dal 2 aprile al 19 aprile - Dipartimento di Matematica

Istituzioni di Matematiche
-
A. A. 2000/2001. (Corso Serale)
Argomenti trattati nel periodo 2 aprile - 19 aprile.
2/4/01 (lunedì, 3 ore) Introduzione alla derivata. Derivabilità e derivata di una funzione
in un punto e in un insieme.
Significato fisico e geometrico. Retta tamgente in un punto al grafico di una funzione: approssimazione ed errore. Derivabilità e continuità, esempi. Funzioni non derivabili in un
punto.
Derivata e operazioni algebriche. Derivata delle funzioni potenza, dei polinomi e delle funzioni
razionali.
3/4/01 (martedì, 1 ora) Calcolo delle derivate delle funzioni esponenziali, logaritmiche e
trigonometriche. Derivata della funzione composta. Esempi e applicazioni.
5/4/01 (giovedì, 1 ora) Derivata della funzione inversa. Esempi e applicazioni.
9/4/01 (lunedì, 3 ore) Esempi di funzioni invertibili e derivazione della funzione inversa.
Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche e loro derivate.
Problemi di derivabilità e di continuità della derivata. Esempi.
10/4/01 (martedì, 1 ora) Ancora su problemi di derivabilità. Applicazioni (pratiche) della
derivata: approssimazioni sulla retta tangente.
19/4/01 (giovedì, 1 ora) Esercizi di ricapitolazione.
1
Calcolo differenziale.
La derivata.
Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo aperto I e siano x0 ∈ I e h reale tale
che il punto incrementato x = x0 + h appartenga ancora ad I. L’incremento della variabile
indipendente è la quantità
∆x = x − x0 = h
mentre la quantità
∆f (x0 , h) = f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x) − f (x0 )
viene detta incremento della variabile dipendente.
Chiameremo rapporto incrementale relativo al punto x0 e all’incremento h la quantità
f (x0 + h) − f (x0 )
∆f (x0 , h)
=
h
∆x
Definizione 1 f è derivabile in x0 se esiste finito
f (x0 + h) − f (x0 )
= `.
h→0
h
lim
(1)
Il valore ` di tale limite, che denoteremo con il simbolo f 0 (x0 ), viene detto derivata della
funzione f nel punto x0 .
Altri simboli comunemente usati per indicare la derivata di f nel punto x0 sono:
•
f (x0 ) ,
(Df ) (x0 ) ,
df
(x0 ) ,
dx
y 0 (x0 ) ,
•
y(x0 ) ,
dy
(x0 ).
dx
Nel caso esistano finiti, ma diversi, i due limiti
lim+
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
= `1
h
6=
lim−
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
= `2
h
diremo che f non è derivabile in x0 , ma ammette, rispettivamente, derivata destra e derivata
sinistra in x0 e scriveremo `1 = f+0 (x0 ) e `2 = f−0 (x0 ).
Se I non è aperto e x0 è l’estremo sinistro o destro dell’intervallo si può ancora parlare di
derivabilità di f in x0 considerando rispettivamente solo la derivata destra o sinistra di f nel
punto x0 .
Osservazioni.
Se f è costante in I allora per ogni x0 ∈ I e per ogni h risulta ∆f (x0 , h) = 0, e quindi f 0 (x) = 0
per ogni x, viceversa se esiste un x0 ∈ I tale che, per ogni h risulti ∆f (x0 , h) = 0, f è costante
in I.
Disegnato il grafico della funzione f in un sistema cartesiano ortogonale, si considerino su di
esso i due punti P0 e Ph rispettivamente di coordinate
P0 ≡ (x0 , y0 ) = (x0 , f (x0 )) e Ph ≡ (xh , yh ) = (x0 + h, f (x0 + h)).
2
L’equazione della retta che li congiunge è
y − y0
∆f (x0 , h)
=
,
x − x0
h
il rapporto incrementale
per i due punti P0 e Ph .
∆f (x0 , h)
risulta quindi il coefficiente angolare della retta che passa
h
Significato geometrico di f 0 (x0 ) Il rapporto incrementale
∆f (x0 , h)
f (x0 + h) − f (x0 )
=
= tan θ(h)
h
h
rappresenta il coefficiente angolare della retta per i due punti di coordinate
(x0 , f (x0 )) e (x0 + h, f (x0 + h)).
Dire che f è derivabile in x0 equivale a dire che esiste il limite di tan θ(h) per h → 0 e quindi
che la retta secante tP congiungente i punti P0 e Ph ammette una ”posizione limite” t0 per
h → 0. Quanto detto sopra giustifica la
Definizione 2 Sia f derivabile in x0 . Si dice retta tangente al grafico di f nel punto di
coordinate (x0 , f (x0 )) la retta t0 di equazione
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
(2)
Teorema 3 (Prima proprietà delle funzioni derivabili) Tutte le funzioni derivabili sono
continue, inoltre tra tutti i polinomi di primo grado P (x), il polinomio
P1 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
è l’unico per cui risulta
f (x) − P (x) = o ((x − x0 ))
per
x → x0 .
Geometricamente questo significa che tra tutte le rette passanti per il punto (x0 , f (x0 )) la retta
tangente è quella il cui grafico approssima meglio, in un opportuno intorno del punto x0 , quello
della funzione f .
3
Osservazione 4 La formula (1) si può riscrivere come
f (x0 + h) = f (x0 ) + h f 0 (x0 ) + o(h).
Nel passare dal punto x0 al punto x0 + h, la funzione f subisce un incremento
∆f (x0 , h) = h f 0 (x0 ) + o(h)
mentre
∆P1 (x0 , h) = h f 0 (x0 ).
∆P1 (x0 , h) è quindi la ”parte principale” di ∆f (x0 , h) e prende il nome di differenziale della
funzione f relativo al punto x0 e all’incremento h e viene usualmente denotata con il simbolo
df (x0 , h) o, più semplicemente, con df, quando non vi siano dubbi circa il punto e l’incremento
in questione.
Geometricamente df (x0 , h) rappresenta l’incremento relativo al passaggio da x0 a x0 +h misurato
sul grafico della retta tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate (x0 , f (x0 )).
Osservazione 5 Nella definizione di derivabilità abbiamo richiesto che il limite del rapporto
incrementale fosse finito ed abbiamo quindi potuto dimostrare la continuità delle funzioni derivabili. Quando il limite del rapporto incrementale esiste ma è +∞ o −∞ può accadere che la
funzione sia discontinua in x0 : per esempio la funzione sgn(x) (segno di x) che vale 1 per x > 0,
−1 per x < 0 e 0 per x = 0, è discontinua nell’origine ed il limite del rapporto incrementale in
x0 = 0 esiste e vale +∞. Non ha ovviamente senso, nell’esempio precedente, parlare di retta
tangente nell’origine al grafico della funzione.
Tuttavia nel caso di funzioni continue per cui il limite del rapporto incrementale in x0 esiste
infinito, in accordo con l’intuizione geometrica conviene definire la retta (verticale) x = x0 come
retta tangente
al grafico della funzione nel punto (x0 , f (x0 )) , si pensi ad esempio alla funzione
√
f (x) = 3 x.
Derivate di funzioni elementari
Il rapporto incrementale di una funzione continua si presenta sempre nella forma di indecisione
0/0: per superare la difficoltà del calcolo del limite si utilizzeranno sistematicamente i limiti
notevoli visti precedentemente.
1) Sia f (x) = xα con α 6= 0 reale; f è definita per ogni x positivo e, fissato x0 > 0 risulta:
¶α
¶α
µ
µ
h
h
−1
−1
1+
1+
(x0 + h)α − (x0 )α
x0
x0
α
(α−1)
= (x0 )
= (x0 )
→ α xα−1
.
0
h
h
h
x0
Nel caso in cui α sia un intero relativo la stessa formula vale per ogni x 6= 0 ed anche in
x = 0 nel caso α intero positivo. In quest’ultimo caso si può dimostrare il risultato precedente
utilizzando la formula del binomio di Newton.
2) Sia f (x) = ax
(a > 0). Allora
ah − 1
ax0 +h − ax0
= ax0
→ ax0 loge a.
h
h
4
(3)
3) Sia f (x) = sin(x). Ricordando le formule di somma abbiamo
sin(x0 + h) − sin(x0 )
sin x0 cos h + cos x0 sin h − sin x0
=
=
h
h
(cos h − 1)
sin h
= sin x0
+ cos x0
→ cos(x0 ).
h
h
(4)
Analogamente, posto f (x) = cos(x) si ottiene
f 0 (x0 ) = − sin(x0 )
(5)
4) Sia infine f (x) = loga (x) (a > 0, a 6= 1) e sia x0 > 0. Per le note proprietà dei logaritmi
abbiamo
µ
¶
h
loga 1 +
f (x0 + h) − f (x0 )
loga (x0 + h) − loga (x0 )
1
x0
=
=
→
loga e.
(6)
h
h
h
x0
Osservazione 6 Si noti come la scelta della base e per le funzioni esponenziali e logaritmiche
renda le formule (3) e (6) particolarmente semplici.
Regole di derivazione.
Derivata e operazioni algebriche.
Nota la derivata di due funzioni f e g nel punto x0 , è possibile ricavare, nello stesso punto, la
derivata di funzioni ottenute da queste mediante operazioni algebriche. Vale infatti il seguente
Teorema 7 Siano f e g derivabili in x0 . Allora le funzioni αf (α reale) f + g e f · g risultano
anch’esse derivabili in x0 e
1. (αf )0 (x0 ) = αf 0 (x0 )
2. (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 )
3. (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
inoltre se g(x0 ) 6= 0, anche f /g risulta derivabile in x0 e
µ ¶0
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
f
(x0 ) =
4.
g
(g(x0 ))2
Dimostrazione. Le prime due formule seguono immediatamente dalle analoghe proprietà (di
linearità) dei limiti.
Per quanto riguarda la 3. osserviamo che
f (x0 + h)g(x0 + h) − f (x0 )g(x0 )
=
h
f (x0 + h)g(x0 + h) − f (x0 + h)g(x0 ) + f (x0 + h)g(x0 ) − f (x0 )g(x0 )
=
=
½
¾
½ h
¾
f (x0 + h) − f (x0 )
g(x0 + h) − g(x0 )
=
g(x0 ) +
f (x0 + h).
h
h
Tenendo conto della continuità di f nel punto x0 la 3. si ottiene passando al limite per h → 0.
5
Infine per dimostrare la 4. cominciamo con l’osservare che, se g(x0 ) 6= 0 allora per continuità
esiste un δ > 0 tale che g(x) 6= 0 per |x − x0 | < δ. Per tali x risulta definita la funzione
1
G(x) =
e inoltre
g(x)
G(x0 + h) − G(x0 )
1
=
h
h
½
1
1
−
g(x0 + h) g(x0 )
¾
=
1
g(x0 ) − g(x0 + h)
·
g(x0 + h)g(x0 )
h
per 0 < |h| < δ. Passando al limite per h → 0 si ottiene
G0 (x0 ) = −
g 0 (x0 )
.
(g(x0 ))2
(7)
Combinando la regola 3. e la (7) si ottiene la 4.
Esempio 8 Calcoliamo la derivata di tan(x) =
sin(x)
.
cos(x)
Per la 4. abbiamo
(tan)0 (x) =
(cos(x))2 − sin(x)(− sin(x))
1
=
= 1 + (tan(x))2 .
(cos(x))2
(cos(x))2
Derivata della funzione composta.
Teorema 9 (Derivata della funzione composta) Sia f una funzione definita in un intervallo aperto I contenente il punto x0 e sia g definita in un intervallo aperto J contenente il
punto y0 = f (x0 ). Se f è derivabile in x0 e g è derivabile in y0 , allora la funzione composta
g ◦ f (che ad ogni x associa g(f (x))) è derivabile in x0 e risulta
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ).
Esempi.
Calcoliamo le derivate di h(x) = (sin(x))3 e di k(x) = sin(x3 ). Nel primo caso è f (x) = sin(x) e
g(y) = y 3 , nel secondo f (x) = x3 e g(y) = sin y. Si ottiene:
h0 (x) = 3(sin(x))2 cos x
k 0 (x) = 3x2 sin(x3 ).
L’uso del Teorema precedente si estende in modo immediato al caso di composizione di tre o
più funzioni: per esempio per calcolare la derivata di
f (x) = esin(e
x)
posto h(x) = sin (ex ) risulta
x
f 0 (x) = eh(x) · h0 (x) = esin(e ) ex cos(ex ).
6
Derivata della funzione inversa.
Una funzione invertibile e la sua inversa hanno ”il grafico in comune”, quindi anche la retta
tangente al grafico, se esiste, è la stessa.
Se scriviamo l’equazione della retta tangente nella forma ax + by + c = 0 questa diventa
a
c
y =− x−
b
b
e anche
b
c
x=− y− .
a
a
In dipendenza dal sistema di riferimento (cioè da quale è la variabile indipendente) il coefficiente
angolare assumerà un valore o il suo reciproco, con la sola avvertenza che la tangente orizzontale
per una funzione diventa verticale per la funzione inversa.
-1
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
0
-1
-1
1
2
3
4
-1
Teorema 10 (Derivata della funzione inversa) Sia f : (a, b) → R continua e invertibile.
Sia x0 un punto di (a, b) in cui f risulta derivabile con f 0 (x0 ) 6= 0. Allora la funzione inversa
f −1 risulta derivabile nel punto y0 = f (x0 ) e
(f −1 )0 (y0 ) =
1
f 0 (x
0)
=
1
(8)
f 0 (f −1 (y0 ))
0
Osservazione 11 Si osservi che una volta dimostrata l’esistenza di (f −1 ) in y0 la formula (8)
si ottiene immediatamente dal Teorema della derivata della funzione composta tenendo presente
che f −1 (f (x)) ≡ x.
1
0
.
Infatti (f −1 (f (x))) = f −10 (f (x)) · f (x) = 1 da cui f −10 (f (x)) =
f (x)
π π
Esempio 12 Sia y = f (x) = tan(x), con x ∈ (− , + ).
2
2
Calcoliamo la derivata della funzione inversa arctan y nel generico punto y0 . Dalla formula
precedente risulta che
arctan0 (y0 ) =
1
1
1
=
=
2
tan (arctan(y0 ))
1 + (tan(arctan(y0 )))
1 + (y0 )2
0
7
(9)
Esempio 13 Derivata delle funzioni
e arcocoseno.
³ π arcoseno
π´
Sia y = f (x) = sin x, con x ∈ − , +
. Calcoliamo la derivata della funzione inversa
2
2
x = f −1 (y) = arcsin y nel generico punto y0 interno all’intervallo (−1, 1). Risulta
arcsin0 (y0 ) =
Siccome, se −
1
cos(arcsin(y0 ))
(10)
p
π
π
< x < + , cos(x) = 1 − (sin x)2 , risulterà
2
2
1
arcsin0 (y0 ) = q
1 − (y0 )2
(11)
Consideriamo ora y = f (x) = cos x, con x ∈ (0, π) . Con gli stessi procedimenti si ottiene per
la funzione inversa x = f −1 (y) = arccos y nel generico punto y0 interno all’intervallo (−1, 1)
−1
arccos0 (y0 ) = q
.
1 − (y0 )2
(12)
Esercizio 14 Ricordando che x = log y è la funzione inversa di y = ex ricavare la derivata
della funzione logaritmo facendo uso del Teorema precedente.
Osservazione 15 Si osservi che tutte le ”regole” di derivazione dimostrate finora sono in
realtà dei Teoremi che hanno come ipotesi fondamentale il fatto che le funzioni coinvolte siano
derivabili nei punti presi in esame. Qualora ciò non sia a priori garantito, come mostra il
seguente esempio, non rimane altro che ricorrere alla definizione di derivata per decidere la
derivabilità o meno della funzione in esame.
Esempio 16 Sia a > 0 e sia
(
f (x) =
x2 sin
0
1
x
per x 6= 0
per x = 0
Se x0 6= 0, f 0 (x0 ) esiste per le regole sopra citate e vale
µ ¶
µ ¶
1
1
2x0 sin
− cos
.
x0
x0
Se x0 = 0 l’espressione qui sopra perde di significato. Analizzando il rapporto incrementale si
ottiene
1
f (0 + h) − f (0)
= h sin
h
h
che tende a 0 per h → 0. Quindi f è derivabile in ogni punto di R e la sua derivata non è
continua nell’origine.
Analogamente a quanto fatto per le funzioni continue diamo la seguente
Definizione 17 f si dice derivabile nell’intervallo aperto I se è derivabile in ogni punto di I.
Più in generale diremo che f è derivabile nell’insieme E unione di intervalli disgiunti se
f è derivabile in ogni punto di E. Negli eventuali estremi degli intervalli si considerano
naturalmente solo la derivata destra o sinistra, secondo i casi.
8
Tabella delle derivate di funzioni elementari
f (x)
f 0 (x)
xα
α xα−1
ex
ex
ax
ax log a
log |x|
1
x
loga |x|
1
1
loga e =
x
x log a
sin x
cos x
cos x
− sin x
tan x
1 + tan2 x =
sinh x
cosh x
cosh x
sinh x
tanh x
1 − tanh2 x =
arcsin x
√
arccos x
arctan x
1
1 − x2
−1
√
1 − x2
1
1 + x2
9
1
cos2 x
1
cosh2 x