soluzione - Angelo Angeletti.htm

Università degli Studi di Camerino
Corso di Laurea in Tecnologie per l’Innovazione
Parziale di CALCOLO II
20 marzo 2007
SOLUZIONE
 x 2 − 3x + 2 > 0
1) Deve essere  2 x x
da cui segue
e − e ≥ 0
 x < 1, x > 2
 x < 1, x > 2
, 
 x x
e e − 1 ≥ 0  x ≥ 0
(
)
per cui D = { x ∈ » / 0 ≤ x < 1, x > 2} .
(
)
( x − 2) x2 − 1
x2 ( x − 2 ) − ( x − 2)
x3 − 2 x2 − x + 2
= lim
= lim
2) A) lim
=3
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
x−2
3senx + 4 x cos x
3senx
+ 4 cos x
3senx + 4 x cos x
3+ 4
x
x
= lim
= lim
=
=7
B) lim
2
2
x →0
x →0
x →0
tgx
tgx − 3 x
tgx − 3 x
1
−x
x
x
1
3) La
funzione
f ( x) = e x
non
è
definita
per
x
=
0;
poiché
lim±
x→0
1
= ±∞
x
e
1
se x → −∞
0
se x → 0−
0
x
lim e = 
si ha lim e = 
, quindi la retta x = 0 (ovvero
+
x →±∞
x →0
+∞ se x → +∞
+∞ se x → 0
l’asse y) è un asintoto verticale a destra. Inoltre la funzione ha per asintoto orizzontale la
x
1
retta y = 1 in quanto lim e x = e0 = 1 .
x →±∞
2
(
)
4) La funzione è sempre definita e la sua derivata è: f ' ( x ) = 2 xe− x 1 − x 2 . Lo studio del
segno porta al seguente grafico:
Si ha pertanto che la funzione è crescente negli intervalli x < −1, 0 < x < 1 ; è decrescente negli
intervalli −1 < x < 0 , x>1 . Si hanno massimi nei punti (-1; 1/e) e (1; 1/e); si ha un minimo
nell’origine degli assi (0; 0).
5) D = { x ∈ » / x ≠ ±1} . La funzione è negativa per x < −1, 0 < x < 1 e positiva per
−1 < x < 0 , x>1 . f(x) = 0 per x = 0. Ha asintoti verticali: x = -1 e x = 1; infatti
x3
x3
x3 1
=
∞
lim
=
±∞
lim
⋅ =1 e
;
asintoto
obliquo
y
=
x;
infatti:
,
x →±1 1 − x 2
x →±∞ x 2 − 1
x →±∞ x 2 − 1 x
 x3

x3 − x3 + x
x
lim  2
− x  = lim
= lim 2
=0.
2
x →±∞ x − 1
x →±∞ x − 1
x −1

 x →±∞
lim
La derivata prima è f ' ( x ) =
(
x2 x2 − 3
(x
2
)
−1
2
)
ed è negativa per − 3 < x < −1 , −1 < x < 0 , 0 < x < 1 ,
1 < x < 3 , è positiva per x < − 3 e x > 3 ed è nulla per x = ± 3 e x = 0 . Il punto


3 3
3 3
 − 3 , −
 è un massimo, il punto  3 ,
 è un minimo. L’origine degli assi (0,0) è un
2 
2 


flesso, infatti la derivata seconda è f " ( x ) =
(
2x x2 + 3
(x
2
)
−1
3
) che è negativa per
positiva per −1 < x < 0 e x > 1 ; la derivata seconda è nulla per x = 0.
x < −1 e 0 < x < 1 ,