numeri numeri n e

Capitolo 3
Equazioni di II grado intere in un’incognita
3.1 Definizione ed esempi
Definizione 3.1.1
Un’equazione di II grado in una sola incognita nella forma canonica si presenta come segue:
ax 2  bx  c  0 , dove a, b e c sono dei numeri reali e a  0 .
Esempio 3.1.1
L’equazione 3x 2  2 x  8  0 . In tal caso: a  3 , a  2 e a  8 .
3.2 Equazioni pure
Definizione 3.2.1
Si dice che un’equazione di II grado è pura se ridotta alla forma canonica si presenta come segue:
ax 2  c  0 , con c  0
Esempio 3.2.1
L’equazione 2 x 2  8  0 è un’equazione pura.
Osservazione 3.2.1
In un’equazione pura il termine in x è assente, ciò che equivale a dire che il suo coefficiente b vale
1.
3.3 Risoluzione delle equazioni pure
Per risolvere un’equazione di II grado pura si procede come segue:



si porta il termine noto cambiato di segno al II membro
si dividono ambo i membri per il coefficiente del termine di II grado
se il II membro è un numero positivo le soluzioni sono uguali ed opposte ed il loro valore
assoluto è costituito dalla radice quadrata aritmetica del II membro. Se invece il II membro
è un numero negativo l’equazione è impossibile.
In simboli:



ax 2  c
c
x2  
a
se 
c
c
0x 
a
a
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)

se 
c
 0  impossibile
a
Esempio 3.3.1
a. Risolviamo l’equazione 2 x 2  8  0 . Si ha 2 x 2  8  x 2  4  x  2
b. Risolviamo l’equazione x 2  6  0 . Si ha x 2  6  x   6
c. Risolviamo l’equazione x 2  16  0 . Si ha x 2  16 . Impossibile.
Osservazione 3.3.1
c
c
2
Facciamo notare che l’equazione del tipo x   è impossibile se   0 perché non esistono
a
a
numeri reali che elevati alla seconda diano un numero negativo. Infatti, anche i numeri negativi
c
2
elevati alla seconda danno un numero positivo. Inoltre, l’equazione del tipo x   ha come
a
soluzione x   
c
c
perché elevando alla seconda sia   , sia
a
a

c
c
si ottiene  .
a
a
3.4 Equazioni spurie
Definizione 3.4.1
Si dice che un’equazione di II grado è spuria se ridotta alla forma canonica si presenta come segue:
ax 2  bx  0 , con b  0
Esempio 3.4.1
L’equazione 5 x 2  8 x  0 è un’equazione spuria.
Osservazione 3.4.2
In un’equazione pura il termine noto è assente, ciò che equivale a dire che c vale 1.
3.5 Risoluzione delle equazioni spurie
Per risolvere un’equazione di II grado spuria si procede come segue:



si effettua il raccoglimento totale della x o della x moltiplicata per i M.C.D. dei coefficienti
dei termini presenti al I membro.
si pone ciascun fattore presente al I membro uguale a 0 ottenendo due equazioni di I grado.
si risolve ciascuna equazione.
Si osserva che le soluzioni di una tale equazione sono sempre 2 e che una delle soluzioni è 1.
In simboli:
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)

xax  b  0

x0

ax  b  0  ax  b  x  
b
a
Osservazione 3.5.1
Facciamo notare che 0 sostituito a x nell’espressione xax  b presente al I membro dà
0  a  0  b  0  b  0 ne consegue che 0 è una soluzione dell’equazione. Infine 
x nell’espressione xax  b presente al I membro dà
b
sostituito alla
a
b
 b   b   b
 b
    a    b       b  b      0  0 .Ne consegue che anche  è una soluzione
a
 a   a   a
 a
dell’equazione spuria.
Esempio 3.5.1
Risolviamo l’equazione 5 x 2  8 x  0 . Raccogliendo la x si ha che
x5x  8  0  x  0 e
8
5 x  8  0  5x  8  x  .
5
3.6 Equazioni complete
Definizione 3.6.1
Si dice che un’equazione di II grado è completa se ridotta alla forma canonica si presenta come
segue: ax 2  bx  c  0 , con b  0 e c  0 .
3.7 Risoluzione delle equazioni complete
Per risolvere un’equazione di II grado completa occorre una formula risolutiva che si ottiene
procedendo come segue:



Moltiplico ambo i membri dell’equazione per 4a : 4a ax 2  bx  c  4a  0 . Si ottiene :
4a x  4abx  4ac  0
2
2

Aggiungo ad ambo i membri la quantità b 2 : 4a 2 x 2  4abx  b 2  4ac  b 2



Porto il termine 4ac al II membro : 4a 2 x 2  4abx  b 2  b 2  4ac
Osservo che al I membro è presente il quadrato del polinomio 2ax  b
Riscrivo l’espressione al I membro tenendo conto dell’osservazione precedente:
2ax  b2  b 2  4ac
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)

Si ha che 2ax  b   b 2  4ac  2ax  b  b 2  4ac  x 
 b  b 2  4ac
2a
In definitiva abbiamo ottenuto la formula risolutiva dell’equazione di II grado.
Osservazione 3.7.1
Si precisa che la formula risolutiva può essere utilizzata anche per risolvere l’equazione pura e
l’equazione spuria. Nel caso dell’equazione pura occorre tener conto che b  0 e nel caso
dell’equazione spuria occorre tener conto che c  0 .
Osservazione 3.7.2
L’espressione b 2  4ac spesso viene indicata con il simbolo  leggi: “delta”. Per cui è facile
trovare la formula risolutiva come segue: x 
b 
.
2a
Osservazione 3.7.3
L’espressione b 2  4ac spesso viene indicata con il simbolo  , leggi: “delta”. Per cui è facile
trovare la formula risolutiva come segue: x 
b 
.
2a
Osservazione 3.7.4
Preciso che dal  , che prende il nome di discriminante, dipende il numero delle soluzioni
dell’equazione. Dal momento che  compare sotto la radice quadrata si ha che:



se   0 l’equazione ha 2 soluzioni
se   0 l’equazione ha 1 soluzione
  0 l’equazione non ha soluzioni.
Esempio 3.7.5
Risolviamo l’equazione 2 x 2  16 x  30  0 . Calcoliamo in primo luogo il  . Si ha che
  b 2  4ac   16  4  2  30  256  240  16 . In tal caso   0 per cui si prevedono 2
2
soluzioni. Applicando la formula risolutiva si ottiene x 
 b     16  16 16  4


da cui
2a
22
4
si ottengono le soluzioni x1  5 e x2  3 .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
3.8 Scomposizione del trinomio di II grado
Dato il generico trinomio di II grado ax 2  bx  c se   0 è possibile scomporlo nel prodotto di
polinomi irriducibili di grado più basso. Nel caso in cui   0 l’equazione associata (quella che si
ottiene ponendo il trinomio suddetto uguale a 0) ha 2 soluzioni che indichiamo con le scritture x1 e
x 2 . Nel caso in cui   0 si può pensare che l’equazione associata abbia 2 soluzioni coincidenti
x1  x2  . Al fine di ottenere la scomposizione del trinomio procediamo come segue:
b 
b 
e x2 
le soluzioni dell’equazione associata
2a
2a

indichiamo con x1 

osserviamo che x1  x 2 

osserviamo che
x1  x 2 
 b    b    2b
b



2a
2a
2a
a
b  b 


2a
2a



 b  b
  b2
b 2  4ac  b 2  4ac c






a
4a 2
4a 2
4a 2
4a 2
Si ha che :

 

b
c

ax 2  bx  c  a x 2  x    a x 2  x1  x 2 x  x1 x 2  a x 2  x1 x  x 2 x  x1 x 2 
a
a

 axx  x1   x2 x  x1   ax  x1 x  x2  .
Esempio 3.8.1
Scomponiamo il trinomio
3x 2  21x  30 . Calcoliamo in primo luogo il  . Si ha che
  b 2  4ac   21  4  3  30  441  360  81 . In tal caso   0 per cui si prevedono 2
2
soluzioni. Applicando la formula risolutiva si ottiene x 
 b     21  81 21  9


da cui
2a
23
6
si ottengono le soluzioni x1  5 e x2  2 . In definitiva 3x 2  21x  30  3x  2x  5 .
Esempio 3.8.2
Scomponiamo il trinomio
3x 2  12 x  12 . Calcoliamo in primo luogo il  . Si ha che
  b 2  4ac   12  4  3  12  144  144  0 . In tal caso   0 per cui si prevede 1 soluzione.
2
Applicando la formula risolutiva si ottiene x 
 b    12  0 12


da cui si ottengono le
2a
23
6
soluzioni x1  x2  2 . In definitiva 3x 2  12 x  12  3x  2 .
2
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)