Matematica - Liceo Scientifico Guido Castelnuovo

Liceo Scientifico Guido Castelnuovo Firenze
PROGRAMMA SVOLTO nell’a.s. 2015 – 2016
Prof: Patrizia Vitto
Materia di insegnamento Matematica
Classe 4 AS
Ripasso Equazioni e disequazioni irrazionali. Il valore assoluto e sue proprietà. Equazioni e disequazioni con i
valori assoluti. Misura degli angoli e degli archi. Angoli orientati. Gradi e radianti, formule di trasformazione.
Circonferenza goniometrica. Angoli notevoli. Le funzioni seno e coseno: definizione e caratteristiche. La prima
relazione fondamentale. Seno e coseno di angoli particolari. Periodicità delle funzioni seno e coseno. La tangente
e la cotangente di un angolo: definizione, esistenza, periodicità, grafico e asintoti.
La goniometria La secante e la cosecante. Le funzioni inverse e loro grafici. Gli angoli associati. Riduzione al
primo quadrante. Angoli complementari. Formule goniometriche: addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione,
prostaferesi. Funzioni goniometriche ottenute mediante trasformazioni geometriche e loro rappresentazioni
grafiche. Equazioni goniometriche elementari o riconducibili a equazioni elementari. Equazioni lineari in seno e
coseno, omogenee e non. Equazioni di secondo grado in seno e coseno omogenee e non omogenee. Disequazioni
goniometriche. Coordinate polari di un punto nel piano. Relazione tra coordinate polari e coordinate cartesiane.
Trasformazioni nel piano: rotazione intorno all'origine. Problemi di geometria risolubili mediante equazioni
goniometriche. Le funzioni sinusoidali: ampiezza, pulsazione, periodo, sfasamento.
Trigonometria Gli elementi di un triangolo. I teoremi sui triangoli rettangoli. Risoluzione dei triangoli rettangoli.
Area di un triangolo qualsiasi. Teorema della corda. Teorema dei seni e teorema di Carnot. Risoluzione dei
triangoli qualsiasi. Applicazioni alla fisica e alla topografia.
Funzioni esponenziali e logaritmiche Il numero di Nepero. L'interesse composto e il numero di Nepero. Le
potenze a esponente reale. La funzione e la curva esponenziale: dominio, codominio, crescenza e decrescenza,
valori limite. Alcuni modelli matematici (pressione atmosferica, decadimento radioattivo). Equazioni e
disequazioni esponenziali. Metodo algebrico per la risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali. Cenno al
metodo di bisezione. Un modello matematico: aumento e riduzione del numero dei parassiti in agricoltura.
Definizione di logaritmo e sue proprietà. Teoremi sui logaritmi (prodotto, quoziente, potenza). Formula del
cambiamento di base. La funzione logaritmica: grafico, dominio, codominio, crescenza o decrescenza, asintoti.
Equazioni e disequazioni esponenziali risolubili mediante logaritmi. Equazioni e disequazioni logaritmiche.
Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni logaritmiche.
I numeri complessi I numeri complessi come estensione dei numeri reali. L'unità immaginaria. Il numero
complesso: parte reale e parte immaginaria. I numeri reali e i numeri immaginari come sottoinsieme dei numeri
complessi. Le operazioni in C: le potenze dell’unità immaginaria, somma e differenza di numeri complessi,
prodotto di un reale per un complesso, prodotto tra complessi, il coniugato di un numero complesso, il modulo di
un numero complesso, il reciproco di un numero complesso, quoziente tra due numeri complessi.
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Il piano di Gauss. Numeri complessi e vettori. Forma
trigonometrica dei numeri complessi e operazioni con essi. La formula di de Moivre. Radici di un numero
complesso. Equazioni algebriche e numeri complessi. Rappresentazione sul piano di Gauss delle radici n-esime di
un numero complesso. Molteplicità di una soluzione. Teorema fondamentale dell'algebra.
Dati e previsioni Le permutazioni semplici e con ripetizione. La funzione fattoriale. Disposizioni semplici e con
ripetizione. Combinazioni semplici e con ripetizione. Il coefficiente binomiale e sue proprietà. Potenze di un
binomio e binomio di Newton. La probabilità. Spazio dei risultati ed eventi. Eventi elementari, certi, impossibili e
aleatori. Operazioni con gli eventi: unione e intersezione. Eventi compatibili e incompatibili. Partizione dello
spazio campione. Eventi unici ed eventi ripetibili. Frequenza di un evento ripetibile. Definizione classica di
probabilità e suoi limiti. Definizione frequentista di probabilità e suoi limiti. Teorema della probabilità totale di
eventi incompatibili e compatibili. Probabilità contraria. Probabilità condizionata: eventi stocasticamente
dipendenti e indipendenti. Evento composto. Teorema delle probabilità composte. Formula disintegrazione.
Problema delle prove ripetute o schema di Bernoulli. Un caso particolare dello schema: probabilità che un evento
si presenti per la prima volta alla prova x. Teorema di Bayes.
Funzioni, successioni e progressioni Le funzioni, funzioni pari e dispari, grafici deducibili per simmetrie e
traslazioni del grafici di f (simmetrie rispetto all'asse x, rispetto all'asse y, rispetto all'origine degli assi, le
funzioni y = |f(x)|, y = f(x-a), y = f(x)+b, y = f(x-a)+b, dilatazioni e contrazioni). Ricerca degli zeri di una
funzione: il metodo di bisezione e il metodo del punto unito. Il principio di induzione e sua generalizzazione.
Dimostrazione per induzione matematica di alcune importanti identità aritmetiche: somma dei primi n numeri
interi, somma dei primi n numeri dispari, somma delle prime n potenze ad esponente intero di un numero reale
diverso da 1. Le successioni numeriche: definizione analitica e ricorsiva. Successioni limitate e successioni
monotone. La successione di Fibonacci. Cenni sulla biografia del matematico. Origini della successione. Proprietà
principale: sezione aurea. Formula di Binet per il calcolo del termine n-esimo della successione (dimostrazione
con il principio di induzione). Le progressioni aritmetiche: definizione, ragione della progressione. Progressioni
crescenti, decrescenti, costanti. Formula generale e generalizzazione. Inserimento di m medi aritmetici tra due
numeri dati. Termini equidistanti dagli estremi di una progressione aritmetica finita e loro somma. Somma dei
termini di una progressione aritmetica finita. Le progressioni geometriche. La media geometrica. Applicazioni
delle progressioni alla fisica, alla biologia e a situazioni reali.
Da completare: Prodotto di n termini consecutivi. Somma dei termini di una progressione geometrica finita. Il
modello di Malthus.
Firenze, 6 giugno 2016
L’insegnante ______________________________
Gli alunni ________________________________ __________________________________