MATEMATICA LEZIONE 7 MOLTIPLICAZIONE DI NUMERI RELATIVI (Prof. Daniele Baldissin) ARGOMENTI 1) 2) 3) 4) Notazione e simbologia Moltiplicazione Legge dell’annullamento del prodotto Perchè più per meno fa meno La moltiplicazione di due numeri relativi viene indicata ponendo un puntino fra i fattori racchiusi tra parentesi. Quando non si corre il rischio di fare confusione, si può semplificare questa scrittura, omettendo il puntino. Pertanto possiamo scrivere: Laddove è possibile si possono omettere anche le parentesi. Quindi le moltiplicazioni precedenti, le possiamo trovare scritte anche così: Il prodotto di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e per segno, il segno + se i due numeri hanno lo stesso segno (cioè se sono concordi), il segno - se i due numeri hanno segno contrario (cioè se sono discordi). PRODOTTO DI DUE NUMERI RELATIVI VALORE ASSOLUTO PRODOTTO DEI VALORI ASSOLUTI + SE I DUE FATTORI SONO CONCORDI SEGNO - SE I DUE FATTORI SONO DISCORDI Esempi: 7 (+1) PRODOTTO DI DUE NUMERI RELATIVI PRODOTTO DEI VALORI ASSOLUTI VALORE ASSOLUTO 7x1=7 + SE I DUE FATTORI SONO CONCORDI SEGNO - SE I DUE FATTORI SONO DISCORDI + 7 e +1 CONCORDI: SEGNO + 7 (+1) = + 7 -2 (-5) PRODOTTO DI DUE NUMERI RELATIVI PRODOTTO DEI VALORI ASSOLUTI VALORE ASSOLUTO SEGNO 2 x 5 = 10 + SE I DUE FATTORI SONO CONCORDI - SE I DUE FATTORI SONO DISCORDI - 2 e -5 CONCORDI: SEGNO + -2 (-5) = + 10 -4 (+3) PRODOTTO DI DUE NUMERI RELATIVI PRODOTTO DEI VALORI ASSOLUTI VALORE ASSOLUTO 4 x 3 = 12 + SE I DUE FATTORI SONO CONCORDI SEGNO - SE I DUE FATTORI SONO DISCORDI -4 e +3 DISCORDI: SEGNO -4 (+3) = -12 6 (-8) PRODOTTO DI DUE NUMERI RELATIVI PRODOTTO DEI VALORI ASSOLUTI VALORE ASSOLUTO 6 x 8 = 48 + SE I DUE FATTORI SONO CONCORDI SEGNO - SE I DUE FATTORI SONO DISCORDI +6 e -8 DISCORDI: SEGNO 6 (-8) = - 48 N.B. Quando uno dei fattori di un prodotto è zero, il prodotto è uguale a zero. Di conseguenza se il prodotto di due fattori è uguale a zero, almeno uno dei due fattori deve essere uguale a zero. Questa regola va sotto il nome di “Legge dell’annullamento del prodotto” Significa che: a=0 oppure b=0 oppure a = 0 e b = 0. Il prodotto di un numero relativo per +1 è uguale al numero dato. Numero relativo x (+1) = Numero dato Esempio: (+3) (+1) = +3 infatti essendo i fattori concordi, il prodotto avrà segno +. (-2) (+1) = -2 infatti essendo i fattori discordi, il prodotto avrà segno -. Il prodotto di un numero relativo per -1 è uguale all'opposto del numero dato. Numero relativo x (-1) = - Numero dato Esempio: (+3) (-1) = -3 infatti essendo i fattori discordi, il prodotto avrà segno -. (-2) (-1) = +2 infatti essendo i fattori concordi, il prodotto avrà segno +. Di conseguenza, moltiplicare un numero per -1 equivale a cambiare di segno al numero stesso. APPROFONDIMENTO Cercheremo ora di rispondere alla seguente domanda: perchè + per – fa -? La moltiplicazione è un procedimento aritmetico che dati due numeri qualsiasi detti addendi ne associa un terzo detto prodotto che si ottiene sommando tante volte il primo numero quante volte lo richiede il secondo numero. Esempio: (+3) · 5 = (+3)+(+3)+(+3)+(+3)+(+3) = 15 Nell’esempio sopra il numero 3 è stato sommato 5 volte Esempio: (-3) · 5 = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3) = -15 Nell’esempio sopra il numero -3 è stato sommato 5 volte Tutto quanto detto finora è ragionevole ma perché allora (-3) · (-5) = +15? Come si può spiegare? Per rispondere a questa domanda dobbiamo utilizzare la legge dell’annullamento del prodotto. Sappiamo infatti che qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come risultato zero. Ma lo zero possimao sempre pensarlo come somma di due numeri relativi opposti come nell’esempio sotto. [(-3) + (+3)] · (-5) = 0 · (-5) = 0 Se applichiamo la proprietà distributiva otteniamo: [(-3)+(+3)] · (-5) = [(-3) · (-5)] + [(+3) · (-5)] = (-3) · (-5) + (-15) Dalle due proprietà segue che (-3)·(-5) deve essere l'opposto di -15.