Programma effettivamente svolto di MATEMATICA I

Programma del
Corso integrato di Analisi Matematica, Geometria ed Algebra lineare
modulo di Analisi 1
Anno Accademico 2009- 2010
Testo utilizzato: Bramanti-Pagani-Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2008.
0. Nozioni elementari di logica. Implicazioni, condizione necessaria, sufficiente, necessaria
e sufficiente. Dimostrazione diretta, indiretta e per assurdo.
1. Introduzione alla teoria degli insiemi. Insiemi numerici. Numeri reali. Irrazionalità di radice
di 2 (*). Massimo e minimo di un insieme. Maggioranti e minoranti. Insiemi superiormente
limitati ed inferiormente limitati. Estremo superiore ed estremo inferiore, assioma di
continuità (o proprietà dell’estremo superiore). Convenzione per l'estremo superiore e
l'estremo inferiore di insiemi illimitati.
Principio di induzione.
2. Generalità sulle funzioni: dominio, codominio e grafico. Funzioni inferiormente e
superiormente limitate. Funzioni suriettive e funzioni iniettive. Funzione composta e funzione
inversa. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone. Ogni funzione strettamente
monotona è invertibile e la sua inversa è strettamente monotona (*). Funzioni iperboliche.
3. Successioni numeriche. Definizione di limite di una successione. Primi esempi. Verifiche
di limite. Teorema di unicità del limite(*). Definizione di limite +∞ e -∞. Ogni successione
convergente è limitata (*). Successioni irregolari. Successioni monotone. La successione
geometrica. Definizione di infinito e infinitesimo. Teorema sul calcolo dei limiti. Esempi di
applicazione. Estensione del teorema sul calcolo dei limiti a successioni divergenti. Esempi.
Calcolo di Limiti. Forme Indeterminate. Teorema del confronto (*). Teorema di permanenza
del segno (*). Limite sen(an)/an (*). Definizione di asintotico. Successioni monotone.
Teorema di esistenza del limite per successioni monotone (*). Limite di (1+1/n)n : definizione
del numero “e” (*). Limiti notevoli (*). Confronto fra infiniti e fra infinitesimi. Definizione di
asintotico. Utilizzo dell'asintotico nel calcolo dei limiti. Limiti con infiniti. Limiti con infinitesimi.
Principio di sostituzione degli infiniti ed infinitesimi. Gerarchia degli infiniti.
4. Serie numeriche: definizione di somma parziale e di serie. Definizione di convergenza.
Serie divergenti ed oscillanti. Serie di Mengoli e serie telescopiche. Convergenza della serie
geometrica (*). Condizione necessaria per la convergenza (*). Serie a termini non negativi.
Criterio del confronto per le serie (*). Criterio del confronto asintotico (*). Serie armonica
generalizzata. Criterio del rapporto e della radice. Serie a termini di segno qualunque.
Convergenza semplice e convergenza assoluta. Criterio della convergenza assoluta.
Esemplificazione del fatto che il criterio è solo sufficiente. Criterio di Leibniz.
5. Funzioni reali di variabile reale. Definizione di limite al finito e all’infinito per funzioni.
Funzioni asintotiche ed esempi. Funzioni infinite. Scala degli infiniti per funzioni. Funzioni
infinitesime. Scala degli infinitesimi. Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Definizione di
continuità. Teorema sulla continuità delle funzioni elementari. Teorema sulla continuità di
somma, prodotto e quoziente di funzioni continue. Teorema sulla continuità della funzione
composta. Classificazione dei punti di discontinuità.
Grafici locali delle funzioni tramite l'uso degli asintotici.
Teorema degli zeri (*). Teorema di Weierstrass ((*) per edili, gestionali ed informatici).
Corollario dei valori intermedi (*).
Se f è monotona, ammette limite da sinistra e da destra (finito o infinito).
Continuità della funzione inversa di una funzione continua su un intervallo (*). Arcsen,
Arccos, Arctan.
6. Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica: definizione della retta tangente.
Continuità delle funzioni derivabili (*). Derivate da destra e da sinistra, punti angolosi, punti a
tangente verticale e punti di cuspide. Derivate delle funzioni elementari (xn, en, log(x), sen(x),
cos(x)) (*). Teorema sul calcolo delle derivate di somme, prodotti e quozienti (*). Derivazione
della funzione composta (*). Derivazione della funzione inversa. Derivate di arcsen(x),
arccos(x) ad arctan(x) (*). Definizione di massimo e minimo locale ed assoluto. Teorema di
Fermat (*) e definzione di punto stazionario. Teorema di Rolle (*), Teorema di Lagrange (*).
Crescere e decrescere di una funzione. Test di monotonia (*). Caratterizzazione delle
funzioni a derivata nulla (*). Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Punti di
flesso. Relazione tra convessità, monotonia della derivata prima e segno della derivata
seconda (*). Teorema di de L'Hôpital. Definizione di “o piccolo”. Formula di Taylor con resto
secondo Peano e resto secondo Lagrange. Convergenza della serie esponenziale (*).
Utilizzo della formula di Taylor per il calcolo di limiti in forma di indecisione.
7. Definizione di integrale definito: somme di Cauchy-Riemann. Teorema di esistenza del
limite per funzioni continue e per funzioni monotone limitate. Proprietà dell'integrale
(linearità, additività e monotonia). Teorema della media integrale ((*) per meccanici e tessili).
Primitive e loro proprietà. Funzione integrale e sua derivata (*) Teorema fondamentale del
calcolo integrale (*). Integrazione per parti (*). Integrazione per sostituzione (*). Integrazione
delle funzioni razionali fratte.
Definizione di integrale generalizzato su intervallo limitato e illimitato. Integrale della
-α
funzione x
su [0,1] e su [1, +infinito) al variare di α. Criteri di integrabilità per funzioni
positive: criterio del confronto e del confronto asintotico. Esempi.
(*) denota teoremi e proprietà di cui si richiede dimostrazione.