A_Onde _e_m

App. Onde El.Mag.
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A-Onde e-m.
Prendiamo il sistema di riferimento cartesiano (destrorso)
di Figura.
Supponiamo di essere nel vuoto, in assenza di cariche e
correnti (   0 ; J = 0).
Supponiamo ancora che siano presenti unicamente un
campo elettrico E , funzione sia delle coordinate spaziali
che del tempo (ma che abbia unica componente lungo
l’asse Y) e un campo di induzione magnetica B pure
funzione sia delle coordinate spaziali che del tempo (ma
che abbia unica componente lungo l’asse Z); siano cioè :
E ( x , y , z; t )  E . j
B(x , y , z; t )  B. k
cioè
cioè
EX = EZ = 0
BX = BY = 0
[1]
Cerchiamo a quali condizioni supplettive questo E e questo B devono soddisfare affinché essi siano
soluzione delle equazioni di Maxwell.
Facendo riferimento alla forma differenziale di queste, nel nostro caso esse divengono:
B
divE  0
t
ricordiamo: per ipotesi sono   0 ; J = 0 . [2]
E
divB  0
rotB  0 0
t
Esplicitando la divergenza di E e di B (e cancellando i termini uguali a zero per le ipotesi [1]) :
rotE  
E X EY EZ


0
x
y
z
BX BY BZ


0
x
y
z
EY
0
y
BZ
0
ovvero
z
ovvero
E è costante al variare della Y
B è costante al variare della Z
[3]
[4]
Esplicitando il rotore di E (e cancellando i termini uguali a zero per le ipotesi [1]) :
EZ EY
B

 X ;
y
z
t
EY
0
;
z
E X EZ
B

 Y ;
z
x
t
0=0
;
EY E X
B

  Z cioè : [5]
x
y
t
EY
B
 Z :
[6]
x
t
La prima delle [6] dice che E è costante anche al variare di Z ; insieme alla [3] si conclude che E non
dipende né da Y, né da Z cioè è costante nel piano YZ e dipende solo dalla X e, ovviamente, dal tempo t.
La seconda è solo un’identità; la terza dà la dipendenza cercata : la useremo dopo.
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Esplicitando il rotore di B (e cancellando i termini uguali a zero per le ipotesi [1]) :
BZ BY
E

 00 X ;
y
z
t
BZ
;
0
y
BY BX
E
BX BZ
E

 0 0 Y ;

 00 Z cioè : [7]
z
x
t
x
y
t
B
E
 Z  00 Y
;
0=0 :
[8]
x
t
La prima delle [8] dice che B è costante anche al variare di Y ; insieme alla [4] si conclude che B non
dipende né da Y, né da Z cioè è costante nel piano YZ e dipende solo dalla X e, ovviamente, dal tempo t.
La terza è solo un’identità; la seconda dà la dipendenza cercata : la useremo qui di seguito.
E’ rimasto quindi il sistema:
BZ
 EY
 x   t

 BZ    EY
0 0
 x
t
Ricordando che le sole componenti sono EY = E e BZ = B possiamo anche scrivere
[9]
B
 E
 x   t

 B    E
0 0
 x
t
[10]
Deriviamo la prima rispetto a X e la seconda rispetto a t e otteniamo:
 2 E
 2B
 2  
x
t .x

2
2
  B     E
0 0
 xt
t 2
[11]
Sotto le condizioni di validità del teorema di Schwarz, si può scambiare nella prima delle [11] l’ordine
 2B
di derivazione delle derivate miste; sostituendo allora il temine comune
dalla prima nella
x.t
seconda, si ottiene infine:
 2E
1  2E
[12]

t 2 00 x 2
Analogamente derivando la prima rispetto a t e la seconda rispetto a X otteniamo:
 2B
1  2B

t 2 0 0 x 2
[13]
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Le [12] [13] costituiscono il sistema a cui il campo E e il campo B (da cui siamo partiti) devono
soddisfare per essere soluzione delle equazioni di Maxwell [2].
1
Si riconosce che [12] e [13] sono le equazioni di un’onda (che si propaga con velocità V 
).
0 0
Cioè: i campi E e B da cui siamo partiti, per essere soluzioni delle equazioni di Maxwell, devono anche
soddisfare l’equazione delle onde: le perturbazioni elettrica e magnetica si propagano per onde
(Onde Elettromagnetiche). Maxwell stesso si accorse che la velocità di propagazione V ha valore
numerico praticamente uguale al valore allora conosciuto della velocità di propagazione c della luce nel
vuoto. Egli stesso avanzò quindi l’ipotesi che le onde luminose fossero di natura elettromagnetica.
La soluzione delle [12] [13] si presenta come:
E  f 1 ( x  ct )

B  f 2 ( x  ct )
con
c
1
0 0
[14]
Naturalmente il tipo di funzione f1 e f2 dipende dalle condizioni al contorno.
Si vede dalle [14] che si tratta di onde monodimensionali (cioè funzioni della sola X).
Ipotizzando una soluzione di tipo sinusoidale (si ricordi il teorema di Fourier) le [14] divengono:
E  E0 sen(t  kx )

B  B0 sen(t  kx   )
dove  rappresenta un eventuale sfasamento fra il campo elettrico
e il campo magnetico. Queste relazioni ovviamente devono soddisfare per esempio le [10] perciò,
operando le opportune derivate:
E
B
 E0 ( k ) cos(t  kx )
 B0 cos(t  kx   ) che sostituite nella prima delle [10]
e
x
t
danno: E0 ( k ) cos(t  kx )  B0 cos(t  kx   ) Questa uguaglianza deve essere soddisfatta per
ogni x e per ogni t ; ciò comporta che sia   0 . Allora, semplificando per cos(t  kx) , che diviene
E0 
  c.
fattore comune ai due membri, resta
[15]
B0 k
In definitiva la soluzione delle [12] [13] è costituita da un campo elettrico E e da un campo di
induzione magnetica B perpendicolari fra loro, in fase, per i cui moduli vale il rapporto [15].
I due campi si propagano sotto forma di un’onda trasversale (E e B sono perpendicolari alla direzione
di propagazione: nel nostro esempio l’asse X), piana (i fronti d’onda (1) sono piani normali all’asse X).
La direzione di propagazione e, nell’ordine, i vettori E e B formano una terna destra .
E e B costituiscono una soluzione delle equazioni di Maxwell e sono quei campi che si “sostengono”
vicendevolmente (secondo la legge di Faraday e la legge di Ampère-Maxwell ) . Naturalmente esistono
altre soluzioni per il sistema iniziale: per esempio un campo E parallelo all’asse Z e un campo B
parallelo all’asse -Y . E, trattandosi di un sistema lineare di equazioni differenziali, sarà pure soluzione
anche una qualunque combinazione lineare di due soluzioni note.
1
Ricordare: si chiama Fronte d’onda la superficie luogo dei punti equifasi.
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Più in generale per i campi E e B nel vuoto (cariche e correnti nulle) si può scrivere:
E
B
rotB  00
;
[16]
t
t
Prendiamo il rotore della prima delle [16] e (dopo aver scambiato le derivate rispetto alle coordinate
spaziali con quelle rispetto al tempo) abbiamo :
rotE  
rot ( rotE )  
 ( rotB)
t
Elaboriamo il primo membro e contemporaneamente sostituiamo rotB nel secondo:
 ( 00
grad (divE)   2E  
 2 E  00
2 E
 t2
t
E
)
t
da cui, essendo per ipotesi divE = 0 , abbiamo infine
che è ancora l’equazione delle onde (nello spazio
cioè per le tre
componenti di E ) . Operazioni analoghe si possono compiere sulla seconda delle [16] ottenendo una
analoga equazione per B.