Corso di Laurea in Fisica
Anno Accademico 2003-2004
Compito di Fisica bIA (16 gennaio 2004) – SOLUZIONI
1
Si consideri un disco dielettrico di raggio molto maggiore dell’altezza, R À h. La direzione dell’altezza è diretta
lungo l’asse z di un sistema di riferimento centrato sul disco (vedi figura). Il disco è polarizzato uniformemente con
polarizzazione perpendicolare alle faccie del disco, P = P ez . Si calcoli il valore approssimato del campo elettrico
sull’asse del disco
a) al centro del disco;
b) all’esterno del disco;
c) a grande distanza z À R ;
Si consideri ora il caso in cui il disco non ha polarizzazione permanente ma ha costante dielettrica ². Viene applicato un
campo elettrico uniforme perpendicolare al disco, Eext = Eext ez , con il disco inizialmente non polarizzato. Si determini
d) il campo elettrico complessivo Etot nel disco.
Soluzione
a) La distribuzione di cariche sulle due faccie é uniforme, σ = P · n. Poiché le normali sono dirette in verso opposto
rispetto all’asse z, le due distribuzioni di carica sono uguali e di segno opposto. Per condeguenza il campo
elettrico all’interno del disco (nella zona centrale) vale Eint = σ/²0 .
b) All’esterno del disco, poiché r À h, le superfici del disco possono essere viste come due piani infinitamente estesi
con densitá di carica uguale, ma di segno opposto. Quindi il campo elettrico all’esterno del disco é nullo.
c) A grande distanza z À r il campo puó essere approssimato con un campo di un dipolo con cariche totali
concentrate nei rispettivi baricentri a distanza h.
d) Il campo esterno polarizza il disco, per cui il campo totale risulta essere Etot = Eext −P/²0 . D’altra parte il campo
di polarizzazione é proporzionale al campo totale, P = ²0 χEtot , da cui si ricava facilmente Etot = Eext /(1 + χ).
2
Una carica puntiforme q è posta all’interno di un guscio conduttore sferico di raggio interno R e raggio esterno R0 , a distanza d dal centro. Il
guscio conduttore è posto a terra. Calcolare
a) Il potenziale ed il campo elettrico in tutto lo spazio;
b) La forza sulla carica.
c) Mostrare che la carica totale indotta sulla sfera è pari a −q.
d) Come cambia la risposta a) se il guscio conduttore è isolato?
1
Soluzione
a) Cerchiamo un sistema di cariche immagine che dia potenziale nullo sulla superficie interna del guscio. Il campo
ed il potenziale all’interno del guscio saranno quelli prodotti dalla carica q più le cariche immagine. Fuori dal
guscio il potenziale ed il campo saranno identicamente nulli.
È noto che se una carica Q è posta davanti a distanza a dal centro O di una sfera di raggio R, ponendo sull’asse
da O a Q una carica immagine Q0 = −QR/a a distanza b = R2 /a dal O il potenziale sulla superficie della sfera
è nullo (vedi ad es. Mencuccini-Silvestrini, Es. II.23, p.116).
Procedendo per analogia, nel nostro problema poniamo una carica immagine q 0 sull’asse tra Q ed il centro della
sfera a distanza d0 da esso. Usando il risultato precedente se q = −q 0 R/d0 e d = R2 /d0 il potenziale sulla sfera è
nullo. Ricaviamo quindi d0 = R2 /d e q 0 = −qR/d.
b) La forza è quella Coulombiana fra Q e la carica immagine, F = kqq 0 /(d0 − d)2 (attrattiva).
c) Poichè il campo al’esterno del guscio è nullo, per il teorema di Gauss la carica contenuta all’interno di una
qualsiasi superficie che racchiuda il guscio è nulla. Quindi la carica indotta sul guscio (e distribuita sulla sua
superficie interna) è −q, come si potrebbe verificare con un calcolo diretto.
d) Se il guscio è isolato la carica totale su di esso è nulla. Un ammontare di carica pari a −q si distribuisce in
maniera da simulare la carica immagine; la carica rimanente +q si distribuisce sul guscio esterno in maniera
uniforme, cosicché il guscio è a potenziale costante. Questa distribuzione produce un campo all’interno nullo.
Per il principio di sovrapposizione, all’esterno il potenziale ed il campo sono quindi quelli prodotti dalla carica
q distribuita uniformemente sul guscio esterno, cioè quelli una carica puntiforme q posta nel centro della sfera.
All’interno i campi sono identici al caso di guscio a terra.
3
Una sfera di raggio a ha una magnetizzazione permanente uniforme M. La sfera è mantenuta in rotazione attorno ad
un asse passante per il centro con velocità angolare ω perpendicolare a M. Una spira metallica circolare con resistenza
R e coefficiente di autoinduzione trascurabile è fissata all’esterno della sfera ed il suo diametro giace sull’asse di
rotazione di quest’ultima. La differenza tra i raggi di sfera e spira è trascurabile.
Calcolare:
a) la corrente indotta nella spira;
b) la potenza dissipata nella spira;
c) il momento delle forze esercitato per mantenere la sfera in rotazione.
Soluzione
~ = µ0 M
~ /3. Il suo flusso attraverso la spira vale
a) Il campo magnetico all’interno della sfera è uniforme e vale B
2
Φ = πa B cos ϑ, dove ϑ è l’angolo tra la magnetizzazione e la normale al piano della spira, ϑ = ωt. Avremo
quindi per la corrente indotta
E
1 dΦ
πa2 ωµ0 M
I=
=−
=
sin ωt
R
R dt
3R
.
b) La potenza dissipata per effetto Joule nella spira vale
W = I 2R =
π 2 a4 ω 2 µ20 M 2
sin2 ωt
9R
c) Per la coppia Γ esercitata per mantenere la sfera in rotazione abbiamo W = Γω, quindi
Γ=
W
π 2 a4 ωµ20 M 2
=
sin2 ωt
ω
9R
2
