Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore
Laurea specialistica in Matematica, 2007-08, Università di Firenze
Prof. Giorgio Ottaviani
OBIETTIVI FORMATIVI:Conoscere vari approcci e problematiche sui fondamenti della geometria, anche in vista del suo insegnamento. Riflettere in particolare
sull’ introduzione del piano euclideo e del piano cartesiano e sui metodi che utilizziamo.
PREREQUISITI E PROPEDEUTICITÀ: Sono sufficienti le nozioni di geometria ed algebra dei corsi del primo anno e delle scuole superiori. È richiesta altresı̀
una certa maturità nel ragionamento matematico.
TIPOLOGIA DEL CORSO: Lezioni frontali, in parte dedicate ad esercitazioni.
PROGRAMMA:
GEOMETRIA EUCLIDEA Le costruzioni con riga e compasso e i postulati di
Euclide. La formula di Eulero per i raggi delle crf inscritte e circoscritte a un triangolo.
La retta di Eulero. Dimostrazioni geometriche di incommensurabilità (irrazionalità).
Forme equivalenti del postulato delle parallele, la difficoltà concettuale che nasconde,
qualche nota storica. L’ assiomatica di Hilbert della geometria euclidea. Assiomi di
incidenza e di ordine. Semipiani. Campi ordinati. Assiomi di congruenza per angoli
e per segmenti. Costruzione geometrica di operazioni algebriche (l’ aritmetica dei
segmenti). Il campo dei segmenti. Il teorema di Pitagora. Il teorema di Talete. Ogni
piano di Hilbert è isomorfo a un piano cartesiano sopra un campo. Caratterizzazione
del piano cartesiano reale.
RICHIAMI SULLA GEOMETRIA LINEARE La geometria fondata sull’
algebra lineare. Vettori e parallelogrammi. Dimostrazioni vettoriali dei teoremi di
Pitagora, Talete e Pappo. Identità per baricentro ed ortocentro.
GEOMETRIA IPERBOLICA Inversione circolare, trasformazioni di Mobius e
birapporto complesso. Gruppi di trasformazioni. Il modello di Poincarè di geometria
iperbolica, circonferenze e rette iperboliche. L’indipendenza del postulato delle parallele. La distanza iperbolica. Il teorema di Pitagora e il teorema dei seni nel modello
di Poincarè. Difetto di un triangolo e area. Angolo di parallelismo (la formula di
Bolyai-Lobacevski). Isomorfismo tra semipiano e disco.
GEOMETRIA SFERICA Area di un triangolo sferico. Il teorema di Pitagora
e il teorema dei seni sulla sfera. La circonferenza sferica.
CENNI DI GEOMETRIA PROIETTIVA Il disegno in prospettiva. Il ”modo
ottimo” di L. B. Alberti . Proiettività. Le diagonali di un reticolato e l’approccio di
Piero della Francesca. Il teorema di Desargues e sue applicazioni alla prospettiva.
TESTI DI RIFERIMENTO: Il testo di riferimento è
• R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer 2000
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Sull’inversione circolare è utile la lettura di
• R. Courant, H. Robbins, Che cos’è la matematica?, Boringhieri 2000, cap. 3 parte
seconda, cap. 4.
Per i cenni di geometria proiettiva è utile la lettura di
• L. Catastini, F. GHione, Le Geometrie della visione, Springer, 2004
Sul modello di Poincarè e sulla geometria sferica sono disponibili delle note in rete.
MODALITÀ DI ESAME: colloquio orale. Gli studenti sono consigliati di svolgere alcuni esercizi e costruzioni che verranno assegnati periodicamente e di consegnare
la soluzione col docente. In tal caso nel colloquio orale si terrà conto degli argomenti
già discussi con gli esercizi e le costruzioni. Altrimenti il colloquio orale comincerà con
lo svolgimento di un esercizio.
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