Geometria IV
Anno Accademico 2013/14
Programma definitivo del corso
Introduzione alla Teoria delle Algebre di Lie
Definizioni, esempi e prime proprietà delle algebre di Lie su R e su C. Sottoalgebre e
ideali di un algebra di Lie. Omomorfismi e isomorfismi fra algebre di Lie. Definizioni
di somme diretta e somma semidiretta di due algebre di Lie. Definizione di algebra
di Lie semplice.
Definizione di rappresentazione lineare di un algebra di Lie. La rappresentazione
aggiunta. Struttura di algebra di Lie del quoziente di un algebra per un suo ideale. La sottoalgebra algebra derivata. Le algebre di Lie risolubili e il radicale di
un’algebra di Lie. Le algebre di Lie nilpotenti e il nilradicale di un’algebra di Lie. I
teoremi di Engel e di Lie sulle algebre nilpotenti e risolubili. Corollario del teorema
di Lie sulle sottoalgebre derivate delle algebre risolubili.
Strutture complesse su uno spazio vettoriale reale e strutture reali su uno spazio
vettoriale complesso. Definizione di forma reale e corrispondenza biunivoca fra
strutture reali e forme reali di uno spazio vettoriale complesso. Complessificazione
di uno spazio vettoriale reale. Decomposizione in spazi di vettori olomorfi e antiolomorfi della complessificazione di uno spazio vettoriale reale dotato di una struttura
complessa J.
Complessificazioni di algebre di Lie reali e forme reali di algebre di Lie complesse.
Criterio di risolubilità per le algebre di Lie reali.
Richiami sul teorema della forma canonica di Jordan per le matrici quadrate in
C. Definizione di endomorfismo nilpotente e di endomorfismo semisemplice di
uno spazio vettoriale. Il teorema di decomposizione di Jordan-Chevalley per gli
endomorfismi di spazi vettoriali complesso (senza dim.). La decomposizione di
Jordan-Chevalley della rappresentazione aggiunta dell’algebra di endomorfismi di
uno spazio vettoriale complesso.
Forme invarianti di un’algebra di Lie: definizione, esempi e prime proprietà. La
forma di Cartan-Killing. I due criteri di Cartan sulla risolubilità e la semisimplicità
di un’algebra di Lie. Decomposizione delle algebre di Lie semisemplici come somma
diretta di algebre semplici.
Definizione, esempi e prime proprietà dei g-moduli e dei g-moduli irriducibili di
un’algebra di Lie g. Definizione di g-moduli completamente riducibili. Il teorema
di Weyl sulla completa riducibilità dei g-moduli di un’algebra di Lie semisemplice
g (senza dim.). Il lemma di Schur. Definizione di sottoalgebra di Levi di un’algebra
di Lie. I teoremi di decomposizione di Levi e Malcev (senza dim.) e loro corollari.
Il teorema di classificazione delle algebre di Lie complesse (senza dim.).
Ripasso di argomenti di Topologia e Geometria Differenziale
e il Teorema di Frobenius
Richiami sulla teoria dei rivestimenti delle varietà topologiche e differenziali: definizioni ed esempi. Applicazioni localmente omeomorfe. I rivestimenti universali e
le varietà differenziabili connesse come quozienti dei loro rivestimenti universali.
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Richiami relativi alla nozione di sottovarietà: ξ-fette; sistemi di coordinate adattate;
varie caratterizzazioni delle sottovarietà. Sottovarietà differenziali immerse.
Richiami relativi alla nozione di campo vettoriale e di flusso. Campi completi.
Derivate di Lie e parentesi di Lie di campi vettoriali. Identità di Jacobi. Campi f correlati e relazioni fra i loro flussi e derivate di Lie. Caratterizzazione delle famiglie
ad 1-parametro di diffeomorfismi come flussi locali (senza dim.).
Definizioni e prime proprietà delle distribuzioni regolari su una varietà differenziabile. Definizione di sottovarietà integrali e varietà integrali immerse di una distribuzione. Definizioni di distribuzioni completamente integrabili e di distribuzioni
involutive. Il teorema di Frobenius.
Introduzione alla Teoria dei Gruppi di Lie
Definizioni, esempi e prime proprietà dei gruppi di Lie reali e complessi. Sottogruppi
di Lie. Prodotto diretto e prodotto semidiretto di due gruppi di Lie. Omomorfismi
e isomorfismi fra gruppi di Lie. Rappresentazioni lineari. Teorema di Cartan sui
sottogruppi chiusi di un gruppo di Lie reale (senza dim.).
Struttura di varietà differenziabile su un insieme di laterali di un gruppo di Lie
per un suo sottogruppo di Lie. Struttura di gruppo di Lie del quoziente di un
gruppo di Lie per un suo sottogruppo di Lie normale. Struttura di gruppo di Lie
del rivestimento universale di un gruppo di Lie connesso (senza dim.). I gruppi di
Lie connessi come quozienti dei loro rivestimenti universali.
Lemma sulla derivata della funzione determinante di una curva di matrici. Dimostrazione del fatto che i gruppi classici di matrici sono sottogruppi di Lie di GLn (K),
per K = R o C.
Campi invarianti a sinistra di un gruppo di Lie. Struttura di algebra di Lie sullo
spazio dei campi invarianti a sinistra e definizione di algebra di Lie di un gruppo
di Lie. Isomorfismo naturale fra lo spazio dei campi invarianti a sinistra e lo spazio
tangente nell’identità di un gruppo di Lie.
Flussi dei campi invarianti a sinistra. L’esponenziale di un vettore tangente nell’identità e definizione dell’applicazione esponenziale di un gruppo di Lie. I sottogruppi ad un parametro di un gruppo di Lie e loro corrispondenza con gli elementi
dell’algebra di Lie. I campi invarianti a sinistra e i loro flussi su un gruppo di Lie
di matrici. La struttura di algebra di Lie degli spazi tangenti all’indentità di un
gruppo di Lie di matrici.
Il primo teorema fondamentale di Lie: enunciato e dimostrazione. Il secondo teorema fondamentale di Lie: enunciato e parti della dimostrazione. Il teorema di Ado
(senza dim.) e l’esistenza e unicità di un gruppo di Lie connesso e semplicemente
connesso per ogni algebra di Lie su R o C.
Definizione di sottogruppo di Lie virtuale e teorema di corrispondenza biunivoca
fra sottogruppi di Lie virtuali e sottoalgebre dell’algebra di Lie di un gruppo di Lie
(senza dim.). Corrispondenza fra sottogruppi virtuali di Lie normali e gli ideali
dell’algebra di Lie di un gruppo di Lie (senza dim.). Il centro di un gruppo di Lie
come sottogruppo di Lie (senza dim.). Definizione di gruppo di Lie risolubile. Teorema di corrispondenza fra gruppi di Lie risolubili e algebre di Lie risolubili (senza
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dim.). Il radicale di un gruppo di Lie connesso e i gruppi di Lie semisemplici. Teorema di Levi-Malcev sulla decomposizione di gruppi di Lie connessi e semplicemente
connessi (senza dim.).
Definizione di operazione di coniugio e di rappresentazione aggiunta di un gruppo di
Lie sulla sua algebra. Teorema di corrispondenza fra la rappresentazione aggiunta
di un gruppo di Lie e la rappresentazione aggiunta della sua algebra di Lie (senza
dim.).
La preparazione all’esame dovrebbe essere principalmente basata
su appunti tratti dalle lezioni.
Testi consigliati
V. V. Gorbatsevich A. L. Onishchik and E.B. Vinberg, Structure of Lie Groups and
Lie Algebras, in “Lie Groups and Lie Algebras III” (ed. A.L. Onishchik and E.B.
Vinberg), Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 41, Springer, 1994.
J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and representation Theory, SpringerVerlag, 1972.
A. L. Onishchik and E.B. Vinberg, Lie groups and Algebraic Groups, Springer,
1990.
A. L. Onishchik and E.B. Vinberg, Foundations of Lie Theory, in “Lie Groups and
Lie Algebras I” (ed. A.L. Onishchik), Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol.
20, Springer 1993.
H. Samelson, Notes on Lie Algebras, Van Nostrand, 1969.
V. S. Varadarajan, Lie Groups, Lie Algebras and Their Representations, SpringerVerlag, 1984.
F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie groups, Springer-Verlag,
1992.
Andrea Spiro
