PERMUTAZIONI Consideriamo i primi cinque numeri naturali 1,2,3,4,5 Su di essi è possibile fare delle permutazioni; ad esempio 2,1,3,4 è una possibile permutazione in cui è stata operata una inversione. Si dimostra che su un numero n di elementi è possibile operare n! permutazioni (n!=1*2*3*…*n ; es. 5!=1*2*3*4*5=120) Inversioni Siano dati i primi 5 numeri naturali scritti in ordine crescente 1,2,3,4,5 Se consideriamo la sequenza 2,1,3,4,5 essa è stata ottenuta dalla precedente invertendo 2 con 1; si dice che presenta una inversione. Se consideriamo la sequenza 5,2,1,3,4 essa presenta 1. una inversione di 5 con 2 2. una inversione di 5 con 1 3. una inversione di 5 con 3 4. una inversione di 5 con 4 5. una inversione di 2 con 1 Il totale delle inversioni è s=5 DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a24 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55 Si definisce determinante il numero associato che si ottiene nel seguente modo: SI CONSIDERA LA PERMUTAZIONE PRINCIPALE DEI PRIMI INDICI DELLA MATRICE 1,2,3,…N SI CONSIDERA IL NUMERO S DELLE INVERSIONI DEI SECONDI INDICI RISPETTO ALLA PERMUTAZIONE PRINCIPALE SI FANNO TUTTI I POSSIBILI PRODOTTI DEI TERMINI DELLA MATRICE PRESI COL SEGNO + O – A SECONDA CHE IL NUMERO S E’ PARI O DISPARI SI FA LA SOMMA DI TUTTI I POSSIBILI PRODOTTI IL NUMERO CHE SI OTTIENE E’ IL DETERMINANTE CERCATO Calcolo del determinante del 3 ordine 1 0 0 2 3 2 -1 -4 0 Occorre sommare tutte le possibili 3!=6 permutazioni dei secondi indici rispetto alla permutazione principale a11a22a33a44=1*3*0 presa ogni permutazione col segno + 0 – a seconda che il numero delle inversioni sia pari o dispari. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = 1 0 0 2 3 2 -1 -4 2 Nel nostro caso si ha : Det=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32+ -a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33= =1*3*2+2*(-4)*0+(-1)*0*2-(-1)*3*0-1*2*(-4)0*2*2=6