Lezioni di Elettrodinamica Classica

Lezioni di Elettrodinamica Classica
Marini Andrea C.
13 luglio 2010
2
Indice
1 Le Equazioni di Maxwell nel vuoto
1.1 Le Equazioni di Maxwell senza la corrente
1.2 Le Equazioni di Maxwell nel Vuoto . . . .
1.3 La Corrente di Spostamento . . . . . . . .
1.4 Campi lentamente variabili . . . . . . . .
1.5 Corda Vibrante: Le Onde . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
1
1
1
2
2
4
2 Le Onde Elettromagnetiche
2.1 Inversione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
8
di spostamento
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 La Quantità di moto
11
3.1 Il significato del vettore di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 La Quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Tensore degli sforzi di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Potenziali
17
4.1 Potenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Potenziale ritardato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 L’irraggiamento
21
5.1 Sorgente dipolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Diffusione della luce
25
6.1 Esperimenti di Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 Diffusione elastica della luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.3 Luce polarizzata circolarmente e non polarizzata . . . . . . . . . 27
7 Formalismo covariante
29
7.1 Introduzione alla relatività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Elettrodinamica covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Equazioni di Maxwell nella materia
33
8.1 Elettrostatica nella materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2 Considerazioni analoghe in magnetostatica . . . . . . . . . . . . . 34
8.3 Dipendenza dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i
ii
INDICE
9 Modelli della materia
37
9.1 Atomo polarizzabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.2 Molecole polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.3 Mezzo stratificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10 Effetti di campo locale
41
10.1 Molecola biatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10.2 Effetti di campo locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
10.3 Ulteriori considerazioni sulla dipendenza dal tempo . . . . . . . . 43
11 Costante dielettrica
45
11.1 Modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11.2 Regione trasparente e non dispersiva . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11.2.1 Il vettore di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12 Mezzi trasparenti non assorbenti
47
Capitolo 1
Le Equazioni di Maxwell
nel vuoto
24/01/2008
1.1
Le Equazioni di Maxwell senza la corrente
di spostamento

~ (~r, t) = 4πρ (~r, t)

div E



~ (~r, t) = 0
div B
1 ∂ ~
~

(~r, t)
 rotE (~r, t) = − c ∂t B

 rotB
4π
~ (~r, t) = J~ (~r, t)
c
(1.1)
Vogliamo studiare la validità dell’ultima equazione in relazione alla Forza di
Lorentz e all’equazione di continuità
~v
~
~
~
(1.2)
F =q E+ ×B
c
div J~ +
∂
ρ=0
∂t
(1.3)
A tale scopo prendiamo la divergenza dell’ultima equazione: div rot (...) = 0 ⇒
div J~ = 0 ma noi sappimo dall’equazione di continuità che div J~ = − ∂∂ ρ per cui
~ da cui si ricava maneggiando un po’ le
~ (~r, t) = 4π div J~ + div Λ
poniamo rotB
c
4π
~
~
~ = 4π ∂ ρ = 1 ∂ div E
~ = div 1 ∂ E
~
equazioni che c div J + div Λ = 0 ⇒ div Λ
c ∂t
c ∂t
c ∂t
ed è qui che Maxwell scommette su un’ipotesi a prima vista non banale che si
~
~ =1∂E
rivelerà esatta negli esperimenti: Λ
c ∂t
1.2
Le Equazioni di Maxwell nel Vuoto
Quest’affermazione porta alla straordinaria eleganza delle formule proposte da
Maxwell. Si noti tolta la presenza delle correnti c’è una perfetta simmetria nelle
1
2
CAPITOLO 1. LE EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO
equazioni a parte il segno − che si rivelerà fondamentale.

~


 div E (~r, t) = 4πρ (~r, t)

~ (~r, t) = 0
div B
1 ∂ ~
~

(~r, t)
 rotE (~r, t) = − c ∂t B

 rotB
4π
~ (~r, t)
~ (~r, t) = J~ (~r, t) + 1 ∂ E
c
c ∂t
1.3
(1.4)
La Corrente di Spostamento
Esempio 1.1 Per capire il termine corrente di spostamento si può prendere un
condensatore piano e considerare le equazioni incomplete (1.1):
I
~ ~l = 4π Ic = 4π
Bd
c
c
~r =
2πrB
Z
~ S
~
Jd
4π
I lungo γ1
c
~ r = 0 lungo γ2
2πrB
Il che è evidentemente contraddittorio.
Mentre se uso le Equazioni di Maxwell su γ2 ottengo
Z
Z
1
∂ ~ ~
A ∂ ~
4π ∂
4π
4π
~
~
~
JdS +
EdS =
E=
Aσ (t) =
I
2πrBr =
c Sγ
c Sγ ∂t
c ∂t
c ∂t
c
1.4
(1.5)
Sγ
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Campi lentamente variabili
Vogliamo definire sotto quali condizioni un campo possa essere definito lentamente variabile.
Esempio 1.2 Considero un condensatore piano alimentato da una corrente
variabile
I (t) = I0 e−iωt
(1.9)
e la corrispondente carica Q depositatasi sulle armature.
1.4. CAMPI LENTAMENTE VARIABILI
3
È da intendersi la parte reale del numero complesso e l’esponenziale a volte
verrà tralasciato per semplificare la notazione.
~ = 4πσẑ + ∆E
~ = E0 e−iωt + ∆E
~
E
~ = 0 + ∆B
~
B
(1.10)
~ eE
~ sono stati rappresentati mediante la somma
Si può notare che i vettori B
della componente presente nel caso statico più una piccola correzione da determinarsi.
~ è diretto lungo φ̂ quindi utilizzando la
Per motivi di simmetria il campo B
~ si ottiene
circuitazione di B
2πrBφ (r) =
1 2
πr E0 (−iω)
c
~ = 0 + ∆B
~ = φ̂ ωr (−i) E0 e( − iωt)
B
2c
(1.11)
(1.12)
Dovendo confrontare la correzione al campo magnetico con 0 non possiamo dire
~ ottenuto
nulla sulla significatività dei campi in questione. Infatti il valore di B
nella 1.12 sarà sempre “grande” rispetto a 0.
Procediamo quindi a cercare la correzione su E
I
~ ~l = − 1 ∂ ΦB
(1.13)
Ed
c ∂t
γ
1 ∂
h
−hEz = −
c ∂t
Z
0
r
dr
ωr
(−i) E0 e−iωt
2c
(1.14)
ωr 2
1
ωr2
(−iω) (−i) E0
= −E0
(1.15)
c
4c
2c
2
Si può quindi notare che il termine ωr
è una correzione al secondo ordine
2c
dei campi. Saranno quindi definiti campi lentamente variabili i campi in cui
tale termine sarà piccolo rispetto a 1. Ovvero vogliamo che la lunghezza d’onda
della luce associta a ω non sia comparabile con il nostro oggetto, ovvero che il
tempo che la luce impiega ad attraversare il condensatore si piccolo rispetto al
periodo con cui variano i campi.
Ez =
4
1.5
CAPITOLO 1. LE EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO
Corda Vibrante: Le Onde
Consideriamo una corda di massa lineare µ e tensione T che viene perturabata
poco lungo h. h sarà in generale la grandezza fisica che caratterizza l’onda.
Dalla relazione F = ma ricaviamo
∂2
∂
∂
µ∆x 2 h = T
(x + ∆x) − h (x)
(1.16)
∂t
∂t
∂t
q
Posto v = Tµ , Si ottiene l’equazione d’onda classica
∂2
1 ∂2
h − 2 2h = 0
2
∂x
v ∂t
Risolvendo di ottiene
1 ∂
∂
+
∂x v ∂t
∂
1 ∂
−
∂x v ∂t
h (x, t) = 0
(1.17)
(1.18)
Da cui si ricava che
h (x, t) = Span (g (x + vt) , f (x − vt))
(1.19)
Si può generalizzare l’onda classica nel caso 3-dimensionale h (~r, t) nel seguente modo
∂2
∂2
1 ∂2
∂2
h + 2h + 2h − 2 2h = 0
(1.20)
2
∂x
∂y
∂z
v ∂t
∇2 h −
1 ∂2
=0
v 2 ∂t2
(1.21)
Capitolo 2
Le Onde Elettromagnetiche
31/01/2008
2.1
Inversione temporale
Ci chiediamo cosa accada nelle equazioni di Maxwell (1.4) facendo un’inversione
temporale t → −t :
• ρ non cambia segno perché è una carica
• J~ cambia segno perché è una carica su tempo (e superficie)
~ cambia segno perché è uno pseudo-vettore (e dipende da J)
~
• B
~ non cambia segno perché è un vettore vero.
• E
Le trasformazioni di Maxwell (1.4) non discriminano quindi lo scorrere del tempo come del resto non lo fanno la meccanica classica e quella relativistica.
2.2
Onde elettromagnetiche
Cerchiamo delle
sorgenti (cariche
la dipendenza di
soluzioni alle equazioni di Maxwell nel vuoto in assenza di
o correnti). D’ora in poi non indicheremo più esplicitamente
~ eE
~ da ~r e da t ma sarà sottointesa.
B

~ =0

div E



~ =0
div B
(2.1)
∂ ~
~

B
rotE = − 1c ∂t


 rotB
~
~ = ∂E
∂t
5
6
CAPITOLO 2. LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Calcoliamo quindi
2
~ = − 1 rot ∂ B
~ = − 1 ∂ rotB
~ =−1 ∂ E
~
rot rotE
c
∂t
c ∂t
c2 ∂t2
Sapendo inoltre che è valida la seguende identità vettoriale
~ =∇
~ ∇
~E
~ − ∇2 E
~
rot rotE
(2.2)
(2.3)
~E
~ = 0, si ha l’equazione d’onda classica
Ricordando che ∇
~−
∇2 E
1 ∂2 ~
E=0
c2 ∂t2
(2.4)
La classe più comune di soluzioni sono le onde piane
~ = E~0 ei(~k~r−ωt)
E
(2.5)
Dove ~k è il vettore d’onda.
Sostituendo si ricava
−
1 ∂2 ~
1
~
~
~
E + ∇2 E~0 ei(k~r−ωt) = −k 2 E~0 ei(k~r−ωt) − 2 (−ω) E~0 ei(k~r−ωt) = 0 (2.6)
2
2
c ∂t
c
Da cui si ha la nota relazione:
−k 2 +
ω2
=0
c2
(2.7)
che è equivalente a
λν = c
(2.8)
Tuttavia il nostro scopo è quello di risolvere le equazioni di Maxwell. Al campo
elettrico trovato dobbiamo associarci un campo magnetico e vedere se ci sono
ulteriori vincoli. Poniamo:
~ = E~0 ei(~k~r−ωt)
E
~ = B~0 ei(~k~r−ωt)
B
(2.9)
~ e E.
~ Ciò è
Non è banale la scelta della stessa onda piana per rappresentare B
dovuto al fatto che la derivazione è un operatore lineare che non mischia onde
piane e le onde piane sono una base delle onde periodiche.
~ =
div E
∂
∂
∂
~
Ex + Ey + Ez = i~k E~0 ei(k~r−ωt) = 0
∂t
∂t
∂t
∂
∂
∂
~
Bx + By + Bz = i~k B~0 ei(k~r−ωt) = 0
∂t
∂t
∂t
Da cui si ricava che ~k⊥E~0 e ~k⊥B~0 Inoltre
~ = i ω B~0 ei(~k~r−ωt) = i~k × E~0 ei(~k~r−ωt)
~ = −1 ∂ B
rot E
c ∂t
c
~ =
div B
Da cui
ω~
B0 = ~k × E~0
c
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
2.2. ONDE ELETTROMAGNETICHE
7
Idem per il campo magnetico
ω
− E~0 = ~k × B~0
c
(2.14)
Si osserve quindi che E~0 B~0 e ~k sono una terna destrorsa e valgono le seguenti
relazioni
ω2
(2.15)
k2 = 2
c
B0 = E0
(2.16)
Abbiamo per il nostro sistema 3 grdi di libertà per scegliere ~k da cui si ricava
ω, 1 grado di libertà per determinare l’ampiezza dei campi E0 e B0 , e 1 grado
di libertà per la direzione di E~0 (polarizzazione). In generale ha senso fisico
solo la parte reale dei campi considerati, nelle uguaglianze passeremo da valori
complessi a valori reali tenendo a mente che a noi interessa il solo significato
fisico. Senza perdere di generalità possiamo considerare E~0 diretto lungo ŷ e B~0
diretto lungo x̂ e ~k diretto lungo ẑ. Ricordiamo inoltre che E0 = B0 .
Quindi
E~+ = E0 ŷ cos (kz − ωt)
(2.17)
B~+ = E0 ŷ cos (kz − ωt)
Figura 2.1: Onde elettromagnetiche piane
Esempio 2.1 Le onde stazionarie: sommiamo a quest’onda un’onda identica
che torna indietro
Da cui si ottiene
E~− = E0 ŷ cos (−kz − ωt)
B~− = −E0 ŷ cos (−kz − ωt)
~ = E0 ŷ cos (kz − ωt) + E0 ŷ cos (−kz − ωt) = 2E0 x̂ cos (ωt) cos (kz)
E
~ = E0 ŷ cos (kz − ωt) − E0 ŷ cos (−kz − ωt) = 2E0 x̂ sin (ωt) sin (kz)
B
(2.18)
(2.19)
Come si può notare dalla figura (2.2) sono presenti delle posizioni nodali.
Questa è quindi un’onda stazionaria.
8
CAPITOLO 2. LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Figura 2.2: Onde stazionarie
2.3
Energia
La domanda interessante da porsi dal puno di vista fisico è se queste onde siano
in grado di trasportare energia. Vogliamo inanzitutto la validità del principio
di conservazione dell’energia.
E2 + B2
8π
Z
dV u
U=
u=
(2.20)
(2.21)
V
La (2.21) cambia nel tempo se
• l’energia si sposta da dentro a fuori al volume (o viceversa)
• l’energia si trasforma in altre forme
d
U =P +F
(2.22)
dt
Dove P è la potenza ceduta ai gradi meccanici e F il flusso attraverso la
superficie.
Z
I
Z
∂
d
~S
~=
(2.23)
dV π +
dA
dV − u
− U=
dt
∂t
V
A
V
−
Applicando il teorema della divergenza
−
∂
~
u = π + div S
∂t
(2.24)
Dall’equazione di Lorentz si ottiene
~ ~v = J~E
~
~ + ~v × B
π = nF~ ~v = nq E
c
Sostituendo nelle equazioni di Maxwell (1.4)
~ = c rotB
~−1∂E
~ E
~ =
J~E
4π
c ∂t
c ~
1 ~ ∂ ~
1 ~ ∂ ~
1 ~ ∂ ~
~
4π ErotB − 4π E ∂t E − 4π B ∂t B + 4π B ∂tB =
c
1 ∂
2
2
~
~ B
~ − Brot
~ E
~ = − ∂ u − div S
− 8π ∂t E + B + 4π Erot
∂t
(2.25)
(2.26)
9
2.3. ENERGIA
Da cui tramite un’identità vettoriale si arriva a
~ ×B
~ c = −div S
~
−div E
4π
(2.27)
Da cui si ottiene (non necessariamente unico)
~ ×B
~
~= c E
S
4π
(2.28)
10
CAPITOLO 2. LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Capitolo 3
La Quantità di moto
04/02/2008
3.1
Il significato del vettore di Poynting
Abbiamo trovato nel capitolo 2 una forma per il vettore di poynting (2.28)
che tuttavia non è necessariamente unica ma è quella più usata per praticità
suprattutto nei problemi con le onde piane. Innanzitutto notiamo che il vettore
di poynting ha le dimensioni di un’Energia su tempo per area che corrisponde
all’idea intuitiva che abbiamo di tale vettore. Consideriamo un caso particolare
come esempio.
Esempio 3.1 Supponiamo di avere un’onda elettromagnetica piana che viene
completamente assorbita da un corpo.
Consideriamo un cilindro di base A e lunghezza c∆t supponendo per semplicità ∆t ≫ T , dove T rappresenta il periodo di oscillazione dell’onda.
∆U = c∆tA
E2 + B2
E2
∆U
E2
= c∆tA
⇒
=c
8π
8π
A∆t
8π
(3.1)
Mentre con il vettore di poynting si ha che
Sz =
c ~
~ = c E2
E×B
4π
8π
11
(3.2)
12
CAPITOLO 3. LA QUANTITÀ DI MOTO
Da cui notiamo che
< Sz >= c < u >
(3.3)
Esempio 3.2 Procediamo ora con un altro esempio in cui non pare evidente il
significato del vettore di Poynting. Abbiamo un condensatore piano in fase di
carica alimentato da una corrente costante I.
Supponiamo di poter trascurare gli effetti di bordo e di avere campi lentamente
variabili.
~ = Ez ẑ = 4π Q (t) ẑ
(3.4)
E
A
Posso seguire due strade per calcolare l’energia: la prima è calcolare da un punto
di vista circuitale il lavoro fatto dal generatore, la seconda è quella di utilizzare
i campi.
Immagino di avere un cilindro tra le armature e di applicare su tale volume il
bilancio energetico. Gli effetti di bordo risultano ininfluenti comunque posso
scegliere tranquillamente un cilindretto interno alle armature.
d
d E 2 (t)
− U =−
<0
(3.5)
dt
dt
8π
~ = 0, si ha
Notando che non ci sono correnti, quindi J~E
I
~ A
~
= Sd
(3.6)
~ bisogna trovare una stima per B
~ tramite le equazioni di Maxwell
Per stimare S
~
(1.4), ricordando che J = 0
~ =
rotB
1 ∂ ~
~ (r) = 2I
E⇒B
c ∂t
rc
(3.7)
Come è fatto quindi il vettore di poynting? La normale va presa negativa in
quanto il verso è uscente
I
~ A
~ = −2πrh c EB
Sd
(3.8)
4π
Uguagliando le due forme si ha
d
c 2I
1
?
Ah2E E = 2πrh E
8π
dt
4π rc
(3.9)
3.2. LA QUANTITÀ DI MOTO
13
Considerando che
4π
4π
d
E=
Q̇ =
I
(3.10)
dt
A
A
Si ottiene l’identità, il che dimostra che i due modi di vedere il problema sono
equivalenti. Ci chiediamo cosa voglia dire che nella carica di un condensatore
l’energia entri dai lati; immaginiamo di prendere due cariche distanti e di avvicinarle. L’energia che era contenuta nelle linee di campo i un volume V (che
scala con la distanza) si trova ora in un volume più piccolo mentre le linee di
campo vengono schiacciate all’interno dai lati. In un certo senso è quindi vero
che l’energia entra nel condensatore dal bordo.
Esercizio 3.1 Si ha un conduttore ohmico cilindrico con corrente stazionaria.
Calcolare l’energia dissipata in una sezione. Calcolare il vettore di poynting e
vedere che l’energia entra dai lati.
Esempio 3.3 Vediamo ora un esempio di campi rapidamente variabili.
consideri un’onda stazionaria.
Si
Si noti che il vettore di Poynting per un tempo 0 < t < T4 è diretto verso ẑ
mentre per t > T4 è diretto verso −ẑ. Questo vuol dire che al tempo t = 0
~ mentre ad un tempo t = T
l’energia è concentrata nelle zone antinodali di E
4
~
l’energia è concentrata nelle zone antinodali di B. Quindi l’energia oscilla e il
vettore di poynting mi descrive correttamente questi spostamenti.
3.2
La Quantità di moto
Ci chiediamo se questeonde possano trasportare anche quantità di moto. Per
scoprirlo assumiamo come valide solo le leggi della meccanica e le equazioni di
14
CAPITOLO 3. LA QUANTITÀ DI MOTO
Maxwell.
Consideriamo un volume V in cui abbiamo solo fenomeni elettromagnetici e
meccanici
I
↔
d ~
~
(3.11)
P =
T dA
dt
cercando solo la componente i si ottiene:
I
d ~
Pi = Tiα nα dA
(3.12)
dt
Supponiamo come dalle premesse che P~ abbia solo una componente meccanica
P~mec e una componente elettromagnetica P~e.m. e cerchiamo di passare ad una
forma locale
Z
P~e.m. = dV ~g
(3.13)
d ~
Pmec =
dt
Z
Z
1~ ~
~v
~
~
~
dV nq E + × B = dV ρE + J × B
c
c
E applicando il teorema della divergenza al tensore si ha
I
Z
Tiα nα dA = dV ∂α Tiα
da cui si ottiene la forma differenziale
1 ~ ~
∂
ρEi +
J × B = − gi + ∂α Tiα
c
∂t
i
Usando le equazioni di Maxwell (1.4) tolgo ρ e J~
1 ∂ ~
1 ~
1
1 ~ ~
~
~
~
~
rotB −
J ×B =
Ediv E +
E ×B
ρE +
c
4π
4π
c ∂t
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Simmetrizzando le equazioni (nota che ogni singolo pezzo aggiunto è identicamente nullo grazie alle equazioni di Maxwell (1.4))
1 ~
~−1 ∂E
~+1 ∂B
~ + Bdiv
~
~ + 1 rotB
~ ×B
~ + 1 rotE
~ ×E
~
=
Ediv E
B
4π
4π
c ∂t
4π
c ∂t
(3.18)
3.3. TENSORE DEGLI SFORZI DI MAXWELL
15
Da cui si cercherà di dimostrare che può essere scritto nella forma di (3.16),
ovvero
1 ∂
∂
~ ×B
~
gi = − 4πc
E
− ∂t
∂t
(3.19)
1
~
~ + rotE
~ ×E
~ + Bdiv
~
~ + rotB
~ ×B
~
∂α Tiα = 4π
Ediv
E
B
In sostanza devo dimostrare di poter scrivere la seconda parte come divergenza
di un certo tensore. I calcoli verranno eseguiti solo sulla parte elettrica ma
~ i risultati
poiché saranno usate solo identità vettoriali e non caratteristiche di E
sono validi anche per la parte magnetica.
~
~ + rotE
~ ×E
~ = ∂α τiα
Ediv
E
i
= Ei ∂j Ej + εilm (εlpq ∂p Eq ) Em = Ei ∂j + (δmp δiq − δmq δip ) Em ∂p Eq (3.20)
= E i ∂ j E j + E j ∂ j Ei − E j ∂ i E j
Proponiamo come soluzione per τij = Ei Ej − 21 δij E 2 . Notiamo che è un tensore
simmetrico e verifichiamo che sia solzione.
1
1
∂j τij = ∂j (Ei Ej ) − δij ∂j E 2 = Ei ∂j Ej + Ej ∂j Ei − ∂i (El El )
2
2
3.3
(3.21)
Tensore degli sforzi di Maxwell
Allora otteniamo
1 ~
~
E×B
4πc
definito da
~g =
Il tensore simmetrico Tαβ
1
1
Tαβ =
Eα Eβ + Bα Bβ − δαβ E 2 + B 2
4π
2
(3.22)
(3.23)
è detto tensore degli sforzi di Maxwell. Attenzione ai segni quando viene usato:
devi considerare le forze esercitate dall’esterno sul sistema.
Esempio 3.4 Considera un condensatore piano. Calcola tramite il tensore la
forza a cui è sottoposta un’armatura.
Fz
= Tzα nα = −Tzz
(3.24)
A
La forza esercitata sull’armatura è Tzz > 0 ovvero l’opposto di quella esercitata
sul sistema.
1 2
1 2
1
Ez Ez − E
=
Tzz =
E >0
(3.25)
4π
2
8π z
16
CAPITOLO 3. LA QUANTITÀ DI MOTO
Nota che è lo stesso risultato ottenuto in elettrostatica 2πσ 2 . Il tensore di
Maxwell mi da automaticamente il fattore 12 , infatti ha solo bisogno dei campi
giusti.
Esempio 3.5 Consideriamo un’onda piana totalmente assorbita da un corpo.
∆Pz = c∆tAgz ⇒ ∆P z = c∆tA
1 21
E
4πc 2
(3.26)
Allora si ha che la pressione media è
1 2
E
8π
(3.27)
Verifico con il tensore di Maxwell
−Tzα nα = −Tzz = −
1
4π
1 2
1 2
−
E
=
E + B2
2
8π
(3.28)
Esercizio 3.2 Considera un’onda piana perfettamente riflessa. Considera che
~ ha un nodo.
sia un metallo ideale con condizioni al bordo banali dove E
Esercizio 3.3 Considera un’onda piana assorbita con angolo θ. Calcola come
dipende la pressione rispetto all’angolo θ.
Il fatto che le onde elettromagnetiche possano trasportare sia Energia che
quantità di moto poteva essere calcolato in modo unico considerando che i campi
elettromagnetici possono essere scritti in forma covariante rispetto alla relatività
ristretta. Poteva essere fatto un unico calcolo per l’energia e l’impulso che sono
i membri di uno stesso quadrivettore.
Capitolo 4
Potenziali
11/02/2008
4.1
Potenziali
Ci proponiamo di trovare delle soluzioni non banali alle equazioni di Maxwell
(1.4) in presenza di sorgenti. Per perseguire tale scopo introduciamo una cop~ e il potenziale scalare V . Dalle due
pia di potenziali: il potenziale vettore A
equazioni senza i termini di sorgente si ottiene:
~ = rotA
~ (t)
B
~ + 1 ∂ rotA
~ = 0 ⇒ rot E
~+
rotE
c ∂t
~ = −∇V
~
~+1∂A
⇒E
(4.1)
1 ∂ ~
c ∂t A
c ∂t
=0
(4.2)
Si nota che i potenziali non hanno lo stesso significato che avevano in elettrostatica in quanto dipendono anche dal tempo. Inoltre non sono univocamente
determinati infatti si può compiere la trasformazione:
~′ = A
~ + ∇χ
~
A
∂
′
V = V − 1c ∂t
χ
~
(4.3)
~ ′ e V ′ sono ancora potenziali elettrodinamici validi. Otteniamo
Ne segue che A
quindi le altre due equazioni per i potenziali:
∇2 V +
1 ∂
~ = 4πρ
div A
c ∂t
1 ∂2 ~ ~
1 ∂
4π
~
~
∇ A − 2 2 A − ∇ div A +
V = − J~
c ∂t
c ∂t
c
2
(4.4)
(4.5)
Data la non univocità dei potenziali posso richiedere condizioni aggiuntive per
semplificarmi le equazioni.
~ = 0.
Esempio 4.1 Considera la gauge di Coulomb, ovvero la richiesta div A
17
18
CAPITOLO 4. POTENZIALI
Tale richiesta porta all’equazione di Poisson per il potenziale:
∇2 V = −4πρ (~r, t)
(4.6)
tuttavia t non è altro che un parametro nell’equazione, quindi le soluzioni sono
del tipo:
Z
ρ (r′ , t)
(4.7)
V (~r, t) = d3 r′
|r − r′ |
Non è una violazione della relatività avere un potenziale istantaneo. Infatti le
grandezze fisiche rilevanti sono i campi. Il campo elettrico ad esempio dipende
∂ ~
A. La variazione istantanea di V si riperquote su una vasia da V che da ∂t
~ tale da cancellarsi nel calcolo di E.
~ Questa scelta non
riazione istantanea di A
appare quindi molto naturale.
Esempio 4.2 Un’altra gauge possibile è quella di Lorentz chiedendo:
1 ∂
V ≡0
(4.8)
c ∂t
tale richiesta è inoltre invariante relativistico: se è valida in un sistema di
riferimento inerziale lo è anche in tutti gli altri.
(
~ − 12 ∂ 22 A
~ = − 4π J~
∇2 A
c ∂t2
c
(4.9)
1 ∂
2
∇ V − c2 ∂t2 V = −4πρ
~+
div A
~ e V si sono separati e che le equazioni hanno la
Notiamo innanzitutto che A
stessa forma, quindi verranno risolte solo per V . Inoltre una volta trovate le
soluzione bisognerà accertarsi che verifichino la condizione di gauge (4.8), in
modo che siano effettivamente le soluzioni delle equazioni di Maxwell (1.4).
Supponiamo che ρ (~r, t) = ρω (~r) e−iωt . Allora si ha che V (~r) = Vω (~r) e−iωt .
Inoltre tramite la tasformata di Fourier ottengo un seganle arbitrario.
ω2
~ =
∇2 Vω R
Vω (~r) = −4πρω (~r) ⇒ ∇2 V + k 2 V = −4πρ
(4.10)
c2
∇2 + k 2 V = −4πρ
(4.11)
È utile ricordare in questo caso ciò che era stato fatto per il problema di Poisson:
R
R
ρ(r ′ )
V (r) = d3 r′ |r−r′ | = d3 r′ ρ (r′ ) G (r, r′ ). Occorre quindi trovare un’opportuna funzione di Green per l’equazione di Helmholtz (4.11) in modo da avere per
sostituzione la soluzione per il potenziale
∇2 + k 2 G = −4πδ (r − r′ )
(4.12)
Prendendo per comodità r′ = 0 si ha
∇2 + k 2 G (r) = −4πδ (r)
(4.13)
Ho che per r 6= 0 la funzione
G± (r) =
e±ikr
r
(4.14)
è soluzione e nel limite di r piccoli la parte in k 2 è ininfluente perchè G± →
Rε 3
k2
1
2
2
r R⇒ ∇ G± = −4πδ (r) mentre k G± (r) → r , si ha infatti che 0 d rδ (0) = 1
ε
e 0 1r → 0
19
4.2. POTENZIALE RITARDATO
Esempio 4.3 Le onde sferiche: Consideriamo il problema con simmetria sferica
1 ∂2
f (r, t) = 0
(4.15)
c2 ∂t2
h (r, t)
f (r, t) =
(4.16)
r
1 ∂2
∂2
h − 2 2h = 0
(4.17)
2
∂r
c ∂t
h
ω (r ± ct)
e−iωt e±ikr
f= =
⇒ fω =
(4.18)
r
r
r
Per il problema dell’irraggiamento non ha senso considerare un’onda sferica
entrante (−) va quindi considerata solo l’equazione per l’onda uscente (+)
∇2 f (r, t) −
G+ (r) =
4.2
eikr
r
(4.19)
Potenziale ritardato
Concludiamo ora trovando la forma per il potenziale ritardato
′
Z
eik|r−r |
Vω (~r) = d3 r′ ρω (r′ )
|r − r′ |
che è anche una formulazione del principio di Huygens.
Z
Z
−iωt
ρ (r, t) = dωe
ρω (r) ⇒ V (r, t) = dωe−iωt Vω (r)
(4.20)
(4.21)
R
R
R
R
′
ik|r−r ′ |
1
V (r, t) = d3 r′ dωe−iωt ρω (r′ ) e |r−r′ | = d3 r′ |r−r
dωe−i[ωt−k|r−r |] ρω
′|
R
R
R
′
′
1
1
r′ , t′ = t − r−r
dωe−iωt ρω (r′ ) = d3 r′ |r−r
= d3 r′ |r−r
′|
′| ρ
c
(4.22)
Tale potenziale manifesta esplicitamente il ritardo sovuto alla propagazione dei
campi con velocità c.

R
′
1
 V (r, t) = d3 r′ |r−r
r′ , t′ = t − r−r
′| ρ
c
“
”
′
(4.23)
R 3 ′ 1 J~ r′ ,t′ =t− r−r
 ~
c
A (r, t) = d r |r−r′ |
c
Dobbiamo verificare la (4.8), la trattiamo per componente monocromatica
~ ω (r) − i ω Vω (r) = 0
div A
c
Z
ik|r−r ′ |
~ ω = ∇ d3 r ′ e
∇A
J~ (r′ )
c |r − r′ |
(4.24)
(4.25)
Usando che div (a~v ) = (grad a) · ~v + a div ~v e notando che l’ultimo addendo è
nullo
R
R 3 ′ eik|r−r′ | ik|r−r ′ |
d r ∇ c|r−r′ | · J~ω (r′ ) = − d3 r′ ∇′ ec|r−r′ | · J~ω (r′ ) =
o
(4.26)
R 3 ′ n eik|r−r′ | ′
′
′
~
d r
c|r−r ′ | ∇ Jω (r ) − div (...)
20
CAPITOLO 4. POTENZIALI
La divergenza è nulla in quanto diventa un integrale di superficie estesa all’infinito dove sono presenti delle condizioni al bordo banali
ω
ω
= i Vω (r) = i
c
c
?
Z
ik|r−r ′ |
3 ′e
ρω
d r
|r − r′ |
(r′ )
(4.27)
Utilizzando l’equazione di continuità che è conseguenza delle equazioni di Maxwell
∂
div J~ + ρ = 0
(4.28)
∂t
Verifico l’uguaglianza. Questo vuol dire che i potenziali che ho trovato sono
effettivamente solzione delle equazioni di Maxwell.
Esercizio 4.1 Due strati che scorrono: Ho due strati bidimensionali uno con
densità superficiale σ e l’altro con −σ. Dal tempo t = 0 al tempo t = τ scorrono
uno sull’altro con velocità uniforme. Per t > τ rimangono fermi. Trovare tutti
i campi in tutto lo spazio per t > 0. (Non sono necessari i potenziali ritardati).
Capitolo 5
L’irraggiamento
18/02/2008
~
Nel capitolo precedente (4) abbiamo ricavato i potenziali ritardati per A.
5.1
Sorgente dipolare
Esercizio 5.1 Si ha una sfera di gomma con carica Q, con una pressione
superficiale variabile periodicamente. Dimostrare che non irraggia.
~ è suffuciente
Consideriamo delle sorgenti localizzate(R ≫ a). Per calcolare B
~ dal quale si può ottenere E
~ tramite le equazioni di Maxwell
A
~ ω = − i ωE
~ω
rotB
c
(5.1)
Useremo la stima |r − r′ | ≃ R − r′ n̂
~ (~r) =
A
Z
eik|r−r | ~
Jω (r′ ) =
d r
c |r − r′ |
′
3 ′
Z
d3 r ′
′
eikR ~
Jω (r′ ) e−ikn̂r
cR
Mi restringo al caso non relativistico ( a ≪ λ )
ikR Z
~ (~r) = e
d3 r′ J~ω (r′ )
A
cR
21
(5.2)
(5.3)
22
CAPITOLO 5. L’IRRAGGIAMENTO
utilizzando l’identità vettoriale divxJ~ = Jx + xdiv J~ e il fatto che l’integrale di
volume diventa un integrale di superficie con condizioni al bordo banali
Z
Z
Z
3 ′
′
3 ′
′
′
′
′
′
′
d r Jx (r ) = d r (div (x J (r )) − x div J (r )) = − d3 r′ x′ iωρ (r′ )
(5.4)
ikR
~ (~r) ≃ − iω e
A
c R
Z
iω eikR ~
d3 r′~r′ ρ (~r′ ) = −
dω
c R
(5.5)
Dove d~ω rappresenta il dipolo elettrico oscillante di frequenza ω. Restringendoci
nella zona d’onda (R ≫ λ e R ≫ a) e quindi tenendo conto che n̂ non varia
ik
ik
1
~
~
~
= −ikeikn̂n̂R d~ω = − roteik~r d~ω = − eikR i~k × d~ω
B = rotA ∼ k +
R
R
R
(5.6)
Da cui
~ = k2 eikR n̂ × d~ω
B
R
(5.7)
~ = k2 eikR n̂ × d~ω × n̂
~ = i rotB
E
k
R
Il dipolo eletttrico è il termine elementare per s’irraggamento.
• f (r, t) =
eikR−iωt
R
è un’onda sferica uscente.
• Deve dipendere linearmente dal dipolo.
• Dipende da k 2 ∼ ω 2 . Solo cariche accelerate e non di moto uniforme
possono irraggiare (si dimostra facilmente con la relatività). Allora mi
serve un’accelerazione ∼ ω 2
• Dipende da R1 per il principio di conservazione dell’energia. Infatti E ∼
E 2 S allora E ∼ R1 .
Come sono orientati i campi?
~ ×B
~ = c n̂
~= c E
S
4π
4π
k2
d sin θ
R
2
cos2 (kR − ωt)
c k 4 d2
sin2 θn̂
8π R2
Non è isotropa: è minima lungo l’asse e massima nel piano
Z
d
1
~ n̂ >= c k 2 d2 sin2 θ
I=
dΩR2 < S
dt
dΩ
8π
~ >=
<S
(5.8)
(5.9)
(5.10)
23
5.1. SORGENTE DIPOLARE
La potenza totale irraggiata è
P =
Z
4π
c
dI
dΩ = k 4 d2
dΩ
3
(5.11)
24
CAPITOLO 5. L’IRRAGGIAMENTO
Capitolo 6
Diffusione della luce
25/02/2008
6.1
Esperimenti di Hertz
Per avere emissione di onde elettromagnetiche bisogna avere alte potenze (P ∼
ω 4 ). Hertz caricò due sfere con delle punte in modo da ettenere un condensatore
con ∆V molto alta. Le sfere venivano avvicinate finché non si aveva la scarica
dovuta alla rottura del dielettrico. Essa tuttavia non avviene in condizioni
di sovrasmorzamento e quindi si avevano le oscillazioni. Il campo magnetico
intorno al filo ha un induttanza molto elevata dovuta alla forte corrente, e quindi
questo è il nostro circuito RL. Hertz doveva misurare onde elettromagnetiche
a “grandi distanze” (10m, appena dentro la zona d’onda, ω ∼ 100M Hz). Era
impossibile misurare il tempo di volo dell’onda, quindi decise di misurare λ per
avere una stima per c e dimostrare che erano le onde previste dalla teoria di
Maxwell. Per farlo utilizzò un’onda stazionaria ottenuta tramite uno specchio.
Notò inoltre che con delle griglie di fili elettrici poteva ottenere la polarizzazione
dell’onda, per poter cosı̀ ripetere gli esperimenti sulla luce.
25
26
6.2
CAPITOLO 6. DIFFUSIONE DELLA LUCE
Diffusione elastica della luce
La diffusione è il processa per cui i campi dell’onda fanno oscillare i dipoli di un mezzo e questi irraggiano. Consideriamo il caso non relativistico e
posizioniamoci nella zona d’onda (R ≫ λ, λ ≫ a e R ≫ a).
E (~r, t) = k 2
ei(kR−ωt) n̂ × d~ × n̂
R
(6.1)
ck 4 d2
d
I=
sin2 θ
(6.2)
dΩ
8π
Considereremo solo gli elettroni perché i nuclei sono molto più pesanti e quindi
hanno più inerzia. Gli elettroni hanno equazione
mz̈ = qEz − mω02 z
(6.3)
dove ω0 è la frequenza propria degli elettroni in un atomo. Il campo dell’onda
incidente è, trascurando la posizione (λ ≫ a)
Ez = E0 e−iωt
(6.4)
z (t) = z0 e−iωt
(6.5)
Da cui
dove ω è la frequenza della forzante. Si ricava quindi
z0 =
qE0
m (ω02 − ω 2 )
(6.6)
Calcoliamo ora la Potenza totale integrando (6.2)
P =
d = qz0 =
Cerchiamo ora il valore di
d’urto di diffusione).
P
=
I
P
I
c 4 2
k e
3
(6.7)
q 2 E0
m (ω02 − ω 2 )
(6.8)
q4
c ω4
E2
4
3 c m2 (ω02 − ω 2 )2 0
(6.9)
, la potenza diffusa su intensità incidente (σ sezione
P
8π
=
c
2
3
8π E0
2
q2
mc2
2
ω4
(ω02 − ω 2 )
2
= σ (ω)
(6.10)
q
Dove è interessante notare che mc
2 è una distanza e rappresenta il raggio classico
dell’elettrone. Si osservano due tipi di approssimazioni:
6.3. LUCE POLARIZZATA CIRCOLARMENTE E NON POLARIZZATA 27
• ray-light ω ≪ ω0
8π 2
P
=
r
I
3 e
ω
ω0
4
∼ ω4
(6.11)
• Thompson ω ≫ ω0
P
8π 2
=
r indipendente da ω
I
3 e
(6.12)
Esempio 6.1 Perché il cielo è blu? Perché è rosso al tramonto?
Il cielo è blu perché siamo nel regime ray-light (le frequenze di risonanza sono
nell’ultravioletto). La frequenza del giallo-arancio è circa la metà di quella del
violetto che diventa un fattore 16 in termini di potenza. Le nuvole sono bianche
perché non si possono trascurare le differenze tra le scale di lunghezza (scattering
multiplo). Mentre il cielo al tramonto è rossa perché nella direzione del sole c’è
un impoverimento della componente blu.
6.3
Luce polarizzata circolarmente e non polarizzata
La polarizzazione circolare (o ellittica) si ottiene tramite due oscillatori in quadratura.
~ = E0 (x̂ + iŷ) ei(kz−ωt)
E
(6.13)
Mentre la luce non polarizzata può essere considerata la sovrapposizione di onde
piane tali da non avere direzioni privilegiate oltre quella del vettore d’onda.
x̂ + eiδ(t) ŷ ei(kz−ωt)
(6.14)
dove i prodotti misti mediano a 0. Studiamo ora la diffusione di luce non
polarizzata. Vedo la luce come sovrapposizione di luce polarizzata lungo x̂ e ŷ
I (γ) = Ix + Iy sin2 θ
(6.15)
Non cè prevalenza di ampiezza lungo x̂ o lungo ŷ perché la luce non è polariz-
zata.
Iy = I 1 + sin2 θ = I 1 + cos2 γ
(6.16)
Lungo la direzione sommo le intensità e non i campi perché i prodotti misti
scompaiono.
28
CAPITOLO 6. DIFFUSIONE DELLA LUCE
Esempio 6.2 I raggi X hanno lunghezza d’onda molto piccola e quindi non
esiste un polarizzatore. Si verifichi la legge di diffusione e che sono le onde
elettromagnetiche previste da Maxwell dal fatto che non hanno polarizzazione
longitudinale.
Si utilizza una doppia diffusione per vedere le varie componenti.
Esercizio 6.1 Si ha un cavo coassiale libero di ruotare intorno al proprio asse
e con momento di inerzia molto alto e con carica Q e −Q sulle armature.
Nell’istante iniziale c’è la scarica. Dire le condizione asintotiche del sistema.
Capitolo 7
Formalismo covariante
31/03/2008 - 03/04/2008
7.1
Siano
Introduzione alla relatività
x0
x1
x2
x3
= ct
=x
=y
=z
(7.1)
Vogliamo cercare delle trasformazioni al più lineari o affini, dovendo essere conservato il moto uniforme, le quali preservino l’intervallo ∆s2 = c2 ∆t2 − ∆x2 −
∆y 2 − ∆z 2 , ovvero la nostra “distanza” nello spazio quadridimensionale. Per
tale motivo introduciamo la metrica:


1 0
0
0
 0 −1 0
0 

(7.2)
g=
 0 0 −1 0 
0 0
0 −1
Con cui possiamo scrivere ∆s2 come forma quadratica: ∆s2 = ∆xg∆x. Definiamo cos’è un
4-Scalare
uno scalare di Lorentz si conserva se applico una trasformazione allo spazio
s′ (x′ ) = s (x)
(7.3)
4-Vettore controvariante
È un oggetto che trasforma nel seguente modo (come i differenziali delle coordinate)
∂x′α β
V (x)
(7.4)
V ′α (x′ ) =
∂xβ
4-Vettore covariante
È un oggetto che trasforma come le derivate rispetto alle coordinate ( ∂x∂α = ∂α )
Wα′ (x′ ) =
∂xβ
Wβ (x)
∂x′α
29
(7.5)
30
CAPITOLO 7. FORMALISMO COVARIANTE
Se A la matrice di trasformazione dei vettori controvarianti e B quella dei
vettori covarianti allora si ha che t BA = I Il prodotto scalare (standard) tra un
vettore controvariante ed uno covariante risulta quindi invariante di Lorentz.
Tensore
Trasforma con tante matrici del tipo A quanti sono i suoi indici “in alto” e tante
del tipo B quanti quelli “in basso”.
′
∂xβ1
∂x′α1
α′ ···
· · · Fβ ′1···
·
·
·
′
′β
α
1
1
∂x
∂x 1
2 ···
Fβ′α1 1βα
(x′ ) =
2 ···
(7.6)
Dalla definizione di intervallo si ha
ds2 = gµ ν dxµ dxν = dxµ dxµ
(7.7)
xµ = gµ ν xν
(7.8)
da cui si ha che
Torniamo a chiederci quali condizioni deve soddisfare la matrice A di Lorentz.
x′µ x′µ = xν xν =t xgx =t x′ gx′
(7.9)
g =t AgA
(7.10)
Da cui per sostituzione
3
Osserviamo che nel caso di R sono le rotazioni. Calcolandone il determinante
si osserva che det2 A = 1, ovvero det A = 1 o det A = −1. Ciò implica che il
gruppo di Lorentz non è connesso.
Trasformazione infinitesima
Scriviamo A nella forma I + εL, dove L sarà un generatore del gruppo delle matrici di Lorentz pure, ovvero quelle ottenibili per continuità dall’identità(det =
1).
t
AgA = g ⇒t Lg = −gL ⇒t (gL) = −gL
(7.11)
Si vede che gL deve essere antisimmetrica. L ha quindi 6 gradi di libertà e può
~S
~ + ζ~K
~ dove le S sono dette matrici di
essere scritta in una base come L = W
Pauli




0 0 0 0
0 1 0 0
 0 0 0 0 
 1 0 0 0 



K1 = 
 0 0 0 0  S1 =  0 0 0 −1 
 0 0 1 0 
 0 0 0 0 
0 0 0 0
0 0 1 0
 0 0 0 1 
 0 0 0 0 



(7.12)
K2 = 
 1 0 0 0  S2 =  0 0 0 0 
 0 −1 0 0 
 0 0 0 0 
0 0 0 0
0 0 0 1
 0 0 −1 0 
 0 0 0 0 



K3 = 
 0 0 0 0  S3 =  0 1 0 0 
0 0 0 0
1 0 0 0
~S
~ rappresentano le rotazione in R3 mentre ζ~K
~ sono il bust
Si può notare che W
αL
puro di Lorentz. Sappiamo che A = e poiché L è un generatore, restringendoci
al caso L = ζK1 che si ottiene a meno di rotazioni si ha
1
1
A = eζK1 = I + ζK1 + ζ 2 K12 + · · · + ζ n K1n · · ·
2
n!
(7.13)
31
7.2. ELETTRODINAMICA COVARIANTE
ma K12 è la proiezione sulle prime due coordinate quindi per calcolo diretto


cosh ζ sinh ζ 0 0
 sinh ζ cosh ζ 0 0 

(7.14)
A=

0
0
1 0 
0
0
0 1
∂ ~
Un vettore che può risultare utile è ∂µ = ( c∂t
, ∇) che è un vettore covariante.
1 ∂2
2
µ
La contrazione di ∂µ ∂ = c2 ∂t2 − ∇ = è uno scalare di Lorentz. È definito
anche lo pseudo-tensore completamente antisimmentrico εµ ν ρ σ avendo imposto che ε0123 = 1 e che per ogni permutazione pari rimane 1 mentre per ogni
permutazione dispari cambia segno. È un tensore?
ε′ = Aµα Aνβ Aργ Aσδ εα β γ δ = det A per definizione di determinante
(7.15)
Ma è vero solo per trasformazioni proprie, da cui il fatto che è uno pseudotensore. L’elemento di quadrivolume d4 x è invariante di Lorentz perchè
α
β
γ
δ
d4 x = εαβγδ dx0
dx1
dx2
dx3
(7.16)
7.2
Elettrodinamica covariante
Partiamo dalla considerazione sperimentale che la carica si conserva (dq). La
densità di carica può essere scritta come
ρ=
dq
dq
= 4 c |dt|
3
d x
d x
(7.17)
Quindi abbiamo che ρ trasforma come una componente temporale e analogamente J~ come una spaziale. Possiamo costruire quindi il quadrivettore corrente
J µ = cρ, J~
(7.18)
E riscrivere l’equazione di continuità
∂µ J µ = 0
(7.19)
In gauge di Lorentz anche A risulta essere un quadrivettore (e la gauge è
invariante)
~
Aµ = V, A
(7.20)
∂µ Aµ = 0
(7.21)
Le equazioni d’onda possono essere scritte come
Aµ =
4π µ
J
c
(7.22)
Definiamo il tensore antisimmetrico campo elettromagnetico
F µν = 
∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
~
0
−E

0
−Bz
F µν = 
 E
~
Bz
0
−By Bx
By
−Bx
0




(7.23)
32
CAPITOLO 7. FORMALISMO COVARIANTE
E lo pseudo tensore
1 µνρσ
ε
Fρσ
2
Le equazioni di Maxwell possono essere scritte come
µ
∂µ F µν = 4π
c J
µν
∂µ F = 0
F µν =
(7.24)
(7.25)
L’ultima equazione può anche essere scritta senza F come
∂α Fβγ + ∂β Fγα + ∂γ Fαβ = 0
(7.26)
Si possono facilmente trovare i seguenti invarianti
F µν Fµν = 2 B 2 − E 2
~ ·B
~
F µν Fµν = −4E
(7.27)
(7.28)
Capitolo 8
Equazioni di Maxwell nella
materia
07/04/2008
8.1
Elettrostatica nella materia
Per lo studio dei campi elettromagnetici nella materia non si può procedere con
una descrizione microscopica delle variazioni dei campi a causa dell’eccessivo
numero di gradi di libertà del sistema. Tratteremo quindi delle medie spaziali.
Per fare ciò è necessario disporre di qualche ordine di grandezza tra la scala
microscopica e la scala delle misure in modo da poter fare la media spaziale su
lunghezze molto maggiori di quelle microscopiche ma significativamente trascurabili ripetto alla scala delle misure.
Fatto ciò risulta non necessario mediare ulteriormente sul tempo. Tutti i cam~ (~r, t) >=
pi scritti di seguito saranno da intendere in media spaziale < E
R
1
3 ′~
′
∆V ∆V d r E (r , t) o tramite una funzione più regolare ma di uguale significato.
Le equazioni che non contengono i termini di sorgente non vengono modificate
in quanto sono ancora valide in media spaziale
~ =0
div B
~ = −1
rotE
∂ ~
c ∂t B
(8.1)
La materia risponde ai campi elettromagnetici che vengono a crearsi generando una polarizzazione indotta (ci limiteremo al termine di dipolo). Consideriamo
la quantità macroscopica
∆d~
(8.2)
P~ (~r) =
∆V
Abbiamo che il potenziale di dipolo (e quindi di dipolo indotto) è
~ (~
~ (~
R
R
R 3 ′
r −~
r′ )
P
r ′ )(~
P
r′ )
1
′
Vd (~r) = d3 r′ |~r−~r′ |3 = d3 r′ P~ (~r′ ) · ∇′ |~r−~
div
−
=
d
r
r′ |
|~
r −~
r′ |
1
′~
|~
r −~
r ′ | div P
(8.3)
33
(r′ )
34
CAPITOLO 8. EQUAZIONI DI MAXWELL NELLA MATERIA
Applicando il teorema della divergenza sul primo pezzo e considerando che ho
una polarizzazione localizzata scopro che è nullo.
Z
div ′ P~ (r′ )
= d3 r ′
(8.4)
|~r − ~r′ |
Sommando quindi il potenziale della carica libera e quello del dipolo indotto
scopro che è come se ci fosse una carica di polarizzazione
Z
ρext (~r′ ) − div P~ ~(r)′
(8.5)
V (~r) = d3 r′
|~r − ~r′ |
ρpol = −div P~
(8.6)
~ = 4πρext + 4πρpol = 4πρext − 4πdiv P~ ⇒ div E
~ + 4π P~
div E
~ =E
~ + 4π P~
D
= 4πρext (8.7)
~ = 4πρext
div D
Dalla conservazione della carica ricaviamo
Z
I
3 ′
~
−
div P d r + σpol dA = 0 ⇒ σpol = P~ · n̂
(8.8)
(8.9)
(8.10)
V
Esempio 8.1 Utilizzando ragionamenti elementari su un cilindro uniformemente polarizzato si arriva alla stessa conclusione
ẑPz hS = d~ = hσ+ S ẑ ⇒ σ+ = Pz > 0
8.2
(8.11)
Considerazioni analoghe in magnetostatica
Consideriamo il contributo del dipolo magnetico indotto
~ r
~ = m×~
A
r3
m
~
~
M=∆
∆V
′
~ ′
R
R
~ d (~r) = d3 r′ M (r )×(′~r3−~r ) = d3 r′ M
~ (r′ ) × ∇
~′ 1 ′ =
A
|~
r −~
r |
|~
r
−~
r
|
n
o
R 3 ′
~
1
′ M
′
′
~
d r −rot |~r−~r′ | + |~r−~r′ | rot M (~r )
(8.12)
(8.13)
trasformando il primo termine in un integrale di superficie e mandandola all’infinito esso scompare
Z
Z
′
′ ~
′
′ ~
′
~
~ = d3 r′ Jext (~r ) + crot M (~r )
~ d (~r) = d3 r′ rot M (~r ) ⇒ A
(8.14)
A
′
′
|~r − ~r |
c |~r − ~r |
~ (~r′ ) = J~m (~r′ )
c rot′ M
Riscriviamo quindi l’equazione omogenea di Maxwell
~
~ = 4π J~ext + 4πrotM
rot B
(8.15)
c
~ =B
~ − 4π M
~
H
4π ~
~
rotH = c Jext
(8.16)
8.3. DIPENDENZA DAL TEMPO
8.3
35
Dipendenza dal tempo
Nella legge di Gauss non c’è motivo di ritenere che ci siano variazioni nel caso di~
~ = 4π J~ext + 1 ∂ E.
namico. L’unica legge che può sembrare inconsistente è rotH
c
c ∂t
∂
Imponiamo quindi la lgge di conservazione della carica (div J~ + ∂t ρ = 0) che
vale per la carica totale ma anche per le sorgenti esterne in quanto supponiamo che le sorgenti esterne non possano diventare sorgenti di polarizzazione/magnetizzazione e viceversa (non cambiamo la natura della materia). Dobbiamo considerare un termine vecJpol per permettere alle equazioni di essere
consistenti.
∂
~ + ∂ ρpol +div J~pol = 0 ⇒ div J~pol − ∂ div P~ = 0 ⇒ J~pol = ∂ P~ +· · ·
÷J~m + ρpol +÷J~pol = 0 ⇒ divrotM
∂t
∂t
∂t
∂t
(8.17)
Vediamo con un esempio che i termini aggiuntivi nell’equazione precedente sono
nulli
Esempio 8.2 Abbiamo un cilindro uniformemente polarizzato con polarizzazione lungo ẑ. Se Pz aumenta nel tempo ho che anche σ aumenta
∂
d
(σ+ S) = I = Jz S ⇒ Jz = Pz
dt
∂t
(8.18)
Riscrivendo l’equazione di Maxwell si ottiene
~ =
rotH
4π ~
1 ∂ ~ 4π ~
4π ~
1 ∂ ~
Jext +
E+
Jpol =
Jext +
E + 4π P~
c
c ∂t
c
c
c ∂t
e ora possiamo scrivere le equazioni di Maxwell nei mezzi materiali

~ = 4πρext

 div D


~ =0
div B
∂ ~
~
 rotE = − 1c ∂t
B


 rotH
~
~ = 4π J~ext + 1 ∂ D
c
c ∂t
(8.19)
(8.20)
Per avere un sistema completo devo specificare la relazione htra leigrandezze:
i le
h
~ B
~ e
~ B
~ ,M
~ E,
equazioni costitutive descrivono le qualità della materia (P~ E,
non è detto che siano funzioni ben definite, possono dipendere dalla storia
del
~ e
materiale). Noi studieremo una risposta lineare, limitandoci al caso P~ E
~ B
~ .
M
Z
Z
′
d3 r′ Gij (~r, ~r′ , t, t′ ) Ej (r′ , t′ )
(8.21)
Pi (~r, t) = dt
Se il mezzo è spazialmente omogeneo abbiamo G (~r − ~r′ , t, t′ ) se è anche stazionario nel tempo si ha G (~r − ~r′ , t − t′ ). Se r − r′ ∼ l allora G (~r − ~r′ , t − t′ ) =
δ (~r − ~r′ ) g (t − t′ )
Z t
gij (t − t′ ) Ej (~r, t′ )
(8.22)
Pi (~r, t) =
−∞
~ vari
L’ulteriore sostituzione con δ (t − t′ ) è vera nel caso statico e purché E
molto poco rispetto alla risposta della materia. Altrimenti bisogna considerare
36
CAPITOLO 8. EQUAZIONI DI MAXWELL NELLA MATERIA
le componenti monocromatiche e le risposte come funzione delle frequenze con
possibilità di risonanze. Con tale ulteriore semplificazione si ha
Pi = gij Ej
(8.23)
~ ⇒D
~ = (1 + 4πα) E
~ = εE
~
P~ = αE
(8.24)
Considerando un mezzo isotropo
Capitolo 9
Modelli della materia
10/04/2008
9.1
Atomo polarizzabile
Esempio 9.1 Vogliamo stimare la costante dielettrica per un gas di atomi.
~ 0 uniforme rispetto alle dimensioni dell’atomo, α0 ∼ 0, 5Å e
Consideriamo E
q ∼ e infatti solo i gusci esterni sono polarizzabili.
Partiamo da alcune considerazioni: la posizione di equilibrio e la forza di richiamo hanno simmetria sferica (senza campo elettrico esterno). La nuvola
elettronica sarà considerata ferma e la carica q si muoverà (in realtà è il contrario).
Per r < a si ha un potenziale armonico(oscillatore lineare)
4
F = −ρ 3
πr3
q 2~r
q~
r
=
−
r3
a3
(9.1)
Per r > a si ha un regime non lineare corrispondente alla ionizzazione dell’atomo
(anche se non è una buona descrizione di tale processo)
F =−
Uint =
q2 2
2a3 r
q2
r2
~ 0 · d~
Uext = −E
(9.2)
(9.3)
Cerco il minimo di U = Uint + Uext e per motivi di simmetria mi limito a
considerarlo lungo l’asse cos θ = 1
U=
~r0 =
q2 2
r − qE0 r cos θ
2a3
E0 2a3
q ẑ
d~0 = E0 a3 ẑ = αat E~0
αat = a3
Umin = −
~0
d~ · E
1
E02 a3
=−
= − αat E02
2
2
2
37
(9.4)
(9.5)
(9.6)
(9.7)
38
CAPITOLO 9. MODELLI DELLA MATERIA
Quello dell’atomo è un dipolo indotto lineare mentre l’energia di un dipolo permanente è −dE0 , quello indotto è − 12 dE0 come un condensatore per il costo di
deformazione del sistema. Con questo modello stimiamo sostituendo la costante
~ =< d~ >
dielettrica ε = 1 + 4παgas dove P~ = αgas E
V
9.2
Molecole polari
Esempio 9.2 Abbiamo una molecola polare come l’acqua. Vogliamo calcolare
la costante dielettrica di tale mezzo. Abbiamo come dimensioni caratteristiche
1
d ∼ e 1Å , n ∼ 1020 cm
3
~ perché non vedo una risposta lineare
Non posso sostituire in P~ = dnẑ 6= αgas E
ma la massima polarizzazione. Devo considerare una fase transitoria tra la non
polarizzazione e la massima saturazione. Questa fase è dovuta all’agitazione termica delle molecole. Per questo motivo utilizzeremo la funzione di distribuzione
di Boltzman.
U = −dE0 cos θ
(9.8)
UT = kB T
− UU
ρ (θ) = θ0 e
(9.9)
T
< dz >= dp < cos θ > Su tutto l’angolo solido
(9.10)
Z
Z
Z
1
dE cos θ
dE0 cosθ
1
1
− 0U
T
d (cos θ) cos θe
dϕ dθ sin θ cos θe UT =
< cos θ >=
4π
2 −1
(9.11)
Per gli ordini di grandezza a cui siamo interessati l’esponente è piccolo quindi
linearizzo in Taylor
Z 1
1 dE0
dE0
x =
(9.12)
dx x 1 +
< cos θ >=
UT
3 UT
−1
ndp
9.3
nd2p
1 dE0
= αgas E0 ⇒ αgas =
3 KB T
3KB T
(9.13)
Mezzo stratificato
Esempio 9.3 Si ha un mezzo composto da strati microscopici di materiale dielettrico di lunghezza l1 e l2 e costanti dielettriche ε1 ε2 . Trovare le costanti
dielettriche (un tensore) macroscopiche.
Consideriamo le equazioni di Maxwell (8.20) e le condizioni al bordo Ek continuo
e D⊥ continuo (non ho cariche superficiali) B⊥ continuo e Hk continuo (non ho
correnti superficiali). Nei mezzi valgono le seguenti relazioni
D1 = ε1 E1
(9.14)
D2 = ε2 E2
Inoltre cerchiamo D della forma Di = εij Ej
ricava che

εxx
0
εij =  0 εxx
0
0
dove per motivi di simmetria si

0
0 
(9.15)
εzz
39
9.3. MEZZO STRATIFICATO
Lungo x̂ E è uniforme
Dx =
l 1 ε 1 Ex + l 2 ε 2 Ex
= εxx Ex
l1 + l 2
(9.16)
l1 ε 1 + l2 ε 2
l1 + l2
(9.17)
εxx =
Analogamente lungo ẑ si ha che D è uniforme da cui si ricava che
l1
+ εl22
1
= ε1
εzz
l1 + l2
(9.18)
40
CAPITOLO 9. MODELLI DELLA MATERIA
Capitolo 10
Effetti di campo locale
16/04/2008
10.1
Molecola biatomica
Abbiamo ottenuto che per un singolo atomo vale la relazione
~ 0 = α0 E
~0
d~0 = a3 E
(10.1)
Iniziamo a considerare che la molecola non è isotropa. Per motivi di simmetria
polliamo dire che
~0 j
dm,i = αij E
(10.2)
dove

 αxx
0
αij =

0
0
αxx
0
0
0
αzz
(10.3)
Calcoliamo ora il campo locale come somma del campo di Maxwelll e del campo
dovuto al dipolo (si influenzano a vicenda)
Calcoliamo lungo ŷ
Ely = E0y −
~ loc = E
~0 + E
~d
E
(10.4)
~
~ − d
~ d = 3 dr̂
E
3
r
r3
(10.5)
Ely
E0y
2α0
dy
= E0y − α0 3 ⇒ Ely =
(10.6)
α0 ⇒ alphaxx =
3
r
l
1 + l3
1 − αl30
Calcoliamo in modo analoga lungo ẑ
αzz =
2α0
0
1 − 2α
l3
(10.7)
Notiamo innanzitutto che αzz > αxx in quanto i dipoli si rafforzano mentre
0
gli altri tendono ad opporsi. Quando 1 − 2α
l3 → 0 si ha il fenomeno della
ferroelettricità: i dipoli guadagnano energia dall’interazione con il campo (più
di quanto costi polarizzare il mezzo). Nel nostro modello in cui α0 = a3 ciò non
può avvenire a causa dei limiti fisici ma in teorie più ampie può accadere.
41
42
CAPITOLO 10. EFFETTI DI CAMPO LOCALE
Esempio 10.1 Consideriamo una sfera dielettrica in un campo esterno E0
Considerando le equazioni di Maxwell (8.20) abbiamo un problema elettrostatico
con una schermatura di 1ε . Cercheremo di costruire la soluzione. Consideriamo
le condizioni al bordo
⊥
D1 = D2⊥
(10.8)
k
k
E1 = E2
e passiamo al problema per il potenziale
~ = −∇V
~
E
2
∇ V =0
(10.9)
Da cui utilizando lo sviluppo in polinomi di Legendre
i
P∞ h (1)
(1)
V1 (r < a, θ) = l=0 Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ)
i
P∞ h (2)
(2)
V2 (r > a, θ) = l=0 Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ)
(10.10)
(1)
Abbiamo che Bl = 0 perché non ho divergenze del potenziale nell’origine in
quanto non ho carica libera, inoltre per le condizioni al bordo all’infinito, che è
(2)
(2)
un campo costante, Al>1 = 0 e Al=1 = −E0 . Noto che z = 0 è la scelta naturale
(1)
per lo 0 del potenziale in quanto è piano di simmetria speculare(⇒ Al=0 = 0).
− = ε2 ∂V +
ε1 ∂V
∂r
∂r a
a
(10.11)
∂V ∂V ∂θ a− = ∂θ a+
Ma per noi l’ultima equazione è equivalente a V |a− = V |a+ perché abbiamo dei
potenziali che coincidono su un piano e hanno le stesse derivate.
(1)
V1 (r < a, θ) = A1 rcos θ +
V2 (r > a, θ) = cos θ −E0 +
(1) l
l=2Al r Pl (cos θ)
P∞ (2)
+ l=2 Bl r−(l+1) Pl
P∞
(2)
B1
r2
(2)
(cos θ) +
B0
r
(2)
+ A0
(10.12)
Imponendo le condizioni al bordo corrette si arriva al risultato. All’esterno (la
prima correzione) è un campo di dipolo mentre all’interno è un campo costante.
10.2
Effetti di campo locale
Consideriamo un mezzo isotropo formato da un reticolo cubico di atomi (in
realtà il modello vale per qualunque reticolo isotropo con omogenea distribuzione). Consideriamo una sfera di raggio R ≫ a ma piccolo rispetto alle variazioni
di E0 . Posso quindi considerare E0 uniforme sulla sfera.
~ loc = E
~ +E
~ micro − E
~ macro
E
4 ~
~
~
Eloc = E −
πP
3
(10.13)
(10.14)
Dove per Eloc si intende il campo che sente un atomo del reticolo, per E si
intende il campo di Maxwell mediato e per Emicro gli effetti dovuti alla vicinanza
degli altri atomi. Quindi non in tutto lo spazio si ha tale valore di Eloc ma
10.3. ULTERIORI CONSIDERAZIONI SULLA DIPENDENZA DAL TEMPO43
~ micro
solo dove sono presenti gli atomi. Si vede che E
media a 0 su R,
x
considerando ogni atomo come un piccolo dipolo.
~ loc
d~at = α0 E
~ loc = E
~ + 4 π P~
E
3
4
nα0
~
~
~
~
E
⇒ P = ndat = nα0 E + πnα0 =
3
1 − 43 πnα0
(10.15)
(10.16)
Normalmente non si pongono dei problemi di divergenza. Il campo locale tende
ad aumentare tanto più il mezzo è denso.
χ=
nα0
1 − 34 πnα0
(10.17)
ε = 1 + 4πχ
(10.18)
Da cui si ricava la formula di Clausius Mozzotti
4
ε−1
nα0 =
3
ε−2
10.3
(10.19)
Ulteriori considerazioni sulla dipendenza dal
tempo
Z
P (t) =
t
−∞
dt′ g (t − t′ ) E (t′ )
(10.20)
Sostituendo τ = t − t′ e imponendo che g (τ < 0) = 0
Z ∞
g (τ ) E (t − τ ) dτ
=
(10.21)
−∞
Pω =
Z
∞
−∞
iω(t)
e
P (t) dt =
Z
∞
iωt
e
Z
∞
−∞
−∞
g (τ ) E (t − τ ) dτ dt =
Z
∞
−∞
dτ g (τ )
Z
∞
−∞
(10.22)
Che è un integrale di convoluzione:
Pω = g (ω) E (ω)
(10.23)
∗
(10.24)
g (−ω) = (g (ω))
iω(t−τ )
e
iωτ
E (t − τ ) dt e
=
Z
∞
−∞
d
44
CAPITOLO 10. EFFETTI DI CAMPO LOCALE
Capitolo 11
Costante dielettrica
21/04/2008
R∞
P (t) = −∞ g (τ ) E (t − τ ) dτ
P (ω) = Rα (ω) E (ω)
∞
α (ω) = −∞ eiωt g (t) dt
11.1
(11.1)
Modello
Prenderemo come modello della materia degli atomi che sono oscillatori lineari
con smorzamento. Sono grandezze caratteristiche le segueti: m q ω0 γ n
mz̈ = −mω02 z − mγ ż + qE0 e−iωt
z = z0 eiωt ⇒ z0 =
q
m E0
ω02 − ω 2 −
(11.2)
(11.3)
iγω
P (ω) = nqz0 = α (ω) E (ω)
α (ω) =
ω02
−
q2
mn
ω2 −
iγω
⇒ ε (ω) = 1 + 4πα (ω) = 1 +
Da cui si ricava che
ε1 (ω) = 1 +
ε2 (ω) =
(
(11.4)
ω02
ωp2
= ε1 + iε2
− ω 2 − iγω
(11.5)
ωp2 (ω02 −ω 2 )
2
(ω02 −ω2 ) +γ 2 ω2
ωp2 γω
2
2
ω0 −ω 2 +γ 2 ω 2
(11.6)
)
Si noti che per ω → 0 ε2 → 0 questa distingue tra conduttori e isolanti.(ε2 ∼
4π σω0 nei metalli).
11.2
Regione trasparente e non dispersiva
~ = εE
~
D
~
~
B = µH
45
(11.7)
46
11.2.1
CAPITOLO 11. COSTANTE DIELETTRICA
Il vettore di Poynting
~= c E
~ ×H
~
S
(11.8)
4π
Notiamo che subito dentro il mezzo non ho dissipazione di energia a causa della
~ eH
~ : la superficie non è né pozzo né sorgente. La stessa giustificontinuità di E
cazione sarà applicata anche alle zone non banali, mentre sarà più problematico
trovare u.
~=−∂u
(11.9)
div S
∂t
~ = c div E×
~ −1 ∂ B
~
~ − Erot
~ H
~ = c H
~ −E
~1 ∂ D
~
~ H
~ = c Hrot
div S
E
4π
4π
4π
c ∂t
c ∂t
(11.10)
se il mezzo non è dispersivo e poiché sono legati linearmente
=
o
1 ∂ n~ ~
~ ·D
~
H ·B+E
8π ∂t
(11.11)
Dalle equazioni di Maxwell ricaviamo la funzione d’onda ottenendo che n =
k = n ωc e B0 = nE0
√
µε,
Capitolo 12
Mezzi trasparenti non
assorbenti
24/04/2008
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CAPITOLO 12. MEZZI TRASPARENTI NON ASSORBENTI