Limiti di funzioni

Limiti di funzioni
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Università degli Studi di Padova
Dipartimento di Matematica
2 novembre 2016
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
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Intorno di un punto
Definizione (Intorno di x0 ∈ R)
Un intorno U di x0 ∈ R è un intervallo (aperto) del tipo
(x0 − δ, x0 + δ) cioè
U := (x0 − δ, x0 + δ) := {x ∈ R : |x − x0 | < δ}.
Definizione (Intorno di +∞)
Un intorno U di +∞ è un intervallo (aperto) del tipo (a, +∞) cioè
U := (a, +∞) := {x ∈ R : x > a}.
Definizione (Intorno di −∞)
Un intorno U di −∞ è un intervallo (aperto) del tipo (−∞, a) cioè
U := (−∞, a) := {x ∈ R : x < a}.
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Introduzione
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Intorno di un punto
Figura : Dall’alto in basso: un intorno di a, di +∞, di −∞.
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Introduzione
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Intorno di un punto
Definizione (Definitivamente per x → c)
La funzione f ha una certa proprietà definitivamente per x → c se
esiste un intorno U di c tale che la proprietà vale per ogni x ∈ U,
x 6= c.
Nota.
x ∈ Ux0 = (x0 − δ, x0 + δ) se e solo se |x − x0 | < δ.
x ∈ U+∞ = (a, +∞) se e solo se x > a.
x ∈ U−∞ = (−∞, a) se e solo se x < a.
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Introduzione
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Limite di funzione
Definizione (Intorni di ±∞, c)
Con la scrittura
U−∞ intendiamo l’insieme degli intorni (aperti) di −∞ del tipo
U−∞,b = (−∞, b)
al variare di b;
U+∞ intendiamo l’insieme degli intorni (aperti) di +∞ del tipo
Ua,+∞ = (a, +∞)
al variare di a;
Uc intendiamo l’insieme degli intorni (aperti) di c del tipo
Uc,δ = (c − δ, c + δ)
al variare di δ > 0;
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Limite di funzione
Nota.
Ricordiamo che per una successione f (n) := an era
lim f (n) = L
n→∞
se e solo se
per ogni > 0 esiste N() tale che per ogni n > N() si ha
|f (n) − L| < .
In termini di intorni, la si può trascrivere come se e solo se
per ogni
VL = (L − , L + ) ∈ UL ,
esiste
U+∞ = (N(), +∞) ∈ U+∞
tale che f (n) ∈ VL per ogni n ∈ N tale che n ∈ U+∞ .
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Limite di funzione
Definizione (Limite (via intorni))
Sia R∗ = R ∪ {+∞} ∪ {−∞}. Sia f definita (almeno)
definitivamente per x → c. Sia L ∈ R∗ . La scrittura
lim f (x) = L
x→c
significa che
per ogni
VL ∈ VL
esiste
Uc ∈ Uc
tale che
f (x) ∈ VL , per ogni x ∈ Uc \c.
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Limite di funzione: c, L ∈ R
Nel caso c, L ∈ R la scrittura
lim f (x) = L
x→c
significa che
per ogni
VL = (L − , L + ) = {y ∈ R : |y − L| < }
esiste
Uc = (c − δ(), c + δ()) = {x ∈ R : |x − c| < δ()}
tale che se x ∈ Uc \c, allora f (x) ∈ VL .
Nota.
Notiamo che siccome gli intervalli Uc , VL dipendono solo da e δ() (oltre che
da L e c) possiamo riscrivere la definizione di limite esclusivamente in termini
di e δ().
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Limite di funzione: c, L ∈ R
Definizione (Limite finito per x → c)
Siano c, L ∈ R. Con la scrittura
lim f (x) = L
x→c
intendiamo che per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che
|f (x) − L| < per ogni x tale che
|x − c| < δ()
con x 6= c.
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Limite di funzione
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura : Si vede che limx→π/6 sin(x) = 0.5. Descrizione degli intorni
V0.5 = (0.5 − , 0.5 + ) (rosso), Uπ/6 = (π/6 − δ, π/6 + δ) (magenta),
per = 0.2 e δ = 0.15. Si evince (intuitivamente!) dal grafico che per
tale una buona scelta è determinata da tale δ.
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Limite di funzione
δ()
1.0e − 01
1.0e − 02
1.0e − 03
1.0e − 04
1.0e − 05
1.0e − 06
1.0e − 07
1.0e − 08
1.0e − 09
1.0e − 10
1.0e − 11
1.0e − 12
1.0e − 13
1.0e − 14
1.0e − 15
8.896e − 02
8.685e − 03
8.663e − 04
8.661e − 05
8.660e − 06
8.660e − 07
8.660e − 08
8.660e − 09
8.660e − 10
8.660e − 11
8.660e − 12
8.660e − 13
8.665e − 14
8.660e − 15
8.327e − 16
Tabella : Stime di δ() per certi .
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Limite di funzione
Nota.
Se cambio , allora cambio δ().
Non si richiede di conoscere f (x) per x = c.
Nel fare la verifica, usualmente si cercano i punti x per cui
|f (x) − L| < e di seguito si cerca di determinare, se
possibile, δ().
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Limite di funzione: esempio
Esercizio
Mostrare che
lim x 2 = 0.
x→0
Svolgimento.
L’asserto limx→0 x 2 = 0 significa che per ogni > 0 esiste δ() > 0
tale che |x 2 − 0| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0.
Ma |x 2 | < implica − < x 2 < , ovvero per la non negatività di
√
√
x 2 , 0 ≤ x 2 < e ciò accade per − < x < + . Per verificare
√
l’asserto basta scegliere δ() = .
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Limite di funzione
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura : Il limite di x 2 per x → 0 è 0. Descrizione degli intorni Uc (rosso),
VL (magenta), per c = 0, per√ = 0.2. Dalla teoria si evince che per tale
una buona scelta è δ() = = 0.447 . . . ed è confermata dal grafico.
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Limite di funzione
δ()
1.0e − 01
1.0e − 02
1.0e − 03
1.0e − 04
1.0e − 05
1.0e − 06
1.0e − 07
1.0e − 08
1.0e − 09
1.0e − 10
1.0e − 11
1.0e − 12
1.0e − 13
1.0e − 14
1.0e − 15
1.000e − 02
1.000e − 04
1.000e − 06
1.000e − 08
1.000e − 10
1.000e − 12
1.000e − 14
1.000e − 16
1.000e − 18
1.000e − 20
1.000e − 22
1.000e − 24
1.000e − 26
1.000e − 28
1.000e − 30
Tabella : Stime numeriche di δ() per certi .√Si noti che se è uno dei
numeri nella colonna di destra, allora δ() = , calcolato teoricamente,
è proprio il corrispettivo numero nella colonna di sinistra.
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Limite di funzione: esercizi.
Esercizio
Verificare che
lim
x→1
x 2 + 6x + 5
= 2.
x +5
Svolgimento.
Per prima cosa osserviamo che
f (x) =
(x + 5)(x + 1)
x 2 + 6x + 5
=
= (x + 1).
x +5
x +5
Di conseguenza dobbiamo mostrare che
per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che se |x − 1| < δ() allora |(x + 1) − 2| ≤ A tal proposito, visto che |(x + 1) − 2| = |x − 1|, basta scegliere δ() = per
verificare l’asserto.
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Limite di funzione: esercizi.
δ()
1.0e − 01
1.0e − 02
1.0e − 03
1.0e − 04
1.0e − 05
1.0e − 06
1.0e − 07
1.0e − 08
1.0e − 09
1.0e − 10
1.0e − 11
1.0e − 12
1.0e − 13
1.000e − 01
1.000e − 02
1.000e − 03
1.000e − 04
1.000e − 05
1.000e − 06
1.000e − 07
1.000e − 08
1.000e − 09
1.000e − 10
1.000e − 11
1.000e − 12
9.992e − 14
Tabella : Alcune stime di δ() per certi . Si noti che se è uno dei
numeri nella colonna di destra, allora δ() = calcolato teoricamente è
proprio il corrispettivo numero nella colonna di sinistra.
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Limite di funzione: esercizi.
Esercizio
Verificare che
lim x 2 − 8 = −4.
x→2
Svolgimento.
Dobbiamo mostrare che
per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che se |x − 2| < δ() allora
|(x 2 − 8) − (−4)| ≤ A tal proposito, visto che |(x 2 − 8) − (−4)| = |x 2 − 4|, basta mostrare che
per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che se |x − 2| < δ() allora |x 2 − 4| ≤ .
Con facili conti, |x 2 − 4| ≤ se e solo se
2
√
√
x −4≤
− 4√+ < x < 4 +
√
⇔
x 2 − 4 ≥ −
x > 4− o x <− 4−
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18/ 154
Limite di funzione: esercizi.
Risolvendo le disequazioni, abbiamo cosı̀
√
√
4−<x < 4+
√
√
⇔
− 4+<x <− 4−
√
√
Poichè ( 4 − , 4 + ) è un intervallo aperto contenente 2 al suo interno,
esiste di sicuro un intervallo simmetrico aperto di 2, cioè un intorno U2 di 2
tale che se x ∈ U2 \{2} allora |(x 2 − 8) − 4| < .
√
√
Per determinare δ(), basta porre δ() = min(2 − 4 − , 4 + − 2). Infatti,
con tale scelta, l’intervallo simmetrico aperto U2 = (x − δ(), x + δ()) verifica
√
√
(x − δ(), x + δ()) ⊆ ( 4 − , 4 + )
e quindi se x ∈ U2 \{2} allora |(x 2 − 8) − 4| < .
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Limite di funzione: esercizi.
Nota. (Facoltativa)
Si noti che, razionalizzando, con facili conti
√
√
√
(2 + 4 − )
4 − (4 − )
√
√
√
δ1 := 2 − 4 − = (2 − 4 − ) ·
=
=
(2 + 4 − )
2+ 4−
2+ 4−
√
√
√
( 4 + + 2)
(4 + ) − 4
√
√
δ2 := 4 + − 2 = ( 4 + − 2) · √
=
=
( 4 + + 2)
2+ 4+
2+ 4+
√
√
e pure, da 2 + 4 − < 2 + 4 + , abbiamo
δ2 =
2+
√
4+
<
2−
√
4−
= δ1 .
In altre parole, nell’esercizio precedente
√
√
δ() = min(2 − 4 − , 4 + − 2) = min(δ1 , δ2 ) = δ2 .
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Limite di funzione: esercizi.
δ()
1.0e − 01
1.0e − 02
1.0e − 03
1.0e − 04
1.0e − 05
1.0e − 06
1.0e − 07
1.0e − 08
1.0e − 09
1.0e − 10
1.0e − 11
1.0e − 12
1.0e − 13
4.100e − 01
4.010e − 02
4.001e − 03
4.000e − 04
4.000e − 05
4.000e − 06
4.000e − 07
4.000e − 08
4.000e − 09
4.000e − 10
4.000e − 11
4.000e − 12
3.997e − 13
δ() teorico
1.0e − 01
1.0e − 02
1.0e − 03
1.0e − 04
1.0e − 05
1.0e − 06
1.0e − 07
1.0e − 08
1.0e − 09
1.0e − 10
1.0e − 11
1.0e − 12
1.0e − 13
4.100e − 01
4.010e − 02
4.001e − 03
4.000e − 04
4.000e − 05
4.000e − 06
4.000e − 07
4.000e − 08
4.000e − 09
4.000e − 10
4.000e − 11
4.000e − 12
3.997e − 13
Stime numeriche di alcuni δ() e per la verifica limite limx→2 x 2 − 8 = −4. Nella seconda tabella vengono
paragonati per gli stessi provenienti dalla seconda tabella i δ() teorici e si vede coincidono con quelli numerici.
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Limite di funzione: esercizi.
Esercizio
Verificare che
limx→1 (x − 1) = 0;
limx→1 (5x − 3) = 2;
limx→1 x = 1.
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Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞
Nel caso c ∈ R, L = +∞, la scrittura
lim f (x) = +∞
x→c
indica che per ogni intorno V+∞ di +∞ del tipo
V+∞ = (K , +∞) = {y ∈ R : y > K }
esiste Uc intorno di c ∈ R del tipo
Uc = (c − δ(K ), c + δ(K )) = {x ∈ R : |x − c| < δ(K )}
tale che f (x) ∈ V+∞ per ogni x ∈ Uc \c. Notiamo che gli intorni
dipendono, oltre che da c, solo da K e δ(K ). In virtù di questa
osservazione possiamo dare una definizione di limx→c f (x) = +∞
basata su K e δ(K ).
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23/ 154
Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞
Definizione (Limite +∞ per x → c)
Siano c, L ∈ R. Con la scrittura
lim f (x) = +∞
x→c
intendiamo che per ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x) > K ,
per ogni x tale che |x − c| < δ(K ), con x 6= c.
Nota.
Si sottolinea che δ(K ) varia con K .
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24/ 154
Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞, esempio
Esercizio
Mostrare che
1
= +∞.
x→1 (x − 1)2
lim
Svolgimento.
1
Bisogna mostrare che per ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che (x−1)
2 > K , per
1
ogni x tale che |x − 1| < δ(K ), con x 6= 1. Supponiamo (x−1)2 > K .
Osserviamo che
r
p
1
1
1
2
2
> K ⇔ (x − 1) <
⇔ (x − 1) = |x − 1| <
(1)
(x − 1)2
K
K
q
q
Se scelgo δ(K ) = K1 , se |x − 1| < δ(K ) = K1 , x 6= 1, necessariamente
abbiamo da (1) che
1
(x−1)2
> K.
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Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞, esempio
δ(K )
1.0e − 01
1.0e − 02
1.0e − 03
1.0e − 04
1.0e − 05
1.0e − 06
1.0e − 07
1.0e − 08
1.0e − 09
1.0e − 10
1.0e − 11
1.0e − 12
1.0e − 13
1.0e − 14
1.0e − 15
K
4.752e + 00
4.975e + 01
4.998e + 02
5.000e + 03
5.000e + 04
5.000e + 05
5.000e + 06
5.000e + 07
5.000e + 08
5.000e + 09
4.994e + 10
4.901e + 11
4.320e + 12
5.004e + 13
4.504e + 14
Tabella : Stime di δ(K ) relativamente a certi K , nel calcolo di
1
limx→1 (x−1)
2 = +∞.
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Introduzione
26/ 154
Limite di funzione
5
x 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.99
0.992
0.994
0.996
0.998
1
1.002
1.004
1.006
1.008
1.01
1
Figura : Il limite di (x−1)
2 per x → 1 è +∞. Descrizione degli intorni Uc
(rosso), VL (magenta), per c = 1, per K =q
20000. Dalla teoria si evince
che per tale K una buona scelta è δ(K ) =
confermata dal grafico.
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1
K
Introduzione
= 0.0022 . . . ed è
27/ 154
Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R
Per quanto visto, se c = +∞, L ∈ R, con la scrittura
lim f (x) = L
x→+∞
intendiamo che per ogni VL ∈ UL esiste U+∞ ∈ U+∞ tale che
f (x) ∈ VL per ogni x ∈ U+∞ .
Notiamo che
per L ∈ R, VL ∈ UL se e solo se del tipo
(L − , L + ) = {y ∈ R : |y − L| < };
U+∞ ∈ U+∞ se e solo del tipo
(K (), +∞) = {x ∈ R : x > K ()}.
Come in precedenza osserviamo che la definizione, oltre che da L,
dipende solo da e K ().
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Introduzione
28/ 154
Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R
Definizione (Limite L ∈ R a +∞)
Sia L ∈ R. Con la scrittura
lim f (x) = L
x→+∞
intendiamo che per ogni > 0 esiste K () > 0 tale che
|f (x) − L| < , per ogni x tale che x > K .
Nota.
Si sottolinea che K () varia con .
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Introduzione
29/ 154
Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
x
Figura : Il grafico di f (x) = x+sin
(x) in [0, 200] (in nero), la striscia
[0, 200] × [1 − 0.2, 1 + 0.2] (tra linee verdi). Per K > 20, il grafico di f
sta nella striscia.
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30/ 154
Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞, esempio
K ()
1.0e + 01
1.0e + 02
1.0e + 03
1.0e + 04
1.0e + 05
1.0e + 06
1.0e + 07
1.0e + 08
1.0e + 09
1.0e + 10
1.0e + 11
1.0e + 12
1.0e + 13
1.0e + 14
1.0e + 15
5.753e − 02
5.089e − 03
8.262e − 04
3.056e − 05
3.575e − 07
3.500e − 07
4.205e − 08
9.316e − 09
5.458e − 10
4.875e − 11
9.287e − 12
6.113e − 13
2.887e − 14
1.998e − 15
8.882e − 16
Tabella : Stime di K () per certi , relativamente al limite
x
limx→+∞ x+sin
(x) = 1.
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Introduzione
31/ 154
Limite di funzione: c = +∞, L = −∞
Per quanto visto, se c = +∞, L = −∞, con la scrittura
lim f (x) = −∞
x→+∞
intendiamo che per ogni V−∞ ∈ U−∞ esiste U+∞ ∈ U+∞ tale che
f (x) ∈ V−∞ per ogni x ∈ U+∞ . Notiamo che
V−∞ ∈ U−∞ se e solo se del tipo
(−∞, M) = {y ∈ R : y < M}.
U+∞ ∈ U+∞ se e solo del tipo
(K (M), +∞) = {x ∈ R : x > K (M)}.
Osserviamo che la definizione dipende esclusivamente da M e
K (M).
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Introduzione
32/ 154
Limite di funzione: c = +∞, L = −∞
Definizione (Limite −∞ a +∞)
Sia L ∈ R. Con la scrittura
lim f (x) = −∞
x→+∞
intendiamo che per ogni M esiste K (M) tale che f (x) < M, per
ogni x tale che x > K (M).
Nota.
Si sottolinea che K (M) varia con M.
Siccome siamo interessati al comportamento in un intorno di
+∞, non è restrittivo scegliere K (M) > 0.
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Introduzione
33/ 154
Limite di funzione: c = +∞, L = −∞
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−25
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
3/2
1000
Figura : Il grafico di f (x) = −x
x+1 in [0, 1000] (in nero), la retta x = −4
(in verde). Per K > 300, il grafico di f sta sotto la retta.
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Introduzione
34/ 154
Limite di funzione: note
Nota.
se limx→+∞ f (x) = L o limx→−∞ f (x) = L, con L ∈ R, allora
la retta y = L si chiama asintoto orizzontale;
se limx→+∞ f (x) = L o limx→−∞ f (x) = L, notiamo che il K
della definizione dipende da ;
se limx→±∞ f (x) = ±∞ notiamo che il K della definizione
dipende da M;
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Introduzione
35/ 154
Limite di funzione: esercizio
Esercizio
Definire limx→c f (x) = L nei casi non spiegati, ovvero
c ∈ R, L = −∞;
c = +∞, L = +∞;
c = −∞, L ∈ R;
c = −∞, L = −∞;
c = −∞, L = +∞.
Esercizio
Dopo aver definito
lim f (x) = +∞
x→∞
mostrare, utilizzando la definizione, che
lim x 2 + 1 = +∞.
x→+∞
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Introduzione
36/ 154
Limite di funzione: unicità.
Valgono per funzioni tutti i teoremi già visti sui limiti di successioni.
Teorema
Se esiste limx→c f (x), tale limite è unico.
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Introduzione
37/ 154
Limite di funzione: permanenza del segno.
Teorema (Permanenza del segno)
1 Se
limx→c f (x) = L,
L>0
allora f (x) > 0 definitivamente per x → c.
2 Se
limx→c f (x) = L,
L<0
allora f (x) < 0 definitivamente per x → c.
Teorema
Se f (x) ≥ 0 definitivamente e
lim f (x) = L
x→c
allora L ≥ 0.
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Introduzione
38/ 154
Limite di funzione: teorema del confronto.
Teorema (Dei due carabinieri o del confronto)
Se
f (x) ≤ h(x) ≤ g (x) (definitivamente, per x → c),
limx→c f (x) = limx→c g (x) = L
allora
lim h(x) = L.
x→c
Teorema
Se
f (x) ≤ h(x) (definitivamente, per x → c),
limx→c f (x) = +∞
allora
lim h(x) = +∞.
x→c
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Introduzione
39/ 154
Limite di funzione: teorema del confronto.
Teorema
Se
h(x) ≤ f (x) (definitivamente, per x → c),
limx→c f (x) = −∞,
allora limx→c h(x) = −∞.
Corollario
Se
|h(x)| ≤ g (x) (definitivamente, per x → c),
limx→c g (x) = 0,
allora limx→c h(x) = 0.
Dimostrazione.
Osservare che −g (x) ≤ h(x) ≤ g (x) e applicare il teorema del confronto.
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Introduzione
40/ 154
Limite di funzione: infinitesime e limitate.
Teorema
Se
limx→c f (x) = 0,
g è limitata (definitivamente, per x → c)
allora
lim f (x) · g (x) = 0.
x→c
Esercizio
Mostrare che limx→+∞
sin (x)
x
= 0.
Esercizio
Mostrare che limx→+∞
| cos(x)+sin(x)|
ex
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= 0.
Introduzione
41/ 154
Limiti destro e sinistro (finiti).
Definizione (Limite L ∈ R a c + )
Con la scrittura
lim f (x) = L, L ∈ R
x→c +
indendiamo che il il limite destro per x tendente a c vale L e cioè
che per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che |f (x) − L| < per ogni
x ∈ (c, c + δ()).
Definizione (Limite L ∈ R a c − )
Con la scrittura
lim f (x) = L, L ∈ R
x→c −
indendiamo che il il limite sinistro per x tendente a c vale L e cioè
che per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che |f (x) − L| < per ogni
x ∈ (c − δ(), c).
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Introduzione
42/ 154
Limiti destro e sinistro (+∞).
Definizione (Limite L ∈ +∞ a c + )
Con la scrittura
lim f (x) = +∞
x→c +
indendiamo che il il limite destro per x tendente a c vale +∞ e
cioè che per ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x) > K per
ogni x ∈ (c, c + δ(K )).
Definizione (Limite +∞ a c − )
Con la scrittura
lim f (x) = +∞
x→c −
indendiamo che il il limite sinistro per x tendente a c vale +∞ e
cioè che per ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x) > K per
ogni per ogni x ∈ (c − δ(K ), c).
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Introduzione
43/ 154
Limiti destro e sinistro (−∞).
Definizione (Limite −∞ a c + )
Con la scrittura
lim f (x) = −∞
x→c +
indendiamo che il il limite destro per x tendente a c vale −∞ e
cioè che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x) < K per
ogni x ∈ (c, c + δ(K )).
Definizione (Limite +∞ a c − )
Con la scrittura
lim f (x) − +∞
x→c −
indendiamo che il il limite sinistro per x tendente a c vale −∞ e
cioè che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x) < K per
ogni per ogni x ∈ (c − δ(K ), c).
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Introduzione
44/ 154
Limiti destro e sinistro e limiti.
Teorema
Sia c ∈ R. Allora
lim f (x) = L
x→c
se e solo se
lim f (x) = lim f (x) = L
x→c −
x→c +
Esempio
La quantità limx→0
1
x
non esiste in quanto
1
1
lim
= −∞ 6= lim
= +∞.
x→0+ x
x→0− x
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Introduzione
45/ 154
Limiti destro e sinistro, esempio
Esempio
Si consideri la funzione

 1, x > 0
0, x = 0
segno(x) =

−1, x < 0
Allora
limx→0− segno(x) = −1.
limx→0+ segno(x) = +1.
La quantità limx→0 segno(x) non esiste in quanto
lim segno(x) = −1 6= lim+ segno(x) = 1.
x→0−
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x→0
Introduzione
46/ 154
Limiti destro e sinistro, esempio
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Figura : Grafico della funzione segno in [−5, 5]. Il pallino verde evidenzia
il valore che assume in x = 0.
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Introduzione
47/ 154
Limiti: potenze.
Teorema
Se α > 0
limx→+∞ x α = +∞;
limx→x0 x α = x0α per x0 ∈ R+ ;
limx→0+ x α = 0.
Se α < 0
limx→+∞ x α = 0;
limx→x0 x α = x0α per x0 ∈ R+ ;
limx→0+ x α = +∞.
Nota.
Si osservi che per certi α, si pensi a numeri interi o particolari frazioni, tali
discussioni possono essere generalizzate a R− .
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Introduzione
48/ 154
Limiti: esponenziali.
Teorema
limx→−∞ αx = +∞, se α ∈ (0, 1);
limx→−∞ αx = 0, se α ∈ (1, +∞);
limx→x0 αx = αx0 , se x0 ∈ R;
limx→+∞ αx = 0, se α ∈ (0, 1);
limx→+∞ αx = +∞, se α ∈ (1, +∞);
35
30
25
20
15
10
5
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Figura : Il grafico di (1/2)x (in blu) e 2x (in rosso) in un intorno di 0.
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Introduzione
49/ 154
Limiti: logaritmi.
Teorema
limx→0+ loga (x) = +∞, se a ∈ (0, 1);
limx→0+ loga (x) = −∞, se a ∈ (1, +∞);
limx→x0 loga (x) = loga (x0 ), se x0 ∈ R;
limx→+∞ loga (x) = −∞, se a ∈ (0, 1);
limx→+∞ loga (x) = +∞, se a ∈ (1, +∞).
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Figura : Il grafico di log1/2 (x) (in blu) e log2 (x) (in rosso) in (0, 4].
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Introduzione
50/ 154
Limiti: funzioni trigonometriche.
Si mostra che
Teorema
limx→x0 sin(x) = sin(x0 ), se x0 ∈ R;
limx→x0 cos(x) = cos(x0 ), se x0 ∈ R;
limx→x0 tan(x) = tan(x0 ), se x0 ∈ R\{ π2 + kπ, k ∈ Z}.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura : Il grafico di sin(x) (in rosso) e cos(x) (in blu) in [−π, π].
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Introduzione
51/ 154
Limiti: funzioni trigonometriche inverse.
Teorema
limx→−1+ arcsin(x) = −π/2; limx→1− arcsin(x) = +π/2
limx→x0 arcsin(x) = arcsin(x0 ), se x0 ∈ [−1, 1];
limx→−1+ arccos(x) = π; limx→1− arccos(x) = 0;
limx→x0 arccos(x) = arccos(x0 ), se x0 ∈ [−1, 1];
limx→−∞ arctan(x) = −π/2; limx→+∞ arctan(x) = +π/2
limx→x0 arctan(x) = arctan(x0 ), se x0 ∈ R;
3
acos
asin
2
1
0
−1
−2
−3
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura : Il grafico di arcsin(x) (in blu) e arccos(x) (in rosso) in [−1, 1].
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Introduzione
52/ 154
Limiti: funzioni iperboliche (facoltativo).
Teorema
limx→−∞ sinh(x) = −∞; limx→+∞ sinh(x) = +∞;
limx→x0 sinh(x) = sinh(x0 ), se x0 ∈ R;
limx→−∞ cosh(x) = +∞; limx→+∞ cos(x) = +∞;
limx→x0 cosh(x) = cosh(x0 ), se x0 ∈ R;
limx→−∞ tanh(x) = +1; limx→+∞ tanh(x) = −1.
limx→x0 tanh(x) = tanh(x0 ), se x0 ∈ R;
Figura : Le funzioni sinh, cosh, tanh in [−10, 10].
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Introduzione
53/ 154
Limiti: continuità.
Definizione
Sia x0 ∈ R e f definita in un intorno di x0 . Tale funzione si dice
continua in x0 se e solo se
limx→x0 f (x) = f (x0 ).
Esempio
Per quanto visto sono continue in x0 ∈ R
x α per α > 0;
loga per a > 0 e x0 ∈ R+ \{0};
sin(x);
cos(x);
tan(x) per x0 ∈ R\{ π2 + kπ, k ∈ Z};
arctan(x).
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Introduzione
54/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti.
Teorema
Si supponga che c ∈ R∗ , L1 , L2 ∈ R e che
limx→c f (x) = L1 ;
limx→c g (x) = L2 .
Allora
limx→c K · f (x) = K · L1 per ogni K ∈ R;
limx→c f (x) + g (x) = L1 + L2 ;
limx→c f (x) − g (x) = L1 − L2 ;
limx→c f (x) · g (x) = L1 · L2 ;
se L2 6= 0, limx→c
f (x)
g (x)
=
L1
L2 ,
limx→c (f (x))g (x) = L1 L2 .
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Introduzione
55/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti.
Nota.
Si supponga che f , g siano continue in c ∈ R cioè
limx→c f (x) = f (c);
limx→c g (x) = g (c).
Allora dall’algebra dei limiti
limx→c K · f (x) = K · limx→c f (x) = K · f (c) per ogni K ∈ R e quindi se
f è continua in c allora lo è K · f ;
limx→c f (x) + g (x) = limx→c f (x) + limx→c g (x) = f (c) + g (c) e quindi
somma di funzioni continue in c è pure continua in c;
limx→c f (x) − g (x) = limx→c f (x) − limx→c g (x) = f (c) − g (c) e quindi
sottrazione di funzioni continue in c è pure continua in c;
limx→c f (x) · g (x) = limx→c f (x) · limx→c g (x) = f (c) · g (c) e quindi
prodotto di funzioni continue in c è pure continua in c;
limx→c f (x)
se g 6= 0, limx→c gf (x)
= lim
= gf (c)
e quindi divisione di funzioni
(x)
(c)
x→c g (x)
continue in c è pure continua in c a patto che il denominatore g (c) non
sia nullo.
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Introduzione
56/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti.
Teorema
Se limx→c f (x) = +∞ e limx→c g (x) = +∞ allora
limx→c f (x) + g (x) = +∞;
limx→c f (x) · g (x) = +∞;
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Introduzione
57/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti.
Teorema
Se limx→c f (x) = +∞ e limx→c g (x) = −∞ allora
limx→c f (x) − g (x) = +∞;
limx→c −f (x) + g (x) = −∞;
limx→c f (x) · g (x) = −∞;
Teorema
Se limx→c f (x) = ±∞ e limx→c g (x) = L 6= 0 ∈ R allora
lim
x→c
f (x)
= (segno(L)) · (±∞).
g (x)
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Introduzione
58/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti.
Nota.
Le seguenti forme sono di indecisione
+∞ − ∞ =?;
∞
∞
=? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞;
0 · ∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞;
0
0
=?
Nota.
Se L = 0, la formulazione ∞/0 = ∞ · ∞ = ∞ e quindi non è
indeterminata.
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Introduzione
59/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti,esempi.
Esempio
Sapendo che limx→−1 x = −1, abbiamo
limx→−1 x 2 = (limx→−1 x) · (limx→−1 x) = (−1) · (−1) = 1;
limx→−1 5x = 5 · (limx→−1 x) = 5 · (−1) = −5;
limx→−1 1/x = (limx→−1 1)/(limx→−1 x) = 1/(−1) = −1;
x 2 −3x+1
= (limx→−1 x 2 −3x +1)/(limx→−1 2x 3 +7)
2x 3 +7
2
(−1) −3(−1)+1
= 55 = 1.
2(−1)3 +7
limx→−1
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Introduzione
60/ 154
=
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Esempio
Mostrare che limx→+∞ x 2 − 3x + 5 = +∞
Svolgimento.
Osserviamo che per x 6= 0 (stiamo ragionando in un intorno di
+∞, quindi non è restrittivo supporre x > 0)
3
5
2
2
lim x − 3x + 5 = lim x 1 − + 2 = +∞
x→+∞
x→+∞
x
x
in quanto
lim 1 −
x→+∞
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3
5
+ 2 = 1.
x
x
Introduzione
61/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Teorema
Se an 6= 0 allora
lim an x n + . . . + a1 x + a0 = segno(an ) · (±)n ∞
x→±∞
Dimostrazione.
Osserviamo che per x 6= 0 (stiamo ragionando in un intorno di +∞, quindi non
è restrittivo supporre x > 0)
a1
a0 lim an x n + . . . + a1 x + a0 =
lim x n an + . . . + n−1 + n
x→±∞
x→±∞
x
x
= segno(an ) · (±)n ∞
in quanto
lim an + . . . +
x→±∞
a0
a1
+ n = an
x n−1
x
e limx→±∞ x n = (±)n ∞.
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Introduzione
62/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Esempio
Mostrare che
lim −3x 5 + 3x 2 − 8x + 1 = +∞.
x→−∞
Svolgimento.
Con la tecnica appena usata
3
8
1
lim −3x + 3x − 8x + 1 =
lim x −3 + 3 − 4 + 5
x→−∞
x→−∞
x
x
x
= +∞.
5
2
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5
Introduzione
63/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Teorema
Mostrare che se an 6= 0 e bm 6= 0 allora
an x n + . . . + a1 x + a0
an
=
lim x n−m .
m
x→±∞ bm x + . . . + n1 x + b0
bm x→±∞
L = lim
Dimostrazione.
Per quanto visto
lim an x n + . . . + a1 x + a0 = lim an x n
x→±∞
x→±∞
lim bm x m + . . . + n1 x + b0 = lim bm x m
x→±∞
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x→±∞
Introduzione
64/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
e quindi
an x n + . . . + a1 x + a0
an x n
xn
an
=
lim
=
lim
.
x→±∞ bm x m + . . . + n1 x + b0
x→±∞ bm x m
bm x→±∞ x m
lim
Nota.
L’asserto dice che
se n > m allora L = (±)n−m · segno(an /bm ))∞;
se n = m allora L = an /bm ;
se n < m allora L = 0.
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Introduzione
65/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti, esercizi.
Esercizio
Mostrare che limx→+∞
x 7 +3x−8
2−5x 2 +3x
= −∞.
Svolgimento.
Eliminando i termini di grado più alto
x 7 + 3x − 8
x→+∞ 2 − 5x 2 + 3x
lim
− 8
x7 + 3x
x→+∞ 2
3x
− 5x 2 + x7
(−1)
=
lim
=
lim x 5
2
x→+∞ −5x
5 x→+∞
= −∞
=
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lim
Introduzione
66/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti, esercizi.
Esercizio
Mostrare che
x−2
= 0;
x 5 −2x 3 +5
2
3x −5
limx→+∞ 2−2x
2 +x = (−3/2);
limx→+∞
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Introduzione
67/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Teorema
Se f è limitata e g → ±∞ allora f + g → ±∞;
Se f è limitata di segno costante e g → ±∞ allora
f · g → segno(f ) · (±∞);
Esempio
limx→+∞ x 3 + cos(3x) = (+∞) + limitata = +∞;
limx→+∞ −x 2 + sin2 (x) = (−∞) + limitata = −∞;
limx→+∞ x · (2 + sin(x)) = +∞ · limitata positiva = +∞;
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Introduzione
68/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Esempio (Facoltativo)
E’ possibile utilizzare il fatto che sin(1/x) è limitata per valutare
lim x · sin(1/x)?
x→+∞
Traccia.
Se fosse possibile utilizzare il fatto che sin(1/x) è limitata per
valutare limx→0 x · sin(1/x) avremo
lim x · sin(1/x) = +∞ · limitata = +∞
x→+∞
ma si può dimostrare che tale limite vale invece 1. Il problema
consiste nel fatto che sin(1/x) non ha segno costante.
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Introduzione
69/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Esempio
Calcolare
3x 2 + x 3
x→0 x 4 + 6x 7
lim
Svolgimento.
Raccogliendo opportunamente
3x 2 + x 3
x→0 x 4 + 6x 7
lim
x 2 (3 + x)
x→0 x 4 (1 + 6x 3 )
(3 + x)
3
= lim 2
= + = +∞.
3
x→0 x (1 + 6x )
0
=
lim
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Introduzione
70/ 154
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Esempio
Calcolare
lim x 2 + x sin(x)
x→+∞
Svolgimento.
Notiamo che non è chiaro come limite di una somma, poichè
x 2 → +∞ mentre x · sin(x) non ha limite. Tuttavia
lim x 2 + x sin(x) = lim x(x + sin(x)) = (+∞) · (+∞) = +∞.
x→+∞
x→+∞
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Introduzione
71/ 154
Cambio di variabile (successioni).
Teorema (Limite successioni composte)
Siano
cn una successione tale che limn cn = c (con c ∈ R∗ ),
f una funzione definita in un intorno forato di c.
Supponiamo sia
limt→c f (t) = L, con L ∈ R∗ ;
f sia continua in c o cn 6= c definitivamente.
Allora il limite di f (cn ) esiste e risulta
lim f (cn ) = L.
n
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Introduzione
72/ 154
Cambio di variabile (successioni). Esempi
Esempio (1)
Discutere la convergenza di bn = sin(1/n) + 1.
Svolgimento.
La successione an = 1/n converge a 0 e quindi per il precedente
teorema, visto che
lim sin(x) + 1 = 1
x→0
risulta
lim bn = lim sin(1/n) + 1 = 1.
n
n
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Introduzione
73/ 154
Cambio di variabile (successioni). Esempi
Esempio (2)
Discutere la convergenza di an = (1 +
1
n3 +log(n)
n2
)
n3 +log(n)
n2
.
Svolgimento.
Osserviamo che
n3 + log(n)
→ +∞.
n2
Discutere la sua monotonia può non essere banale. Ciononostante, visto che
come vedremo tra breve
x
1
1+
=e
x→+∞
x
lim
cn → +∞ definitivamente,
il limite richiesto vale ”e”.
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Introduzione
74/ 154
1.0e
1.0e
1.0e
1.0e
1.0e
1.0e
1.0e
1.0e
n
|an − exp(1)|
+ 01
1.3e − 01
+ 02
1.4e − 02
+ 03
1.4e − 03
+ 04
1.4e − 04
+ 05
1.4e − 05
+ 06
1.4e − 06
+ 07
1.3e − 07
+ 08
3.1e − 09
Tabella : Valori per n = 10, 102 , . . . , 108 di |an − exp(1)|.
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Introduzione
75/ 154
Cambio di variabile.
Teorema (Limite funzioni composte)
Siano f , g due funzioni tali che è definita f ◦ g e supponiamo che
limx→x0 g (x) = t0 con x0 ∈ R∗ ;
limt→t0 f (t) = L con t0 ∈ R∗ ;
g (x) 6= t0 in un intorno di x0 .
Allora
lim (f ◦ g )(x) = lim f (t) = L.
x→x0
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t→t0
Introduzione
76/ 154
Cambio di variabile.
Nota.
Questo importante teorema ci permette di effettuare la
sostituzione t = g (x) ed invece di calcolare il limite
lim f (g (x))
x→x0
effettuare
lim f (t)
t→t0
con
t0 = lim g (x).
x→x0
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Introduzione
77/ 154
Cambio di variabile: esempio 1.
Esempio
Calcolare
lim a1/x
x→+∞
per a ∈ R\{0}.
Svolgimento. (Metodo 1)
Poniamo t = 1/x. Se x → +∞ allora t → 0+ . Quindi
lim a1/x = lim+ at = 1.
x→+∞
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t→0
Introduzione
78/ 154
Cambio di variabile: esempio 1.
Esempio
Calcolare
lim a1/x
x→+∞
per a ∈ R\{0}.
Svolgimento. (Metodo 2)
Con riferimento al teorema sul limite di funzioni composte, a1/x = f (g (x)) con
g (x) = 1/x;
f (y ) = ay .
Visto che
limx→+∞ 1/x = 0;
limt→0 a0 = 1.
lim a1/x = lim at = 1.
x→+∞
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t→0
Introduzione
79/ 154
Cambio di variabile: esempio 2.
Esempio
Calcolare
lim (x − 1)2
x→1
Svolgimento.
Notiamo che relativamente al teorema di sostituzione,
g (x) = (x − 1),
f (x) = x 2 ,
x0 = 1
abbiamo
lim g (x) = lim (x − 1) = 0 ⇒ t0 = 0
x→x0
x→1
potendo concludere
lim f (x) = lim x 2 = 0.
t→t0
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t→0
Introduzione
80/ 154
Cambio di variabile: esempio 3.
Esempio (Facoltativo)
Calcolare
lim sin (1/x)
x→+∞
Svolgimento.
Poniamo t = 1/x. Se x → +∞ allora t → 0+ . Quindi
lim sin (1/x) = lim+ sin (t) = 0.
x→+∞
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t→0
Introduzione
81/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx→±∞ 1 +
1 x
x
=e
α x
x
= eα
Corollario
Vale il seguente limite notevole
limx→±∞ 1 +
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Introduzione
82/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Dimostrazione.
Partiamo dal caso α 6= 0. Ragioniamo per sostituzione, e poniamo t =
x = αt. Dal limite notevole
x
1
lim
1+
=e
x→±∞
x
x
,
α
cioè
e dal fatto che se
lim f (x) = L1 , lim g (x) = L2 , con L1 , L2 ∈ R\{0}
x→c
x→c
allora
lim (f (x))g (x) = lim (f (x))limx→c (g (x)) = L1 L2
x→c
x→c
ricaviamo per f (x) = (1 + (1/x))x , g (x) = α,
tα
t α
α x
1
1
= lim
1+
lim 1 +
=
lim
1+
t→±∞
x→±∞
t→±∞
x
t
t
t limx→±∞ α
1
=
lim
1+
= eα
x→±∞
t
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83/ 154
(2)
Limite di funzione: limiti notevoli.
Per quanto riguarda il caso α = 0 abbiamo che per ogni x 6= 0
x
α x
0
1+
= 1+
= 1x = 1
x
x
e quindi
lim
x→±∞
1+
α x
= lim 1 = 1 = e 0 = e α .
x→±∞
x
come volevasi provare.
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84/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx→0
log (1+x)
x
=1
Dimostrazione facoltativa.
Effettuiamo la sostituzione y = 1/x, cioè x = 1/y . Allora se
x → ±0, si ha che y → ±∞ e da γ log(y ) = log(y )γ
log (1 + x)
x→0
x
lim
=
lim
log (1 + y1 )
y →±∞
1
y
= lim y · log (1 +
y →±∞
1 y
=
lim log 1 +
= log e = 1.
y →±∞
y
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Introduzione
85/ 154
1
)
y
Limite di funzione: limiti notevoli.
Nota.
Nella precedente dimostrazione, abbiamo prima osservato che
limx→0 (1 + y1 )y = e,
limx→e log(x) = 1,
e quindi per il teorema del limite delle funzioni composte dedotto
che
1 y
1 y
lim log 1 +
= log 1 +
= log e = 1.
x→0
y
y
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Introduzione
86/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx→0
e x −1
x
=1
Svolgimento.
Posto y = e x − 1 (e quindi x = log(y + 1)), se x → 0, allora
)
y → 0 e quindi da limy →0 log (1+y
=1
y
y
= lim
y →0 log(y + 1)
y →0
lim
1
log (1+y )
y
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=
1
= 1.
log (1 + y )
lim
y →0
y
|
{z
}=1
Introduzione
87/ 154
Limite di funzione: esercizi svolti, 1.
Esercizio
Calcolare
3x − 1
.
x→0
x
lim
Svolgimento.
Da
x
3x − 1
e log (3 ) − 1
e x log (3) − 1
=
=
· log (3)
x
x
x · log (3)
abbiamo, posto y = x · log (3), da limx→0
lim
x→0
3x − 1
x
=
=
e x −1
x
=1
e x log (3) − 1
· log (3)
x→0 x · log (3)
y
e −1
· log (3) = 1 · log (3) = log (3).
lim
y →0
y
lim
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Introduzione
88/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx→0
ax −1
x
= log(a).
Svolgimento.
Usare la tecnica dell’esercizio precedente.
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89/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Esempio
Mostrare che
(1 + x)α − 1
=α
x→0
x
lim
per ogni α ∈ R.
Traccia.
Se α = 0, il risultato è di facile verifica.
Se α 6= 0, osserviamo che
(1 + x)α − 1
e α log (1+x) − 1
=
x
x
t
visto il limite notevole limt→0 e −1
= 1, per avere un simile numeratore,
t
poniamo t = α log (1 + x) e notiamo che se x → 0 allora t → 0.
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Introduzione
90/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
t
Siccome t = α log (1 + x), se e solo se x = e α − 1, come detto
ex − 1
lim
= 1,
x→0
x
e abbiamo, visto che y α = e α·log(y ) ,
lim
x→0
(1 + x)α − 1
x
=
=
=
essendo per s = t/α
lim
t→0
t
α
e
t
α
−1
= lim
s→0
e α log (1+x) − 1
x
t
t
et − 1
e −1
= lim
·α
lim t
· tα
t→0
t→0 e α − 1
t
eα −1
t
et − 1
lim
· lim t α
·α=α
t→0
t→0 α − 1
| {z t }=1 | e{z
}=1
lim
x→0
s
= lim
s→0
es − 1
1
e s −1
s
=
1
= 1.
es − 1
lim
s→0
| {z s }
=1
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91/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Lemma
Per x ∈ (0, π/2) si ha
sin x ≤ x ≤ tan (x).
Figura : Aree relative al disco unitario: area OCH = 12 sin(x), area settore
circolare OCH= 21 x, area OHB= 21 tan(x).
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Introduzione
92/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Dimostrazione.
Le aree del disco unitario della precedente figura, sono
area triangolo OCH = 12 sin(x), visto che |OH| = 1,
area settore circolare OCH= 12 x, visto che se x è in radianti
area disco : (2π)
=
area settore circolare : x ⇔
π : (2 · π)
=
area settore circolare
=
area settore circolare : x ⇔
x
.
2
area triangolo OBH= 12 tan(x).
Essendo per x ∈ (0, π/2), l’area del triangolo rettangolo OCH minore dell’ area
del settore circolare OCH che a sua volta è minore dell’area del triangolo
rettangolo OBH, abbiamo
(1/2) sin(x) ≤ (1/2)x ≤ (1/2) tan(x) ⇔ sin x ≤ x ≤ tan (x).
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Introduzione
93/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Teorema
Vale il limite notevole
limx→0
sin (x)
x
= 1.
Dimostrazione.
Osservando che sinx(x) è pari, basta mostrare che limx→0+
lemma, per x ∈ (0, π/2),
sin (x)
sin x ≤ x ≤ tan (x) =
.
cos (x)
e dividendo i membri per sin x abbiamo
x
1
1≤
≤
sin (x)
cos (x)
sin (x)
x
= 1. Ma dal
e passando ai reciproci, poichè 0 ≤ a ≤ b ≤ c implica 0 ≤ 1/c ≤ 1/b ≤ 1/a,
sin (x)
cos (x) ≤
≤ 1,
x
e quindi otteniamo il risultato richiesto per il teorema del confronto.
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Introduzione
94/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Teorema
Vale il limite notevole
limx→0
Dimostrazione.
Osserviamo che
1 − cos (x)
x2
Da limx→0
sin (x)
x
1−cos (x)
x2
= 1/2.
=
1 − cos (x) 1 + cos (x)
·
x2
1 + cos (x)
=
1 − cos2 (x)
sin2 (x)
1
=
·
x 2 (1 + cos (x))
x2
1 + cos (x)
= 1 si ha limx→0
2
sin2 (x)
x2
1 − cos (x)
sin (x)
= lim
lim
2
x→0
x→0
x2
| x{z }
= limx→0
sin (x)
x
·
sin (x)
x
= 1 e quindi
1
= 1 · (1/2) = 1/2.
1 + cos (x)
{z
}=1/2
=1 |
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Introduzione
95/ 154
(3)
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Teorema
Vale il limite notevole
limx→0
tan (x)
x
= 1.
Dimostrazione facoltativa.
Dal limite notevole limx→0
lim
x→0
sin (x)
x
= 1, essendo limx→0
1
cos(x)
= 1,
tan (x)
1
sin (x)
sin (x)
· lim
= lim
= lim
x→0 cos(x)
x→0 x · cos (x)
x→0
x
x
| {z }=1 | {z }
=1
si ottiene quanto richiesto.
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Introduzione
96/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Teorema
Vale il limite notevole
limx→0
arcsin (x)
x
= 1.
Dimostrazione.
Posto y = arcsin(x), abbiamo x = sin(y ) e che se x → 0 allora
y → 0. Quindi
lim
x→0
y
arcsin (x)
= lim
= lim
y →0 sin (y )
y →0
x
1
sin(y )
y
=
1
=1
sin(y )
lim
y →0
y
| {z }
=1
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Introduzione
97/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Nota. (Facoltativa)
I limiti notevoli finora visti dicono che sin (x) ∼ x, tan (x) ∼ x,
arcsin (x) ∼ x per x → 0. Vediamo l’effetto su un esempio.
x
1.0e + 00
1.0e − 01
1.0e − 02
1.0e − 03
1.0e − 04
1.0e − 05
1.0e − 06
1.0e − 07
1.0e − 08
1.0e − 09
1.0e − 10
sin(x)
8.4147098481e
9.9833416647e
9.9998333342e
9.9999983333e
9.9999999833e
9.9999999998e
1.0000000000e
1.0000000000e
1.0000000000e
1.0000000000e
1.0000000000e
− 01
− 02
− 03
− 04
− 05
− 06
− 06
− 07
− 08
− 09
− 10
tan(x)
1.5574077247e + 00
1.0033467209e − 01
1.0000333347e − 02
1.0000003333e − 03
1.0000000033e − 04
1.0000000000e − 05
1.0000000000e − 06
1.0000000000e − 07
1.0000000000e − 08
1.0000000000e − 09
1.0000000000e − 10
arcsin(x)
1.5707963268e + 00
1.0016742116e − 01
1.0000166674e − 02
1.0000001667e − 03
1.0000000017e − 04
1.0000000000e − 05
1.0000000000e − 06
1.0000000000e − 07
1.0000000000e − 08
1.0000000000e − 09
1.0000000000e − 10
Tabella : Valori di alcune funzioni asintotiche a x in un intorno di 0.
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Introduzione
98/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx→+∞
(logγ x)α
xβ
= 0, α > 0, β > 0, γ > 1.
Nota.
Importante il caso particolare
limx→+∞
log x
xβ
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= 0, β > 0.
Introduzione
99/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguenti limite notevole
limx→+∞
xβ
αx
= 0, α > 1, β > 0.
Nota.
Importante il caso particolare
limx→+∞
xβ
ex
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= 0, β > 0.
Introduzione
100/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx→0+ x α | logγ (x)|β = 0, α > 0, β > 0, γ > 1.
Nota.
Importante il caso particolare
limx→0+ x α log(x) = 0, α > 0.
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Introduzione
101/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Esercizio
Calcolare
lim+
√
x · log(sin(x))
x→0
Traccia.
Posto t = sin(x), abbiamo x = arcsin(t), e da x → 0+ che t → 0+ . Quindi
p
√
lim x · log(sin(x)) = lim
arcsin(t) · log(t)
t→0+
x→0+
p
arcsin(t) √
√
= lim
· t log(t)
+
t→0
t
r
√
arcsin(t)
· lim t log(t)
= lim
+
+
t
t→0
t→0
r
√
arcsin(t)
=
lim
· lim t log(t) = 1 · 0 = 0.
t
t→0+
t→0+
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Introduzione
102/ 154
Limite di funzione: limiti notevoli.
Nota.
Nel calcolare il limite
r
arcsin(t)
t
t→0
abbiamo notato che l’argomento è una funzione composta
f ◦ g (x) = f (g (x)) dove
√
f (x) = x,
lim+
g (x) =
arcsin(t)
t
√
e osservato che f (x) = x è continua nel dominio. Quindi, visto
che limt→0+ arcsin(t)
=1
t
r
lim+
t→0
arcsin(t)
t
=
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lim
s→1
√
x=
Introduzione
√
1 = 1.
103/ 154
(4)
Limite di funzione: limiti notevoli.
Esercizio (Facoltativo)
Calcolare
lim+
√
x→0
Traccia.
√
Osserviamo che da limx→0+ √ x
sin(x)
√
lim x log4 (sin(x))
x→0+
=
=
=
x · log4 (sin(x))
= 1 (perchè?) abbiamo, posto t = sin(x)
√
p
x
lim p
sin(x) log4 (sin(x))
+
x→0
(sin(x))
p
1 · lim
sin(x) log4 (sin(x))
+
x→0
√
lim t log4 (t) = 0
t→0+
per il terzo limite notevole della pagina precedente.
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Introduzione
104/ 154
Limite di funzione: potenze.
Nota.
Mancano da studiare i limite di funzioni del tipo f (x)g (x) . Al
variare dei limiti di f , g , si possono incontrare per il calcolo di
lim f (x)g (x)
x→x0
indeterminazioni del tipo
00 ,
1±∞ ,
±∞0 .
Da
g (x) )
lim f (x)g (x) = lim e log(f (x)
x→x0
x→x0
= lim e g (x) log(f (x))
x→x0
si riconducono tutte le sopramenzionate indeterminazioni a forme
del tipo 0 · ∞, dove ∞ = ±∞.
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Introduzione
105/ 154
Limite di funzione: potenze, esempio 1.
Esercizio
Calcolare
lim x x
x→+∞
Nota.
Per quanto visto
lim e x log(x) .
x→+∞
Visto che x log(x) → +∞ deduciamo che
lim x x = +∞.
x→+∞
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Introduzione
106/ 154
Limite di funzione: ordini di convergenza.
Definizione (Infinitesima in x0 )
Una funzione f si dice infinitesima in x0 se e solo se
lim f (x) = 0.
x→x0
Definizione (Ordini di infinitesimi)
Siano f , g due funzioni infinitesime in x0 .
se limx→x0 gf (x)
(x) = 0 allora f è di ordine superiore rispetto a g
(e si scrive f (x) = o(g (x)) per x → x0 );
se limx→x0 gf (x)
(x) = ±∞ allora g è di ordine superiore rispetto a
f (e si scrive g (x) = o(f (x)) per x → x0 );
se limx→x0 gf (x)
(x) = L ∈ R allora f , g hanno lo stesso ordine; se
L = 1, allora scriveremo f ∼ g e diremo che sono asintotiche.
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Introduzione
107/ 154
Limite di funzione: ordini di convergenza.
Definizione (Infinito in x0 )
Una funzione f si dice infinito in x0 se e solo se
lim f (x) = ±∞.
x→x0
Definizione (Ordini di infinito)
Siano f , g due funzioni infinite in x0 .
se limx→x0
g;
f (x)
g (x)
= ±∞ allora f è di ordine superiore rispetto a
se limx→x0
f (x)
g (x)
= 0 allora g è di ordine superiore rispetto a f ;
se limx→x0
f (x)
g (x)
= L ∈ R allora f , g hanno lo stesso ordine.
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Introduzione
108/ 154
Gerarchia degli infiniti
Si vede che
limx→+∞ loga x = +∞, se a > 1.
limx→+∞ x α = +∞, se α > 0.
limx→+∞ ax = +∞, se a > 1.
limx→+∞ x! = +∞.
limx→+∞ x x = ∞
Tali funzioni sono ordinate gerarchicamente dall’ordine inferiore a
quello superiore, cioè loga x con a > 1 ha ordine inferiore rispetto
x α con α > 0, che a sua volta ha ordine inferiore rispetto ax , se
a > 1, etc.
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Introduzione
109/ 154
Gerarchia degli infiniti
In virtù della gerarchia degli ordini di infinito, possiamo dimostrare
i seguenti risultati.
Teorema
Vale il seguente limite
limx→+∞
loga x
xα
= 0 per ogni α > 0, a > 1.
Teorema
Vale il seguente limite
limx→+∞
xα
ax
= 0 per ogni a > 1.
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Introduzione
110/ 154
Gerarchia degli infiniti
Teorema
Vale il seguente limite
limx→+∞
ax
x!
= 0 per ogni a > 1.
Teorema
Vale il seguente limite
limx→+∞
x!
xx
=0
Nota.
La funzione x! è per x ∈ N il solito fattoriale, mentre per x ∈ R+
coincide con Γ(x + 1) dove Γ è la funzione Gamma di Eulero.
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Introduzione
111/ 154
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 1.
Esempio
Sappiamo che
lim sin (x) = 0,
x→0
lim x = 0,
x→0
e dal limite notevole
sin (x)
=1
x→0
x
possiamo dire che sin(x) ∼ x per x → 0.
lim
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Introduzione
112/ 154
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 2.
Esercizio
Mostrare che 1 − cos(x) = o(x) per x → 0, cioè
limx→0 1−cos(x)
= 0.
x
Svolgimento.
Sappiamo che
lim 1 − cos (x) = 0,
x→0
lim x = 0.
x→0
Dal limite notevole limx→0
lim
x→0
1−cos(x)
x2
= 1/2 abbiamo
1 − cos(x)
1 − cos(x)
= lim x
= 0 · (1/2) = 0.
x→0
x
x2
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Introduzione
113/ 154
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 3.
Esercizio
Mostrare che tan(x) ∼ x per x → 0.
Svolgimento.
Per definizione, basta mostrare che
lim
x→0
tan(x)
=1
x
cosa nota da un limite notevole visto in precedenza.
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Introduzione
114/ 154
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 3.
Esercizio
Mostrare che arctan(x) ∼ x per x → 0.
Svolgimento.
Per definizione, basta mostrare che
arctan(x)
= 1.
x→0
x
lim
Posto y = arctan(x), ovviamente x = tan(y ) e quindi se x → 0
pure t → 0. Quindi
arctan(x)
y
= lim
= lim
x→0
y →0 tan(y )
y →0
x
lim
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Introduzione
tan(y )
y
−1
115/ 154
= 1.
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 4.
Esercizio
Mostrare che x x è infinito di ordine superiore rispetto 3x (per
x → +∞).
Traccia.
Basta osservare che
3x
lim x = lim
x→+∞ x
x→+∞
x
3
= lim e x log(3/x) = 0
x→+∞
x
poichè limx→+∞ log(3/x) = log(limx→+∞ (3/x)) = −∞.
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Introduzione
116/ 154
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 5.
Esercizio
Mostrare che, se α > β allora x α è infinito di ordine superiore
rispetto x β (per x → +∞).
Traccia.
Basta osservare che se α > β allora
xα
= lim x α−β = +∞.
x→+∞ x β
x→+∞
lim
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Introduzione
117/ 154
Limite di funzione: nota sugli ordini di convergenza.
Nota. (Importante)
Si supponga di dover calcolare
lim
x→x0
f+ (x) + f− (x)
g+ (x) + g− (x)
se le funzioni sono infinitesime e supponiamo f+ /f− → 0,
g+ /g− → 0 (cioè f+ = o(f− ), g+ = o(g− )) essendo
lim
x→x0
f+ (x) + f− (x)
g+ (x) + g− (x)
f− (x)(1 + (f+ (x)/f− (x))
g− (x)(1 + (g+ (x)/g− (x))
f− (x)
= lim
(5)
x→x0 g− (x)
=
lim
x→x0
si possono tralasciare i termini infinitesimi di ordine superiore
f+ , g+ .
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Introduzione
118/ 154
Limite di funzione: nota sugli ordini di convergenza.
se le funzioni sono infiniti e supponiamo f− /f + → 0,
g− /g+ → 0 essendo
lim
x→x0
f+ (x) + f− (x)
g+ (x) + g− (x)
f+ − (x)(1 + (f− (x)/f+ (x))
x→x0 g+ (x)(1 + (g− (x)/g+ (x))
f+ (x)
= lim
(6)
x→x0 g+ (x)
=
lim
si possono tralasciare i termini infinito di ordine inferiore f− ,
g− .
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Introduzione
119/ 154
Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 1.
Esercizio
Calcolare
2x 4 + 4 · 3x
√
.
x→+∞ x 4 + x + log(x)
lim
Traccia.
Eliminando gli ordini di infinito inferiori
4 + 4 · 3x
4 · 3x
2x
=
lim
= +∞
√
x→+∞ x 4
x→+∞ x 4 + log(x)
x + lim
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Introduzione
120/ 154
Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 2.
Esercizio
Calcolare al variare del parametro α > 0
2x 4 + 4 · αx
.
x→+∞ x 4 + log x
L = lim
Traccia.
Eliminando gli ordini di infinito inferiori
lim
x→+∞
x4
2x 4 + 4 · 3x
2x 4 + 4 · αx
√
= lim
.
x→+∞
x4
+ x + log(x)
Se α < 1 allora 4 · αx → 0 e si vede facilmente che L = 2.
Se α = 1 allora 4 · αx = 4 e si si vede facilmente che L = 2.
Se α > 1 allora eliminando gli ordini di infinito inferiori
L = lim
x→+∞
2x 4 + 4 · αx
4 · αx
= lim
= +∞.
4
x→+∞
x
x4
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Introduzione
121/ 154
Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 3.
Esempio
Calcolare
e 5x
.
x→+∞ x + sin(x) − e 6x
lim
Traccia.
Eliminando la funzione limitata (che non da contributo contro le
infinite!), visto che e 6x ha ordine superiore rispetto a e 5x in quanto
e 6x /e 5x = (e 6/5 )x → +∞ (e ovviamente superiore rispetto a x)
e 5x
e 5x
. = lim
= 0.
x→+∞ x→+∞ −e 6x
− e 6x
x +
sin(x)
lim
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Introduzione
122/ 154
Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 4.
Esercizio
Calcolare al variare del parametro α ∈ R+
lim
x→+∞
αx+1 + x 2
π x − e −x − 2x 3 + sin(x)
Traccia.
Notiamo che al numeratore tutto dipende se α ∈ (0, 1] o α ∈ (1, +∞). Al
denominatore, tolti gli infinitesimi e le funzioni limitate, osserviamo che π x ha
ordine superiore rispetto −2x 3 . Quindi
L = lim
αx+1 + x 2
x→+∞ π x
lim
= x→+∞
−
e − 2x 3 + sin(x)
−x
αx+1 + x 2
.
πx
Se α ∈ (0, 1) il termine αx+1 è infinitesimo, mentre se α = 1 è limitato. In
entrambi i casi il termine αx+1 è irrilevante. Quindi
αx+1 + x 2
x2
= lim
=0
L = lim x
x→+∞
x→+∞ π x
π
visto che x 2 è infinito di ordine inferiore rispetto a π x .
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Introduzione
123/ 154
Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 4.
Se α ∈ (1, +∞) il termine αx+1 è infinito e domina su x 2 . Quindi
L
=
=
αx+1 + x 2
αx+1
αx
= lim
= lim α x
x
x
x→+∞
x→+∞ π
x→+∞ π
π
α x
α lim
.
x→+∞ π
lim
Se
se α ∈ (1, π) allora L = 0,
se α = π vale L = α,
se α ∈ (π, +∞) allora L = +∞.
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Introduzione
124/ 154
Esercizi di ricapitolazione
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Introduzione
125/ 154
Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 1
Esercizio
Mostrare che
lim sin (x) = 0.
x→0
Svolgimento.
L’asserto limx→0 sin (x) = 0 significa che per ogni > 0 esiste
δ() > 0 tale che | sin (x) − 0| < , per ogni x tale che
|x − 0| < δ(), con x 6= 0.
Ma | sin (x)| = | sin (x) − 0| < implica − < sin (x) < .
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Introduzione
126/ 154
Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 1
Ricordiamo ora che arcsin è dispari e quindi si ha
arcsin (−x) = − arcsin (x) per x ∈ [−π/2, π/2]. Quindi affinchè
− < sin (x) < , almeno in un intorno di 0 contenuto in
[−π/2, π/2], basta − arcsin () = arcsin (−) < x < arcsin () cioè
|x| < arcsin ().
Per verificare l’asserto basta scegliere δ() = arcsin ().
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Introduzione
127/ 154
Limite di funzione
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Figura : Il limite di sin (x) per x → 0 è 0. Descrizione degli intorni Vc
(rosso), Uc (magenta), per c = 0, per = 0.2. Dalla teoria si evince che
per tale una buona scelta è δ() = arcsin () = 0.2013 . . . ed è
confermata dal grafico.
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Introduzione
128/ 154
Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 2
Esercizio
Mostrare che non vale limx→0 x 2 = 1.
Svolgimento.
Per assurdo supponiamo sia limx→0 x 2 = 1, cioè che per ogni > 0
esiste δ() > 0 tale che |x 2 − 1| < , per ogni x tale che
|x − 0| < δ(), con x 6= 0. Supponiamo inoltre sia < 1. Ma
|x 2 − 1| < implica − < x 2 − 1 < cioè 1 − < x 2 < 1 + e
quindi dalla monotonia della radice quadrata che o
p
p
(1 − ) < x < (1 + )
o
p
p
− (1 + ) < x < − (1 − )
che non è un intorno di 0 in quanto non contiene nemmeno 0
(ricordarsi che < 1 altrimenti sarebbe contenuto).
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Introduzione
129/ 154
Limite di funzione: esercizio 3
Esempio
Verificare che
lim 21/x = 1
x→−∞
Svolgimento.
Come detto, mostrare che per ogni > 0 esiste K tale che se x < K allora
|f (x) − L| < . Nel nostro caso diventa per ogni > 0 esiste K tale che se
x < K allora |21/x − 1| < . La tesi sta per
− < 21/x − 1 < ⇔ 1 − < 21/x < 1 + Visto che vogliamo determinare il comportamento per x → −∞ non è
restrittivo supporre K < 0. Osserviamo che per x < 0, la funzione 1/x è
negativa e decrescente. Quindi 21/x è decrescente, in quanto composta di una
crescente con una decrescente. Inoltre è non negativa, ed essendo 1/x < 0,
certamente 21/x < 20 = 1, in quanto se α < β allora 2α < 2β .
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Introduzione
130/ 154
Limite di funzione: esercizio 3
Se ≥ 1, allora
1 − < 21/x < 1 + è ovviamente verificata per x < 0 in quanto
1 − < 0 < 21/x < 1 < 1 + .
In questo caso, posto K < 0 arbitrario, 1 − < 21/x < 1 + per x < K .
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Introduzione
131/ 154
Limite di funzione: esercizio 3
Se < 1 vogliamo
− < 21/x − 1 < ⇔ 1 − < 21/x < 1 + .
Se x < 0 allora certamente 21/x < 1 < 1 + . Basta mostrare
che per un certo K < 0 si ha che se x < K allora
1 − < 21/x . Dalla monotonia crescente di log2 (x), osservato
che log2 (1 − ) < 0, x < 0 basta
1
log2 (1 − ) < log2 2 x =
e quindi posto K =
1−<
21/x
1
log2 (1−) ,
1
1
⇔x <
x
log2 (1 − )
se x < K allora
< 1 + .
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Introduzione
132/ 154
Limiti destro e sinistro e limiti: esercizio 1.
Esercizio
Mostrare che
lim
1
= −∞
x
lim
1
= −∞
x
x→0−
Svolgimento.
Con la scrittura
x→0−
indendiamo che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che
per ogni x ∈ (−δ(K ), 0).
1
x
<K
In effetti, affinchè x1 < K basta K1 < x (attenzione,
K < 0) che è
verificata per x ∈ (−δ(K ), 0) con δ(K ) = K1 = − K1 .
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Introduzione
133/ 154
Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile
(facoltativo)
Esercizio
Osservando che
g (x) )
f (x)g (x) = e log (f (x)
calcolare
lim
x→+∞
x +3
x +4
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= e g (x) log f (x)
x 2 +7
2x+1
Introduzione
.
134/ 154
Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile
(facoltativo)
Traccia.
Dopo un po’ di conti essendo
1
x +3
=1−
x +4
x +4
si ricava, raccogliendo opportunamente e moltiplicando sopra e
sotto per (−1/(x + 4)),
x +3
x +4
x 2 +7
2x+1
=e
x 2 (1+7/x 2 ) log(1−1/(x+4))
(−1/(x+4))
x(2+1/x)
−1/(x+4)
e per algebra di limiti e limiti notevoli si ha che il limite
dell’esponente vale −1/2 e quindi il limite vale
e −1/2 ≈ 0.6065306597126334.
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Introduzione
135/ 154
Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile
(facoltativo).
0.6067
0.6067
0.6066
0.6066
0.6066
0.6066
0.6066
0.6065
0.6065
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
x 10
Figura : La funzione
x+3
x+4
2 +7
x2x+1
per x ∈ [104 , 106 ] (in verde) e la funzione
costante e −1/2 (in nero).
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Introduzione
136/ 154
Limite di funzione: esercizio 2. Medio (facoltativo).
Esempio
Calcolare al variare di α ∈ R
L = lim αx −
x→+∞
p
x2 + 3
per ogni α ∈ R.
Traccia.
L’unico caso complicato è quello per α > 0. Distinguere i casi α2 − 1 6= 0
(quindi α = 1) da quelli in cui α2 − 1 = 0. Si ottiene che per
se α ≤ 0 allora L = −∞;
se α ∈ (0, 1) allora L = −∞;
se α > 1 allora L = +∞;
se α = 1 allora L = 0.
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Introduzione
137/ 154
Limite di funzione: esercizio 3. Facile (facoltativo).
Esempio
Mostrare che
√
(1 + x)
lim
x→0
x
2
−1
=
√
2
Traccia.
Usare il limite notevole
(1 + x)α − 1
= α.
x→0
x
lim
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Introduzione
138/ 154
Limite di funzione: esercizio 4. Facile (facoltativo).
Esempio
Mostrare che
√
1+x −1
lim √
= 3/2
3
x→0
1+x −1
Traccia.
Moltiplicare e dividere per x e quindi ricordare il limite notevole
(1 + x)α − 1
= α.
x→0
x
lim
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Introduzione
139/ 154
Limite di funzione: esercizio 5. Facile (facoltativo).
Esempio
Mostrare che
lim
x→+∞
Traccia.
Moltiplicare e dividere per
p
1 + x2 − x = 0
√
1 + x 2 − x.
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Introduzione
140/ 154
Limite di funzione: esercizio 6. Facile (facoltativo).
Esempio
Mostrare che
p
3/2
L = lim ( 1 + x 2 − x)x = 0
x→+∞
Svolgimento.
Da (f (x))g (x) = e g (x) log(f (x))
√
p
3/2
3/2
2
lim ( 1 + x 2 − x)x = e x log( 1+x −x)
x→+∞
√
2
Dall’esercizio
x→+∞ 1 + x − x = 0
√ precedente sappiamo che lim
3/2
2
quindi log( 1 + x − x) → √
−∞ e da x
→ +∞ ricaviamo che
l’esponente h(x) = x 3/2 log( 1 + x 2 − x) → 0 e quindi e h(x) → 0.
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Introduzione
141/ 154
Limite di funzione: esercizio 7. Facile (facoltativo).
Esempio
Mostrare che
p
L = lim ( 2x 2 + 1 + x) = +∞
x→−∞
Traccia.
E’ una forma indeterminata. Dopo aver razionalizzato, troviamo, posto t = −x
(e quindi t → +∞)
p
2x 2 + 1 + x
=
=
∼
−x 2 − 1
−t 2 − 1
√
√
=
x − 2x 2 + 1
−t − 2t 2 + 1
−t 2 (1 + (1/t 2 ))
−t 2 (1 + (1/t 2 ))
p
p
=
−t − t · 2 + (1/t 2 )
−t(1 + 2 + (1/t 2 ))
t
√ → +∞
1+ 2
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Introduzione
142/ 154
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Mostrare che, razionalizzando oppurtanamente,
r
√
x2 + 1
lim
= 0.
x−
x→+∞
x
Esercizio
Mostrare che, razionalizzando oppurtunamente,
p
√
3
lim
x 2 + 1 − 2x 2 = −∞.
x→−∞
Suggerimento: nella razionalizzazione moltiplicare sopra e sotto per
p
p
p
3
(x 2 + 1)2 + 3 (x 2 + 1)(2x 2 ) + 3 (2x 2 )2 .
Perchè funziona? a3 − b 3 = (a − b)(a2 + ab + b 2 ) e quindi . . .
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Introduzione
143/ 154
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Utilizzando opportune sostituzioni, calcolare
sin(3x)
x
sin(x)
limx→π+ √x−π
limx→+∞ x π2
limx→0
− arctan(x)
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Introduzione
144/ 154
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Mostrare che
1 − cos3 (x)
= 3/2.
x→0 x tan (x)
lim
Suggerimento: a3 − b 3 = (a − b)(a2 + ab + b 2 ) e usare limite
notevole.
Esercizio
Mostrare che
2x − 6
= −2/π.
x→3 sin (πx)
lim
Suggerimento: ricordare che sin(πx) = − sin(πx − 3π) ed
effettuare una opportuna sostituzione e usare un certo limite
notevole.
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Introduzione
145/ 154
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Mostrare che
lim x ·
π
x→+∞
2
− arctan (x) = 1.
Suggerimento: t = tan (x) e usare un limite notevole.
Esercizio
Calcolare al variare di a ∈ R
x + ax 2 − 4x 2
a−4
=
.
2
x→+∞ 1 + 3x + 2x
2
lim
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Introduzione
146/ 154
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Calcolare al variare di a ∈ R
lim+
x→0
xa + x4
x2
Esercizio
Calcolare al variare di a ∈ R
sin (|x|3 )
.
x→0
|x|a
lim
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Introduzione
147/ 154
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Mostrare che
√
sin(x 2 )
lim p
= 1/ 3
x→0
3x 4 + x 5 cos(x)
Esercizio
Calcolare attraverso le sostituzioni t = 1/x, y = arccos(t) e
u = (π/2) − y
lim x((π/2) − arccos(1/x)).
x→+∞
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Introduzione
148/ 154
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Calcolare
log4 (x)
x→+∞
3x
p
lim |x| · log1/4 (| sin(x)|).
lim
x→0
lim 3x
2 /(1−x)
x→+∞
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
· (1 − cos(1/x))
Introduzione
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Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Calcolare
lim (x 2 )x ;
x→0+
lim (x 3 )1/x ;
x→+∞
p
lim ( x 2 + 1 − 1)1/x
x→+∞
lim (cos(x))1/x
2
x→0
lim 3x · x 3
x→−∞
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
150/ 154
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Calcolare
5x − 7x
x→+∞
x
lim
Traccia.
Raccogliere 7x .
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Introduzione
151/ 154
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Calcolare (attenzione, x → 0)
5x − 7x
x→0
x
lim
Traccia.
Raccogliere 7x e ricordare che limx→0
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ax −1
x
Introduzione
= log(a).
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Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Calcolare
x 3 + 2x + 1 x cos
+2
x→−∞
x −1
2
lim
Traccia.
Osservare che si moltiplica un infinito per una limitata a segno
costante.
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Introduzione
153/ 154
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Calcolare
sin(x 2 )
lim p
x→0
3x 4 + x 5 cos(x)
Traccia.
Usare il limite notevole limx→0 sin(x)/x = 1 e raccogliere x 4 nella
radice quadrata.
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Introduzione
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