosı̀ l’equazione semiclassica di
Boltzmann per elettroni nella banda di conduzione nei semiconduttori
∂f
q
+ v(k) · ∇f − E · ∇k f = C[f ],
∂t
~
(41)
dove C[f ] rappresenta il termine di scattering. Analoga equazione può essere
derivata per le lacune.
L’espressione per il termine di collisione ha la seguente forma [5, 4]. Per
una interazione generica intravalle o intrabanda C[f ] può essere scritto come
Z
C[f ] =
P (k0 , k)f 0 1 − 4π 3 f − P (k, k0 )f 1 − 4π 3 f 0 dk, (42)
B
dove abbiamo usato la notazione f = f (x, k, t), f 0 = f (x, k0 , t). Nella (42),
P (k, k0 ) è la probabilità di transizione dallo stato k allo stato k0 , ovvero la
probabilità condizionale che lo stato dopo la collisione sia k0 posto che lo
stato prima della collisione sia k. Il primo termine nella (42) rappresenta
il guadagno, cioè il numero di elettroni che sono portati nello stato di vettore d’onda k. Con significato analogo, il secondo termine rappresenta la
perdita. Ricordiamo che 4π1 3 rappresenta la densità degli stati nello spazio
delle fasi. Quindi 4π 3 f è uguale alla densità di probabilita del numero di
particelle diviso la densità degli stati, e quindi rappresenta la probabilità di
occupazione.
Ogni fenomeno di collisione produce una variazione nell’energia e impulso degli elettroni. La variazione di energia può lasciare l’elettrone nella
stessa banda (intraband transition), o portarlo in un’altra banda (interband
transition). Nelle bande di conduzione gli elettroni sono essenzialmente situati nelle valli. Dopo una collisione gli elettroni possono rimanere nella
stessa valle (intravalley scattering) o portati in un’altra valle (intervalley
scattering).
Qualunque sia il tipo di collisione, vale il principio del bilancio dettagliato, che implica
E − E0
0
0
P (k , k) = P (k, k ) exp −
,
(43)
kB TL
dove E = E(k) e E 0 = E(k0 ).
Ne segue che all’equilibrio la funzione di distribuzione di elettroni deve
obbedire la statistica di Fermi-Dirac
−1
1
E −µ
feq (k) = 3 fFD (E(k)),
+1
,
fFD (E) = exp
4π
kB TL
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
50
dove kB è la costante di Boltzmannn e µ il potenziale chimico.
Nel caso non degenere si considera il limite Maxwelliano della distribuzione
di Fermi-Dirac
1
E −µ
,
feq (k) ≈ 3 fM (E(k)),
fM (E) = exp −
4π
kB TL
e l’operatore di collisione può essere sostituito dal suo linearizzato
Z
C[f ] =
P (k0 , k)f 0 − P (k, k0 )f d3 k.
(44)
B
3.6
Collisioni elettrone-fonone
Come abbiamo detto le vibrazioni del reticolo fanno sı́ che gli atomi si spostino dalle loro posizioni di equilibrio. Lo spostamento di un atomo genera una
perturbazione locale del potenziale periodico del reticolo, che è sorgente di
scattering per un elettrone che passa vicino all’atomo. Questi scattering
nell’approssimazione che stiamo adottando possono essere trattati come un
urto tra un elettrone ed un fonone.
Qui i fononi verranno, semplicemente, trattati come un gas di particelle
(in realta’ quasi-particelle) che si trova in equilibrio alla temperatura TL del
reticolo cristallino, supponendo, quindi, che lo scambio di impulso ed energia
che può aversi tra i fononi e gli elettroni non alteri questo equilibrio.
L’equilibrio dei fononi è caratterizzato dal fatto che il loro numero di
occupazione, NB , (numero medio di fononi che si trovano in un dato stato
quantistico) è dato dalla distribuzione di Bose-Einstein
1
NB (~ω) =
exp
~ω
kB TL
,
(45)
−1
dove ~ω è l’energia del fonone. Come si può notare, questo numero di
occupazione, a differenza di quello degli elettroni o delle lacune, può essere
maggiore di uno, cioè due fononi possono occupare lo stesso stato quantistico
proprio perchè essi sono dei bosoni.
Nell’approssimazione di Born lo scattering elettrone-fonone si può ricondurre a due fenomeni elementari: l’assorbimento di un fonone, e l’emissione
di un fonone.
Nel primo di questi fenomeni, un fonone di vettore d’onda ξ ed energia
~ω viene assorbito da un elettrone di pseudo-vettore d’onda k ed energia
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
51
Ec (k). Lo pseudo-vettore d’onda e l’energia dell’elettrone dopo l’interazione
soddisfano le
k0 = k + ξ + g
Ec (k0 ) = Ec (k) + ~ω
dove g è un vettore del reticolo reciproco tale che anche k0 ∈ B. Questo
significa che in questo processo si ha la conservazione dell’impulso e dell’energia totali, la prima a meno di un vettore del reticolo reciproco nel caso in
cui il vettore somma k + ξ non appartenga alla prima zona di Brillouin.
Nel secondo fenomeno, un elettrone di pseudo-vettore d’onda k ed energia Ec (k) dà origine ad un nuovo elettrone di pseudo-vettore d’onda k0 ed energia Ec (k0 ) e ad un fonone di vettore d’onda ξ ed energia ~ω, analogamente
a prima si ha
k0 = k − ξ + g
Ec (k0 ) = Ec (k) − ~ω .
Da quanto detto prima segue che l’elenco delle possibili interazioni con
i fononi è piuttosto lungo. Ci sono due tipi di fononi, quello acustico e
quello ottico, ed ognuno di questi può interagire con gli elettroni sia tramite
il potenziale di deformazione che per mezzo dell’interazione polare. I nomi
delle varie interazioni possibili sono elencati nella tabella 1. Ricordiamo,
infine, che per ognuna di queste interazioni si può avere tanto l’emissione
quanto l’assorbimento di un fonone.
Meccanismo di interazione
Potenziale
Potenziale
di deformazione
di interazione
Fonone
acustico
interazione
acustica
interazione
piezoelettrica
Fonone
ottico
interazione
ottica non-polare
interazione
ottica polare
Tabella 1: Interazioni elettrone-fonone
Per semplicità sarà considerato il caso, che si ritrova più frequente nelle
applicazioni, nel quale gli elettroni formano un gas non degenere, trascurando cosı̀ gli effetti del principio di esclusione di Pauli.
La probabilità di transizione dallo stato k allo stato k0 ha la forma
generale [5]
P (k, k0 ) = G(k, k0 ) (NB + 1)δ(E 0 − E + ~ωq ) + NB δ(E 0 − E − ~ωq ) (46)
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
52
Tabella 2: Valolri dei parametri fisici e delle costanti per il Silicio
me
m∗
TL
ρ0
vs
Ξd
α
r
0
massa a riposo dell’elettrone
massa efficace dell’elettrone
temperatura del reticolo
densità
velocità del suono longitudinale
potenziale di deformazione acustico
fattore di non parabolicità
costante dielettrica relativa
costante dielettrica nel vuoto
9.1095×10−28 g
0.32 me
300o K
2330 g/cm3
9.18×105 cm/sec
9 eV
0.5 1/eV
11.7
8.85×10−18 C/V µm
con δ(x) la distribuzione di Dirac. G(k, k0 ) è il fattore di overlap, che dipende
dalla struttura a bande e dal particolare tipo di interazione, e gode delle
proprietà
G(k, k0 ) = G(k0 , k) e G(k, k0 ) ≥ 0.
Se E 0 = E + ~ω si ha un assorbimento di energia, mentre se E 0 = E − ~ω si
ha emissione di energia. Se E 0 = E lo scattering è elastico.
Espressioni analoghe opportunamente modificate valgono nel caso di
interazioni intervalle e interbanda.
3.7
Scatterings in banda di conduzione del Silicio
Nel Silicio gli scattering permessi elettrone-fonone nella banda di conduzione
possono essere riassunti come segue:
• scattering con fononi acustici intravalle (elastico);
• scattering con fononi acustici intervalle (inelastico);
• scattering con fononi ottici non polare (inelastico).
Nel caso elastico
P (k, k0 ) = Kac δ(E − E 0 ),
(47)
mentre per scattering inelastico
h
i
(np)
(np)
P (k, k0 ) = Knp (NB + 1)δ(E 0 − E + ~ω) + NB δ(E 0 − E − ~ω) , (48)
(np)
dove NB
è la distribuzione di Bose-Einstein per i fononi ottici (45).
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
53
Tabella 3: Costanti di accoppiamento e energie dei fononi per scattering inelastici
nel Silicio
A
Zf
~ω (meV)
Dt K(108 eV /cm)
1
2
3
4
5
6
1
1
4
4
1
4
12
18.5
19.0
47.4
61.2
59.0
0.5
0.8
0.3
2.0
11
2.0
Per lo scattering con le impurezze si ha
P (imp) (kA , k0A ) =
Kimp
0
2 δ(EA − EA ),
0
2
2
|kA − kA | + β
dove β è l’inverso della lunghezza di Debye.
I parametri che compaiono nelle espressioni per i tassi di scattering possono essere espressi in termini di quantità fisiche caratteristiche del materiale
Kac =
kB TL Ξ2d
,
4π 2 ~ρvs2
Kimp =
NI Z 2 q 4
,
4π~ 2
Zf (Dt K)2
,
8π 2 ρω
2
1/2
q NI
β=
kB TL
Knp =
dove Ξd è il potenziale di deformazione per i fononi acustici, ρ la densità
di massa del semiconduttore, vs la velocità del suono del modo acustico
longitudinale, Dt K il potenziale di deformazione per i fononi ottici non
polari e Zf il numero di valli finali equivalenti per lo scattering intervalle,
~ω è l’energia del fonono ottico longitudinale NI e Z q sono rispettivamente
la concentrazione di impurezze e la loro carica.
I potenziali di deformazione vengono considerati come parametri da determinare sulla base del confronto tra le soluzioni dell’equazione semiclassica
di Boltzmann nel caso di un semiconduttore omogeneo e i risultati sperimentali per la velocità in funzione del campo elettrico esterno applicato. Tali
valori sono riportati nel testo di Jacoboni e Reggiani [4], vedi le tavole 2 e
3.
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
3.8
54
Appendice. Proprietà dell’equazione di Boltzmann
Nel seguito saranno rilevanti tre proprietà fondamentali dell’equazione semiclassica di Boltzmann per semiconduttori: la caratterizzazione delle distribuzioni all’equilibrio, la caratterizzazione degli invarianti collisionali e la
validità di un teorema H. Per semplicità ci metteremo nell’ipotesi di bassa
densità, trascurando effetti di degenerazione. In questo regime, ha senso
considerare un operatore di collisione linearizzato C[f ] della forma [9]
Z
C[f ] =
P (k0 , k)f 0 − P (k, k0 )f dk0 ,
(49)
B
f0
dove f = f (x, k, t),
= f (x, k0 , t). In (49), la probabilità di transizione
0
P (k , k) dallo stato k allo stato k0 soddisfa la relazione
E0
E
0
0
P (k , k) exp −
= P (k, k ) exp −
,
(50)
kB TL
kB TL
dove E = E(k), E 0 = E(k0 ), e TL è la temperatura del reticolo.
3.8.1
Distribuzioni di equilibrio
Una distribuzione f si dice di equilibrio per l’operatore di collisione C se
C[f ] = 0. Usando (50) in (49), possiamo scrivere
0 Z
E
E
E
0
0
f exp
− f exp
dk0 .(51)
C[f ] =
P (k, k ) exp −
kB TL
kB TL
kB TL
B
Ne segue che la distribuzione
E(k)
n∗
,
M (k) = ∗ exp −
N
kB TL
E(k)
exp −
N =
kB TL
B
∗
Z
dk,
(52)
è una distribuzione di equilibrio per l’operatore di collisione. In generale, n∗
and TL possono essere funzioni arbitrarie di x e t. Però se richiediamo che la
distribuzione (52) sia soluzione di (41)–(40) ne segue necessariamente che TL
è costante e la funzione n∗ è individuata univocamente insieme al potenziale
elettrico all’equilibrio φ∗ , come risulta dalla proposizione seguente.
Proposizione 3.1 La distribuzione di equilibrio (52) è una soluzione delle
equazioni (41)–(40) se e solo se TL è costante, e la densità n∗ e il potenziale
elettrico φ∗ soddisfano il sistema di equazioni di deriva-diffusione all’equilibrio
kB TL ∇x n∗ − qn∗ ∇x φ∗ = 0,
∗
(53)
∗
∇x · (s ∇x φ ) = −qe (N − n ).
(54)
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
55
Per convincersene basta scrivere (41) con f = M ed integrare sulla zona
di Brillouin. Essendo E simmetrica, tutti gli integrali si annullano tranne
il primo. Ne segue che ∂n∗ /∂t = 0, da cui n∗ = n∗ (x). In modo analogo, multiplicando (41) per E ed integrando su B, otteniamo ∂TL /∂t = 0,
cioè, TL = TL (x). Per andare avanti, moltiplichiamo (41) per v e per Ev.
Integrando su B le equazioni risultanti, ricaviamo
∗
Z
Z
n
qn∗ ∇x φ∗
n∗ ∇x TL
− k ET
− E
∇x
− ∗
· e B L vv dk + ∗
· e kB TL Evv dk = 0,
2
∗
N
N kB TL
N kB TL B
B
∗
Z
Z
∗
∗
E
n
qn ∇x φ
n∗ ∇x TL
−k T
− k ET
2
B L Evv dk +
B L E vv dk = 0.
∇x
−
·
e
·
e
N∗
N ∗ kB TL
N ∗ kB TL2 B
B
Dato che la matrice
 Z
Z

Evv
dk
 B

B
 Z

Z


− k ET
− k ET
2
e B L Evv dk
e B L E vv dk
E
B TL
−k
e
B
E
B TL
−k
e
vv dk
B
è non singulare, si ha
∗
qn∗ ∇x φ∗
n
−
= 0,
∇x
N∗
N ∗ kB TL
n∗ ∇x TL
= 0.
N ∗ kB TL2
Allora TL è costante e, ricordando l’equazione di Poisson, la densità all’equilibrio n∗ e il corrispondente campo elettrico −∇x φ∗ sono determinati dal
sistema di deriva-diffusione all’equilibrio (53)–(54).¯
Dall’equazione (53) si ricava immediatamente
kB TL
∗
∗
∇x
log n + φ = 0,
qe
da cui
kB TL
log n∗ + φ∗ = constant.
qe
Possiamo allora scrivere
kB TL
n∗
log
+ φ∗ = constant.
qe
ni
Questa relazione ci dice che il quasi-livello di Fermi è costante per una
distribuzione all’equilibrio, in modo consistente con il suo significato fisico.
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
3.8.2
56
Invarianti collisionali
Un invariante collisionale per C è una funzione ψ(k) tale che
Z
C[f ]ψ dk = 0.
B
Usando l’espressione (51), scambiando il ruolo di k e k0 nel termine di
perdita, troviamo
Z Z
Z
P (k0 , k)f 0 (ψ − ψ 0 ) dk0 dk.
C[f ]ψ dk =
B
B
B
Quindi, ψ è un invariante collisionale se ψ(k) = ψ(k 0 ), cioè se ψ è indipendente da k. Ne segue che la densità è una quantità macroscopica conservata.
La sua legge di conservazione può essere ricavata integrando l’equazione di
Boltzmann su B. Il risultato è
Z
Z
∂
f dk + ∇x ·
f v dk = 0.
(55)
∂t B
B
3.8.3
Teorema H
Infine, facciamo vedere che le equazioni di Boltzmann-Poisson ammettono
teoremi H. Risultati simili sono stati ottenuti in [10, 11, 12] per l’operatore fisico relativo allo scattering elettrone-fonone, nel caso omogeneo senza
campo elettrico. Lo stesso problema è stato trattato anche in [7] nel caso
parabolico.
Proposizione 3.2 Sia C[f ] l’operatore definito in (49) e sia
E
F = f exp
.
kB TL
Allora, per ogni funzione nondecrescente h(F ) si ha
Z
C[f ]h(F ) dk ≤ 0.
(56)
(57)
B
La dimostrazione segue immediatamente dall’identità
Z
C[f ]h(F ) dk
B
Z Z
1
E
0
=−
P (k, k ) exp −
F 0 − F h(F 0 ) − h(F ) dk0 dk.
2 B B
kB TL
3
MODELLI CINETICI DI TRASPORTO
57
ricavata da (51), per ogni funzione h(F ), scambiando il ruolo di k and k0
per metà dell’integrale, e usando (50).
In analogia con il caso di un gas semplice, possiamo scegliere
h(F ) = log F.
Con questa scelta, l’uguaglianza in (57) vale se log F non dipende da k, cioè
se f = M (k).
Seguendo Levermore [6], possiamo usare (57) per determinare un funzionale di Liapunov per il sistema di Boltzmann-Poisson, legato all’entropia
fisica. A tal fine introduciamo la funzione
Z
HSC = log F df,
e la corrispondente grandezza integrata
Z
HSC dk.
HSC =
B
Si può dimostrare che
HSC + s |E|2 /2T ∗
è un funzionale di Liapunov per il sistema di Boltzmann-Poisson, che soddisfa la disuguaglianza
∂
s |E|2
HSC +
∂t
2kB TL
Z
Z
φ
∂E
+∇x ·
vHSC dk +
s
+ q f v dk
≤ 0. (58)
kB TL
∂t
B
B
È possibile dare una interpretazione fisica di questo funzionale. Ricordando la definizione di HSC e HSC , possiamo scrivere
E(k)
1
HSC (f, k) = HC (f ) + ∗ f := f (log f − 1) + ∗ f E(k),
T
Z T
1
HSC [f ] = HC + ∗
f E dk.
T B
(59)
(60)
Le equazioni (59)–(60)R collegano il funzionale semiclassico HSC con il funzionale classico HC = B HC (f ) dk, che rappresenta l’opposto dell’entropia
fisica. In conclusione, −HSC è la somma dell’entropia −HC , che è legata
al limite classico di un gas di Fermi, più un termine che è proporzionale
all’energia degli elettroni ed è dovuta alla presenza di fononi. Come osservato in [13], la quantità T ∗ HSC può essere identificata con l’energia libera
di Helmholtz.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
58
Riferimenti bibliografici
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republished by Springer.
[2] Ashcroft, N. C., and Mermin, N. D., Solid State Physics, Philadelphia,
Holt-Sounders (1976).
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[5] Jacoboni, C., and Lugli, P., The Monte Carlo Method for Semiconductor Device Simulation, Wien - New York, Springer-Verlag,
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[6] Levermore, C.D.: Moment closure hierarchies for the BoltzmannPoisson equation. VLSI Design, 8, 97–101 (1995)
[7] Levermore, C.D.: Moment closure hierarchies for kinetic theories. J.
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[9] Markowich, P., Ringhofer, C.A., Schmeiser, C.:
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[10] Majorana, A.: Space homogeneous solutions of the Boltzmann equation describing electron-phonon interactions in semiconductors. Transp.
Theory Stat. Phys., 20, 261–279 (1991)
[11] Majorana, A.: Conservation laws from the Boltzmann equation describing electron-phonon interactions in semiconductors. Transp. Theory
Stat. Phys., 22, 849–859 (1993)
[12] Majorana, A.: Equilibrium solutions of the non-linear Boltzmann equation for an electron gas in a semiconductor. Il Nuovo Cimento, 108B,
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[13] Romano, V.: Maximum entropy principle for electron transport in
semiconductors. In: Ciancio, V., Donato, A., Oliveri, F., Rionero, S.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
59
(eds) Proceedings WASCOM 99 10-th Conference on Waves and Stability in Continuous Media (7-12th June, 1999, Italy). World Scientific,
Singapore (2001)