Compiti delle vacanze di matematica

Compiti delle vacanze di matematica
classi prime a.s. 2013/2014
(gli esercizi sono tratti da Matematica C3 – Algebra 1 - www.matematicamente.it)
Esegui le seguenti divisioni tra polinomi:
1
 4 x3 −2 x 22 x−4  :  3 x−1 
2
3
5 a 3−a 2 −4  :  a−2 
 x7−4  :  x3 −2 x 23 x −7 
[
4
2
16
92
Q x = x 2 − x  ; R x =−
3
9
27
27
2
[ Q x =5 a 9 a18;
[ Q x = x
4
3
]
R x=32 ]
2
2 x x 3 x17 ; R x =32 x 2−30 x115 ]
Scomponi, se possibile, i seguenti polinomi:
4
4
2
2
5 x y 5 x y 
5
2 x 5 x −12
6
7
8
9
81a − 16a 3b2
10
11
12
5
4
R. 5

1
 x2 y
2
2

R. [ x 4   2 x −3  ] ;
2
R. [ x −1  4 x − y  ]
4 x 2 − xy −4 x  y
;
1 2
a + 4b 4 − ab 2
16
R.

1
a−2b 2
4

R. a 9−4ab94ab
R. [ a b2 5− x  ]
R. [ a 2  2 a1   2 a−1  ]
R. [ 1− x   x 2   x 2 −2 x 4  ]
−a 2 x −2 abx−b 2 x 5 a2 10 ab5 b 2
4 a 3 8 a 2 −a −2
x3 − x4 8−8 x
x 6 −81 x 2
R. [ x 2  x 3 x −3  x 2 9 ]
54 a3 b −2 b 4
R. [ 2 b 3 a −b  9 a2 3 abb 2 ]
R. [  y −2 a  y 3 a ]
y 2 ay −6 a 2
Semplifica le seguenti frazioni e indica le Condizioni di Esistenza
13
x 2−6x9
x 2−9
R
x −3
;
x 3
4x 2−4
8x 2−8
R
1
2
x 2+ 3x−4
2
14
ax x a 2a
a 2 2a1
R
xa
;
a1
4x 2−4 x 3−x
2x2
R
15
5x5y
3x3yax ay
R
5
;
3a
3a3 −3a2−a1
9a4 −1
R
16
x 2−2x1
x 3−3x 23x−1
R
1
;
x −1
6a2 b 3 −9a3 b 2
2ab−3a2−2b 3a
a−1
2
3a 1
2 2
R 3a b
a−1
Esegui le seguenti operazioni e indica le Condizioni di Esistenza
17
−1−2a−a 2 a 3−3a 23a−1
⋅
1 +a2 −2a a 4 2a3−2a−1
18
x 4−1
2x 2 −x−1
2x 2 −2x2
⋅
⋅
x 2−2x1 2x 3 x 2 2x1
x 31
19
 
20
[
3x 2
5y 3
R. −
2
R
2 −1
  ]
2
12ab
a−b
⋅
2
2
a b−ab
2a 2
2
R. a
36
1
a1
R. 2
3
9x 4
;
25y 6

x y
x 2− y 2
;
[
x 2 x
2x
⋅
2
x 3
x 4x3

R.
2
  ]
2
R
1
 x− y  3
16x 8
8
 x3 
2
x 2−5x6 x 2−x−6
:
x 2−9
x 2− 4
21
2
2
22
x ax −x −a
x 2x1
:
x 2 −1
x 2 xaxa
23
    
24
25
26
27
28
−2 a −a b
⋅
4
b3
1

2
1
2
2
2
a
:
2 b3
R.
R.
x y xy
x y
2
1
1

−
a a 2−a a−1
x y−1
1 1
1
 −
x 2x 3x
a−1
1
2

−
2
a−2
a
a −a
2 2
x y
1
R.
a
2
3
a


a−1 1−a a−1
x1
x
−
x
x−1
1
1
1


x −2 x −1 x 2 −3x2
1
1

x
1−x x−1
1
1
1


x−2 x 2 x 2−4
R. 1
1
R. −
2
x −x
2
R.
x −2
29
1
1 a 2−1

a−1 a1 2a
30
1−
31
18 x −1 
24 x
x1

−
2
x 3x− 4 x −3x2 x 22x−8
32
x 2−2x3
x− 2
1

−
3
2
x
1
x 1
x −x 1
33

34
a2 b2
ab
1
:
−
4
3
3
4
3
3
2
a −ab a b−b
a −b
a −b 2
35

1
1

x −1 x 2−2x1
R.

2


2 a −b
−2
a−2 b
 [
2
2
[ ]
R.
7
6x
R.
2
a a−2
R. x
R.
R.


]
4b
3 a2 b
−a
−1
a
a 2 b
x 2−2x
x 31
R.
x a x 
a  x−a 
R.
[ ab ]
R.
[ 36 b 2 ]
2
R. x = - 2
37 1−x  − x −1 = 1
38
40
41
42
43
R. x = 0
2

  

1
x1 1 x 1 2−x 1x
 x−2−
−
= −

2
2
2
2
6
3
3
39
x−
3
R. impossibile
2
1
1
−5
− x −x  x1 x −1=
x  x1
2
2
2
3
3
3
2
x −1 ( x+ 2) ( x+ 1) x + x −4
+
=
−
18
9
4
12
x
1
I.S. ={0} ;
−
=1
x 1 x −1
x−1
2
=
2−2x
x −2x1
5
2
1

=
5x1 2x−1 1−2x
2
2
 x −1 
R.
2
2
2
x −4
x
a 21
2aa−1 
Risolvi le seguenti equazioni numeriche:
36 x 3 + 6 x 2 + (x+ 2)3 + 11 x+ (x + 2)2 =( x+ 3) ( 2 x 2 + 7 x )
2
2x1
R.
2

R.
−a
32b7
b2
a b−a
7 x1 
R.
 x 4  x−1 

xa x −a
x−a
−
: 1−
x−a x a
xa
2
x a
x1
7
2 2
ab 2a−b a−b
⋅
−
a−b ab
a
 x−2
2
x −9
−2
1
−
[ ]
[  ]
2
R.
1
x
=
x−3 3− x
I.S. =∅ ;
I.S.=
{ }
2
25
[ ]
R.
x=−
3
26
3
7
I.S.={−1}
x 2 5 x 6
−1
x 2
1
2
3

= 2
x−2 x 1 x −x −2
4− x=
;
R.
I.S.={1}
I.S.= {∅ }
44
45
1
1
2x1 1
x2
1− x : 1 x =
− x 
2
2
6x 3 2
2x4
3
2
3x−1
x
x −8 x 2x4 2−3x x 2−9 6x7

− 2
:
=
⋅
−
1−2x 2x−1 x −4 x 22x1 2x−6 4−9x 2
6




I.S.={4}
{ }
I.S.= −
26
25
Risolvi le seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:
46
47
48
49
50
51



2

1
1 1
1
3x− − 1x 1− x−3 x−1 ≥0
2
3 3
3
2
1−2 x −4 −x⋅4 x 12 I.S.= { x 1 }  x12 ≥ x−12
3− x≥ x−3
− x−3≤3
R. x≤3
− x3≥0
32x≥3x2
2
2
3x22−3x 0 R. x− ∨ x ; −3x2− x 3− x≥0
3
3
{
x−2
0
3 x −9
x2
2
x−1
{
R. x 2∨ x 3 ;
R. x 1∨ x 4 ;
3 x12
0
 x−4 6−3 x
4−3 x
−3
6−5 x
I.S. = { x ≥1 }
I.S.= { x ≥0 }
R. −6≤ x≤1
R. x≤0∨2≤x ≤3
R. x ≤−4∨2  x 4
R.
6
11
x ∨ x≥
5
9
Dimostra i seguenti teoremi:
 B , sui lato dell’angolo A O
 B si prendano i punti P e Q tali
52 Sia OM la bisettrice dell’angolo A O
che OP ≅ OQ . Sia C un punto qualsiasi della bisettrice OM. Dimostra che CP ≅ CQ .
53 Dato il triangolo ABC e un punto O esterno al triangolo, si unisca O con A, con B e con C. Si
prolunghi ciascun segmento, dalla parte di O, dei segmenti OA ' = OA , OB ' = OB , OC ' = OC
Dimostra che ABC = A' B ' C ' .
54 Siano LMN i punti medi dei lati del triangolo isoscele ABC, dimostra che anche LMN è isoscele.
55 Siano M e N i punti medi dei lati congruenti AB e AC del triangolo isoscele ABC. Dimostra che le
mediane CM e BN sono congruenti.
56 Dato il triangolo ABC prolunga il lato AB dalla parte di A di un segmento AD congruente ad AB,
prolunga poi il lato AC dalla parte di A di un segmento AE congruente ad AC. Dimostra che DE è parallelo a
BC.
57 Sia AM la mediana di un triangolo ABC. Si prolunghi AM dalla parte di M di un segmento MD
congruente ad AM. Dimostra che CD è parallelo ad AB.
58 Due rette parallele tagliate da una trasversale formano otto angoli, uno di essi è 1/3 dell’angolo retto.
Determina le misure degli altri angoli.
59 Calcola la misura degli angoli di un triangolo ABC sapendo che l'angolo A interno è 3/5 dell'angolo
esterno A e che l'angolo B è la metà di A.
60 Nella figura, quanto misura l'angolo α? (Giochi di Archimede 2003)