Esercitazione

Corso di Statistica
Esercitazione 1.3
Indici di variabilità ed eterogeneità
Concentrazione
Asimmetria
Prof.ssa T. Laureti
a.a. 2014-2015
Corso di Statistica a.a. 2014-2015 – DEIM, Univ.TUSCIA - Prof.ssa Laureti
1
1
Esercizio 1
Si considerino i seguenti dati relativi al numero di
addetti nelle imprese presenti in un determinato
comune
7
5
8
4
11 9
15 18 10 6
3
19 12 14 9
Determinare:
•
la media aritmetica
•
•
•
la mediana
il range
la varianza
2
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a) Calcolo della media aritmetica
Per un insieme di n=15 valori osservati del carattere
quantitativo “addetti” la formula della media
aritmetica è la seguente:
1
1 n
xa  (x1  x2  ...  xn )   xi
n
n i1
Quindi:
7
5
8
4
11 9
15 18 10 6
3
19 12 14 9
1
xa  7  5  8  ...  9  10
15
3
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b) Calcolo della mediana
Per individuare la posizione mediana è necessario
ordinare le osservazioni in senso non decrescente:
3
4
5
6
7
8
9
9
10 11 12 14 15 18 19
Posizione
mediana
La posizione centrale per n dispari (n=15) è data da
(n  1) 16
 8
2
2
Quindi Me=9
4
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Addetti
xj
7
5
8
4
11
d) Calcolo del range
L’indice di variabilità range espresso dalla
differenza tra il valore massimo e il valore
minimo della distribuzione, ossia
range  xmax  xmin
9
15
Nella distribuzione considerata si ha:
18
10
6
3
19
12
14
Min=3
Max=19
Quindi:
range  19  3  16
9
5
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Addetti
xi
Scarti dalla
media
(xi-μ)
d) Calcolo della varianza
Quadrato
degli scarti
(xi-μ)2
7
-3
9
5
-5
25
8
-2
4
4
-6
36
11
1
1
9
-1
1
15
5
25
18
8
64
10
0
0
6
-4
16
3
-7
49
19
9
81
12
2
4
14
4
16
9
-1
1
n
2


x

x
 i
 Dev(X)  332
i1
1 n
332
2
    xi  x  
 22,13
n i 1
15
2
1 n
2


 
x

x


i
n i1
 22,13  4,70
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6
Esercizio 2.
La seguente distribuzione riporta il numero di chilometri
percorsi in una settimana da 31 rappresentanti di commercio
di una nota marca di occhiali da sole .
Classi di
chilometri
[400 – 450)
[ 450 - 500)
[ 500 - 550)
[ 550 - 600)
[ 600 - 650)
totale
6
9
7
6
3
31
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7
A) Calcolare le frequenze relative, le frequenze
percentuali e le frequenze relative cumulate
B) Determinare il numero medio di chilometri
percorsi.
C) Calcolare la mediana e il primo quartile.
D) Misurare la variabilità della distribuzione
utilizzando la deviazione standard
8
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A) Calcolo delle frequenze relative, frequenze
percentuali e relative cumulate
6
f1   0,194
31
Classi di
chilometri
[400 – 450)
[ 450 - 500)
[ 500 - 550)
[ 550 - 600)
[ 600 - 650)
totale
9
f 2   0,290 
31
nj
6
9
7
6
3
31
fj
pj
0,194 19,4
0,290 29,0
0,226 22,6
0,194 19,4
0,097
9,7
1,000 100,0
Fj
0,194
0,484
0,710
0,903
1,000
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9
B) Calcolo della media aritmetica
Classi di
chilometri
x j  x j 1
[400 – 450)
[ 450 - 500)
[ 500 - 550)
[ 550 - 600)
[ 600 - 650)
totale
nj
6
9
7
6
3
31
cj*nj
Valore
centrale
classi (cj)
425
475
525
575
625
2.550
4.275
3.675
3.450
1.875
15.825
K
xa 
c n
j
j 1
n
j
15.825

 510,48
31
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10
C) Calcolo della mediana
1. Individuazione della classe mediana
Classi di
chilometri
nj
[400 – 450)
[ 450 - 500)
[ 500 - 550)
[ 550 - 600)
[ 600 - 650)
totale
6
9
7
6
3
31
n  1 31  1
rango mediana 

 16
2
2
Fj
Nj
6
15
22
28
31
0,194
0,484
0,710
0,903
1,000
La mediana è
contenuta nella
classe 500-550
11
C) Calcolo della mediana
2. Individuazione della mediana nella classe sotto l’ipotesi
di distribuzione uniforme (applicazione della formula)
 0,5  Fm1 
 m
Me  I m  
 Fm  Fm1 
Classi di
chilometri
nj
Nj
[400 – 450)
[ 450 - 500)
6
9
[ 500 - 550)
[ 550 - 600)
[ 600 - 650)
7
6
3
31
6 0,194
15 0,484
22 0,710
28 0,903
31 1,000
totale
Fj
Im=estr inf della classe
mediana=500
Fm-1=freq rel cum fino
alla classe precedente a
quella mediana =0,484
Fm=freq rel cum
fino alla classe
mediana=0,710
Δm=ampiezza della
classe mediana=
=550-500=50
 0,5  Fm1 
 0,5  0,484 
 m  500  
Me  I m  
  50  503,57
12
 0,710  0,484 
 Fm  Fm1 
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C) Calcolo del primo quartile
Q1 è il primo valore xi in corrispondenza del quale
la frequenza cumulata relativa Fj  0,25
Classi di
chilometri
nj
Fj
Nj
[400 – 450)
6
6
0,194
[ 450 - 500)
9
15
0,484
[ 500 - 550)
7
22
0,710
[ 550 - 600)
6
28
0,903
[ 600 - 650)
3
31
1,000
totale
31
 0, 25  FQ1 1 
 0, 25  0,194 
Q1  I Q1  


450

50  459, 72
 Q1


 FQ  FQ 1 
 0, 484  0,194 
1
 1

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13
D) Calcolo della deviazione standard
Classi di
chilometri
[400 – 450)
[ 450 - 500)
[ 500 - 550)
[ 550 - 600)
[ 600 - 650)
totale
xa  510,48
nj
Valore
centrale
classi
(cj)
6
9
7
6
3
31
(cj-μ)2
425 7306,8
475 1258,8
210,8
525
575 4162,8
625 13114,8
(cj-μ)2*nj
43840,8
11329,2
1475,6
24976,8
39344,4
120966,8
1 K
120966,8
2
   c j  x  nj 
 3902,15
n j1
31
2
  3902,15  62,47
14
Esercizio 3
Si consideri la seguente distribuzione di 100
imprese per classi di fatturato:
Classi di fatturato
(migliaia di euro)
N.
imprese
(0-20]
(20-50]
30
50
(50-100]
Totale
20
100
a) Rappresentare graficamente la distribuzione
b) Determinare la moda
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15
a) Costruzione dell’istogramma.
Le classi hanno diversa ampiezza. E’ necessario
calcolare la densità di frequenza
Classi di fatturato
(migliaia di euro)
nj
Ampiezza
classe
(aj)
Densità di
freq
(hj)
0-20
30
20
1,5
20-50
50
30
1,67
50-100
20
50
0,4
Totale
100
b) La classe modale è quella che ha la densità di frequenza
maggiore. Quindi la classe modale è 20-50
16
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ISTOGRAMMA
hi
1,7
1,5
0,4
0
20
50
100
17
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Esercizio 4
Si consideri la distribuzione degli alunni della scuola
secondaria di primo grado per giudizio riportato
all’esame di Stato nell’Anno scolastico 2006/07 in
Italia (dati Istat)
Giudizio
Licenziati
Sufficiente
37,1
Buono
26,4
Distinto
19,2
Ottimo
17,3
100,0
Determinare la moda e la mediana.
Misurare l’eterogeneità della distribuzione
18
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Si tratta di una distribuzione percentuale
Giudizio
Licenziati
Sufficiente
37,1
0,371
0,371
Buono
26,4
0,264
0,635
Distinto
19,2
0,192
0,827
Ottimo
17,3
0,173
1
100,0
1,000
Fj
fj
La moda, ossia la modalità più frequente è sufficiente
Per il calcolo della mediana sulla colonna delle
frequenze relative cumulate si individua la prima Fj
che è uguale o maggiore di 0,5
La mediana è Buono
19
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b) Eterogeneità della distribuzione
Giudizio
Licenziati
Sufficiente
37,1
0,371
0,1376
Buono
26,4
0,264
0,0697
Distinto
19,2
0,192
0,0369
Ottimo
17,3
0,173
0,0299
100,0
1,000
0,2741
f2j
fj
K
E1  1   f j2  1  0,2741  0,7259
j 1
0  E1 
K 1 3
  0,75
K
4
0,7259
e1 
 0,968
0,75
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20
Esercizio 1
Le retribuzioni, in migliaia di euro, di 5 dipendenti di un grande
magazzino risultano le seguenti:
10
20
28
8
14
a) Disegnare la curva di Lorenz;
b) Misurare la concentrazione.
21
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Per la distribuzione precedente è necessario ordinare innanzitutto le
intensità del carattere. Quindi si procede al calcolo di Fi e Qi
Retribuzioni
(valori
ordinati)
Intens. ass.
cum. Ai
Freq.
rel.
cum.
Fi
Intens.
rel. cum.
Qi
Fi - Qi
8
8
0,20
0,100 0,100
10
18
0,40
0,225 0,175
14
32
0,60
0,400 0,200
20
52
0,80
0,650 0,150
28
80
1,00
1,000
Fi 
i 3

n 5
Ai 32
Qi 

A n 80
22
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a) Curva di Lorenz
Qi
1,000
superficie di
concentrazione
0,650
0,400
0,225
0,100
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Fi
n-1
b)
R
 (F  Q )
i 1
i
i
n 1
F
i 1
i
=
0, 625
=0,3125
2
Si è in presenza di una modesta concentrazione23
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Esercizio 2
Si consideri la seguente distribuzione delle industrie del legno per
classi di fatturato in migliaia e fatturato totale per classe
(milioni):
Classi di
fatturato
nJ
Fatturato
totale
0-5
750
1.930
5-10
420
3.260
10-25
390
6.350
25-50
180
5.450
Oltre 50
150
76.400
1.890
Determinare il rapporto di concentrazione.
24
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Per il calcolo dell’indice di concentrazione deve essere utilizzato il fatturato totale
che è noto (intensità)
Classi di
fatturato
nJ
Nj
Fatturato
totale
(intensità Aj)
Fi=
Nj/n
Qj=
Aj/AK
0-5
750 750
1.930
0,397
0,021
5-10
420 1170
5.190
0,619
0,056
10-25
390 1560
11.540
0,825
0,124
25-50
180 1740
16.990
0,921
0,182
Oltre 50
150 1890
93.390
1,000
1,000
1.890
25
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Quindi:
Classi di
fatturato
Fi=
Nj/n
Qj=
Aj/AK
Fj+1-Fj
Qj+1+Qj
(Fj+1-Fj)(Qj+1+Qj)
0-5
0,397
0,021
0,397
0,021
0,008
5-10
0,619
0,056
0,222
0,076
0,017
10-25
0,825
0,124
0,206
0,179
0,037
25-50
0,921
0,182
0,095
0,305
0,029
Oltre 50
1,000
1,000
0,079
1,182
0,094
0,185
R = 1 – 0,185 = 0,815
Elevata concentrazione del fatturato tra le imprese
26
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Esercizio 3
Si consideri la seguente distribuzione delle famiglie per classi
di reddito mensile in migliaia di euro
Classi di
reddito
Famiglie
nj
0-2
2
2-6
4
6-8
3
8-10
1
10
A) Disegnare la curva di Lorenz
B) Misurare la concentrazione del reddito
27
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Classi
nJ
cj
Nj
Fi=
Nj/n
Aj
cj*nj
Qj=
Aj/AK
0-2
1
2
2
0,2
2
2-6
4
4
6
0,6
16
18 18/48=0,375
6-8
7
3
9
0,9
21
39 39/48=0,813
8-10
9
1
10
1,0
9
48 48/48=1,000
10
2 2/48=0,042
48
1,000
Qi
superficie di
concentrazione
0,813
0,375
Pi
0,042
0,2
28
0,6
0,9 1,0
Classi
Fi=
Nj/n
Qj=
Aj/AK
(Fj+1- Fj)
(Qj+1+Qj)
(Fj+1Fj)(Qj+1+Qj)
0-2
0,2 0,042
0,2
0,042
0,0084
2-6
0,6 0,375
0,4
0,417
0,1668
6-8
0,9 0,813
0,3
1,188
0,3564
8-10
1,0 1,000
0,1
1,813
0,1813
k 1
R  1   F j 1  F j Q j 1  Q j   1  0,7129 
j 0
R  0,2871
Modesta concentrazione
29
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Esercizio 4
Si consideri la seguente distribuzione di 20 imprese secondo il
numero di addetti:
Addetti
N. imprese
1
10
3
5
5
3
10
2
20
Misurare l’asimmetria della distribuzione
30
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Si può procedere ad una rappresentazione grafica per valutare il grado di
simmetria della distribuzione
Imprese secondo il numero di addetti
12
10
8
6
4
2
0
1
3
5
10
31
Corso di Statistica a.a. 2014-2015 – DEIM, Univ.TUSCIA - Prof.ssa Laureti
Addetti
x
NJ
N. imprese
j  X
 x
3
j
X
1
10
10
-8
-80
3
5
15
0
0
5
3
18
8
24
10
2
20
343
686
  2,74
 
M3
3
j
630
20
X 3
n
3
Mo  1
Me  1
630 20

 1, 531
20,571
La distribuzione è asimmetrica positiva
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32
Indagine Bankitalia sul reddito delle famiglie italiane nel 2006
(tiene conto della composizione
demografica della famiglia)
entrambe le distribuzioni sono
asimmetriche positive
33