Permutazioni

Lezione del giorno 5 aprile 2011
In questa lezione sospenderemo momentaneamente lo studio della teoria dei graffi, per affrontare un
argomento che sarà utilizzato nel corso di Geometria.
Permutazioni di classe pari e dispari.
Abbiamo già definito il concetto di permutazione di n elementi a1,a2,….,an di un insieme A: una
permutazione di a1,a2,….,an è una disposizione semplice di classe n degli n elementi a1,a2,….,an,
quindi in pratica è un qualunque modo di elencare gli n elementi dati in un certo ordine.
Sappiamo anche che il numero di tutte le possibili permutazioni di n elementi: è n! .
Consideriamo ora un caso particolare, quello in cui gli elementi della permutazione siano gli n
numeri naturali consecutivi da 1 ad n: 1,2,….,n.
Data una permutazione dei numeri naturali 1, 2, ….., n, e fissati due numeri distinti i,j compresi fra
1 ed n, diremo che la permutazione ha una inversione in i,j se nella permutazione i numeri
compaiono in ordine opposto a quello naturale (ossia se il maggiore dei 2 compare a sinistra del
minore).
Per esempio la seguente permutazione dei numeri 1,2,3,4,5:
21453
presenta una inversione in 2,1, una inversione in 4,3, una inversione in 5,3.
Una permutazione dei numeri naturali 1, 2, ….., n è detta di classe pari o di classe dispari a
secondo se il numero totale di inversioni che presenta è pari o dispari (la permutazione 1 2 … n, che
ha 0 inversioni, si considera di classe pari, in quanto il numero 0=20 è multiplo di 2 quindi si
considera “pari”).
Per esempio, la permutazione 21453 dei numeri 1,2,3,4,5 dell’esempio precedente è di classe
dispari, perché ha 3 inversioni.
Determinante di una matrice quadrata
Consideriamo una matrice quadrata con n righe ed n colonne ad elementi numerici.
Ricordiamo che con un simbolo del tipo aij indichiamo l’elemento della matrice nella casella
all’incrocio tra la riga i e la colonna j. Con tale convenzione, una generica matrice quadrata nxn
avrà una rappresentazione del tipo:
 a 11 a 12

 a 21 a 22
a
a 32
M =  31
.
 .
 .
.

a
 n1 a n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a 1n 

a 2n 
a 3n 

. 
. 
a nn 
Sia data una generica matrice quadrata nxn, rappresentata come sopra.
Consideriamo nella matrice M un prodotto di n fattori, dove i fattori sono scelti fra gli elementi
della matrice ma in modo che essi si trovino tutti su righe e colonne diverse. Per costruire uno di tali
prodotti potremmo procedere come segue: il primo fattore è scelto fra gli elementi della prima riga,
il secondo fra gli elementi della seconda riga (ma in una colonna diversa da quella del primo
fattore), etc…., l’ultimo fattore fra gli elementi della riga numero n (ma in una colonna diversa da
quella dei primi n-1 fattori)
Dunque uno di tali prodotti si può indicare formalmente con:
a1?a2?a3?…..an?
dove i punti interrogativi ‘?’ messi come secondi indici sono quelli delle diverse colonne in cui si
sceglieranno i fattori del prodotto. Poiché le colonne devono essere diverse tra loro, i punti
interrogativi ‘?’ saranno tutti i numeri naturali da 1 ad n in un certo ordine. Quindi il prodotto
costruito con tale criterio avrà la forma:
a1j1 a1j2 a1j3 .......a1jn
dove gli indici di colonna j1, j2, j3, …., jn formano una permutazione dei numeri naturali 1,2,…,n.
In totale, facendo variare la permutazione degli indici di colonna, si ottengono n! possibili prodotti
costruiti con il criterio precedente.
Esempio: In una matrice 3x3:
 a11 a12

 a 21 a 22
a
 31 a 32
a13 

a 23 
a 33 
si ottengono 3!=6 prodotti possibili, ed esattamente i seguenti:
a11a 22a 33 , a13a 21a 32 , a12a 23a 31 , a11a 23a 32 , a13a 22a 31 a12a 21a 33
corrispondenti rispettivamente alle 6 permutazioni di indici di colonna: 123, 312, 231, 132, 321,
213.
Definiremo determinante della matrice quadrata M il numero ottenuto sommando gli n! prodotti di
n fattori (costruiti come sopra), e dove ogni prodotto é preso con il suo segno se la permutazione
degli indici di colonna corrispondente è di classe pari, e con il segno opposto se la permutazione
degli indici di colonna corrispondente è di classe dispari.
Se M è una matrice nxn, det(M) indicherà il suo determinante (talvolta si potrà usare anche il
simbolo M).
Regole pratiche nei casi particolari n=2, n=3
n=2: in una generica matrice matrice 2x2:
a12 
a

M =  11
a
a
22 
 21
i possibili prodotti di 2 fattori da considerare sono i numero di 2!=2 e sono i seguenti:
a11a22 (permutazione degli indici di colonna: 12; numero inversioni: 0; classe: pari)
a12a21 (permutazione degli indici di colonna: 21; numero inversioni: 1; classe: dispari)
dunque il determinante è in questo caso:
det(M)=a11a22 – a12a21.
Questo porta alla seguente regola pratica per il calcolo del determinante di una matrice 2x2:
basta calcolare la differenza dei prodotti “in croce”, cioè dei prodotti degli elementi che si trovano
lungo le diagonali (differenza fra il prodotto degli elementi della diagonale “principale” \ e il
prodotto di quelli della diagonale “secondaria” /)
n=3: in una generica matrice 3x3:
 a11 a12

M=  a 21 a 22
a
 31 a 32
a13 

a 23 
a 33 
i possibili prodotti di 3 fattori da considerare sono i numero di 3!=6 e sono i seguenti:
a11a 22a 33 (permutazione degli indici di colonna: 123; numero inversioni: 0, classe: pari)
a13a 21a 32 (permutazione degli indici di colonna: 312; numero inversioni: 2, classe: pari)
a12a 23a 31 (permutazione degli indici di colonna: 231; numero inversioni: 2, classe: pari)
a11a 23a 32 (permutazione degli indici di colonna: 132; numero inversioni: 1, classe: dispari)
a13a 22a 31 (permutazione degli indici di colonna: 321; numero inversioni: 3, classe: dispari)
a12a 21a 33 (permutazione degli indici di colonna: 213; numero inversioni: 1, classe: dispari)
dunque il determinante è in questo caso:
det(M)=a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31-a11a23a32-a13a22a31-a12a21a33 .
Anche per calcolare il determinante delle matrici 3x3 esiste una regola pratica (detta di Sarrus): si
ricopiano le prime due righe sotto la terza e si sommano i 6 prodotti nelle diagonali (quelle che
contengono 3 termini ciascuna), con il loro segno quelli lungo le diagonali \ da sinistra in alto verso
destra in basso, e con il segno opposto quelli lungo le altre diagonali / :
 a11

M=  a21
a
 31
a11
a21
a12 a13 

a22 a23 
a32 a33 
a12 a13
a22 a23
Per le matrici nxn con n>3, può essere complicato calcolare il determinante usando la semplice
definizione (per esempio in una matrice 4x4 vi sono 4!=24 prodotti da sommare), quindi si usa un
metodo di calcolo, che si basa sui concetti di minore complementare e di complemento algebrico.
Sia M una matrice quadrata nxn e si fissi un elemento aij nella matrice : l’elemento si trova dunque
nella riga i e nella colonna j.
Si definisce minore complementare dell’elemento aij (o anche aggiunto dell’elemento aij) il
determinante della matrice quadrata ottenuta cancellando, nella matrice data, la riga i e la colonna j
(quindi è il determinante di una matrice quadrata (n-1)x(n-1)) .
Esempio. Nella seguente matrice 3x3:
 a 11

M =  a 21
a
 31
a 12
a 22
a 32
a 13 

a 23 
a 33 
il minore complementare (o aggiunto) dell’elemento a23 è il determinante della matrice 2x2 ottenuta
cancellando la riga 2 e la colonna 3, quindi è il seguente determinante:
a 12 
a
 = a11a32 – a12a31
det 11
 a 31 a 32 
Si definisce invece il complemento algebrico dell’elemento aij nel modo seguente: se i+j è pari il
complemento algebrico coincide con il minore complementare di aij, mentre se i+j è dispari il
complemento algebrico coincide con l’opposto del minore complementare di aij.
Nell’esempio precedente, essendo i+j=2+3=5 dispari, il minore complementare dell’elemento a23 è
l’opposto del minore complementare di a23:
- (a11a32 – a12a31) = - a11a32 + a12a31 .
Il metodo di Laplace per il calcolo del determinante si basa sul seguente Teorema (di cui non
esporremo la dimostrazione):
Teorema: Data una qualunque matrice quadrata nxn, il suo determinante si può calcolare fissando a
piacere una riga o una colonna e sommando tutti i prodotti degli elementi della riga (o della
colonna) moltiplicati per i loro rispettivi complementi algebrici.
Quando si applica tale Teorema per calcolare il determinante si parla di sviluppo di Laplace
secondo una riga (o secondo una colonna).
Poiché i complementi algebrici sono (a meno del segno) determinanti di matrici con 1 riga e 1
colonna in meno, il calcolo del determinante viene ricondotto a matrici con un numero sempre più
piccolo di righe e colonne, fino a pervenire a matrici 3x3, a cui si può applicare la regola pratica di
Sarrus.
E’ ovvio che, da un punto di vista strategico, conviene fissare una riga o una colonna con molti
elementi nulli, perché il loro prodotto con i rispettivi complementi algebrici sarà 0.
Esempio: calcoliamo il determinante della seguente matrice 4x4:
1

1
M= 
2

 1

3
0
0
2
2 3

3  1
1 2

1 1 
Fissata la seconda colonna (che contiene 2 zeri) basta sommare i prodotti degli elementi non nulli
della colonna (che sono i numeri 3 e 2) per i loro complementi algebrici.
Si ottiene il seguente calcolo:
 1 3  1
1 2 3 




det(M) = -3∙det  2 1 2  +2∙det  1 3 - 1
 1 1 1 
2 1 2 




Il calcolo si può completare applicando la regola di Sarrus alle 2 matrici 3x3 ottenute.
Se per esempio si deve calcolare il determinante di una matrice 5x5, lo sviluppo di Laplace
riconduce il calcolo a quello di 5 (al più) determinanti di matrici 4x4, ognuno dei quali a sua volta
comporta il calcolo di 4 (al più) determinanti di matrici 3x3: in totale basta calcolare 20 (al più)
determinanti di matrici 3x3.