Corso di Statistica

Corso di Statistica
Forma di una distribuzione
Prof.ssa T. Laureti
a.a. 2013-2014
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Corso di Statistica a.a. 2013-2014 – DEIM, Univ.TUSCIA - Prof.ssa Laureti
Asimmetria
Studiare
St
di e l’asimmetria
l’ immet i di una
n distribuzione
di t ib ione
significa studiarne la forma
Una distribuzione
dist ib ione si dice asimmet
asimmetrica
ica se non è
possibile individuare un asse verticale (es.
mediana) che tagli la distribuzione in due parti
specularmente uguali.
Le modalità equidistanti dall’asse (mediana)
hanno la stessa frequenza (assoluta o relativa)
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Misure di asimmetria
Il concetto
on etto di simmetria
immet i è applicabile
ppli bile solo
olo a
caratteri ordinabili
Un modo intuitivo per studiare l’asimmetria di
una distribuzione è quello che si basa sulle
relazioni esistenti tra media aritmetica,
aritmetica
mediana e moda in distribuzioni unimodali
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Simmetria
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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Se la distribuzione è simmetrica
media
d = mediana
d
= moda
d
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Box plot di una distribuzione
simmetrica
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Asimmetria positiva
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
media > mediana ≥ mod a
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Asimmetria negativa
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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media < mediana ≤ mod a
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60
50
40
var1
30
20
0
10
10
20
var1
30
40
50
Box plot di una distribuzione asimmetrica
Asimmetria positiva
A i
Asimmetria
t i negativa
ti
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Esempi di distribuzioni asimmetriche
A i
Asimmetria
t i positiva
iti
9
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0
.1
De
ensity
.2
.3
Esempi di distribuzioni asimmetriche
0
2
4
6
Life Satisfaction
8
10
Asimmetria negativa
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Indice di asimmetria
Indice di Fisher
È funzione degli scostamenti dalla media
aritmetica elevati al cubo
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β=
nσ3
n
∑ (x
i =1
− x)
3
i
1
β=
nσ 3
K
∑ (x
j=1
− x ) nj
3
j
per una distrib. di freq.
Se la distribuzione è simmetrica β=0 (non
vale il contrario)
β >0
asimmetria positiva
β <0
asimmetria negativa
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Calcolo della asimmetria
Ricavi
xi
Scarti
dalla
media
(xi − x )
Scarti al
cubo
(xi − x )
3
350
25
15625
200
-125
-1953125
600
275
20796875
500
175
5359375
270
-55
55
-166375
166375
180
-145
-3048625
205
-120
1728000
-1728000
340
15
3375
280
-45
-91125
n
3
(
)
x
−
x
∑ i
= 19.188.000
i=1
β =
1
n
∑ (x i
− x) =
3
n σ 3 i =1
19 . 188 . 000
=
= 0 ,872
3
9 × 134 ,7
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Calcolo dell’indice di asimmetria
Qual è la forma della distribuzione dei Ricavi
e dei Costi dei 9 punti vendita considerati?
Indice
asimm.
β
Ricavi
Costi
0,872
0,688
Entrambe le distribuzioni presentano una
asimmetria positiva
(vedi anche i box plot nel blocco lucidi 1.05)
La distribuzione dei ricavi è più asimmetrica di
quella dei costi
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