Determinante - Prof. Gugliotta Calogero

PERMUTAZIONI
Consideriamo i primi cinque numeri naturali
1,2,3,4,5
Su di essi è possibile fare delle permutazioni;
ad esempio 2,1,3,4 è una possibile permutazione in
cui è stata operata una inversione.
Si dimostra che su un numero n di elementi è
possibile operare n! permutazioni (n!=1*2*3*…*n ;
es. 5!=1*2*3*4*5=120)
Inversioni
Siano dati i primi 5 numeri naturali scritti in ordine crescente
1,2,3,4,5
Se consideriamo la sequenza 2,1,3,4,5 essa è stata ottenuta dalla
precedente invertendo 2 con 1; si dice che presenta una inversione.
Se consideriamo la sequenza 5,2,1,3,4 essa presenta
1. una inversione di 5 con 2
2. una inversione di 5 con 1
3. una inversione di 5 con 3
4. una inversione di 5 con 4
5. una inversione di 2 con 1
Il totale delle inversioni è s=5
DETERMINANTE DI UNA
MATRICE QUADRATA
a11
a12
a13
a14
a15
a21
a22
a23
a24
a24
a31
a32
a33
a34
a35
a41
a42
a43
a44
a45
a51
a52
a53
a54
a55
Si definisce determinante il numero associato che si
ottiene nel seguente modo:
SI CONSIDERA LA PERMUTAZIONE PRINCIPALE DEI PRIMI
INDICI DELLA MATRICE 1,2,3,…N
SI CONSIDERA IL NUMERO S DELLE INVERSIONI DEI
SECONDI INDICI RISPETTO ALLA PERMUTAZIONE
PRINCIPALE
SI FANNO TUTTI I POSSIBILI PRODOTTI DEI
TERMINI DELLA MATRICE PRESI COL SEGNO + O –
A SECONDA CHE IL NUMERO S E’ PARI O DISPARI
SI FA LA SOMMA DI TUTTI I POSSIBILI PRODOTTI
IL NUMERO CHE SI OTTIENE E’ IL DETERMINANTE
CERCATO
Calcolo del determinante del 3
ordine
1
0
0
2
3
2
-1
-4
0
Occorre sommare tutte le possibili 3!=6 permutazioni dei
secondi indici rispetto alla permutazione principale
a11a22a33a44=1*3*0 presa ogni permutazione col segno
+ 0 – a seconda che il numero delle inversioni sia pari o dispari.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
1
0
0
2
3
2
-1
-4
2
Nel nostro caso si ha :
Det=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32+
-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33=
=1*3*2+2*(-4)*0+(-1)*0*2-(-1)*3*0-1*2*(-4)0*2*2=6