Esercitazione del 23/11/09

Esercitazione del 23/11/09
A cura di Giuseppe Gori ([email protected])
Corso di Microeconomia, Titolare del Corso Luigi Marattin
1
Esercizi.
1.1
Oligopolio
In un mercato duopolistico operano due imprese, caratterizzate dalla seguente
funzione di costo totale:
T Ci (q) = 20qi
con i = 1, 2. La curva di domanda inversa del mercato é:
p = 80 − Q
(dove Q = q1 + q2 é la quantitá complessiva prodotta dalle due imprese).
(a) Calcolare l’equilibrio se le imprese scelgono simultaneamente la quantitá giocando alla Cournot;
(b) Determinare l’equilibrio nel caso di concorrenza perfetta
(c) Determinare l’equilibrio nel caso di monopolio
(d) Confrontare surplus del consumatore e benessere sociale nelle diverse
configurazioni di mercato.
1.2
Concorrenza Monopolistica
Si consideri un’impresa che opera in un mercato in concorrenza monopolistica, con la seguente funzione di costo:
T C(q) = 100 + q 2
La funzione di domanda é pari a
p = 48 − 3q
Determinare:
1
(a) La scelta ottimale dell’impresa nel breve periodo.
(b) La scelta ottimale dell’impresa nel lungo periodo (ipotizzando uno
spostamento parallelo della curva di domanda)
1.3
Concorrenza Monopolistica
Si consideri un mercato di concorrenza monopolistica in cui la funzione di
costo totale é
T C(q) = 2 + 2q
ed in cui la domanda di mercato é rappresentata dalla funzione (inversa) di
domanda
p = 10 − 2q
Determinare:
(a) L’equilibrio di breve periodo, quando nel mercato opera una sola impresa;
(b) L’equilibrio di lungo periodo ed il numero di imprese operanti nel mercato nel lungo periodo.
1.4
Mercato del lavoro
La funzione di produzione di un’impresa monopolista é data da:
F (K, L) = K 1/2 L1/2
la curva di domanda di mercato (bene finale) é:
Q = 64 − 4p
(a) Ipotizzate che l’impresa impieghi una quantitá fissa di capitale pari
a 16 unitá e che il salario di equilibrio sia w = 4. Quale sarebbe la
quantitá di lavoro che massimizza il profitto dell’impresa? A che prezzo
l’impresa venderebbe il proprio output?
(b) Quale sarebbe il salario di equilibrio se l’impresa operasse in concorrenza perfetta sul mercato del bene finale? (Ipotizzate che il prezzo di
mercato del bene finale sia p = 4)
2
Domande a risposta multipla, Teoria.
2.1
Nel caso di un mercato in concorrenza monopolistica:
(a) la sostitutibilitá dei beni tende a zero
2
(b) la sostitutibilitá dei beni é intermedia rispetto a quella di oligopolio di
Cournot e di Bertrand.
(c) la sostitutibilitá dei beni é intermedia rispetto a quella di concorrenza
perfetta e di monopolio.
(d) la sostitutibilitá dei beni tende all’infinito
2.2
Il ricavo marginale del prodotto é:
(a) l’incremento nel ricavo totale derivante dall’impiego di un’unitá addizionale di un fattore produttivo.
(b) l’incremento nella produttivitá marginale derivante dall’impiego di un’unitá
addizionale di un fattore produttivo.
(c) l’incremento nel ricavo totale derivante dall’impiego di un’unitá addizionale di tutti i fattori produttivi.
(d) nessuna delle precedenti
2.3
La curva di offerta individuale di lavoro:
(a) ha sempre inclinazione positiva.
(b) ha sempre inclinazione negativa.
(c) ha sempre inclinazione positiva se il tempo libero é un bene normale.
(d) ha sempre inclinazione positiva se il tempo libero é un bene inferiore.
(e) nessuna delle precedenti
3
Soluzioni suggerite
1.1:
Punto (a): Quando le imprese competono alla Cournot massimizzano il profitto data la quantitá prodotta dalla concorrente, ovvero calcolano la quantitá
che rappresenta la miglior risposta ad ogni livello di quantitá della concorrente. Ottengono cioé una curva di reazione, che esprime la quantitá di
massimo profitto in funzione della quantitá prodotta dall’altra impresa. La
condizione di ottimo per l’impresa si ha quando il ricavo marginale é uguale
al costo marginale. Il costo marginale é comune alle due imprese, che hanno
la stessa funzione di costo totale, ed é pari a:
M C1 = M C2 = 20
Il ricavo totale per la prima impresa é:
T R1 = p · q1 = (80 − Q) · q1 = (80 − Q) · q1
T R1 = (80 − q1 − q2 ) · q1
T R1 = 80q1 − q12 − q1 q2
Da cui, derivando rispetto a q1 , otteniamo il ricavo marginale:
M R1 = 80q − 2q1 − q2
(Alternativamente, dato che la curva di domanda di mercato per un’impresa
duopolista non é altro che la domanda totale di mercato meno la quantitá
immessa sul mercato dalla concorrente: p = (80 − q2 ) − q1 . Si noti che
80 − q2 é l’intercetta verticale (la funzione di domanda residuale é diversa
per ogni livello di q2 , perché diversa é la porzione di mercato su cui l’impresa
puó fare affidamento) e −1 é la pendenza(ricordiamo che in questo caso la
variabile indipendente é q1 per cui la pendenza della retta é il coefficiente di
q1 ). Seguendo la regola generale, valida nel caso di curve di domanda inverse
lineari, si ottiene proprio M R1 = 80q − 2q1 − q2 ).
Eguagliando il ricavo marginale al costo marginale e risolvendo per q1 in
funzione di q2 si ottiene la funzione di reazione per la prima impresa:
q1 = 30 − q2 /2
Procediamo allo stesso modo per la seconda impresa, la sua funzione di
domanda residuale é:
p = (80 − q1 ) − q2
La curva di ricavo marginale per la seconda impresa allora é:
p = 80q − q1 − 2q2
4
La condizione di massimo profitto, da cui ricavare la funzione di reazione
della seconda impresa é:
80q − q1 − 2q2 = 20
da cui:
q2 = 30 − q1 /2
Si ha equilibrio di Nash-Cournot nel punto di intersezione fra le curve di
reazione.
Ponendo a sistema le funzioni di reazione si ottiene che le quantitá ottime
sono:
q1N C = 20
q2N C = 20
C = ΠN C = 400. Si osservi
a cui corrispondono QN C = 40, pN C = 40, ΠN
1
2
N
C
che il profitto congiunto é pari a Πtot = 800.
Punto (b): L’equilibrio di concorrenza perfetta si ha quando il prezzo é
pari al costo marginale:
pCP = 20
da cui si ricava QCP = 60 e profitti nulli (possiamo ipotizzare che, per simmetria, le due imprese producano ciascuna qi = 30, ma é una scelta che
dobbiamo esplicitare)
Punto (c): Il monopolista sceglie il livello di produzione in corrispondenza
del quale il costo marginale eguaglia il ricavo marginale, in modo da massimizzare il proprio profitto. Il monopolista fronteggia l’intera domanda di
mercato, dunque la funzione di ricavo marginale é pari a:
M RM = 80 − 2Q
L’equilibrio si ha quindi in corrispondenza del valore di Q tale che M R =
M C, da cui si ricava la quantitá d’equilibrio QM = 30 e, sostituendo tale
quantitá nella funzione inversa di domanda, il prezzo di equilibrio pM = 50.
I profitti per il monopolista sono pari a ΠM = 900.
Punto (d): Calcoliamo il surplus del consumatore nelle tre configurazioni
considerate. Il surplus del consumatore é dato dall’area compresa al di sotto
della curva di domanda e al di sopra della linea ∗del∗ prezzo di mercato. Il
surplus del consumatore corrisponde a SC = (I−P2 )Q , dove P ∗ e Q∗ rappresentano prezzo e quantitá di equilibrio ed I indica l’intercetta verticale della
curva di domanda. Dunque:
SCN C = 800
5
SCCP = 1800
SCM = 450
Data l’assenza di costi fissi, il surplus del produttore coincide con i profitti.
Il benessere sociale é dato dalla somma del surplus del consumatore e dei
profitti:
NC
Stot
= (800 + 800) + 0 = 1600
CP
Stot
= 1800 + 0 = 1800
M
Stot
= 450 + 900 = 1350
Sia il surplus del consumatore sia il benessere sociale sono massimi nel caso
di concorrenza perfetta e minimi nella configurazione di monopolio, mentre
nel duopolio con competizione alla Cournot si ottiene una soluzione intermedia.
1.2:
Punto (a): Nel breve periodo, l’impresa si comporta come un monopolista e
produce quella quantitá che massimizza il profitto, ovvero che uguaglia costo
marginale e ricavo marginale, dove:
M C = 2Q
M R = 48 − 6Q
quindi:
q∗ = 6
p∗ = 48 − 3 · 6 = 30
In corrispondenza di tale punto, l’impresa ottiene profitti positivi (infatti il
prezzo é superiore al costo medio: 30 > 100
Q + Q = 22, 6̄) e quindi nel lungo
periodo, data l’assenza di barriere all’entrata, nuove imprese decideranno di
entrare nel mercato.
Punto (b): L’entrata di nuove imprese nel lungo periodo fa diminuire la
domanda per l’impresa giá operante (poiché in concorrenza monopolistica
i beni sono parzialmente sostituibili) e quindi la sua curva di domanda si
sposterá verso l’origine. L’entrata di nuove imprese continuerá finché la
curva di ricavo medio é superiore alla curva di costo medio. Nell’equilibrio
di lungo periodo, quindi, la curva di ricavo medio dell’impresa (ovvero la
sue curva di domanda inversa) deve essere tangente alla sua curva di costo
medio. La condizione di equilibrio di lungo periodo richiede quindi che la
pendenza delle curva di domanda (che sappiamo essere la stessa della curva
di domanda di breve periodo, cioé −3, poiché abbiamo ipotizzato che tale
6
curva si sposti parallelamente a se stessa) deve essere uguale alla pendenza
della curva di costo medio, ovvero:
∂AT C
100
=1− 2
∂Q
Q
La condizione di ottimo di lungo periodo é quindi:
1−
100
= −3
Q2
Q∗ = 5
100
= 25
5
La nuova curva di domanda apparterrá alla famiglia di curve con pendenza
−3 e avrá intercetta pari ad A:
P ∗ = AT CQ∗ =5 = 5 +
0
p = A − 3Q
0
Per determinare tale intercetta basta sostituire il prezzo e la quantitá di
lungo periodo che abbiamo determinato, ovvero:
25 = A − 3 · 5
A = 40
Quindi l’equazione della nuova curva di domanda é:
0
0
p = 40 − 3Q
1.3:
Punto (a): L’equilibrio di breve periodo é in corrispondenza di p=6 e Q=2.
Punto (b): L’equilibrio di lungo periodo é in corrispondenza di p=4 e Q=3.
Il numero di imprese é pari a 3, dato che le imprese hanno eguali funzioni di
costo totale.
1.4:
Punto (a): Un’impresa che opera da monopolista sul mercato del bene finale fronteggia una curva di domanda del bene finale decrescente. Il salario
di equilibrio sará quindi il salario che massimizzerà il profitto dell’unica impresa che aquista input lavoro, e la stessa impresa lo fisserà uguagliando il
ricavo marginale che le deriva dall’utilizzo di un’unitá di lavoro addizionale
e il costo marginale del fattore stesso:
M RPL = M F CL
7
Occupiamoci per prima cosa di ricavare l’equazione del M RPL .
Il ricavo marginale dell’input lavoro é pari al prodotto tra il ricavo marginale
dell’impresa (M R) ed il prodotto marginale del lavoro (M PL ).
Possiamo ricavare il ricavo marginale dalla curva di domanda di mercato
(Q = 64 − 4p → p = 16 − (1/4)Q):
1
M R = 16 − Q
2
Per trovare il prodotto marginale del lavoro invece dobbiamo prendere in
considerazione la funzione di produzione dell’impresa:
F (K, L) = K 1/2 L1/2
M PL =
con K = 16
∂F (K, L)
∂(161/2 L1/2 )
∂(4 · L1/2 )
=
=
∂L
∂L
∂L
M PL = 2 · L−1/2
(un risultato aggiuntivo é che Q = 161/2 L1/2 = 4 · L1/2 → L = 1/16 · Q2 o
Q = 4 · L1/2 ).
Possiamo adesso scrivere l’equazione del M RPL :
M RPL =
∂T R ∂Q
·
= (16 − 1/2 · Q) · (2 · L−1/2 )
{z
} | {z }
|
∂Q |{z}
∂L
| {z }
MR
M PL
MR
M PL
dato che Q = 4 · L1/2 :
M RPL = (16 − 1/2 · 4 · L1/2 ) · (2 · L−1/2 )
M RPL = (16 − 2 · L1/2 ) · (2 · L−1/2 )
1
−1/2
−1/2
M RPL = 32 · L
− 4 = 32 L
−
8
Per scrivere la condizione di equilibrio ci manca ancora l’equazione del costo
marginale del fattore (M F CL ):
M F CL = w = 4
Possiamo adesso scrivere la condizione M RPL = M F CL = w:
1
−1/2
32 L
−
=4
8
32L−1/2 = 4 + 4
32L−1/2 = 8
8
32
=8
L1/2
8L1/2 = 32
L1/2 = 32/8 = 4
L∗ = 42 = 16
A questo punto dobbiamo trovare il prezzo di equilibrio del bene finale. Dato
che l’impresa utilizzerá 16 unitá di capitale e 16 unitá di lavoro:
F (K, L) = Q∗ = 161/2 161/2
Q∗ = 4 · 4 = 16
produrrá 16 unitá di output. Sostituendo la quantitá di equilibrio nella curva
di domanda di mercato otteniamo:
p∗ = 16 − (1/4)Q∗
p∗ = 16 − (1/4)16
p∗ = 16 − 4 = 12
Punto (b): Se l’impresa operasse in concorrenza perfetta sceglierebbe di
impiegare la quantitá di lavoro tale che:
M F CL = V M PL
dove V M PL é il valore della produttivitá marginale dell’input lavoro ed é
pari al prodotto tra il prezzo e la produttivitá marginale del lavoro. Dato
che abbiamo imposto un prezzo pari a 4:
V M PL = p(M PL ) = 4(2 · L−1/2 ) = 8 · L−1/2
Scriviamo quindi la condizione di equilibrio:
8 · L−1/2 = 4
2 · L−1/2 = 1
L−1/2 = 1/2
L1/2 = 2
L∗ = 4
Domande a risposta multipla: (c), (a), (d).
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