Lezione 11
Teorema di Ampere e Induzione
elettromagnetica
www.univ-lemans.fr/enseignements/physique
Coppia di bobine coassiali
LEMANS\bobines.htm
1, 2, 4 Bobine
LEMANS\helmoltz.htm
Campo di n spire
• LEMANS\solenoid.htm
Effetto dell’induzione magnetica su una spira vincolata
Per una spira circolare di raggio r=10 cm, percorsa da una corrente
di 15 A (senso orario), in un campo di induzione magnetica B=1kG;
La direzione di B è parallela al piano della spira.
Sia A1A2 il diametro della spira ortogonale a B. Calcolare:
1) Il modulo della risultante delle forze magnetiche sulla metà della
spira avente come estremi A1A2.
y
A1
I = 15 A
dF = Idl × B =
r
φ
= IrBdφ (cos φ u x − sin φ u y ) × u x =
= IrBdφ sin φu z
F = IrBu z
π
0
x
B = Bu x
dφ sin φ = 2 IrBu z
= 3 ⋅10 −1 Nu z
z
A2
Spira circolare II
Sulla restante metà della spira agisce una forza di
uguale modulo e segno opposto
2) Il momento assiale rispetto alla retta A1A2 delle forze agenti
sull’intera spira.
dM = d × dF =
y
A1
= R sin φ u x × IBR sin φ dφ u z =
= − IBR 2 sin 2 φ dφ u y
φ
d
Senso di rotazione orario
2
M = −2 IBR u y
π
0
2
I = 15 A
R
B = Bu x
2
sin φ dφ = −πIBR u y
A2
x
= −47 ⋅10 −2 Nm u y
Compito del 12 gennaio 2004
•
Una spira circolare di raggio R=10 cm, percorsa da una corrente continua di intensità 1.5 A, si trova in un campo
magnetico uniforme di induzione |B|=1 kG, diretto parallelamente al piano della spira. Sia A1A2 il diametro della
spira perpendicolare a B. Quanto vale la risultante delle forze magnetiche agenti su una metà della spira avente i
punti A1 e A2 come estremi?
z
B
A2
i
y
A1
La circuitazione di B
µ0 i
B ( R, φ , z ) =
iφ
2π R
y
R
i
uφ
φ
µ0 i
uφ ⋅ Rdφ uφ =
B ⋅ dl =
2π R
µ0
=
idφ
2π
x
µ 0 2π
i dφ = µ 0i
B ⋅ dl =
2π 0
Teorema di Ampere (nel vuoto)
z
C
I1 −I2
I3 I4
C
La costante di proporzionalità
B ⋅ dl = µ 0 ( I 1 − I 2 + I 3 + I 4 )
La circuitazione dell’induzione
magnetica B intorno a una linea
chiusa C dotata di verso positivo
è proporzionale alle correnti
concatenate a C
µ 0 = 4π ⋅10 −7
(T m A )
-1
Legge di Biot -Savart
B ⋅ dl = µ0i =
y
R
i
uφ
φ
C
= 2πRBφ
x
µ0i
Bφ =
2πR
Teorema di Ampere (nel vuoto)
C
B ⋅ dl = µ 0
k
Ik
Campo magnetico in un solenoide cilindrico
All’interno del solenoide, per qualunque sezione, l’induzione magnetica
B è parallela alla generatrice del cilindro, all’esterno B=0
x
B
z
y
C3
C4
C2
C1
B ⋅ dl = B ⋅
C
C3
C
dl = Bl = µ 0 NI
B = µ0 ( N / l )I
n è il numero di spire per unità di lunghezza
B = µ 0 nI
x
Sezione tre spire affiancate
z
Tre spire affiancate
x
z
Teorema di Ampere in forma differenziale:
B ⋅ dl =
∂S
S
S
∇ × B ⋅ n dS = µ 0
j ⋅ n dS
S
(∇ × B − µ 0 j)⋅ n dS = 0
Vera per ogni S, solo se:
N.B. STAZIONARIETA’
∇ × B = µ0 j
Si calcoli la autoinduttanza di un solenoide di lunghezza 10 cm, di raggio 1 cm,
formato da 10 spire/mm, e avvolto in un materiale ferromagnetico di permeabilità
relativa µr=1000
Esercizio - Un topografo sta usando una bussola 6.3 m sotto a un cavo
attraverso cui scorre una corrente stazionaria i=120 A. La lettura della
bussola sarà affidabile? (in quel punto la componente orizzontale
dell’induzione magnetica terrestre B = 21 µT) [Pavan-Sartori: Problemi
di Fisica, CEA]
L’induzione Bc dovuta al cavo vale
T
µ 0i
= 3.8 µT
Bc =
2πR
Se il filo è disposto in direzione N-S:
ϑ = tan
−1
(Bc / BT ) = 10.28°
y
N
Bc
α
le
e
a
e
n
Li
B
ϑ
BT
a
c
i
ttr
B = (BT + BC cos α ) u y − BC sin α u x
tan ϑ =
S
x
− BC sin α
− BC sin α
=
BT + BC cos α BT + BC cos α
Esercizio - Due fili rettilinei, sono percorsi da due correnti uguali
pari a 1 A e disposti come mostrato. Si calcoli il momento M
rispetto all’asse z, delle forze agenti su un tratto del secondo
conduttore di lunghezza 2b e disposto simmetricamente rispetto a
tale asse
y
A
b
b
z
O
ϑ
iϑ
b
P
µ0
B1 =
i1iϑ
2πr
x
iϑ = cosϑ i x + sin ϑ i y
Esercizio -2
µ0
dF = i2 dl × B1 =
i1i2 dl × (cosϑ i x + sin ϑ i y )
2πr
µ0
=
i1i2 dx i x × (cosϑ i x + sin ϑ i y ) =
2πr
µ0
=
i1i2 dx sin ϑ i z
2πr
x = b tan ϑ
r = b / cos ϑ
dx = b / cos 2 ϑ dϑ
µ0
µ0
b / cos 2 ϑ dϑ
i1i2 tan ϑ dϑ
dF = i z
i1i2 sin ϑ
= iz
2π
2π
b / cos ϑ
Esercizio –3
µ0
dM = xi x × dF = −i y (b tan ϑ ) i1i2 tan ϑ dϑ
2π
µ0
M = −i y b
i1i2
2π
π /4
−π / 4
tan 2 ϑ dϑ =
µ0
M = −i y b
i1i2 (2 − π / 2)
2π
