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POLITECNICO DI BARI - SECONDA FACOLTA' DI INGEGNERIA - TARANTO
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale e in
Ingegneria dei Sistemi Industriali ed Elettronici
Programma del corso di Analisi Matematica I (12 CFU)
A.A. 2009/2010 - Prof.ri C. Greco - G. Vannella
ü Argomenti svolti
Generalità sugli insiemi. Cenni di logica. Insiemi numerici: , , , . Irrazionalità del numero 2 *. Campi ordinati. Insiemi limitati
e illimitati. Maggioranti, minoranti, massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme numerico; assioma di continuità.
Valore assoluto e sue proprietà*. Intervalli.
Funzioni di una variabile. Concetto di funzione. Funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Funzioni elementari e loro
grafici: potenze, funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Operazioni sui grafici. Funzioni composte ed inverse. Invertibilità di una funzione monotona e monotonia della sua inversa*. Grafico di una funzione inversa.
Limiti di successioni. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli*. Definizione di successione. Proprietà verificate definitivamente. Definizione di limite di successione. Successioni convergenti, divergenti ed indeterminate. Unicità del limite*. Limitatezza
delle successioni convergenti*. Successioni monotone. Teorema sul limite di successioni monotone*. Operazioni con i limiti. Teorema
della permanenza del segno: 1a e 2a forma*. Teorema dei due carabinieri*. Limite del prodotto di una successione infinitesima per una
limitata*. Studio dettagliato del lim an e di lim na al variare di a e di a in . Aritmetizzazione parziale di ¶. Forme indeterminate.
Studio del limite di J1 +
1 n
N *.
n
a
nض
nض
Confronto tra infiniti ed infinitesimi. Successioni asintotiche e loro proprietà*. Criterio del rapporto per
successioni*. Confronto tra n , an , n!, nn .
Limiti di funzioni e funzioni continue. Definizione sequenziale di limite di funzione e prime proprietà. Teorema di unicità del
limite*. Asintoto orizzontale, verticale ed obliquo. Limite sinistro e destro. Esempi di non esistenza di limite. Definizione topologica di
limite. Operazioni con i limiti di funzioni. Definizione di funzione continua. Esempi di funzioni continue e non continue. Classificazione dei punti discontinuità. Continuità di sin x ed xn *. Continuità delle altre funzioni elementari. Teoremi sulla permanenza del
segno e dei due carabinieri. Teorema di cambio di variabile nel limite**. Continuità della funzione composta*. Limiti notevoli:
sin x
x Ø0 x
lim
= 1*, lim J1 + x N = ‰*, e limiti correlati. Prolungamento per continutà di una funzione. Stime asintotiche. Teorema di
1 x
x Ø≤¶
esistenza degli zeri*. Teorema di Weierstrass**. Teorema di esistenza dei valori intermedi*. Continuità dell'inversa di una funzione
continua ed invertibile.
Derivate. Definizione di derivata. Interpretazione geometrica e cinematica. Derivate delle funzioni elementari*. Operazioni con le
derivate. Derivate di funzioni composte ed inverse. Punti angolosi, cuspidali e flessi a tangente verticale. Interpretazione geometrica
della derivata. Continuità di una funzione derivabile*. Derivate di funzioni pari e dispari*.
Applicazioni delle derivate. Punto di massimo e minimo relativo per una funzione. Teorema di Fermat*. Teorema di Lagrange*.
Criterio di monotonia*. Funzioni a derivata nulla*. Ricerca di massimi e minimi locali. Successioni monotone. Teorema di de L'Hospital. Gerarchia degli infiniti. Limite della derivata e derivabilità*. Significato geometrico della derivata seconda. Funzioni concave,
convesse e punti di flesso. Criterio di convessità. Studio del grafico di una funzione.
Integrali definiti. Trapezoide, plurirettangoli inscritti e circoscritti, somma inferiore e superiore. Definizione di funzione integrabile
secondo Riemann. Integrale definito. Somma secondo Cauchy. Integrale definito di f @xD = k*, f @xD = x*, f @xD = x2 . Funzioni non
integrabili*. Teorema sull'integrabilità delle funzioni continue* e di quelle monotone*. Teorema sulle proprietà dell'integrale; teorema
della media*. Definizione di primitiva (o antiderivata), teorema sulle funzioni a derivata nulla*, teorema sulla differenza di due
primitive*. Definizione di funzione integrale e teorema sulla funzione integrale*. Teorema fondamentale del calcolo integrale*.
Integrali indefiniti. Concetto di integrale indefinito, tabella degli integrali indefiniti immediati e di quelli immediati generalizzati.
Integrazione per decomposizione e integrazione per parti. Integrazione di funzioni razionali fratte del tipo
p x+q
a x2 + b x + c
. Integrali partico-
lari. Integrazione per sostituzione. Funzioni non integrabili elementarmente: esempi notevoli.
Infinitesimi ed infiniti. Generalità su infinitesimi e infiniti; infinitesimi e infiniti campione; ordine di infinitesimo e di infinito;
funzioni infinitesime o infinite di ordine infinitamente grande o piccolo. Calcolo dell'ordine di infinitesimo o di infinito.
Formula di Taylor. I polinomi di Taylor, la formula di Taylor col resto di Peano. Applicazioni alla ricerca dei minimi, massimi e
flessi per le funzioni di una variabile: Teorema sul test della derivata n -esima*. La formula di Taylor col resto di Lagrange: applicazioni all'approssimazione di costanti numeriche e di funzioni con errore fissato.
Integrali impropri. Generalità sugli integrali impropri; teorema del confronto per gli integrali impropri. Teorema sul criterio dell'infinitesimo per gli integrali impropri*. Teorema sul criterio dell'infinito per gli integrali impropri.
Serie numeriche. Definizione di serie numerica, somma parziale, serie convergenti, divergenti e indeterminate. La serie di Mengoli*.
La serie geometrica*. Primi teoremi sulle serie; teorema sulla condizione necessaria per la convergenza*; serie a termini positivi,
teorema del confronto, la serie armonica* e la serie ‚
+¶
n=1
1
n2
*. Serie assolutamente convergenti. Teorema sul criterio del rapporto,
teorema sul criterio della radice*, serie armonica generalizzata e teorema sul criterio dell'infinitesimo. Serie alternanti e teorema sul
criterio di Leibnitz. Serie armonica generalizzata a segni alterni.
Serie di funzioni. Convergenza puntuale ed assoluta delle serie di funzioni. Serie di potenze, teorema sull'insieme di convergenza di
una serie di potenze, raggio di convergenza. Teorema del rapporto per le serie di potenze*, teorema della radice per le serie di potenze.
Serie di Taylor, serie di MacLaurin, funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Teorema su una condizione sufficiente per la sviluppabilità
in serie di Taylor*. Sviluppi in serie di Taylor di alcune funzioni elementari*.
Equazioni differenziali. Generalità sulle equazioni differenziali, problema di Cauchy. Equazioni differenziali a variabili separabili,
soluzioni banali; equazioni differenziali lineari del primo ordine: integrazione col metodo del fattore integrante.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: equazione omogenea, soluzioni indipendenti, Wronskiano, integrali particolari della
completa e integrale generale della completa. Integrale generale dell'equazione omogenea a coefficienti costanti*. Applicazioni delle
equazioni differenziali: oscillatore armonico*.
ü Testi consigliati
1°)
Bramanti-Pagani-Salsa: Analisi Matematica 1 e Analisi Matematica 2, Zanichelli.
2°)
Marcellini-Sbordone: Esercitazioni di matematica, I° e II° Volume, Liguori.
3°)
Dispense del corso.
* con dimostrazione
** dimostrazione facoltativa