2a Esercitazione: soluzioni
Monica Bonacina ([email protected])
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2010-2011
Premessa. Con riferimento alle esercitazioni sul consumo intertemporale, è
convenzione misurare sull’asse orizzontale (in ascissa) il consumo oggi (o nel primo
periodo) e sull’asse verticale (in ordinata) il consmo domani (o nel secondo periodo).
Per quanto attiene il modello di scelta consumo-tempo libero, è convenzione misurare
in ascissa il consumo di tempo libero e in ordinata il consmo di altri beni.
De…nizioni. Si de…niscano sinteticamente i termini anche con l’ausilio, qualora
necessario, di formule e gra…ci.
Def. 1. Elasticità incrociata.
Soluzioni. L’elasticità incrociata misura la variazione percentuale della quantità
domandata di un bene (ad esempio il bene X) conseguente ad un aumento di un punto
percentuale del prezzo di un altro bene (ad esempio il bene Y).
Def. 2. Bene inferiore (e di Gi¤en).
Soluzioni. Un bene inferiore è un bene il cui consumo diminuisce all’aumentare
del reddito. I beni di Gi¤ en sono un caso particolare di bene inferiore con curva di
domanda inclinata positivamente.
Def. 3. Vincolo di bilancio intertemporale.
Soluzioni. Il vincolo di bilancio intertemporale può essere espresso sia in valore
attuale che in termini futuri. In valore attuale stabilisce l’uguaglianza fra il valore attuale della spesa per beni di consumo ed il valore attuale dei redditi che il consumatore
guadagna nell’arco di tempo considerato:
1
1+i C1
+ C0 =
1
1+i M1
+ M0
dove C0 è il consumo nel periodo presente, C1 quello nel consumo futuro, M0 è il
reddito guadagnato nel periodo presente, M1 quello nel periodo futuro ed i il tasso di
interesse. Similmente il vincolo di bilancio intertemporale espresso in termini futuri
stabilisce l’uguaglianza fra il valore futuro della spesa per beni di consumo ed il valore
futuro dei redditi del consumatore nell’arco di tempo considerato:
C1 + (1 + i) C0 = M1 + (1 + i) M0
Def. 4. Costo opportunità di un’ora di tempo libero.
Soluzioni. Il costo opportunità di un’ora di tempo libero è il salario.
1
Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche gra…ca se opportuno) e si argomenti compiutamente la
risposta.
Vero/Falso 1. Se la funzione di domanda di un bene è perfettamente anelastica,
signi…ca che esiste un perfetto sostituto di quel bene.
Soluzioni. FALSO. Una curva di domanda perfettamente anelastica (= elasticità nulla) è rappresentata attraverso una retta verticale. In questo caso il consumatore non è disposto a rinunciare all’acquisto qualunque sia il prezzo al quale il bene
è venduto (la quantità domandata del bene non cambia al variare del prezzo). Se il
consumatore non varia la quantità domandata del bene quando varia il suo prezzo,
vuol dire che non esistono sostituti del bene.
Vero/Falso 2. Se il bene X è un bene inferiore, una diminuzione della pressione
…scale (ovvero una riduzione delle tasse sul reddito) non servirà a stimolarne la domanda.
Soluzioni. VERO. La diminuzione della tassa sul reddito genera un incremento
del reddito disponibile per acquisto di beni di consumo (il consumatore diventa relativamente più ricco). Nel caso di beni inferiori, all’aumentare del reddito diminuisce
la domanda. Quindi, il provvedimento non stimola la domanda del bene, anzi ne
produce una riduzione.
Vero/Falso 3. Se l’elasticità dei cioccolatini rispetto al reddito è pari a 3 e il
reddito si riduce del 10% allora la quantità domandata di cioccolatini deve crescere
del 30%.
Soluzioni. FALSO. L’elasticità dei cioccolatini (bene X) rispetto al reddito (M)
misura la variazione percentuale della quantità domandata di cioccolatini conseguente
ad una variazione percentuale del reddito. Formalmente
"reddito =
X=X
M=M
Il reddito si riduce del 10% ( M=M = 10%), quindi se l’elasticità è pari a 3 la
quantità domandata diminuirà del 30% ( X=X = 30%).
Vero/Falso 4. Nello scegliere come allocare il tempo disponibile tra tempo libero
e tempo dedicato al lavoro, un individuo razionale deciderà sempre di lavorare di più
in seguito ad un aumento del salario.
Soluzioni. INCERTO. Se il consumatore riceve un salario orario più elevato
potrebbe anche decidere di lavorare meno ore perchè può guadagnare lo stesso reddito
(e dunque permettersi lo stesso consumo) raggiunto in precedenza impegnando meno
ore. (Spiegazione aggiuntiva) Indichiamo con L il numero di ore destinate ad attività
lavorativa, con T quelle dedicate al tempo libero (T+L = tempo totale a disposizione
del consumatore), con Y il generico paniere dei beni di consumo acquistabile dal
nostro consumatore, con p il prezzo di tale paniere e con w il salario orario percepito
2
dal consumatore.
In rosso tratteggiato il VdB al salario w, in rosso continuo
il VdB con il salario w’
, w’
>w
In verde tratteggiato la CdI al salario w,
in verde continuo la CdI con il salario w’
Y
w’
L/p
Ottimo finale
In rosso tratteggiato il VdB al salario w, in rosso continuo
il VdB con il salario w’
, w’
>w
In verde tratteggiato la CdI al salario w,
in verde continuo la CdI con il salario w’
Y
w’
L/p
Se aumenta il reddito decido di
lavorare di più (T*↓)
Se aumenta il reddito decido di
lavorare meno (T*↑)
wL/p
wL/p
Ottimo finale
Ottimo iniziale
T** T*
tempo totale
Ottimo iniziale
T* T**
T
tempo totale
T
Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi.
Esercizio 1. Gustavo spende tutto il suo reddito settimanale per acquistare caramelle
(bene X) e cioccolatini (bene Y). Il suo reddito settimanale è pari a M ed i prezzi
dei due beni sono rispettivamente pari a px e py . La funzione di utilità di Gustavo
è: U (X; Y ) = X a Y b . (1) Derivate analiticamente e rappresentate in un opportuno
gra…co il paniere ottimo di Gustavo supponendo che px = 4, py = 4 e M = 80. (2)
Per un generico valore del reddito (M) e dei prezzi dei due beni ( px e py ), scrivete
la curva di domanda di Gustavo per il bene X. (3) De…nite il concetto di elasticità
della domanda di un bene rispetto al prezzo e calcolate l’elasticità della domanda di
caramelle rispetto al proprio prezzo e rispetto al prezzo del bene Y. Discutete i risultati ottenuti. (4) Se il prezzo del bene Y aumentasse dell’1%, di quanto varierebbe il
consumo di caramelle? Argomentate.
Soluzioni. (1) Il vincolo di bilancio di Gustavo è
px X + p y Y = M ! Y =
M
py
px
py X
! Y = 20
X
ed il paniere ottimo di Gustavo si ottiene risolvendo il seguente sistema
vincolo di bilancio
condizione di tangenza CdI e VdB
(1)
La pendenza del vincolo di bilancio (in valore assoluto) è px =py = 4=4 = 1 mentre la
pendenza della curva di indi¤ erenza (in valore assoluto) è pari al saggio marginale
di sostituzione dove
Ux
aY
M RS = M
M Uy = b X
in quanto
M Ux =
@U (X;Y )
@X
= aX a
1
Y b e M Uy =
@U (X;Y )
@Y
= bX a Y b
Quindi sostituendo
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
3
Y = 20
aY
b X =
X
px
py
1
da cui
b
a+b 20
a
a+b 20
Y =
X =
e gra…camente
Y
M/py
Paniere ottimo
Y*
Curva di indifferenza
Vincolo di bilancio
X*
M/px
X
(2) Se la funzione di utilità è di tipo Cobb-Douglas, la curva di domanda per il
bene X si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello nell’eq. (1) ottenuto per
valori generici di reddito e prezzi dei beni. Formalmente
(
px
Y = pMy
vincolo di bilancio
py X
!
px
aY
condizione di tangenza CdI e VdB
=
b X
py
sostituendo poi il valore di Y (ovvero del bene di cui NON vogliamo calcolare la
curva di domanda) ottenuto dal vincolo di bilancio ( Y = (M=py ) (px =py )X) nella
condizione di tangenza tra vincolo di bilancio e curva di indi¤ erenza otteniamo
aY
b X
=
px
py
!
a (M=py ) (px =py )X
b
X
=
px
py
!X =
a M
a+b px
che è esattamente la domanda del bene X. Notate che la domanda di Gustavo per
bene X dipende dalle preferenze di Gustavo (attraverso i parametri a e b), dal reddito
e dal prezzo del bene X (ma non dal prezzo del bene Y).
(3) L’elasticità della domanda di un bene al proprio prezzo è de…nita come la
variazione percentuale della quantità domandata del bene rispetto ad una variazione
di prezzo dell’1%:
"=
X
X
px
px
'
@X px
@px X
dove ( @X=@px ) è la pendenza della curva di domanda. Stante la forma della curva
di domanda di X abbiamo che
"=
@X px
@px X
=
a M px
a+b p2x X
ricordando poi che X=[a/(a+b)]M/p x e sostituendo otteniamo
"=
a M px
a+b p2x X
a M
a+b p2x
=
px
a M
a+b px
=
1
In seguito ad un aumento di un punto percentuale del prezzo del bene X si veri…ca
una contrazione di un punto percentuale della quantità di bene X domandata.
L’elasticità incrociata di X rispetto a p y misura la variazione percentuale della
quantità domandata di bene X conseguente ad un aumento di un punto percentuale
del prezzo di Y.
@X py
"incro ciata = @p
y X
4
Dal momento che la domanda di bene X non dipende dal prezzo del bene Y, l’elasticità
incrociata sarà pari a zero: qualunque variazione nel prezzo di Y non comporta alterazioni nel consumo di X.
(4) Se il prezzo del bene Y aumentasse dell’1%, il consumo di caramelle non
subirebbe variazioni. L’aumento del prezzo provocherebbe una rotazione verso l’interno
del vincolo di bilancio (con perno in corrispondenza dell’intercetta orizzontale). Il
consumo di bene Y si ridurrebbe (dato che il bene Y diventa più costoso il consumatore decide di acquistarne meno unità) mentre non varia il consumo ottimo di bene
X.
Cosa accade al paniere ottimo
quando py↑
Y
M/py
Nuova e vecchia (tratteggiata)
curva di indifferenza
Nuovo paniere ottimo
Y*
Y**
Nuovo e vecchio (tratteggiato)
vincolo di bilanci
X*
M/px
X
Esercizio 2. Le vacanze estive si avvicinano e Marcella deve decidere come ripartire
il suo reddito tra costumi da bagno (bene X) e riviste di enigmistica (bene Y). La
funzione di utilità di Marcella è U (X; Y ) = min faX; bY g. Usate M per indicare il
reddito detenuto da Marcella, px per il prezzo del bene X e py per il prezzo del bene
Y. (1) Derivate analiticamente e rappresentate in un opportuno gra…co il paniere
ottimo di Marcella supponendo che px = 1, py = 2 e M = 10. (2) Derivate la
curva di domanda di Marcella per il bene X. (3) De…nite il concetto di elasticità della
domanda di un bene rispetto al reddito e calcolate l’elasticità della domanda di bene
X rispetto al reddito M. Sulla base del risultato ottenuto dite se il bene X è un bene
inferiore.
Soluzioni. (1) Costumi da bagno e riviste di enigmistica sono per Marcella
complementi perfetti. Le preferenze di Marcella hanno la caratteristica forma ad "L"
ed il vertice è collocato lungo la retta
bY = aX da cui Y = ab X
quindi
Y
Retta dei vertici: Y=(a/b)X
U3
U1
U2
X
5
Il vincolo di bilancio di Marcella è
px X + py Y = M da cui Y =
px
py X
M
py
!Y = 5
1
2X
Il paniere ottimo si ottiene risolvendo il sistema sottostante
Y = 5 21 X
Y = ab X
vincolo di bilancio
)
retta dei vertici
(2)
procedendo con le opportune sostituzioni
Y =
X =
10a
2a+b
10b
2a+b
Y
Retta dei vertici
M/py
Paniere ottimo
Y*
Curva di indifferenza
Vincolo di bilancio
X*
M/px
X
(2) Nel caso di beni perfetti complementi, la curva di domanda di bene X si ottiene
risolvendo un sistema analogo a quello nell’eq. (2) ottenuto per valori generici di
reddito e prezzi dei beni. Formalmente
vincolo di bilancio
)
retta dei vertici
px
Y = pMy
py X
a
Y = bX
sostituendo poi il valore di Y (ovvero del bene di cui NON vogliamo calcolare la curva
di domanda) ottenuto dal vincolo di bilancio ( Y = (M=py ) (px =py )X) nella retta
dei vertici
aX = bY ! aX = b [(M=py )
(px =py )X] ! X =
b
apy +bpx M
(3)
Notate che la domanda di Marcella per bene X dipende dalle preferenze di Marcella
(attraverso i parametri a e b), dal reddito, dal prezzo del bene X e dal prezzo del bene
Y.
(3) L’elasticità della domanda di un bene al reddito è misurata dal rapporto tra
la variazione percentuale della quantità domandata e la variazione percentuale del
reddito:
"reddito =
X
X
M
M
'
@X M
@M X
=
b
M
apy +bpx X
da cui, sostituendo il valore di X trovato nella (3)
"reddito =
b
M
apy +bpx X
=
b
apy +bpx
M
b
apy +bpx
M
=1
Ad una variazione in aumento del reddito dell’1% segue un aumento della domanda
di bene X dell’1%. Dato che la relazione reddito-consumo è positiva ( "reddito > 0),
possiamo concludere che il bene X è per Marcella un bene normale.
6
Esercizio 3. Il signor Rossi ha a disposizione 24 ore, che può fruire come tempo
libero oppure impiegare per lavorare onde ottenere un reddito per consumare altri
beni. Le preferenze di Rossi relativamente alle ore di tempo libero (T, misurato in
ascissa) e altri beni (Y, misurati in ordinata) sono descritte dalle seguente funzione:
U (T; Y ) = T 0:6 Y 0:6 . Il prezzo degli altri beni è p = 1C
=, mentre il salario orario
è pari a w = 9C
=. (1) Calcolate e fornite una rappresentazione gra…ca del paniere
ottimo scelto da Rossi speci…cando pendenza ed intercette del vincolo di bilancio.
Stante la forma della funzione di utilità, discutete della relazione che sussiste tra i
beni considerati. (2) Supponete che il salario orario raddoppi (w0 = 18C
=). Discutete
le conseguenze di tale aumento sulla decisione ottima di Rossi. In particolare: quanto
lavorava prima e quanto lavora adesso? (3) Supponete che la funzione di utilità di
Rossi sia U (T; Y ) = T 0:8 Y 0:4 . Senza fare calcoli, argomentate come varierebbe la
scelta ottima di Rossi rispetto a quanto trovato al punto 1, a parità di prezzi e di
salario (p = 1C
= e w = 9C
=).
Soluzioni. (1) Si tratta di un problema da a¤ rontare con gli strumenti standard
della teoria del consumatore: i due beni oggetto di consumo sono il tempo libero (T)
ed il paniere contenente tutti gli altri beni di consumo Y; le preferenze di Rossi sono
di tipo Cobb-Douglas, per cui le curve di indi¤ erenza sono decrescenti e convesse.
Dato che Rossi ha a disposizione 24 ore e che T indica il numero di ore destinate a
tempo libero,
L = 24 T
indica le ore destinate ad attività lavorativa. Il vincolo di bilancio di Rossi è ottenuto
come segue:
pY = wL
la spesa in beni di consumo deve eguagliare il reddito a disposizione. Ricordando poi
che L=24-T si ottiene
pY = w(24
T) ! Y =
w
p (24
T ) ! Y = 216
9T
Se Rossi gode internamente delle sue 24 ore nella forma di tempo libero, cioè non
lavora, non ottiene alcun reddito e dunque non consuma alcuna quantità degli altri
beni: l’intercetta orizzontale è dunque il punto (24;0). Se Rossi lavorasse tutto il
giorno, 24 ore, (cioè non fruisse di alcuna ora di tempo libero), guadagnerebbe un
reddito pari a 9 24 = 216; dunque l’intercetta verticale è (0;216). In…ne la pendenza
del vincolo di bilancio, in valore assoluto, è w/p=9. Data la funzione di utilità, si
deduce che il saggio marginale di sostituzione è
M RS =
M UT
M UY
=
0:6(T 0:6 1 Y 0:6 )
0:6(T 0:6 Y 0:6 1 )
=
0:6(T 0:4 Y 0:6 )
0:6(T 0:6 Y 0:4 )
=
0:6Y 0:6+0:4
0:6T 0:6+0:4
=
Y
T
ed è quindi crescente in Y e decrescente in T. Ne deduciamo che il consumatore
manifesta una preferenza per la varietà ovvero che il paniere ottimo di Rossi si caratterizzerà per la presenza sia di bene T che di beni Y. I beni non sono né perfetti
sostituti né perfetti complementi. Il paniere ottimo si ottiene risolvendo il sistema
costituito dal vincolo di bilancio e dalla condizione di tangenza fra vincolo e curva di
indi¤ erenza. Formalmente
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
7
Y = 216 9T
!
Y
w
T = p
Y = 216 9T
Y = 9T
da cui T*=12 ed Y*=108.
Y
24w/p
Paniere ottimo
Y*
Curva di indifferenza
9
T*
Vincolo di bilancio
24
T
(2) L’aumento del salario incide certamente sul vincolo di bilancio. Non si modi…ca l’intercetta orizzontale (se non lavoro, cioè T=24, non consumo altri beni comunque), ma cambiano pendenza (w’/p=18) ed intercetta verticale (T=0; Y=432).
Il nuovo vincolo di bilancio è
pY = w0 (24
T) ! Y =
w0
p (24
T ) ! Y = 432
18T
Il paniere ottimo si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello precedente ma con
il nuovo vincolo e la nuova pndenza del vincolo di bilancio. Formalmente
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
Y = 432
Y
T =
18T
w0
p
!
Y
T
= 216
= 12
La scelta ottima di tempo libero di Rossi non muta, ma avendo un maggiore reddito
il consumatore può permetersi più elevati livelli di consumo. Rossi consuma 12 ore
di tempo libero, cioè lavora 24 – 12 = 12 ore, sia prima sia dopo il raddoppio del
salario.
(3) In questa nuova funzione di utilità l’esponente del tempo libero è maggiore a
quello degli altri beni (in particolare il primo è il doppio del secondo), indicando che
il contributo del tempo libero alla soddisfazione di Rossi è maggiore di quello degli
altri beni. Il tempo libero è ora per Rossi relativamente più prezioso degli altri ben;
ci aspettiamo quindi che Rossi ora scelga di consumare più tempo libero - a parità di
prezzo degli altri beni e di salario - e meno bene Y.
Esercizio 4. Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra…ci.
Un individuo dispone di 24 ore di tempo libero, di cui può godere oppure a cui
può rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito ottenuto
può comprare un bene il cui prezzo è p. Per il nostro individuo tempo libero e
bene di consumo sono complementi perfetti. (1) Rappresentate il vincolo di bilancio
del’individuo, esplicitandone inclinazione e intercette. (2) Rappresentate alcune curve
di indi¤erenza dell’individuo, spiegando il perché di quella forma. Individuate la
scelta ottima dell’individuo. (3) Supponete che il prezzo del bene di consumo aumenti
passando da p a p0 > p. Come si modi…ca la scelta ottima dell’individuo?
Soluzioni. (1) Il vincolo di bilancio del nostro individuo è costituito da tutte le
combinazioni dei bue beni (tempo libero e consumo) che egli si può permettere tenendo
conto della sua dotazione di tempo (24 ore), del salario orario (w) e del prezzo del
bene Y (p). Il vincolo di bilancio è
pY = w(24
T) ! Y =
8
w
p (24
T)
e si caratterizza per una pendenza (in valore assoluto) pari a w/p, un’intercetta orizzontale T=24 ed una verticale Y=24w/p. Gra…camente
Y
24w/p
w/p Vincolo di bilancio
24
T
(2) Se i beni sono complementi perfetti, l’utilità dell’individuo non aumenta se
viene aumentata la quantità di uno solo dei due beni. L’usuale forma della funzione
di utilità per questo caso è U (T; Y ) = min faT; bY g dove T è la quantità di tempo
libero, Y quella di bene di consumo, ed a,b sono parametri non negativi. Gra…camente
si tratta di curve di indi¤ erenza dalla tipica forma a "L" il cui vertice giace lungo la
retta
aT = bY ! Y = ab T ;
(4)
infatti partendo da una combinazione appartenente alla retta dei vertici ed aumentando la disponibilità di uno solo dei due beni non modi…chiamo la soddisfazione
del consumatore: ciò signi…ca che il tratto orizzontale a destra di, e quello verticale
sopra, ciascuno di questi punti costituiscono la curva di indi¤ erenza relativa a quel
punto. In altri termini, ogni curva di indi¤ erenza è un angolo retto che ha vertice in
uno dei punti appartenenti alla retta in (4). La scelta ottima dell’individuo si trova
nel punto di intersezione tra vincolo di bilancio e retta dei vertici:
Retta dei vertici
Y
a/b
24w/p
Paniere ottimo
Y*
Curva di indifferenza
w/p Vincolo di bilancio
T*
24
T
(3) Se il prezzo del bene Y aumenta, il vincolo di bilancio ruota verso l’interno
facendo perno in corrispondenza dell’intercetta orizzontale. L’intercetta orizzontale
non si modi…ca, perché non dipende dal prezzo del bene Y mentre l’intercetta verticale
9
diminuisce
Vincolo di bilancio nuovo
(segmento continuo) e vecchio
(tratteggiato)
Y
24w/p
24w/p’
w/p
24
T
La nuova scelta ottima si caratterizza per un livello di consumo e tempo libero inferiori
a quelle iniziali.
Retta dei vertici
Y
a/b
24w/p
Vecchio paniere ottimo
Y*
Curva di indifferenza
nuovo paniere ottimo
Y**
w/p Vincolo di bilancio
T** T*
24
T
Esercizio 5. Luca …rma un contratto di lavoro per due anni. Il contratto prevede
una retribuzione di 1000C
= il primo anno (M1 = 1000) e di 1100C
= il secondo anno
(M2 = 1100). Luca può prendere e dare a prestito ad un tasso d’interesse di mercato
pari al 10% (r = 10%). Indichiamo con C1 il consumo presente e con C2 il consumo
futuro (i prezzi dei beni di consumo sono costanti e uguali ad 1). (1) Scrivete il
vincolo di bilancio intertemporale di Luca e rappresentatelo in un opportuno gra…co
indicando chiaramente le intercette, la pendenza ed il paniere delle dotazioni iniziali.
(2) Le preferenze di Luca sono espresse dalla seguente funzione di utilità intertemporale: U (C1 ; C2 ) = min f1; 1 C1 ; C2 g. Determinate i livelli ottimali di consumo
nei due periodi e dite se Luca è risparmiatore o mutuatario. (3) Ipotizzate che il
tasso d’interesse aumenti e che il nuovo tasso sia pari al 20% (r0 = 20%). Attraverso
un opportuno gra…co discutete l’e¤etto di tale aumento sulla scelta ottima di Luca e
sulla sua decisione di prendere o dare a prestito.
Soluzioni. (1) Per calcolare il vincolo di bilancio intertemporale di Luca è necessario riportare tutte le variabili (reddito e consumo) alla stessa data. Il valore attuale
dei redditi [PV(M)] di Luca è
1
P V (M ) = M1 + M2 1+r
10
e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] di Luca è
1
1
= C1 + C2 1+r
P V (C) = p1 C1 + p2 C2 1+r
essendo p 1 = p2 = 1; dunque il vincolo di bilancio intertemporale del nostro consumatore (espresso in valore attuale) è
1
1
P V (M ) = P V (C) ! M1 + M2 1+r
= C1 + C2 1+r
da cui
C2 =
(1 + r) C1 + M1 (1 + r) + M2 ! C2 =
1; 1C1 + 2200
La pendenza del vincolo di bilancio di Luca è, in valore assoluto Gra…camente
C2
M2+M1(1+r)
M2
C2
Dotazioni
iniziali
D
M1
Dotazioni
iniziali
2200
1100
M1+M2/(1+r)
D
1000
C1
2000
C1
(2) Le preferenze di Luca indicano che consumo presente e consumo futuro sono
perfetti complementi (curve di indi¤ erenza ad "L"); quindi il paniere ottimo per il
consumatore si collocherà all’intersezione tra vincolo di bilancio (VdB) intertemporale e retta dei vertici (RdV). Formalmente
V dB
)
RdV
C2 = 1; 1C1 + 2200
)
1; 1 C1 = C2
2; 2C1 = 2200
)
1; 1 C1 = C2
C1 = 1000
C2 = 1100
Gra…camente
Retta dei vertici
C2 = 1,1 C1
C2
2200
Paniere ottimo
D
1100
1000
2000
C1
Dal momento che il paniere ottimo del nostro consumatore coincide con il paniere
delle sue dotazioni, ne consegue che Luca non è nè risparmiatore nè mutuatario
infatti il isparmio (S) di Luca nel primo periodo è
S = M1
C1 = 1000
11
1000 = 0
Quanto sopra si veri…ca in quanto il paniere delle dotazioni appartiene alla retta dei
vertici.
(3) Il tasso di interesse raddoppia (aumentano gli interessi che un mutuatario
deve versare per debito contratto, e che un risparmiatore ottiene per l’investimento
e¤ ettuato), dunque prendere a prestito diventa meno vantaggioso. Ma Luca non è
nè mutuatario nè risparmiatore, per lui i consumi nei due periodi sono beni perfettamente complementari, ed il paniere ottimo inizialmente scelto è ancora raggiungibile;
quindi ci aspettiamo che non modi…chi la sua scelta di consumo. Ma proviamolo
formalmente. Il vincolo di bilancio intertemporale (in valori attuali) diventa
1
1
M1 + M2 1+r
0 = C1 + C2 1+r 0 ! C2 =
(1 + r0 ) C1 + M1 (1 + r0 ) + M2
sostituendo i valori di reddito e tasso di interesse
C2 =
1; 2C1 + 1; 2 (1000) + 1100 =
1; 2C1 + 2300
Gra…camente, il vincolo di bilancio ruota facendo perno in corrispondenza del paniere
delle dotazioni. I consumatori risparmiatori diventano più ricchi mentre quelli debitori diventano più poveri a seguito dell’aumento del tasso di interesse
C2
2300
Panieri ora
accessibili
Retta dei vertici
C2 = 1,1 C1
2200
1100
Panieri ora non
più accessibili
1000
Consumatori
risparmiatori
1916,7
2000
C1
Consumatori
mutuatari
Il paniere ottimo si trova nel punto di intersezione tra retta dei vertici e (nuovo)
vincolo di bilancio (VdB’)
V dB 0
)
RdV
C2 = 1; 2C1 + 2300
)
1; 1 C1 = C2
C1 = 1000
C2 = 1100
Luca continua a scegliere di non indebitarsi (e di non risparmiare) e consuma integralmente il reddito detenuto in ogni periodo. Gra…camente
12
C2
2300
Retta dei vertici
C2 = 1,1 C1
2200
Paniere ottimo
1100
1000
1916,7
2000
C1
Esercizio 6. La signora Ant Myrmex ha un reddito pari a 110 (M1 = 110) nel
2010, e sa già che nel 2011 non guadagnerà alcun reddito (M2 = 0). Il pane del 2010
(C1 , in ascissa) e quello del 2011 (C2 ) hanno prezzo pari a 1; il tasso di interesse è
del 10% (r = 10%); le preferenze di Ant sono rappresentate dalla seguente funzione
0:3
di utilità: U(C1 ;C2 )=C0:3
1 C2 . (1) Rappresentate gra…camente il vincolo di bilancio
intertemporale di Ant, indicando i valori di intercetta, l’inclinazione ed il paniere delle
dotazioni. (2) Individuate la scelta ottima di Ant. Dite anche quanto risparmia, o
di quanto si indebita Ant nel 2010. (3) Supponete che il tasso di interesse raddoppi.
Senza fare troppi conti discutete in che direzione si modi…cano le quantità ottime
di pane presente e futuro scelte da Ant; di conseguenza, dite qual è l’elasticità della
domanda di pane presente al tasso di interesse.
Soluzioni. (1) Il valore attuale dei redditi [PV(M)] di Ant è
1
P V (M ) = M1 + M2 1+r
= 110
e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] è
1
1
P V (C) = p1 C1 + p2 C2 1+r
= C1 + C2 1;1
essendo p 1 = p2 = 1; dunque il vincolo di bilancio intertemporale della nostra consumatrice (espresso in valore attuale) è
P V (M ) = P V (C) ! C2 = 121 + 1; 1C1
C2
121
Vincolo di bilancio
Paniere delle dotazioni
1,1
110
13
C1
(2) Dal momento che Ant si caratterizza per preferenze di tipo Cobb-Douglas, e
dunque manifesta una preferenza per la varietà, sappiamo già che il paniere ottimo
conterrà sia pane presente che pane futuro. La scelta ottima è ottenuta risolvendo il
sistema
(
C2 = 121 + 1; 1C1
C2 = 121 + 1; 1C1
vincolo di bilancio
!
!
C2
condizione di tangenza CdI e VdB
M RS = p1 (1+r)
C1 = 1; 1
p2
da cui C 1 = 55 e C 2 = 60; 5. Dato che C 1 < M1 , Ant risparmia nel 2010 una
somma pari a 55 in modo da assicurarsi un consumo anche nel secondo periodo.
(3) E’ possibile dimostrare che il consumo del 2010 non dipende dal tasso di
interesse. Consideriamo la condizione di ottimo nel caso geneale di reddito nullo nel
secondo periodo ( M2 = 0), reddito positivo nel primo periodo ( M1 > 0) e tasso di
interesse generico r, si ottengono le due seguenti curve di domanda per pane nel 2010
e nel 2011
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
C2 = (1 + r)M1 + (1 + r)C1
!
C2
C1 = (1 + r)
C1 = M21
C2 = (1 + r) M21
Dato che la domanda di consumo presente non varia al variare del tasso di interesse, l’elasticità è uguale a zero. Dato che reddito e consumo nel primo periodo non
variano, la consumatrice non modi…ca la sua scelta di risparmio ma un aumento del
tasso di interesse fa aumentare il montante del risparmio (ossia il valore futuro di
quanto ho risparmiato) e dunque fa aumentare il suo consumo futuro.
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