20101220

1.a) Una palla di neve sferica di massa 𝑀 = 20 ⋅ 103 kg e raggio
𝑅 = 2 m e’ tenuta ferma su un piano inclinato rispetto
all’orizzontale di 30° da una paratia, come in figura. Tra palla e
piano inclinato e’ presente una forza di attrito, ma non ne e’ noto
il coefficiente di attrito statico 𝜇𝑠 . Determinare la forza 𝐹
esercitata dalla paratia sulla palla di neve e la forza di attrito
statico esercitata dal piano sulla palla di neve.
R

1.b) La paratia viene tolta, e la palla lasciata libera di muoversi da fermo: si osserva un moto di puro
rotolamento. Determinare il valore minimo del coefficiente di attrito statico tra palla e piano inclinato
𝜇𝑠 e il valore dell’accelerazione del centro di massa della palla 𝑎𝑐𝑚 .
1.c) Ad un certo punto la sfera impatta con velocita’ 𝑣 = 3.5 m/s con un’altra massa di neve di massa
𝑚 = 1 kg ferma sul pendio, e nell’urto le due masse si fondono per formare una nuova palla di neve. Si
assuma che l’urto sia istantaneo e che la nuova palla di neve sia sferica e della stessa densita’ della
prima (per cui di raggio leggermente maggiore). Determinare il raggio della palla, la velocita’ del centro
di massa 𝑣𝑓 e la velocita’ angolare 𝜔𝑓 della dopo l’urto.
1.d) Si avra’, subito dopo l’urto, un moto di puro rotolamento?
2.a) Due palloncini di gomma, uguali, di raggio 𝑅 = 1cm e massa
𝑀1 = 𝑀2 = 10 g, sono appesi ai bracci di una bilancia come in
figura, in modo tale che la distanza ̅̅̅̅
𝑂𝐴 della prima e’ e’ fissa e
̅̅̅̅̅
vale 20 cm mentre la lunghezza 𝑂𝐴′ e’ variabile. Il palloncino
𝑀1 viene immersa completamente in un recipiente, pieno
d’acqua (densita’ = 1 g/ cm3).Determinare la lunghezza ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ tale
da tenere i bracci della bilancia in posizione orizzontale.
A’
O
A
M2
M1
2.b) Il palloncino 𝑀1 viene gonfiato in modo da variarne il raggio R. Determinare per quale valore di R
non sara’ piu’ possibile variare la lunghezza ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ in modo da mantenere l’equilibrio.
1.a) Scegliamo come polo il punto di contatto della palla col suolo. La reazione del piano inclinato e la
forza di attrito con tale scelta non esercitano un momento sulla palla: le uniche forze che esercitano un
momento sulla palla sono la forza di gravita’ applicata nel centro di massa e la reazione vincolare della
paratia applicata nel punto di contatto con la palla. L’equilibrio dei momenti delle forze agenti sulla palla
porta all’equazione:
𝑚𝑔𝑅 sin 𝜃 − 𝐹𝑅 cos 𝜃 = 0
𝐹 = 𝑚𝑔 tan 𝜃 = 1.13 105 𝑁
A questo punto per determinare la forza di attrito statico basta equilibrare le forze agenti lungo il piano:
𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝐹 cos 𝜃 − 𝑓𝑎𝑡𝑡 = 0
𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝑓𝑎𝑡𝑡 = 0
𝑓𝑎𝑡𝑡 = 0
Il piano non esercita per attrito alcuna forza sulla palla e tutto lo sforzo e’ esercitato dalla paratia.
1.b) Perche’ si abbia puro rotolamento occorre che la forza di attrito statica sia sufficiente a generare
un’accelerazione angolare della palla 𝛼 =
𝑎𝑐𝑚
𝑅
. Si avra’:
𝑚𝑎𝑐𝑚 = 𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝑇𝜇𝑠
𝑇 = 𝑚𝑔 cos 𝜃
2
𝑎𝑐𝑚 2
𝑇𝜇𝑠 𝑅 = 𝑚𝑔 cos 𝜃 𝜇𝑠 𝑅 = 𝑚𝑅 2
= 𝑚𝑅(𝑔 sin 𝜃 – 𝑔 cos 𝜃 𝜇𝑠 )
5
𝑅
5
2
𝜇𝑠 = tan 𝜃 = 0.16
7
5
𝑚
𝑎𝑐𝑚 = 𝑔 sin 𝜃 = 3.5 2
7
𝑠
1.c) L’urto avviene istantaneamente, e la sola forza agente lungo l’asse orizzontale e’ la forza di attrito,
che si mantiene limitata almeno a (𝑀 + 𝑚)𝑔𝜇𝑠 ed il cui impulso quindi e’ nullo: per cui e’ possibile
assumere che durante l’urto si conservi la quantita’ di moto ed il momento angolare del sistema palla +
massa ferma. Prendiamo come polo la posizione del centro di massa della palla al momento dell’urto: in
tal caso il momento angolare del sistema e’ solo dovuto alla rotazione della palla intorno all’asse
passante per il centro di massa, in quanto il momento angolare legato al moto del centro di massa e’
nullo. Abbiamo quindi:
𝑀𝑣 = (𝑀 + 𝑚)𝑣𝑓 ⟶ 𝑣𝑓 =
𝑀
𝑣
𝑀+𝑚
2
2
𝑀𝑅 2 𝜔 = (𝑀 + 𝑚)𝑅𝑓2 𝜔𝑓
5
5
2
3
(𝑀 + 𝑚)
𝑀
𝑅𝑓 = 𝑅 √
⟶ 𝑅 2 = 𝑅𝑓2 (
)
𝑀
𝑀+𝑚
3
5
3
𝑀
𝜔𝑓 = 𝜔 (
)
𝑀+𝑚
1.d) Perche’ il moto dopo l’urto sia di puro rotolamento occorre che 𝑣𝑓 = 𝜔𝑓 𝑅, che non e’ vero. Infatti
l’uguaglianza non sussiste:
5
3 3 (𝑀 + 𝑚)
𝑀
𝑀
𝑣𝑓 =
𝜔𝑅 ≠ 𝜔 (
) 𝑅√
𝑀+𝑚
𝑀+𝑚
𝑀
la palla “slittera’” un po’ prima di riprendere a rotolare.
2.a) Il palloncino immerso nell’acqua risente di una spinta verso l’alto dovuta alla forza di Archimede.
Chiamando 𝑥 la distanza ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′ l’equilibrio dei momenti delle forze rispetto al polo 𝑂 porta alle equazioni:
4
𝑚𝑔𝑥 = 𝑚𝑔𝐿 − 𝜋𝑅 3 𝜌𝐻2𝑂 𝑔𝐿
3
4 3
𝜋𝑅 𝜌𝐻2𝑂
𝑥 = 𝐿 (1 − 3
)
𝑚
2.b) Dovendo 𝑥 essere una distanza, maggiore di zero dunque, non si potra’ piu’ ottenere l’equilibrio
quando:
4 3
3 𝜋𝑅 𝜌𝐻2𝑂 > 1
𝑚
3
3𝑚
𝑅>√
4𝜋𝜌𝐻2𝑂