ANALISI MATEMATICA 2 aa 2014-2015

ANALISI MATEMATICA 2
a.a. 2014-2015
Insegnamento: Analisi Matematica 2
Docente: Adele Ferone, Isabella Ianni
Settore Scientifico - Disciplinare: MAT/05
CFU
ORE
10=7L+3E 92=56L+36E
Obiettivi formativi: Fare acquisire agli studenti una buona conoscenza della teoria e delle
applicazioni del calcolo differenziale per funzioni di più variabili, delle serie di funzioni, del calcolo
integrale per funzioni di più variabili, delle forme differenziali e degli integrali curvilinei, e delle
equazioni differenziali.
Propedeuticità: Analisi Matematica 1
Modalità di svolgimento: lezioni ed esercitazioni in aula
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale e di una prova scritta.
Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
Successioni e Serie di Funzioni – Successioni di funzioni: convergenza puntuale e convergenza uniforme. Proprietà di
monotonia, convessità e limitatezza della funzione limite. Teorema sulla continuità del limite, Teorema sull’inversione
dei limiti (s.d.), Teorema sulla derivazione del limite (s.d.), Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Convergenza
uniforme e monotonia (s.d.). Serie di funzioni: convergenza puntuale, convergenza uniforme e convergenza totale. Serie
di Potenze. Serie di Taylor e di Mac Laurin. Funzioni analitiche e criteri di analiticità. Polinomi trigonometrici e Serie
trigonometriche. Convergenza puntuale di una serie trigonometrica. Serie di Fourier e sviluppabilità in serie di Fourier.
Ortogonalità del sistema trigonometrico. Convergenza puntuale di una serie di Fourier (s.d.). Convergenza uniforme di
una serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval (s.d.). Integrabilità termine a termine (s.d.).
Coefficienti di Fourier della derivata di una funzione.
Topologia in Rn – Spazi vettoriali: vettori nel piano e nello spazio. Richiami di calcolo vettoriale: prodotto scalare di
vettori e ortogonalità. Prodotto vettoriale in R3. Norma di un vettore. Duale di uno spazio vettoriale. Richiami di
geometria analitica nel piano e nello spazio: rette e piani, ellissi, parabola ed iperbole, ellissoidi, paraboloidi ed
iperboloidi. Elementi di topologia in Rn. Insiei chiusi e aperti. Punti di accumulazione e punti di bordo. Insiemi
convessi, connessi, connessi per poligonali.
Funzioni vettoriali e curve – Funzioni vettoriali nella variabile scalare: limite, derivata ed integrale; regole di
derivazione (s.d.). Curve semplici, aperte, chiuse, regolari e generalmente regolari. Retta tangente. Curve equivalenti e
diffeomorfismi. Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilità delle curve (s.d.). Ascissa curvilinea e
parametrizzazione canonica. Elementi di geometria differenziale: versore tangente, normale e binormale. Curvatura e
torsione. Riferimento di Fernet e formule di Fernet-Serret. Esempi di curve: Lemniscata di Bernoulli, spirale di
Archimede, Trattrice, Asteroide, Cardioide, elica cilindrica. Integrale curvilineo e relative proprietà. Massa e baricentro
di un filo.
Funzioni di più variabili - Limiti e continuità: convergenza uniforme rispetto ad una variabile. Limiti e coordinate
polari. teorema di Weierstrass (s.d.). Funzioni uniformemente continue e teorema di Cantor (s.d.). Teorema degli zeri,
teorema di esistenza dei valori intermedi.
Calcolo differenziale - Derivate parziali e derivate direzionali. Differenziabilità; continuità delle funzioni
differenziabili. Teorema del differenziale: condizione necessaria ma non sufficiente, esempi e controesempi.
Differenziabilità e derivate direzionali: linee di massima pendenza. Regola di derivazione delle funzioni composte
(s.d.). Derivate di ordine superiore e teorema di Schwarz (s.d.). Teorema di Lagrange e funzioni a gradiente nullo.
Funzioni omogenee. Funzioni definite mediante integrali e derivazione sotto il segno di integrale. Formula di Taylor di
orine 2 con resto di Peano. Estremi locali e teorema di Fermat; forme quadratiche in R n, condizioni necessarie e
condizioni sufficienti per gli estremi relativi. Ricerca di massimi e minimi assoluti. Funzioni convesse: epigrafo,
differenziabilità e caratterizzazione mediante il piano tangente. Funzioni convesse differenziabili due volte: problemi di
minimo. Funzioni convesse e Lipschitzianità. Funzioni armoniche: principio del massimo ed equazione di Laplace.
Unicità per il problema di Dirichlet.
Equazioni differenziali – Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, equazioni differenziali normali.
Sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy e famiglia di soluzioni ad n parametri. Definizione di
soluzione locale e globale, esplicita ed implicita. Definizione di integrale generale. Riduzione di un’equazione di ordine
n ad un sistema di n equazioni del primo ordine. Equazione integrale associata ad un problema di Cauchy. Teorema
delle contrazioni. Teorema di Peano (s.d.). Teorema di esistenza e unicità locale: approssimazioni di Picard e
approssimazione della soluzione. Teorema di esistenza e unicità globale. Soluzioni massimali e relativo teorema di
esistenza (s.d.). Equazioni differenziali del primo ordine: equazioni differenziali a variabili separabili e lineari del primo
ordine. Equazioni differenziali del primo ordine del tipo: y’=f(y/x); y’=f(ax+by); y’=f((ax+by+c)/(dx+ey+g)).
Equazioni di Bernoulli. Equazioni differenziali in frma non normale del tipo x=g(y’), y=g(y’). Equazione di Clairaut.
Inviluppo di una famiglia di curve e integrale singolare. Studio qualitativo. Equazioni differenziali lineari di ordine n:
teorema di esistenza ed unicità globale. Equazioni lineari a coefficienti costanti: metodo di somiglianza e metodo dei
moltiplicatori di Lagrange. Equazioni di Eulero. Metodo di abbassamento dell’ordine. Equazioni differenziali esatte.
Forme differenziali - Forme differenziali lineari e relativo integrale curvilineo: interpretazione fisica mediante i campi
di forze. Forme differenziali esatte: primitiva di una forma differenziale. I° criterio di integrabilità. Forme differenziali
chiuse; forme chiuse definite in aperti stellati rispetto ad un punto e lemma di Poincaré (s.d.). Forme differenziali chiuse
in domini a connessione semplice di IR2. Forme differenziali chiuse in IR2\{P0}.
Funzioni implicite e Teorema del Dini – Funzioni implicite: definizione ed esempi. Primo Teorema del Dini
sull’esistenza e unicità della funzione implicita(s.d.): condizione necessaria ma non sufficiente, esempi e controesempi.
Secondo Teorema del Dini sulla derivabilità della funzione implicita (s.d.). Il Teorema del Dini per una equazione in n
incognite (s.d.). Il Teorema del Dini per i sistemi di m equazioni in n incognite (s.d.). Estremi vincolati. Teorema dei
moltiplicatori di Lagrange per estremi condizionati da un vincolo. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per estremi
condizionati da più vincoli (s.d.).
Integrali doppi e tripli – Funzioni integrabili secondo Riemann in un rettangolo: somme superiori ed inferiori per
funzioni definite in un rettangolo ed ivi limitate. Teorema di Fubini e formule di riduzione (s.d.). Funzioni non
integrabili secondo Riemann: esempi. Funzioni continue in domini normali e formula degli integrali iterati (s.d.).
Formula di cambiamento di variabili (s.d.) ed esempi di trasformazioni ammissibili. Formule di Gauss-Green nel piano
ed applicazioni. Teorema della divergenza e la formula di Stokes nel piano. Teorema della divergenza e la formula di
Stokes nello spazio (s.d.).
Superfici e integrali di superficie – Funzioni vettoriali nel piano e superfici regolari di R3: esempi, grafico di una
funzione e superfici di rotazione. Linee coordinate e bordo di una superficie. Superfici orientabili e orientamento del
bordo. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie e integrale superficiale. Flusso di un vettore attraverso
una superficie.
(s.d.) senza dimostrazione