56
Unità Didattica N° 18 : Altre proprietà delle funzioni circolari
Unità Didattica N° 18
Altre proprietà delle funzioni circolari
1) Formule di addizione e sottrazione
2) Angolo formato da due rette
3) Formule di duplicazione
4) Formule parametriche
5) Formule di bisezione
6) Formule di triplicazione
7) Formule di prostaferesi
8) Formule di Werner
9) Formule di Simpson
Unità Didattica N° 18 : Altre proprietà delle funzioni circolari
57
Formule di addizione e di sottrazione
Sono formule che ci consentono di calcolare le funzioni goniometriche degli angoli α + β ed α - β
quando conosciamo le funzioni goniometriche degli angoli α e β .
→
Siano
→
→
e = P − O = cosα ⋅ i + sinα ⋅ j
e
→
→
→ →
→
→
due qualsiasi vettori
→ →
applicati in O , per i quali risulta : α = ( i , e ) , β = ( i , u ) .
→
→
u = Q − O = cos β ⋅ i + sin β ⋅ j
→
→
→
e × u = cos( α - β ) = ( cosα ⋅ i + sin α ⋅ j )×(cos β ⋅ i + sin β ⋅ j )
cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
Mutando β in - β otteniamo :
Poiché il seno di un angolo è uguale al coseno del suo complementare possiamo scrivere ;
⎡⎛ π
⎤
⎞
⎡π
⎤
= cos⎢ − ( α + β ) ⎥ = cos⎢⎜ − α ⎟ − β ⎥ =
⎠
⎣2
⎦
⎣⎝ 2
⎦
sin( α + β )
⎛π
⎞
⎛π
⎞
= cos⎜ − α ⎟ cos β + sin⎜ − α ⎟ sin β
⎝2
⎠
⎝2
⎠
sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
Cambiando β in - β otteniamo :
tg ( α − β
)
=
sin ( α − β
cos( α −
)
β)
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sinα cos β
=
sin α cos β − sin β cosα
cosα cos β + sin α sin β
con cos α ≠ 0 , cos β ≠ 0 e quindi :
tg (α − β ) =
Alla stessa maniera si dimostra che : tg (α + β ) =
cot g( α + β ) =
cos( α + β
sin( α +
cos sin α ≠ 0 , cos β ≠ 0 .
)
β)
=
cosα cos β
cosα cos β
tgα + tg β
1 − tgα tg β
cosα cos β − sinα sinβ
sinα sinβ + cosα sinβ
=
cosα cos β
⎧α
⎪⎪
⎨β
⎪
⎪⎩α − β
⎧α
⎪⎪
⎨β
⎪
⎪⎩α + β
cosα cos β
=
cosα cos β
sinα sinβ
−
cosα cos β
tgα − tg β
1 + tgα tg β
sinβ cosα
−
sinα sinβ
sinα cos β
sinα sinβ
−
−
⎫
⎪⎪
⎬ ≠
⎪
⎪⎭
( 2k
+ 1)
π
2
⎫
⎪⎪
π
⎬ ≠ ( 2 k + 1)
2
⎪
⎪⎭
sinα sinβ
sinα sinβ
cosα sinβ
sinα sinβ
Unità Didattica N° 18 : Altre proprietà delle funzioni circolari
58
sin x
β
Q
→
j
→
α −β
u
β
α
P
→
α
cot g (α + β ) =
O
→
i
cos x
e
⎫
⎧α
⎪⎪
⎪⎪
⎨β
⎬ ≠ kπ
⎪
⎪
⎪⎩α + β ⎪⎭
cot gα cot g β − 1
cot gα + cot g β
Alla stessa maniera si dimostra che : cot g (α − β ) =
cot gα cot g β + 1
cot g β − cot gα
⎧α
⎪⎪
⎨β
⎪
⎪⎩α − β
⎫
⎪⎪
⎬ ≠ kπ
⎪
⎪⎭
<< Calcolare i valori naturali delle funzioni circolari degli angoli di 15° e 75° >>
(
)
2 3
2 1
2 3 +1
6+ 2
⋅
+
⋅ =
=
= sin 75°
2 2
2 2
4
4
2 3
2 1
2 3 −1
6− 2
sin 15° = sin (45° − 30°) = sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30° =
⋅
−
⋅ =
=
= cos 75°
2 2
2 2
4
4
cos15° = cos(45° − 30°) = cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30° =
(
tg 15° =
sin 15°
=
cos15°
sec 45° =
3 −1
= 2 − 3 = cotg 75°
3 +1
1
=
cos15°
cosec 45° =
1
=
sin 15°
cotg 45° =
4
= 6 + 2 = cosec 75°
6+ 2
4
= 6 − 2 = sec 75°
6− 2
)
1
1
=
= 2 + 3 = tg 75°
tg 15° 2 − 3
Unità Didattica N° 18 : Altre proprietà delle funzioni circolari
59
Angolo formato da due rette
E’ noto dalla geometria euclidea che due rette r ed r1 non orientate formano quattro angoli a due a
due uguali ed a due a due supplementari . Questo significa che , in generale , le due rette formano
quattro angoli di cui due sono acuti ed uguali tra loro, gli altri due sono ottusi,uguali fra loro e
supplementari dei precedenti . Se le due rette sono fra loro ortogonali allora i quattro angoli sono
uguali fra loro e sono pertanto retti . Noto il valore ϑ di uno di essi possiamo facilmente calcolare i
valori degli altri tre . Supponiamo che le rette considerate abbiano equazioni :
r : y = mx + n oppure ax + by + c = 0 , m = −
r1: y = m1 x + n1
a
b
a1
b1
, m1 = −
oppure a1 x + b1 y + c1 = 0
Poiché risulta : tg δ = m1 , tg ϕ = m , δ = ϕ + ϑ ( ϑ = δ - ϕ )
possiamo scrivere : tg ϑ = tg ( δ − ϕ ) =
tg δ − tg ϕ
1 + tg ϕ tg δ
tg β =
β = π - ϑ ⇒ tg β = tg( π - ϑ ) = - tg ϑ ⇒
tg ϑ =
m1 − m
a b1 − a1b
=
a a1 + bb1
1 + m m1
m − m1
a1b − a b1
=
a a1 + bb1
1 + m m1
[1]
[2]
Quindi se intendiamo riferirci all’angolo acuto ϑ dobbiamo scrivere :
∧
tg r r1 =
m1 − m
1 + m m1
=
a b1 − a1b
a a1 + bb1
tg ϑ =
m1 − m
1 + m m1
r1 // r ⇒ m1 − m = 0 ⇒ m1 = m
che
esprime
la
condizione
y
ϑ
di
r1
parallelismo già trovata per altra via .
r1 ⊥ r ⇒ ϑ =
π
2
⇒ tg ϑ = ∞
esprime
la
ϑ
⇒
condizione
β
y = m1 x + n1
y = mx + n
δ
ϕ
1 + m ⋅ m1 = 0
che
a b1 − a1b
a a1 + bb1
=
O
di
perpendicolarità già trovata per altra via .
r
x
Unità Didattica N° 18 : Altre proprietà delle funzioni circolari
60
Formule
di
duplicazione
Le formule di duplicazione si ricavano da quelle di addizione ponendo in esse α = β .
Esse ci consentono,noti i valori delle funzioni circolari dell’angolo α , di calcolare quelle
dell’angolo doppio 2α .
sin 2α = sin α cosα + sin α cosα = 2 sin α cosα
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
tg 2α
2tg α
=
1 − tg 2α
cot g 2α =
⎧
π
k
,
+
2
1
(
)
⎪
⎪
2
α ≠⎨
π
⎪
⎪⎩( 2 k + 1) 4
con
cot g 2α − 1
2cot g α
α ≠k
con
( 2 k + 1) 90°
π
2
<< Calcolare i valori naturali delle funzioni circolari degli angoli di 36° e 54° >>
cos 36° = cos 2 ⋅ 18° = cos2 18° − sin2 18° =
sin 36° = 2 sin 18° cos18° = 2
=
(3 −
tg 36° =
5 )( 5 +
5)
4
sin 36°
cos 36°
cotg 36° =
=
1
tg 36°
=
5
1
5
4
4
10 − 2 5
1+
4
=
=
8
(
==
5 + 1
4
5 − 1) ( 10 + 2 5 )
= sin 54°
2
8
=
= cos54°
10 − 2 5
(1 +
3− 5
−
8
5 − 1 10 + 2 5
10 − 2 5
=
5+ 5
5)
2
=
25 + 10 5 = tg 54°
5−
5
3+
5
= 5 − 2 5 = cotg 54°
Unità Didattica N° 18 : Altre proprietà delle funzioni circolari
Formule
61
parametriche
Le formule parametriche sono formule che ci consentono di esprimere razionalmente le funzioni
circolari di un angolo mediante la tangente goniometrica dell’angolo metà .
Esse si deducono dalle formule di duplicazione .
2 sin α cosα
sin 2α = 2sinα cosα =
sin 2α =
2tg α
1 + tg 2α
2 sin α cosα
cos α + sin α
2
con
2
α ≠ ( 2 k + 1)
cos α
2
cos α − sin α
2
2
−
2
+
cos α
2
tg 2α
1 − tg 2α
1 + tg 2α
con
2tg α
=
1 − tg 2α
cot g 2α =
cot g 2α − 1
2cot g α
2
2 tg α
cos α
=
2
2
2
cos α
sin α
1 + tg α
+
2
2
cos α
cos α
π
k∈Z
2
sin α
2
cos 2α =
= cos2 α
2
2
cos α
cos α + sin α
cos 2α =
=
2
cos α = 1 − tg α
2
2
sin α
1 + tg α
2
cos α
2
α ≠ ( 2 k + 1)
π
k∈Z
2
⎧
π
,
⎪( 2 k + 1)
⎪
2
α ≠⎨
π
⎪
⎪⎩( 2 k + 1) 4
con
con α ≠ k
( 2 k + 1) 90°
π
2
Formule
di
bisezione
Le formule di bisezione permettono di esprimere le funzioni circolari dell’angolo α mediante
quelle dell’angolo doppio 2α . Si ricavano dalle formule di duplicazione .
cos 2α = 1 − 2sin 2 α ⇒ sin α = ±
1 − cos 2α
2
cos 2α = 2cos 2 α − 1 ⇒ cos α = ±
1 + cos 2α
2
tg α = ±
1 − cos 2α
1 + cos 2α
con
α ≠ ( 2 k + 1)
π
2
k∈Z
cot g α = ±
1 + cos 2α
1 − cos 2α
Unità Didattica N° 18 : Altre proprietà delle funzioni circolari
62
tg α =
Dimostrare le due seguenti identità :
tg α =
tg α =
1 − cos 2α
sin 2α
sin α 2 cosα
2 sinα cosα
sin 2α
sin 2α
=
=
= tg α =
⋅
2
α
+
cos
1
2
1 + cos 2α
cosα 2 cosα
2 cos α
2⋅
2
2 sin α
sinα 2 sinα
=
=
⋅
sin 2α
cosα 2 sinα
2
tg α =
sin 2α
1 + cos 2α
2⋅
1 − cos 2α
2
sin 2α
= tg α =
sin 2α
1 + cos 2α
Calcolare i valori delle funzioni circolari degli angoli di 22°30’ e 67°30’ .
1 + cos 45°
cos22°30′ =
2
1 − cos 45°
sin 22°30′ =
tg 22°30′ =
2
2 −
2
2 +
2
cot g 22°30' =
2 − 1
=
2 −
1+ 1
=
2
=
4
1− 1
=
1
2 +
=
2
4
2
=
2
=
1
2
2 = sin 67°30′
2 +
1
2
2 −
2 − 1
2 + 1
=
2 = cos67°30′
(
2 − 1)
2 − 1
2
=
2 − 1 = ctg 67°30′
2 + 1 = tg 67°30'
Formule
di
prostaferesi
Le formule di prostaferesi servono a trasformare somme algebriche in prodotti , servono cioè a
rendere logaritmica una espressione polinomia .
Esse si ricavano dalle formule di addizione e sottrazione tenendo presemnte le seguenti relazioni :
α + β = p ⎫⎪
⎬
α − β = q ⎪⎭
⇒
⎧
p + q
⎪α =
⎪
2
⎨
p − q
⎪
β
=
⎪⎩
2
sin(α + β ) + sin(α − β ) = sin α cos β + sin β cosα + sin α cos β − sin β cosα = 2 sin α cos β
sin p + sin q = 2sin
p + q
p − q
cos
2
2
Unità Didattica N° 18 : Altre proprietà delle funzioni circolari
63
cos(α + β ) + cos(α − β ) = cosα cos β − sin α sin β + cosα cos β + sin α sin β = 2 cosα sin β
cos p + cos q = 2cos
sin(α + β ) − sin(α − β ) = 2 cosα sin β
p + q
p − q
cos
2
2
sin p − sin q = 2cos
cos(α + β ) − cos(α − β ) = − 2 sin α sin β
p + q
p − q
sin
2
2
cos p − cos q = − 2sin
sin p + cos q = sin p + sin( 90° − q ) = 2 sin
p + ( 90° − q )
2
cos
p + q
p − q
sin
2
2
p − ( 90° − q )
2
p − q⎞
⎛
⎛p+q
⎞
sin p + cos q = 2sin ⎜ 45° +
− 45° ⎟
⎟ cos ⎜
2 ⎠
⎝
⎝ 2
⎠
sin p − cos q = sin p − sin( 90° − q ) = 2 cos
p + ( 90° − q )
2
sin
p − ( 90° − q )
2
p − q⎞ ⎛ p + q
⎛
⎞
sin p − cos q = 2cos ⎜ 45° +
− 45° ⎟
⎟ sin ⎜
2 ⎠ ⎝ 2
⎝
⎠
tg p ± tg q =
sin ( p ± q )
sin p cos q ± sin q cos p
=
cos p cos q
cos p cos q
cot g p ± tg q =
sin ( q ± p )
sin p sin q
<< Risolvere la seguente equazione goniometrica sin 5x − sin 3x = cos 6 x + cos 2 x >>
Applicando le formule di prostaferesi otteniamo :
2 cos
8x
2
sin
2x
2
= 2 cos
8x
2
cos
4x
2
cioè :
cos 4 x sin x = cos 4 x cos 2 x ;
cos 4 x( sin x − cos 2 x ) = 0 , cos4 x = 0 ⇒ 4 x = ( 2 k + 1)
π
2
, x = ( 2 k + 1)
sin x − cos2 x = 0 ⇒ sin x − cos2 x + sin2 x = 0 , 2 sin2 x + sin x − 1 = 0
sin x =
1
π
k
⇒ x = ( −1) 30° + k ⋅ 180° , sin x = − 1 ⇒ x = ( 4 k − 1)
2
2
π
2
Unità Didattica N° 18 : Altre proprietà delle funzioni circolari
64
Formule
di
triplicazione
Si ricavano applicando le formule di addizione.
sin 3α = sin(α + 2α) = sinαcos2α + sin2αcosα =
sinα(cos2α - sin2α) + 2sinαcosαcosα = 3sinαcos2α - sin3α = = 3sinα(1 - sin2α) - sin3α
sin 3α = 3sin α cos 2 α − sin 3 α = 3sin α cos 2 α − sin 3 α
cos3α = cos(α + 2α) = cosαcos2α - sinαsin2α =
= cosα(cos2α - sin2α) - 2sin2αcosα = cos3α - 3cosαsin2α =
= cos3α - 3cosα(1 - cos2α) = cos3α - 3cosα + 3cos3α = = 4cos3α - 3cosα
cos3α = cos3 α − 3cos α sin 2 α = 4cos3 α − 3cos α
In maniera del tutto analoga si dimostrano le seguenti identità :
tg 3α =
3tg α − tg 3α
1 − 3tg 2α
cot g 3α =
tg 3 y
Verificare la seguente identità :
tg 3 y
tg y
tg y( 3 − tg y )
3−
2
=
tg y( 1 − 3tg y )
2
tg y
=
1−
cot g 3α − 3cot g α
3cot g 2α − 1
=
2 cos 2 y + 1
2 cos 2 y − 1
1 − cos 2 y
1 + cos 2 y
3( 1 − cos 2 y )
=
3 + 3 cos 2 y − 1 + cos 2 y
1 + cos 2 y − 3 + 3 cos y
2
=
2 cos 2 y + 1
2 cos 2 y − 1
1 + cos 2 y
Eliminare l’angolo ϑ dal seguente sistema :
⎧ x = 3 cosϑ + 4 cos3 ϑ − 3 cosϑ
⎪
⎪
⎨ x = 3sinϑ + 4 sin 3ϑ − 3sinϑ
⎪
⎪⎩
⎪⎧ x = 3 cosϑ + cos 3ϑ
⎨
⎪⎩ y = 3sinϑ + sin 3ϑ
1
⎧
⎛x⎞ 3
⎪ cosϑ = ⎜ ⎟
⎝4⎠
⎪
⎨
1
⎪
⎛ y⎞3
⎪ sinϑ = ⎜ ⎟
⎝4⎠
⎩
3
x
2
⎧
⎛x⎞ 3
2
⎪ cos ϑ = ⎜ ⎟
2
2
⎝4⎠
⎪
3
3
⎛
⎞
⎛
⎞
x
y
2
2
⎨
cos ϑ + sin ϑ = 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
2
⎝4⎠
⎝4⎠
⎪ 2
⎛ y⎞ 3
⎪ sin ϑ = ⎜ ⎟
⎝4⎠
⎩
2
16
⎧⎪ x = 4 cos3 ϑ
⎨
⎪⎩ y = 4 sin 3ϑ
+
3
y
2
16
= 1
cioè :
Unità Didattica N° 18 : Altre proprietà delle funzioni circolari
⎪⎧ sin x + sin y = 1
⎨
⎪⎩ cos x + cos y = 1
Risolvere il seguente sistema goniometrico
⎧
x
2
sin
⎪
⎪
⎨
x
⎪
⎪⎩ 2 cos
tg
+ y
2
+ y
2
2
cos
2
x + y
x − y
cos
x − y
= 1
2
cioè :
65
= 1
Dividendo membro a membro otteniamo :
= 1
x + y
2
= 45° + k 180° x + y = 90° + k360°
y = 90° + k 360° − x
Sostituendo nella seconda equazione del sistema otteniamo : cos x + cos(90° - k360° - x) = 1
cos x + sin x = 1 Si tratta di una equazione lineare in seno e coseno le cui soluzioni sono :
x = k360°
x = 90° + k360°
Formule
di
Werner
Le formule di Werner servono a trasformare prodotti in somme algebriche .
Esse si deducono facilmente utilizzando le formule di addizione e sottrazione in tutte le loro
possibili combinazioni .
sin α cos β =
cosα cos β =
sin( α + β ) + sin( α − β
)
cosα sin β =
2
cos( α + β
)
+ cos( α − β
2
)
sin α sin β =
Risolvere la seguente equazione goniometrica
cos2 x =
1+
1−
4
− sin( α − β
2x = ± 36° + k360° x = ± 18° + k180°
5
2x = ± 108° + k360° x = ± 54° + k180°
)
2
cos( α − β
)
− cos( α + β
2
4cos22x - 2cos2x - 1 = 0
5
4
)
4.sinx.sin3x = 1
2(cos2x - cos4x) = 1 Ma : cos4x = 2cos22x - 1 Quindi :
cos2 x =
sin( α + β
Le formule di Werner possono essere dimostrate vettorialmente .
)
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66
Formule
di
moltiplicazione
Le formule di moltiplicazione si ottengono ponendo nelle formule di addizione β = (n - 1)α .
sin( α + β
)
β)
= sin nα = sin α cos( n − 1)α + cosα sin( n − 1)α
cos( α +
= cos nα = cosα cos( n − 1)α + sin α sin( n − 1)α
tg ( α + β
cot g ( α + β
)
)
= tg nα =
= cot g nα =
tg α + tg( n − 1) α
1 − tg α tg ( n − 1) α
cot g α cot g( n − 1) α − 1
cot g α + cot g( n − 1) α
Formule di Simpson
Possono essere utili le seguenti due formule di Simpson :
sin nβ = 2 cos β sin( n − 1) β − sin( n − 2) β
cos nβ = 2 cos β cos( n − 1) β − cos( n − 2) β
Si ricavano dalle identità
sin( α + β
)
+ sin( α − β
)
= 2 sin α cos β
cos( α + β ) − cos( α − β
)
= − 2sin α sinβ
ponendo α = (n - 1)β .
Infatti , in tal caso , abbiamo : α + β = nβ - β + β = nβ ,
α - β = nβ - β - β = (n - 2)β .
<< Applicando le formule di Simpson calcolare il seno ed il coseno degli angoli 3β e 4β >>
sin 3 β = 2cosβ sin 2β - sinβ = 4sinβ cos2β - sinβ = 3sin β - 4sin3 β .
sin 4β = 2cosβ sin 3β - sin 2β = 2cosβ (3sinβ - 4sin3 β ) - 2sinβ cosβ =
= cos β (6sin β - 8sin3 β - 2 sin β ) = cos β (4sin β - 8sin3 β )
cos 3β = 2cosβ cos 2β - cos β = 4cos3 β - 3cos β
cos 4β = 2cosβ cos 3β - cos 2β = 8cos4 β - 8cos2 β + 1
