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Algebra
Lezione del 09/02/2011
Stage di Trieste Progetto Olimpiadi
Polinomi
• Un polinomio è un oggetto del tipo
P(x)=anxn+…+a2x2+a1x+a0
• Gli ai sono detti coefficienti del polinomio
• n è il grado del polinomio
• Il polinomio è detto monico se an=1
• Il grado di una somma di polinomi è minore o
uguale del massimo dei gradi degli addendi
• Il grado di un prodotto di polinomi è la somma
dei gradi dei moltiplicandi
Principio di identità dei polinomi
• Due polinomi sono uguali, cioè assumono lo
stesso valore in ogni punto, se e solo se hanno
gli stessi coefficienti
• Se del polinomi di grado n assumono gli stessi
valori in n+1 punti, allora tali polinomi sono
uguali e assumono lo stesso valore in ogni
punto
• Quindi se assegno n+1 valori determino
univocamente un polinomio di grado <=n
Divisione Euclidea
• Come nella divisione fra numeri, dato un
dividendo p(x) e un divisore r(x), si ottiene un
quoziente q(x) e un resto r(x). La caratteristica
del resto è che ha grado strettamente minore
del divisore.
• Quindi nel dividere per un polinomio di grado
1 il resto ha grado 0 quindi è un numero.
• Se il resto è 0 si dice che il polinomio è
divisibile per q(x)
Teorema di Ruffini
• Se P(a)=0 allora P(x) è divisibile per x-a, ovvero
P(x)=(x-a)*q(x)
• In generale considerando come divisore il
polinomio x-a, si ha che P(x)=(x-a)*q(x)+P(a)
per un qualche q(x)
Radici del Polinomio
• Si dice radice del polinomio P(x) un numero a
tale che P(a)=0, per cui P(x)=(x-a)*q(x)
• Si dice molteplicità della radice a il numero
intero m tale che P(x)=(x-a)m*q(x) con q(a)≠0
Fattorizzazione
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Alcuni prodotti notevoli
a2-b2=(a+b)(a-b)
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+bn-1)
Per n dispari, posso sostituire b->-b e ottengo
an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)
Esercizio: fattorizzare a4+4b4
Teorema Fondamentale dell’Algebra
• Fattorizzazione sui reali: ogni polinomio può
essere fattorizzato in modo univoco come
prodotto di una costante per termini di primo e
polinomi di secondo grado senza radici reali
• P(x)=an(x-a1)m1*(x-a2)m2*…*((x-b1)2+c1)*…
• Fattorizzazione sui complessi: ogni polinomi può
essere fattorizzato in modo univoco come
prodotto di una costante per termini di primo
grado. Le radici complesse appaiono sempre
assieme alle loro complesse coniugate
• P(x)=an*(x-a1)m1*(x-a2)m2*…
Relazioni Radici/Coefficienti
• In un polinomio monico, il termine noto è il
prodotto delle radici
• Il termine di grado inferire al massimo di 1 è la
somma delle radici
• Gli altri termini, di grado i, sono le somme di
tutti i possibili prodotti di n-1 radici, contate
con molteplicità
Somme di interi e Progressioni
• La somma dei primi n interi è n(n+1)/2
• La somma dei primi n quadrati è
n(n+1)(2n+1)/6
• La somma dei primi n cubi è (n(n+1)/2)2
• Da queste si ricavano le somme delle
progressioni aritmetiche del tipo an+1=an+r e
le formule esplicite e le somme delle
progressioni del tipo an+1=an+nr o del tipo
an+1=b*an+r