CORSO DI
FISICA DELLA MATERIA CONDENSATA
4 - LE VIBRAZIONI RETICOLARI
E IL CALORE SPECIFICO DEI SOLIDI
Appunti dalle lezioni del Prof. P. Calvani
A. A. 2012-13
Tratte dai testi:
C. Kittel - Introduzione alla fisica dello stato solido
G. Burns- Solid State Physics
N. W. Ashcroft - N. D. Mermin - Solid State Physics
Questi appunti sono a solo uso interno e
riservati agli studenti che frequentano il corso.
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Il calore specifico nei metalli: il contributo degli elettroni di
conduzione
Come sempre, sia
c v (T) =
∂U
(erg /g ⋅ K)
∂T
il calore specifico a volume costante (ovvero capacit_ termica per unit_ di massa). A
differenza degli isolanti, nei metalli _ presente, oltre al contributo dei fononi del
reticolo, quello degli elettroni
di conduzione c v el .
€
Alla temperatura T, l°¶energia totale del gas di elettroni _
U=
•
∫ ε g(ε) f (ε)d€ε
dove
0
g(ε) è la densità degli stati e f (ε,T) =
µ _ il potenziale chimico (che coincide
con EF a T=0).
€ Nel modello di
Sommerfeld (elettroni non interagenti)
per T<< TF (TF ≈103÷104 K), µ viene
sviluppato in serie di potenze pari di T
(i termini dispari si annullano).
In questo modo, al primo ordine, anche
l'energia cinetica degli elettroni
per unit_ di volume ha una forma
quadratica
u(T) =
U(T)
π2
≈ u(0) +
(k B T) 2 ρ(E F )
V
6V
come confermano misure ottiche come
quella in Figura.
€
In figura: Peso spettrale,
W (T) =
Ω
∫ σ (ω )dω µ u(T)
0
€
(dove σ _ la conducibilit_ ottica e Ω _ una
frequenza di taglio) lineare con T2 per diverse
Ω in oro e in due superconduttori ad alta Tc
con diverso drogaggio
[Ortolani, Calvani, Lupi, Phys. Rev. Lett.
2005.]
1
e
(ε − µ )/ kB T
+1
23
Per elettroni liberi in 3D,
3
dN
V 2m 2
ρ(E) =
= 2 2 E2
dE 2π h
1
dove _ inclusa la degenerazione di spin. E poich_
2
€
h 3π 2 N 3
EF =
2m V
2
€
Sostituendo,
€
ρ(E F ) =
3 N 3 nV
=
2 EF 2 EF
u(T) ≅ u(0) +
π2
n
(k B T) 2
4
EF
Derivando rispetto a T si ricava il calore specifico elettronico per unit_ di volume
∂u(T) π 2 k B T
€ el
3
c ′ v (T) =
=
nk (erg /cm K)
∂T v 2 E F B
Il calore specifico totale di un metallo monoatomico (natomi = nelettroni), per unit_ di
volume, _ quindi
€
3
12π 4 T π 2 k B T
c v′ (T) = nk B
+
2 E F
5 TD
dove TD _ la temperatura di Debye. Da esso, moltiplicando per la densit_ del solido,
si ottiene c v (T) . €
Come si vede, il contributo degli elettroni di conduzione a T<<TF _ lineare con T,
mentre quello degli ioni a bassa temperatura _ proporzionale a T3.
€ causa di questo effetto sta nel fatto che, mentre i fononi seguono la distribuzione
La
di Bose-Einstein, che consente eccitazioni di energia qualunque, gli elettroni seguono
quella di Fermi-Dirac che, per il principio di esclusione di Pauli, consente
l'eccitazione solo verso uno stato vuoto. Di conseguenza soltanto gli elettroni che si
trovano in un sottile strato di spessore kBT intorno a EF possono assorbire un'energia
kBT, perch_ al di sopra di essi tutti gli
stati sono vuoti:
Sfera di
Fermi
E F − kB T
EF
In formule, partendo dalla situazione a T=0 e riscaldando il metallo, ci_
significa che la variazione di energia cinetica degli elettroni sar_ dell'ordine di
€
∆u0 (T) = u0 (T) − u0 (T = 0) ≈ Stati di partenza possibili × Energia assorbita = ρ(E F )kB T ⋅ k B T =
= ρ(E F )(k B T) 2 µ (1/ E F )(k B T) 2
Di qui, dividendo per ∆T = T , si ritrova
€
c el =
€
€
∆U ∆U k 2 B
=
µ
T
EF
∆T
T
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