Modelli di Variabili Aleatorie

Modelli di Variabili Aleatorie Probabilità Mattia Natali Modelli di Variabili Aleatorie µ Variabili aleatorie di Bernoulli: Ø X è di Bernoulli di parametro p ∈( 0,1) se P ( X = 1) = p e P ( X = 0 ) = 1 − p . Ø Proprietà: § E ( X ) := 1·p X (1) + 0·p X ( 0 ) = p . §
( )
Var ( X ) = E X 2 − E ( X ) ma siccome X = X 2 à 2
Var ( X ) = E ( X ) − E ( X ) = p − p 2 = p (1 − p ) . Ø Notazione: X è di Bernoulli di parametro p ⇔ X  Be ( p ) . 2
Ø Prove di Bernoulli: § esperimenti casuali, indipendenti, binari (ossia che hanno solo due possibili esiti che chiamo successo e fallimento). p = P ( successo ) . §
§
§
§
Faccio n prove di Bernoulli con probabilità di successo p ∈( 0,1) . Sia X numero di successi in queste n prove. p X ( k ) = P ( X = k ) . ⎧1 se k-esima prova è successo
. X = X1 + X2 + ... + Xn à X k = ⎨
⎩0 se è fallimento
E ( X ) = E ( X1 + ... + Xn ) = E ( X1 ) + ... + E ( Xn ) = np . §
Var ( X ) = Var ( X1 + ... + Xn ) = Var ( X1 )+ ... + Var ( Xn ) = np (1 − p ) . §
⎛ n⎞
n− k
P ( X = k ) = ⎜ ⎟ p k (1 − p ) . ⎝ k⎠
p (1− p )
X è binomiale di parametri n, p , ( X  Bi ( n, p )) se •
•
§
X
•
•
•
⎧⎛ n ⎞ k
n− k
⎪⎜ ⎟ p (1 − p ) , k ∈{0,1,..., n}
P ( X = k ) = ⎨⎝ k ⎠
. ⎪0
altrimenti
⎩
⎛ n⎞
n!
Ricordiamo che il coefficiente binomiale si calcola ⎜ ⎟ :=
. ⎝ k ⎠ k!( n − k )!
 Bi ( n, p ) , Y  Bi ( m, p ) indipendenti: X  Bi ( n, p ) ⇔ X = X1 + ... + Xn , X k  Be ( p ) indipendenti. Y  Bi ( m, p ) ⇔ Y = Y1 + ... + Ym , Yk  Be ( p ) indipendenti. X + Y = X1 + ... + Xn + Y1 + ... + Ym = somma di n + m . Be ( p ) indipendenti ⇒ X + Y  Bi ( n + mi , p ) . Ø Utilizzo: quando X può assumere solo i valori 0,1 (successo o fallimento). µ Densità di Poisson: Ø Ci sono in media λ impurità per unità di lunghezza = I k =
Ø
1
. n
X = numero di impurità sul segmento. E ( X ) = λ , X k = numero di impurità in I k  Be ( p ) . 1 Modelli di Variabili Aleatorie Probabilità Mattia Natali Ø
⎛ λ⎞
X = X1 + ... + Xn , E ( X ) = E ( X1 ) + ... + E ( Xn ) = np . X  Bi ⎜ n, ⎟ . ⎝ n⎠
Ø
⎛ n⎞ ⎛ λ ⎞ ⎛
λ⎞
P ( X = k ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 − ⎟
⎝ k⎠ ⎝ n ⎠ ⎝
n⎠
k
n− k
n!
λk ⎛
λ⎞ ⎛
λ⎞
1 − ⎟ ⎜1 − ⎟
k ⎜
k!( n − k )! n ⎝
n⎠ ⎝
n⎠
n
=
con n→+∞
=e − λ
n ( n − 1) ...( n − k + 1) ⎛
λ⎞
=
⎜⎝ 1 − ⎟⎠
k
n
n
→1
−k
→1
−k
= 1
λk ⎛ λ ⎞
λ k −λ
e . ⎜ 1 − ⎟⎠ →
k! ⎝
n
k!
n
Ø Definizione: X è una variabile aleatoria di Poisson di parametro λ > 0 se ⎧ λ k −λ
⎪ e , k ∈{0,1, 2,...}
P ( X = k ) = ⎨ k!
. ⎪0
altrimenti
⎩
Ø Legge del filo: § La variabile aleatoria di Poisson può essere utilizzata come approssimazione di una binomiale ⎧n  1 prove di Bernoulli
. ⎩p  1 probabilità di successo
di parametri ( n, p ) quando ⎨
⎛ λ⎞
Poisson ( λ ) ≅ Bi ⎜ n, ⎟ = Bi ( n, p ) ≅ Poisson ( np ) . ⎝ n⎠
§
Ø Proprietà: § X  Po(λ ) ⇒ E ( X ) = Var ( X ) = λ . X  Po ( λ ) ,Y  Po ( µ ) ⇒ X + Y  Po ( λ + µ ) . §
Ø Utilizzo: è un’ottima approssimazione di una binomiale di parametri ( n, p ) , quando n è molto grande e p molto piccolo ponendo λ = np . In altri termini, il totale dei “successi” in un gran numero n di ripetizioni indipendenti di un esperimento che ha una piccola probabilità di riuscita p
, è una variabile aleatoria con distribuzione approssimativamente di Poisson, con media λ = np . µ Variabile aleatoria Geometrica: Ø Successione di prove di Bernoulli con p = P ( successo ) e X = numero di prove necessarie per vedere il primo successo. § P ( X = k ) con k ∈{1, 2,...} . •
P ( X = 1) = P ( I prova = "successo") = p . •
⎛ I prova = "insuccesso"⎞
P ( X = 2) = P ⎜
= p (1 − p ) . ⎝ II prova = "succeso" ⎟⎠
P ( X = k ) = p (1 − p )
k − 1 insuccessi. •
k −1
perché prima del successo della k -­‐esima prova ci sono stati ⎧⎪ p (1 − p )k −1
Ø Definizione: X  Geom ( p ) se P ( X = k ) = ⎨
0
⎪⎩
Ø 1 =
+∞
∑ P ( X = k ) = ∑ p (1 − p )
k =1
k
+∞
à k −1
k ∈{1, 2,...}
. altrimenti
, sia q := 1 − p ⇔ p = 1 − q con 0 < q < 1 à +∞
∑q
k =1
k −1
=
1
1− q
1
∑ q = 1 − q . k=0
2 Modelli di Variabili Aleatorie Probabilità +∞
tX
tk
Ø m X ( t ) = E ⎡⎣ e ⎤⎦ = ∑ e (1 − p )
⇔ t < − ln (1 − p ) Ø
Ø
Ø
k −1
i =1
+∞
p = ∑e
t ( k −1)
k=0
(1 − p )
Mattia Natali k
p = pe
+∞
t
∑ ⎡⎣ e (1 − p )⎤⎦
t
k =1
k
= et (1 − p ) < 1
q
+∞
k
p
p
pet ∑ ⎡⎣ et (1 − p ) ⎤⎦ = pet
= −t
. Perché è una serie geometrica. t
1 − e (1 − p ) e − (1 − p )
k =1
q
m X ( 0 ) = 1 . m′X ( t ) =
§
( )
p e−t
⎡⎣ e−t − (1 − p ) ⎤⎦
1
m′X ( 0 ) = = E ( X ) . p
2
= mX (t )
e−t
1
= mX (t )
. −t
t
e − (1 − p )
1 − e (1 − p )
⎡⎣1 − et (1 − p ) ⎤⎦ − ⎡⎣ −et (1 − p ) ⎤⎦
Ø m ′′X ( t ) = m ′X ( t )
. 2
⎡⎣1 − et (1 − p ) ⎤⎦
1
p +1− p
2− p
p
=
= E X 2 . § m ′′X ( 0 ) =
2
2
p
p
2 − p 1 1− p 1 1
2
2
− 2 = 2 = 2 − . § Var ( X ) = E X − E ( X ) =
p2
p
p
p
p
( )
( )
Ø
X  Geom ( p ) , P ( X > k ) = P ( le prime k prove sono insuccessi) = (1 − p ) ...(1 − p ) = (1 − p ) k
k volte
⇒ P ( X ≤ k ) = 1 − (1 − p ) . k
Ø Proprietà di assenza di memoria: § P ( X > k + h | X > h ) = P ( X > k ) . §
Dimostrazione: •
P ( X > k + h | X > h) =
P ( X > k + h & X > h ) P ( X > k + h ) (1 − p )
=
=
= P ( X > h)
P ( X > h)
(1 − p )h
k+h
= (1 − p ) = P ( X > k ) . k
§
P ( a < X ≤ b | X > h ) = P ( a − h < X ≤ b − h ) . Ø Utilizzo: è utile quando vogliamo sapere la probabilità che la k -­‐esima ripetizione sia il primo successo. µ Variabile aleatoria ipergeometrica: Ø Definizione: una variabile aleatoria X si dice ipergeometrica di parametri N, M e n se ha massa ⎛ N⎞ ⎛ M ⎞
⎜⎝ i ⎟⎠ ⎜⎝ n − i ⎟⎠
di probabilità P ( X = i ) =
con i = 0,1,..., n . ⎛N + M⎞
⎜⎝ n
⎟⎠
Ø Utilizzo: possiamo capirlo tramite un esempio. Una scatola contiene N batterie accettabili e M difettose. Si estraggono senza rimessa e in maniera casuale n batterie. Denotiamo con X il numero di batterie accettabili contenute nel campione estratto. 3 Modelli di Variabili Aleatorie Probabilità Mattia Natali µ Variabili aleatoria uniforme: Ø Se noi prendessimo un segmento lungo 1 e un intervallo che va da a a b ivi contenuto, se x è scelto casuale significa che la probabilità che x ∈[ a,b ] dipende soltanto dalla lunghezza del segmento e non dalla sua posizione. ⎧⎪ 1
Ø L’insieme U è uniforme in [ 0,1] se la sua densità è fU ( u ) := ⎨
§
§
§
u ∈[ 0,1]
⎪⎩ 0 altrimenti
P (U ∈[ u,u + du ]) = du con u ∈[ 0,1] . . P ( a < U ≤ b ) = b − a . 0 < a < b < 1 P ( a + h < U ≤ b + h ) = b − a con 0 < a + h < b + h < 1 . Ø Definizione generale: una variabile aleatoria continua si dice uniforme sull’intervallo [α , β ] , se ha ⎧ 1
se α ≤ x ≤ β
⎪
funzione di densità data da f ( x ) = ⎨ β − α
. ⎪ 0
altrimenti
⎩
Ø U  U [ 0,1] . I passi successivi quindi sono riferiti ad un intervallo ampio 1 . §
§
§
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
E (U ) =
∫
+∞
−∞
( ) ∫
E U2 =
uf ( u ) du =
+∞
−∞
∫
1
0
u 2 f ( u ) du =
U  U [ 0,1] , FU ( u ) =
∫
+∞
−∞
u du =
∫
1
0
u2
2
u 2 du =
=
0,1
u3
3
1
. 2
=
0,1
1
1 1 4−3 1
⇒ Var (U ) = − =
=
. 3
3 4
12
12
⎧ 0 x<0
⎪
fU ( x ) dx = ⎨ x 0 ≤ x < 1 . ⎪ 1 x ≥1
⎩
(b − a )U + a = X con b > a . § U = 1 à ( b − a )1 + a = b . § U = 0 à ( b − a ) 0 + a = a . X ~ U [ a,b ] , X = ( b − a )U + a , U ~ U [ 0,1] . b−a
a+b
+a=
. 2
2
2
b − a)
(
2
Var ( X ) = Var ⎡⎣( b − a )U + a ⎤⎦ = ( b − a ) Var (U ) =
. 12
x − a⎞
⎛
⎛ x − a⎞
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = P (( b − a ) ,U + a ≤ x ) = P ⎜ U ≤
= FU ⎜
. ⎟
⎝
⎝ b − a ⎟⎠
b − a⎠
d
⎛ x − a⎞
⎛ x − a⎞ 1
⎛ x − a⎞ 1
FX′ ( x ) =
FU ⎜
= FU′ ⎜
= fU ⎜
. ⎟
⎟
⎝ b − a⎠ b − a
⎝ b − a ⎟⎠ b − a
dx ⎝ b − a ⎠
⎧ 1
x−a
0<
<1
⎪
fX ( x ) = ⎨ b − a
. b−a
⎪ 0
altrimenti
⎩
x−a
< 1 ⇔ 0 < x − a < b − a ⇔ a < x < b . § 0 <
b−a
E ( X ) = E ⎡⎣( b − a )U + a ⎤⎦ = ( b − a ) E (U ) + a =
4 Modelli di Variabili Aleatorie Ø
Probabilità ⎧
⎪
⎪
=⎨
⎪
⎪
⎩
⎛ x − a⎞
FX ( x ) = FU ⎜
⎝ b − a ⎟⎠
Mattia Natali x<a
x−a
0<
< 1 ⇔ a < x < b . b−a
x≥b
0
x−a
b−a
1
Ø Utilizzo: quando la variabile aleatoria ha le stesse probabilità di cadere vicino a un qualunque punto dell’intervallo. µ Variabili aleatorie normali o gaussiane: 2
1 − z2
e . 2π
Ø Definizione: z è normale standard se la sua densità fZ ( z ) :=
§
∫
+∞
−∞
fZ ( z ) dz = 1 ⇔ 2π =
∫
+∞
−∞
e
−
z2
2
dz . 2
§
§
Ø
1 − s2
∫−∞ 2π e ds := Φ ( z ) := P ( Z ≤ z ) . Φ ( −z ) = 1 − Φ ( z ) . z
mZ ( t ) = E ⎡⎣ e ⎤⎦ =
tZ
∫
+∞
−∞
2
e
1 − z2
e dz =
2π
tZ
sostituisco u = z − t , du = dz à m ( z ) = e
§
§
§
1
2π
∫
t2
2
1
2π
mZ ( 0 ) = 1 . +∞
−∞
e
∫
−
(
)
1 2
t2
z − 2tz +t 2 +
2
2
+∞
−∞
e
−
u2
2
2
dz =
1 t2
e
2π
∫
+∞
−∞
e
−
( z −t )2
2
dz
t2
2
du = e . =1
t2
2
mZ′ ( t ) = te = tmZ ( t ) . • mZ′ ( 0 ) = 0 . mZ′′ ( t ) = mZ ( t ) + tmZ′ ( t ) . ( )
mZ′′ ( 0 ) = mZ ( 0 ) + 0 = 1 ⇒ E ( Z ) = 0 , E Z 2 = 1 = Var ( Z ) . •
Ø Definizione: X variabile aleatoria con E ( X ) = 0 , Var ( X ) = 1 ⇒ X è standard. Ø Definizione: X variabile aleatoria è normale se: X = aZ + b , a > 0 , b ∈ , Z è normale standard. Se Z è normale standard ⇔ −Z è normale standard. (
(
Ø Def: X è normale con media µ e varianza σ 2 X ~ N µ, σ
standard Z ~ N ( 0,1) . Ø
(
)) se X = σ Z + µ , Z normale X ~ N µ, σ 2 , Y = α X + β ∈N (, ) con a ≠ 0 . (
) ⇔ X = σ Z + µ , Z ~ N ( 0,1)
§
Dimostrazione: X ~ N µ, σ
§
⇒ Y = α X + β = α (σ Z + µ ) + β = (ασ ) Z + αµ + β . E (Y ) = E (α X + β ) = α E ( X ) + β = αµ + β . §
Ø
)
2
2
Var (Y ) = Var (α X + β ) = α 2Var ( X ) . (
)
X ~ N µ, σ 2 , calcoliamo la funzione di ripartizione e densità. 5 Modelli di Variabili Aleatorie §
Probabilità Mattia Natali ⎛
Con X = σ Z + µ , FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = P (σ Z + µ ≤ x ) = P ⎜ Z ≤
⎝
x − µ⎞
⎛ x − µ⎞
⎟⎠ = Φ ⎜⎝
⎟ à σ
σ ⎠
⎛ x − µ⎞
FX = Φ ⎜
. ⎝ σ ⎟⎠
§
§
P ( a < X < b ) = FX ( b ) − FX ( a ) per le variabili aleatorie continue. ⎛ b − µ⎞
⎛ a − µ⎞
P (a < X < b) = Φ ⎜
− Φ⎜
. ⎟
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎟⎠
d ⎛ x − µ⎞
⎛ x − µ⎞ 1
⎛ x − µ⎞ 1
f X ( x ) = FX′ ( x ) = Φ ⎜
= Φ′ ⎜
= fZ ⎜
=
⎟
⎟
⎝ σ ⎠σ
⎝ σ ⎟⎠ σ
dx ⎝ σ ⎠
1
=
2πσ 2
e
⎡ ( x − µ )2 ⎤
⎢−
⎥
⎢⎣ 2 σ 2 ⎥⎦
⎡ 1 ⎛ x−µ⎞2 ⎤
⎟ ⎥
σ ⎠ ⎥⎦
1 ⎢⎢⎣− 2 ⎜⎝
e
2π
1
=
σ
. X−µ
~ N ( 0,1) . σ
µ⎞ 1
⎛ X − µ⎞ E(X) − µ
⎛ X − µ⎞
⎛1
=
= 0 , Var ⎜
= V − ⎜ X − ⎟ = 2 Var ( X ) = 1 . § E ⎜
⎟
⎟
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
⎝σ
σ
σ⎠ σ
Ø Teorema: X1 , X 2 ,..., X n normali indipendenti ⇒ X1 + ... + X n è normale. Ø
(
)
X ~ N µ, σ 2 , §
(
Dimostrazione: X ~ N µ, σ
X = σ Z + µ , Z ~ N ( 0,1) . 2
) . m (t ) = E ( e ) ma siccome è normale sappiamo che ∃ tX
X
m X ( t ) = E ⎡⎣ et (σ Z + µ ) ⎤⎦ = E ⎡⎣ e(tσ ) Z et µ ⎤⎦ = et µ E ⎡⎢ e(tσ ) z ⎤⎥ = et µ mZ ( tσ ) = et µ e
⎣
⎦
t′
mX = e
•
⎡ t 2σ 2
⎤
+t µ ⎥
⎢
⎢⎣ 2
⎦⎥
( t σ )2
2
=e
⎡ t 2σ 2
⎤
+t µ ⎥
⎢
⎢⎣ 2
⎦⎥
à . ⎧ t 2σ 12
⎫
⎧ t 2σ 2n
⎫
m X1 +...+ Xn = m X1 ( t ) ...m Xn ( t ) = exp ⎨
+ t µ1 ⎬ ...exp ⎨
+ t µn ⎬ =
⎩ 2
⎭
⎩ 2
⎭
⎧ 2 n
⎫
n
⎧ n ⎛ t 2σ 2k
⎞⎫
⎧t2
⎫
⎪t
⎪
2
2
exp ⎨∑ ⎜
+ t µ k ⎟ ⎬ = exp ⎨ ∑ σ k + t ∑ µ k ⎬ = exp ⎨ (σ ′ ) + t µ ′ ⎬
⎠ ⎪⎭
⎪⎩ k =1 ⎝ 2
k =1
⎩2
⎭
⎪ 2 k =1 2
⎪
µ'
(σ ′ )
⎩
⎭
n
⎛ n
⎞
⇒ X1 + ... + Xn ~ N ⎜ ∑ µ k , ∑ σ 2k ⎟ . ⎝ k =1
⎠
k =1
Ø Utilizzo: questo tipo di variabile aleatoria è molto importante e utilizzata grazie al teorema del limite centrale che tratterremo più avanti. µ Esponenziali: (
)
⎧λ e− λ x x > 0
. 0
altrimenti
⎩
Ø Def: X è esponenziale di parametro λ > 0 X ~ € ( λ ) se f X ( x ) = ⎨
x<0
⎧⎪0
Ø FX ( x ) = ∫ f X ( s ) ds = ⎨ x − λ s
. − λs x
−λx
−∞
x≥0
⎪⎩ ∫0 λ e ds = ⎡⎣ −e ⎤⎦ 0 = 1 − e
x
6 Modelli di Variabili Aleatorie Probabilità Mattia Natali Ø Funzione generatrice dei momenti: ( )= ∫
mX (t ) = E e
=
tX
+∞
−∞
e f X ( x ) dx =
tx
+∞
λ
( λ − t ) e− (λ −t ) x dx . ∫
0
λ
−
t
(
) 
∫
+∞
0
e λe
tx
−λx
+∞
ds = λ ∫ e
λ'

− ( λ −t ) x
0
dx con λ > t à =1
λ
mX (t ) =
. λ−t
1
− λ ( −1)
λ
à m ′X ( 0 ) = = E ( X ) . m 'X (t ) =
2 =
2
λ
(λ − t ) (λ − t )
2λ 2
− λ ( λ − t ) ( −1)
2λ
2
à m ′′X ( 0 ) = 3 = 2 = E ( X ) . m′′X ( t ) =
=
4
3
λ
λ
(λ − t )
(λ − t )
2
1
1
Var ( X ) = 2 − 2 = 2 . λ
λ
λ
§
§
§
§
Ø Assenza di memoria: § X ~ € ( λ ) ⇒ P ( X > t + s | X > t ) = P ( X > s ) . Dimostrazione: P ( X > t + s | X > t ) =
§
=
P ( X > t + s & X > t ) P ( X > t + s)
=
=
P(X > t)
P(X > t)
1 − FX ( t + s ) e− λ (t + s )
= − λt = e− λ s = P ( X > s ) , ricorda che 1 − FX ( t )
e
P ( X > z ) = e− λ x ⇒ FX ( x ) = 1 − e− λ x . ⎛ λ⎞
Ø cX ~ € ⎜ ⎟ . ⎝ c⎠
µ Variabili aleatorie di tipo Γ : ⎧ λ α α −1 − λ x
x e
⎪
Ø Definizione: X è Γ (α , λ ) se f X ( X ) = ⎨ Γ (α )
⎪0
⎩
x>0
. altrimenti
Ø Nota: Γ (α ) serve a far sì che la densità faccia uno in ( −∞, +∞ ) : ∫
+∞
−∞
f X ( x ) dx = 1 =
+∞
λ α +∞ α −1 − λ x
x e dx ⇒ Γ (α ) = λ α ∫ xα −1e− λ x dx facciamo il cambiamento ∫
0
Γ (α ) 0
di variabili y = λ x , dy = λ dx à λ
Ø
Γ (α ) :=
∫
+∞
0
∫
+∞
0
⎛ y⎞
⎜⎝ ⎟⎠
λ
∫
+∞
0
Osservazione: Γ (1, λ ) = € ( λ ) . §
Per mezzo dell’integrazione per parti:
+∞
∫
= ( a − 1) ∫
0
+∞
yα −1e− y dy = −e− y yα −1 0 + ∫
+∞
0
+∞
0
§
dy λ α
e
=
λ λα
−y
∫
+∞
0
yα −1e− y dy = Γ (α ) . e− x dx = 1 . §
Γ (α ) =
α −1
xα −1e− x dx . Ø Gamma di Eulero: Γ (1) =
α
(α − 1) y(α −1)−1e− y dy =
y(α −1) −1e− y dy = (α − 1) Γ (α − 1) à Γ (α ) = (α − 1) Γ (α − 1) . Γ ( n ) = ( n − 1) Γ ( n − 1) = ( n − 1) ( n − 2 ) Γ ( n − 2 ) ....Γ (1) = ( n − 1)! . 7 Modelli di Variabili Aleatorie Ø
Probabilità Mattia Natali X ~ Γ ( a, λ ) . Funzione generatrice dei momenti: §
λ α +∞ α −1 − λ x tx
λ α +∞ α −1 − ( λ −t ) x
λ α ( λ − t ) +∞ α −1 − ( λ −t )
x
e
e
dx
=
x
e
dx
=
x e
dx =
0
Γ (α ) ∫0
Γ (α ) ∫0
(α ) ∫
( λ − t )α Γ


α
( )
E etX =
=1
=
α
λ
. ( λ − t )α
α
§
⎛ λ ⎞
mX (t ) = ⎜
. ⎝ λ − t ⎟⎠
•
⎛ λ ⎞
m′X ( t ) = α ⎜
⎝ λ − t ⎟⎠
α −1
⎡ − λ ( −1) ⎤
α
αλ α
. ⎢
2 ⎥ =
α +1 à m ′X ( 0 ) =
λ
⎢⎣ ( λ − t ) ⎥⎦ ( λ − t )
αλ α (α + 1) ( λ − t ) (1)
α (α + 1)
• m ′′X ( t ) = −
à m ′′X ( 0 ) =
. 2α + 2
λ2
(λ − t )
α
§ E ( X ) = ; λ
α (α + 1)
§ E ( X 2 ) =
; λ2
α (α + 1) α 2 α
− 2 = 2 . § Var ( X ) =
λ2
λ
λ
Ø Proprietà: X ~ Γ (α , λ ) ,Y ~ Γ ( β , λ ) indipendenti ⇒ X + Y ~ Γ (α + β , λ ) . α
α
§
§
β
⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞
⎛ λ ⎞
=⎜
Dimostrazione: m X +Y ( t ) = m X ( t ) mY ( t ) = ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ λ −t⎠ ⎝ λ −t⎠
⎝ λ − t ⎟⎠
⇒ X + Y ~ Γ (α + β , λ ) . α +β
Utilità: • Capire X,Y ~ € ( λ ) indipendenti. X ~ € ( λ ) = Γ (1, λ )
à X + Y ~ Γ ( 2, λ ) . Y ~ € ( λ ) = Γ (1, λ )
♦ In generale: X1 ,..., X n ~ € ( λ ) à X1 + X 2 + ... + X n ~ Γ ( n, λ ) . ♦
µ Distribuzioni Chi-­‐quadro: Ø
⎛ n 1⎞
Z12 + ... + Z n2 ~ Γ ⎜ , ⎟ = χ 2 ( n ) chi-­‐quadro con n gradi di libertà. ⎝ 2 2⎠
§
§
§
⎛ n 1⎞
X ~ χ 2 ( n ) ⇔ X ~ Γ ⎜ , ⎟ . ⎝ 2 2⎠
n
E [ X ] = 2 = n . 1
2
n
Var ( X ) = 2 2 = 2n . ⎛ 1⎞
⎜⎝ ⎟⎠
2
8 Modelli di Variabili Aleatorie Probabilità n
x
−1 −
⎧1
1
2
2
x
e
⎪ n
⎪
⎛ n⎞
X ~ χ 2 ( n ) , f X ( x ) = ⎨ 2 2 Γ ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎪
⎪⎩0
X ~ χ 2 ( n ) ,Y ~ χ 2 ( m ) indipendenti à §
§
Mattia Natali x>0
. altrimenti
X + Y = X12 + ... + Xn2 + Y 12 + ... + Ym2 ⇒ X + Y ~ χ 2 ( n + m ) . Ø Se X è una chi-­‐quadro con n gradi di libertà e α è un reale compreso tra 0 e 1 , si definisce la 2
2
quantità χ α ,n tramite l’equazione seguente: P ( X ≥ χ α ,n ) = α . µ Distribuzioni t: Ø Se Z e Cn sono variabili aleatorie indipendenti, la prima normale standard e la seconda chi-­‐
quadro con n gradi di libertà, allora la variabile aleatoria Tn definita come Tn :=
Z
si dice Cn n
avere distribuzione t con n gradi di libertà à Tn ~ t n . Tale variabile aleatorie viene definita spesso t di Student. fT ( t ) =
§
⎛ n + 1⎞
Γ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎛
t ⎞
⎛ n⎞
Γ ⎜ ⎟ nπ ⎜ 1 + ⎟
⎝ 2⎠
n⎠
⎝
2
n +1
2
con t a n gradi di libertà. E [Tn ] = 0 con n ≥ 2 . n
§ Var (Tn ) =
con n ≥ 3 . n−2
Ø Se Tn ~ tα ,n con α ∈( 0,1) à P (Tn ≥ tα ,n ) = α . §
§
T è simmetrica à P (Tn ≥ −tα ,n ) = 1 − α . µ Teoremi e Teorie: Ø Teoria dell’affidabilità: § T = istante di rottura. T > t ⇔ all’istante t il sistema funziona. § P (T > t ) = 1 − FT ( t ) = funzione di sopravvivenza. §
§
fT ( t )
. 1 − FT ( t )
P (T ∈(t,t + dt] & T > t ) P (T ∈(t,t + dt])
f ( t ) dt
P (T ∈(t,t + dt] | T > t ) =
=
 T
= λT ( t ) dt
P (T > t )
1 − FT ( t )
1 − FT ( t )
Def: intensità di rischio o tasso di guasto. λT ( t ) :=
§
§
T > 0 λT ( t ) ⇒ fT ( t ) è nota. f (t )
d
λT ( t ) := T
= − ln (1 − FT ( t )) integrando il tutto à 1 − FT ( t )
dt
t
t d
λ
s
ds
=
−
(
)
T
∫0
∫0 ds ln (1 − FT ( s )) ds = − ⎡⎣ ln (1 − FT (t )) − ln (1 − FT ( 0 ))⎤⎦ , 9 Modelli di Variabili Aleatorie ∫
t
0
Probabilità Mattia Natali = 0 
t



− λT ( s ) ds
. λT ( s ) ds = ln (1 − FT ( 0 )) − ln (1 − FT ( t )) ⇒ 1 − FT ( t ) = e ∫0
{
}
FT ( t ) = 1 − exp − ∫ λT ( s ) ds . Ricorda che: fT ( t ) = −
§
§
t
0
{
λT ( t ) = λ ⇔ T ~ € ( λ ) à FT ( t ) = 1 − exp − ∫ λ ds = 1 − e− λt . t
0
λT ⇒ P (T > t + s | T > s ) ≤ P (T < t ) , (  significa non decrescente). P (T > t + s & T > s ) P (T > t + s ) 1 − FT ( t + s )
• P (T > t + s | T > s ) =
=
=
=
P (T > s )
P (T > s )
1 − FT ( s )
{ λ (u ) du} = exp {− ( ∫
=
exp {− ∫ λ ( u ) du}
exp − ∫
t+s
T
0
s
0
•
•
t+s
0
λT ( u ) du − ∫ λT ( u ) du
s
0
T
§
}
d
(1 − FT (t )) . dt
{
)} = exp {− ( ∫
t+s
s
λT ( u ) du
)}
}
P (T > t ) = 1 − FT ( t ) = exp − ∫ λT ( u ) du . t
0
Facendo i grafici vediamo che P (T > t + s | T > s ) ≤ P (T < t ) effettivamente è vera. T è Weibull ⇔ λT ( t ) = αβ t β −1 . Ø Teorema del limite centrale: § X1 , X 2 ,... variabili aleatorie indipendenti, tutte con la stessa formula di ripartizione, E ( X1 ) = E ( X2 ) = ... = µ , Var ( X1 ) = Var ( X2 ) = ... = σ 2 . §
1 n
∑ Xk = Xn media campionaria. n k =1
•
E ( Xn ) = µ . •
Var ( Xn ) =
•
σ2
. n
P Xn − µ > ε → 0 (legge dei grandi numeri). (
)
n→∞
§
σ2
σ
• Var ( X n − µ ) = Var ( X n ) =
. X n  µ ± k Var ( X n ) = µ ±
. n
n
σ
Xn − µ 
. n
Teorema limite centrale: X1 , X 2 ,.. variabili aleatorie indipendenti con la stessa formula di X −µ
2
n . ripartizione E ( X1 ) = E ( X 2 ) = ... = µ , Var ( X1 ) = Var ( X 2 ) = ... = σ ⇒ n
σ
2
z
⎛ Xn − µ
⎞
1 − u2
lim P ⎜
n ≤ z⎟ = Φ ( z ) = ∫
e du . −∞
n→+∞
⎝ σ
⎠
2π
§
Zn =
§
⎛ σ2 ⎞
Xn − µ
Zσ
n ≈ N ( 0,1) . Xn = n + µ , Xn ≈ N ⎜ µ, ⎟ . σ
⎝ n ⎠
n
n 1
10 Modelli di Variabili Aleatorie §
Probabilità Mattia Natali n
1 n
⎛ n
⎞
⎛ Z nσ
⎞
+ µ ⎟ = σ nZ n + nµ à E ⎜ ∑ X k ⎟ = nµ , nXn = n ∑ X k = ∑ X k à n ⎜




⎝ n
⎠
⎝ k =1 ⎠
n k =1
k =1
≈ N ( 0,1)
⎛ n
⎞
Var ⎜ ∑ X k ⎟ = nσ 2 . ⎝ k =1 ⎠
11