microeconomia

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta
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QUESTE BREVI NOTE RAPPRESENTANO SOLTANTO LO SCHEMA
DELLE LEZIONI DEL CORSO DI MICROECONOMIA
NON SOSTITUISCONO IL LIBRO DI TESTO E/O GLI APPUNTI
PRESI A LEZIONE!!!
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Un esempio di modello
• Modello: rappresentazione semplificata della realtà
• Mercato degli appartamenti:
2 tipi di appartamenti: vicini (V) e lontani (L); prezzo (p) di L variabile
esogena; p di V variabile endogena
• Problemi:
1) determinare il p di affitto;
2) chi saranno i locatari;
3) statica comparata;
4) confronto tra i diversi meccanismi di allocazione.
• Principio di ottimizzazione e di equilibrio
• Curva di domanda (D) e prezzo di riserva
• Curva di offerta (S) di breve periodo: molti proprietari che agiscono in
modo indipendente disposti a dare in affitto il proprio appartamento al prezzo
più alto consentito dal mercato (meccanismo concorrenziale)
• prezzo di equilibrio p∗ : viene determinato dall’incontro tra D e S
• p < p∗ : eccesso di domanda;
• p > p∗ : eccesso di offerta;
• chi abiterà in V dipende dalla disponibilità a pagare (prezzo di riserva)
• Statica comparata:
1) aumento/diminuzione dell’offerta;
2) vendita di appartamenti;
3) imposta sulle abitazioni
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• Meccanismi di allocazione:
1) Concorrenza perfetta
2) Monopolista discriminante
3) Monopolista puro: applica un prezzo p = pM tale che massimizzi il suo
ricavo pD(p)
4) Controllo degli affitti: pmax < p∗
• Miglioramento paretiano: è possibile aumentare la soddisfazione di qualcuno senza diminuire quella di qualcun altro (vengono effettuati tutti gli
scambi volontari)
• Una allocazione è Pareto-efficiente se non è possibile un miglioramento
paretiano
• Osservazione: chi paga l’affitto in V ha un prezzo di riserva più elevato: concorrenza e monopolista discriminante sono Pareto-efficienti (gli altri meccanismi no);
• ESERCIZIO: Sia D(p) = 100 − 2p la curva di domanda di appartamenti.
Se un monopolista disponesse di 60 appartamenti, quale prezzo pM massimizzerebbe il ricavo? Quanti saranno gli appartamenti affittati? E se il
monopolista disponesse di 40 appartamenti? Confrontare con la concorrenza
perfetta.
2
Vincolo di bilancio
• Problema del consumatore: scegliere la migliore combinazione di beni
tra quelle che è in grado di acquistare
• p1 x1 + p2 x2 ≤ m vincolo di bilancio
• i panieri di consumo (x1 , x2 ) che soddisfano il vincolo li chiameremo insieme di bilancio
• retta di bilancio: x2 =
m
p2
−
p1
x
p2 1
• interpretazione economica di p1 /p2 (costo opportunità) e delle intercette
• p1 x1 + x2 ≤ m, dove x2 bene composito
• bene numerario: un bene il cui prezzo è stato fissato pari a 1
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• Variazioni della retta (variazioni del reddito o dei prezzi)
• Osservazione: retta di bilancio e inflazione
• tassa sulla quantità: p1 + t (retta più ripida)
• tassa ad valorem: (1 + τ )p1
• sussidi: p1 − s (sulla quantità), (1 − σ)p1 (ad valorem)
• tasse e sussidi globali (non modificano l’inclinazione)
• m ↑ o pi ↓ =⇒ soddisfazione ≥
• ESERCIZI:
1) Riscrivere la retta p1 x1 + p2 x2 = m se p1 raddoppia, p2 aumenta otto volte
e m sei volte;
2) Se p2 ↑ (m, p1 invariati) si disegni lo spostamento subito dalla retta di
bilancio
3) Se p1 raddoppia e p2 triplica, la retta diventa + ripida o + piatta?
4) Se spendi tutto il tuo reddito per acquistare (100, 50) quando p1 = 2 e
p2 = 4, di quanto deve aumentare m per consumare lo stesso paniere se
p1 = 3?
5) Consideriamo 3 beni. Siano i prezzi p1 = 2, p2 = 4, p3 = 6.
a) Scrivere la retta di bilancio se m = 360
b) Sia il bene 1 il numerario. Si riscriva la retta di bilancio.
6) Si scriva la retta di bilancio in presenza di una tassa globale T, di una
tassa sulla quantità t (sul bene 1) e un sussidio sulla quantità s sul bene 2.
7) Se m ↑ e pi ↓ (i = 1, 2), il consumatore è altrettanto soddisfatto?
3
Preferenze
• Relazione di preferenza debole %, forte ≻, indifferenza ∼
• Assunzioni: completezza, riflessività, transitività
• Curva di indifferenza (CI) e insieme preferito debolmente
• Costruzione della curva: (x1 , x2 ) ∼ (x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 )
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• Perfetti sostituti: saggio di sostituzione costante (CI inclinazione costante)
• Perfetti complementi: vengono consumati congiuntamente in proporzioni
fisse (CI forma a L)
• Mali, beni neutrali, sazietà, beni discreti: curve di indifferenza
• Preferenze regolari: soddisfano anche la monotonicità e la convessità
• Saggio marginale di sostituzione (SMS): rappresenta l’inclinazione della
CI
• monotonicità =⇒ SMS negativo
• convessità =⇒ SMS decrescente
• interpretazione del SMS come disponibilità marginale a pagare
• SMS e saggio di scambio
• ESERCIZI
1) “Essere almeno altrettanto alto di ...” è una relazione transitiva? E’
completa?
2) “Essere strettamente più alto di ...” è una relazione transitiva? E’ completa? E’ riflessiva?
3) “Essere più robusto e più veloce di ...” è una relazione transitiva? E’
completa?
4) Due curve di indifferenza possono intersecarsi?
5) Se consideriamo due mali, come rappresentiamo le curve di indifferenza?
4
Utilità
• la funzione di utilità, u : R2 → R, è un modo per associare un numero ad
ogni possibile paniere di consumo rispettando le preferenze:
A % B ⇔ u(A) ≥ u(B)
• utilità ordinale e cardinale
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• Esempi
perfetti sostituti: u(x, y) = ax + by
perfetti complementi: u(x, y) = min{ax, by}
Cobb-Douglas: u(x, y) = xc y d
• SMS e utilità marginale
∂u
∂x
SMS = − ∂u
∂y
• SMS di preferenze Cobb-Douglas
SMS = −
cy
dx
• ESERCIZI
1) Calcolare il SMS delle seguenti funzioni di utilità
a) u(x, y) = x + 3y
b) u(A, C) = A(1 + C)
c) u(x, y) = 14x2 y
2) Data u(x, y) = x2 y 2
a) Calcolare l’utilità marginale di x e y
b) determinare y affinchè A ∼ B, dove A = (4, 3) e B=(2,y)
3) Data u(x, y) =
√ √
x y
a) calcolare il SMS;
b) si determini la funzione della curva di indifferenza passante per il
paniere (9, 16)
c) si stabilisca l’ordinamento dei seguenti panieri:
A=(9,16), B = (49,81), C=(25,9), D=(4,1), E=(9,4)
4) Siano u1 (x, y) =
sumatori 1 e 2.
xy
100
e u2 (x, y) = 1000x2 y 2 le funzioni di utilità dei con-
a) si calcoli il SMS delle due funzioni;
b) si determini, per entrambe le funzioni di utilità, la funzione della curva
di indifferenza passante per il paniere (4, 4)
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Scelta
• Problema del consumatore: scegliere il paniere preferito tra quelli appartenenti al suo insieme di bilancio
• Intuizione geometrica: la scelta ottima si ha in corrispondenza del punto in
cui la CI è tangente alla retta di bilancio (con preferenze regolari e ottimo
interno)
• la scelta ottima rappresenta il paniere domandato dal consumatore, dati i
prezzi e il reddito
funzione di domanda del bene i:
xi = xi (p1 , p2 , m), i = 1, 2
• perfetti sostituti:
x1 = m/p1 se p1 < p2
x1 = 0 se p1 > p2
x1 ∈ [0, m/p1 ] se p1 = p2
• preferenze Cobb-Douglas u(x1 , x2 ) = xc1 xd2 :
x1 =
c m
c + d p1
x2 =
d m
c + d p2
c
Osserviamo che la frazione c+d
esprime la frazione del reddito che il consumatore spende per acquistare il bene 1 (idem per il bene 2)
Infatti:
p1 x1 =
c
m
c+d
ESERCIZI
1) Scrivere la funzione di domanda del bene 2 nel caso di beni perfetti sostituti
2) Quale frazione del reddito viene spesa per l’acquisto del bene 2 da parte
di un consumatore con preferenze del tipo u(x, y) = xy 4 ?
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3) Se l’inclinazione della curva di indifferenza fosse −b, quali sarebbero le
scelte ottime del consumatore dati i prezzi p1 , p2 e il reddito m ?
4) Dati u(x, y) = x3 y, R = 16, px = 4 e py = 5:
a) scrivere l’equazione del vincolo di bilancio;
b) scrivere il sistema di equazioni che rappresenta la scelta ottima;
c) calcolare la scelta ottima;
d) si determini la scelta ottima se il reddito aumenta di un quarto;
e) si determini la scelta ottima se px = 2;
f) il consumatore è più felice nel caso d) o nel caso e)?
5) Sia u(x, y) = x + y
a) si determini la scelta ottima se px = 2, py = 6 e R = 200
b) e se R = 400?
c) e se px = 6?
6) Sia u(x, y) = 15xy e py = 3. Se la scelta ottima fosse (25, 20), a quanto
ammonterebbero px e R?
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Domanda
• La funzione
xi = xi (p1 , p2 , m)
esprime la quantità domandata del bene i in funzione dei prezzi e del reddito
• E’ naturale chiedersi come varia la domanda di un bene al variare dei prezzi
o del reddito
• Una variazione del reddito comporta uno slittamento della retta di bilancio
senza modificarne l’inclinazione
• In generale ci aspettiamo che la quantità domandata di un bene aumenti
1
> 0): in tal caso si parla di bene normale
all’aumentare del reddito ( ∂x
∂m
• Quando la quantità domandata di un bene diminuisce all’aumentare del red1
dito ( ∂x
< 0) si parla di bene inferiore
∂m
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• Una variazione del prezzo di uno dei beni modifica l’inclinazione della retta
di bilancio e una delle sue intercette
• Ci aspettiamo che la quantità domandata di un bene diminuisca all’aumentare
1
del prezzo ( ∂x
< 0): in tal caso si parla di bene ordinario
∂p1
• Se invece la quantità domandata di un bene aumenta all’aumentare del
1
> 0) si parla di bene di Giffen
prezzo ( ∂x
∂p1
• La curva reddito-consumo rappresenta i panieri domandati in corrispondenza di diversi livelli del reddito, mentre la curva di Engel rappresenta la
quantità domandata di un bene in funzione del reddito
• La curva prezzo-consumo rappresenta i panieri domandati in corrispondenza di prezzi diversi di un bene, mentre la curva di domanda rappresenta
la quantità domandata di un bene in funzione del suo prezzo
• Con la funzione di domanda inversa esprimiamo il prezzo in funzione
della quantità. Una sua interpretazione è la seguente:
dalla condizione di ottimo kSMSk = p1 /p2 , si ottiene p1 = p2 kSMSk
Supponiamo che il bene 2 rappresenti la moneta a disposizione per l’acquisto
degli altri beni (p2 = 1): il SMS rappresenta la quantità di moneta cui uno
è disposto a rinunciare per ottenere una quantità leggermente superiore del
bene 1. Il prezzo del bene 1 rappresenta pertanto la disponibilità marginale
a pagare. La curva di domanda con inclinazione negativa si ricollega al
concetto di SMS decrescente.
• surplus del consumatore rappresenta la differenza tra quanto un consumatore è disposto a pagare per un bene e quanto egli paga effettivamente
per l’acquisto di quel bene. Graficamente il surplus del consumatore è dato
dall’area compresa tra la curva di domanda e la linea del prezzo
• domanda di mercato (o aggregata) si ottiene sommando le curve di
domanda individuali
X1 (p1 , p2 , m1 , . . . , mn ) =
n
X
xi1 (p1 , p2 , mi )
i=1
Esprimendo, a livello aggregato, il prezzo in funzione della quantità, si ottiene la funzione di domanda inversa. Essa rappresenta il SMS di ciascun
consumatore che acquisti il bene (nota: i prezzi sono uguali per tutti =⇒
il SMS è uguale per tutti).
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• Elasticità della domanda rispetto al prezzo
è il rapporto tra la variazione percentuale della quantità e la variazione percentuale del prezzo
ǫ=
∆q/q
∆q p
=
∆p/p
∆p q
per variazioni infinitesimali
ǫ=
dq p
dp q
• il segno dell’elasticità è generalmente negativo (la curva di domanda ha inclinazione negativa).
In valore assoluto:
se ǫ = 1 la domanda ha elasticità unitaria (all’aumentare del prezzo la quantità domandata diminuisce nella stessa proprozione)
se ǫ > 1 la domanda è detta elastica (all’aumentare del prezzo la quantità
domandata diminuisce più che proporzionalmente)
se ǫ < 1 la domanda è detta inelastica (all’aumentare del prezzo la quantità
domandata diminuisce meno che proporzionalmente)
• Esempio: domanda lineare q = a − bp
l’elasticità è data da ǫ =
−bp
q
=
−bp
a−bp
e varia tra zero e infinito
• Il ricavo è dato dal prodotto tra il prezzo e la quantità
R = pq
Se p ↑ =⇒ q ↓: il ricavo aumenta o diminuisce? Possiamo dare una risposta
a questa domanda analizzando la relazione tra ricavo e elasticità.
Chiamiamo p + ∆p e q + ∆q i nuovi livelli del prezzo e della quantità. La
variazione del ricavo sarà data da (trascurando il termine ∆p∆q)
∆R = q∆p + p∆q
Dividendo ambo i lati per ∆p si ha
∆R
∆q
=q+p
∆p
∆p
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da cui
∆R
∆p
> 0 =⇒
p ∆q
q ∆p
10
> −1 =⇒ kǫk < 1
I ricavi aumentano all’aumentare del prezzo se l’elasticità della domanda è
inferiore a uno (in valore assoluto).
ESERCIZI
1) Data u(x, y) = 4x + 3y si determini la scelta ottima se px = 6, py = 3 e
R = 36. Come varia la scelta al crescere del reddito (curva di Engel)?
2) Data u(x, y) = 6xy, px = 3 e py = 2 si determini
a) la curva di Engel di x e y
b) la scelta ottima se m = 100
c) come varia la scelta se m = 420
d) si rappresentino le 2 curve di Engel
3) Dati u(x1 , x2 ) = x21 x2 , p2 = 2000 e m = 60.000
a) si determini la curva di domanda del bene 1
b) si determini la quantità domandata del bene 1 se p1 = 1000
4) Date le preferenze U(x, y) = 2xy, si determini la scelta ottima che consente
di conseguire un livello di utilità pari a 400 se px = 10 e py = 5.
5) Dati u(x1 , x2 ) = 4x1 x2 , R = 300, p1 = 20 e p2 = 40
a) si determini la scelta ottima
b) si determini la scelta ottima se p1 = 40 e se p1 = 60
c) tracciare la curva prezzo consumo e la curva di domanda
6) La curva di domanda di un consumatore è p = 5 − 21 q. Se il prezzo varia
da 1 a 2, qual’è la variazione del surplus?
7) Dati u(x, y) = xy, px = 2 e py = 6
a) si determini la curva di Engel di x e y
b) si determini la curva di domanda se R = 140
c) se vi fossero n consumatori con le stesse preferenze, quale sarebbe la
funzione di domanda aggregata di x e y?
8) pA = 10 − 12 qA e pB = 20 − qB sono le funzioni di domanda di A e B
a) rappresentare graficamente le due funzioni
b) determinare la funzione di domanda aggregata e rappresentarla graficamente
9) Sia q = 80 − 4p la domanda di un bene. Se p = 5 conviene al produttore
aumentare il prezzo?
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10) Siano qA = p30A e qB =
l’elasticità rispetto al prezzo.
60
pB
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due funzioni di domanda. Si determini
11) Noti q = 5, p = 10, ǫ = 7, scrivere la funzione di domanda della forma
q = a − bp
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Tecnologia e profitto
• L’impresa impiega input per produrre output
• L’insieme di produzione rappresenta tutte le combinazioni di input/output
tecnicamente realizzabili
• La funzione di produzione y = f (x1 , x2 ) rappresenta la frontiera di questo
insieme, ovvero il massimo livello di output che può ottenersi impiegando un
dato livello input.
• Un isoquanto di produzione rappresenta tutte le combinazioni di input che
consentono di produrre una data quantità di output (analogia con le curve
di indifferenza e i casi perfetti sostituti, complementi, Cobb-Douglas)
• Ipotizziamo che la tecnologia sia monotona (la quantità prodotta non diminuisce
aumentando la quantità impiegata di almeno un input ) e convessa (dati due
modi diversi di produrre la stessa quantità di output, la loro combinazione
lineare consente di produrre almeno la stessa quantità)
• Definiamo P Mi il prodotto marginale del fattore i, la quantità di output
addizionale ottenibile da un’unità addizionale di xi ; per variazioni infinitesimali
P M1 =
∂f (·)
∂xi
(analogia con l’utilità marginale)
• il saggio tecnico di sostituzione rappresenta il saggio al quale sostituire un input con l’altro per ottenere lo stesso livello di output; è dato
dall’inclinazione dell’isoquanto
ST S = −
P M1
P M2
(analogia con SMS)
• legge della produttività marginale decrescente: il prodotto marginale
di un input diminuisce quando se ne impiegano quantità via via crescenti
(mantenendo fissi tutti gli altri input)
• Breve periodo: alcuni fattori sono fissi
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• Lungo periodo: tutti i fattori produttivi possono variare
• Rendimenti di scala: ci dicono come varia l’output quando variamo gli
input nella stessa proporzione
costanti:
f (tx1 , tx2 ) = tf (x1 , x2 )
crescenti:
f (tx1 , tx2 ) > tf (x1 , x2 )
decrescenti:
f (tx1 , tx2 ) < tf (x1 , x2 )
• Il fine dell’impresa è la massimizzazione del profitto π:
π = py − w1 x1 − w2 x2
• supponiamo che l’impresa sia price-taker, ossia i prezzi dell’output e dell’input
sono dati
• se siamo nel breve periodo e x1 è il fattore variabile, l’impresa sceglie la
quantità di x1 che massimizza π; la condizione di massimizzazione è
pP M1 = w1
il valore del prodotto marginale di un fattore deve essere uguale al suo prezzo
• graficamente possiamo rappresentare la scelta ottima del fattore x1 con la
condizione di tangenza
P M1 =
w1
p
tra la funzione di produzione y = f (x1 , x¯2 ) e la retta di isoprofitto
y=
w1
π w2
+
x¯2 +
x1
p
p
p
che esprime tutte le combinazioni (x1 , y) associate allo stesso livello del profitto π
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• Nel lungo periodo la condizione di massimizzazione sarà
pP M1 = w1
pP M2 = w2
ESERCIZI
1) Che rendimenti di scala presentano le seguenti funzioni di produzione?
1/2 1/3
x x2
f (x1 , x2 ) = x21 x22 ; f (x1 , x2 ) = 4x1 x2 ; y = x1 + x2 ; y = x11+x22 ; y =
18x1 + 0.5x2 + 6x3 ;
2) Dimostrare che il tipo di rendimenti di scala della funzione di produzione
y = Axa1 xb2 dipendono dal valore di a + b.
3) Il STS tra x2 e x1 è −4. Per produrre lo stesso output impiegando 3 unità
in meno di x1 , quante unità in più di x2 devono essere utilizzate?
4) Se pP M1 > w1 , l’impresa deve aumentare o diminuire la quantità impiegata di x1 per aumentare il profitto?
5) Se il prezzo del fattore fisso x2 diminuisse, come varierebbero la quantità impiegata di x1 e il profitto dell’impresa? E se aumentasse il prezzo
dell’output?
8
Costi
• La massimizzazione del profitto implica la minimizzazione dei costi
• la funzione di costo c(y) esprime i costi minimi necessari per produrre il
livello di output desiderato, ovvero
min w1 x1 + w2 x2
x1 ,x2
t.c.
f (x1 , x2 ) = y
• la soluzione al problema di minimizzazione (x∗1 , x∗2 ) viene rappresentata graficamente dalla condizione di tangenza
ST S = −
w1
w2
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tra la curva di isoquanto e la retta di isocosto
x2 =
C
w1
−
x1
w2 w2
che rappresenta le combinazioni (x1 , x2 ) il cui costo è C
• c(1) rappresenta il costo necessario per produrre una unità di output. Se i
rendimenti di scala sono costanti allora c(y) = c(1)y
, il costo per unità di output; se i rendimenti
• Definiamo il costo medio, c(y)
y
sono costanti il costo medio risulta costante; se sono crescenti esso risulta
decrescente; se sono decrescenti esso risulta crescente
• I costi totali sono dati dalla somma dei costi variabili e costi fissi: c(y) =
cv(y) + CF ; i costi medi totali sono dati dalla somma dei costi medi variabili
e costi medi fissi
• la curva del costo medio totale di breve periodo ha un andamento a U: il
tratto decrescente dipende dalla diminuzione dei costi fissi, il tratto crescente
dall’aumento dei costi variabili dovuto alla rigidità dei fattori fissi
• la curva del costo marginale misura la variazione dei costi corrispondente
=
ad una variazione dell’output; per variazioni infinitesimali è data da dc(y)
dy
′
c (y)
• Osservazione:
se c′ (y) < c(y)/y =⇒ c(y)/y decresce
se c′ (y) > c(y)/y =⇒ c(y)/y cresce
pertanto c′ (y) = c(y)/y nel punto di minimo di c(y)/y (stesso ragionamento
per cv(y)/y).
ESERCIZI
1) Sia y = 4LT una funzione di produzione.
a) Determinare (L∗ , T ∗ ) se il budget dell’impresa è di 6400 e wL = 80 e
wT = 100;
b) Determinare y ∗
c) Si supponga di voler produrre y = 10240. Determinare (L∗ , T ∗ );
d) Determinare i costi sostenuti per produrre y = 10240 e verificare se il
costo medio è aumentato o diminuito;
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2) Sia y = 3S + N una funzione di produzione.
a) Tracciare gli isoquanti per y = 30 e per y = 60;
b) Verificare che tipo di rendimenti presenta;
c) Se wS = 2 e wN = 1 qual’è la scelta ottima di fattori? Se wS < 3wN
converrebbe impiegare N?
d) Se i i prezzi fossero wS , wN quale sarebbe il costo necessario per produrre y = 60?
3) Data la funzione di produzione y = 4K 1/2 L1/2 e i prezzi wK = 4 e wL = 8,
determinare la funzione di costo di lungo periodo e di breve periodo se K =
49.
9
Offerta in concorrenza perfetta
• La concorrenza perfetta è una forma di mercato in cui le imprese sono pricetaker; un’ipotesi ragionevole è quella di pensare ad un gran numero di imprese che offrono un prodotto omogeneo: ciascuna impresa deve soltanto
decidere quanto produrre e può vendere qualsiasi quantità al prezzo di mercato (la curva di domanda dell’impresa è orizzontale in corrispondenza del
prezzo di mercato)
• L’impresa massimizza il profitto segliendo l’output
max py − c(y)
y
il livello di output ottimale y ∗ è tale che (condizione di massimizzazione
del profitto)
p = c′ (y ∗)
• la curva di offerta dell’impresa di breve periodo è data dalla curva
del costo marginale al di sopra della curva del costo medio variabile: infatti
l’impresa produrrà soltanto se π > −CF ovvero py−cv(y)−CF ≥ −CF =⇒
py − cv(y) ≥ 0 =⇒ p ≥ cv(y)/y
• la curva di offerta dell’impresa di lungo periodo è data dalla curva del
costo marginale al di sopra della curva del costo medio totale
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• il surplus del produttore: l’area al di sopra della curva di offerta fino al
livello del prezzo di mercato. Rappresenta la differenza tra la somma minima
alla quale il produttore sarebbe disposto a vendere y unità di output e quanto
egli effettivamente ottiene
• l’offerta dell’industria o offerta di mercato è data dalla somma delle singole curve di offerta
S(p) =
X
Si (p)
• Il prezzo e la quantità di equilibrio sono dati dall’incontro tra domanda e
offerta di mercato
D(p) = S(p)
• Osservazione: l’equilibrio di un mercato concorrenziale è pareto efficiente: non esiste il modo di aumentare il benessere di qualcuno senza
ridurre quello di qualcun altro (la somma del surplus del consumatore e del
produttore è massimizzata) In particolare, l’offerta del bene viene allocata
tra i consumatori che gli attribuiscono un valore più elevato e la domanda
del bene viene allocata tra i produttori che sostengono i costi più contenuti
ESERCIZI
1) Data la domanda di mercato D = 3000 − 2p e l’offerta di mercato S =
−600 + 3p, determinare il prezzo e la quantità di equilibrio. Qual’è il prezzo
minimo affinchè S > 0?
2) Data la funzione di costo c(y) = 2y 2 + 100:
a) scrivere le funzioni di costo medio (totale, fisso e variabile) e marginale;
b) Determinare y ∗ se p = 20 o se p = 40;
c) Calcolare il profitto in entrambi i casi.
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Monopolio
• In questa forma di mercato l’industria è caratterizzata dalla presenza di una
sola impresa, il monopolista
• Data la domanda di mercato p(y), il monopolista deve decidere quanto produrre per massimizzare il profitto p(y)y − c(y)
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• Scrivendo i ricavi totali come r(y) = p(y)y, il monopolista
max r(y) − c(y)
y
• la condizione di massimizzazione
r ′ (y) = c′ (y)
ci dice che il monopolista deve uguagliare il ricavo marginale al costo marginale
• Osservazione: in concorrenza perfetta p = r ′ (y) = r(y)/y
• Poichè r ′ (y) =
dp
y
dy
+ p(y), possiamo scrivere
p(y)(1 −
1
) = c′ (y)
|ǫ|
Il monopolista non produrrà un y tale che |ǫ| < 1 perchè altrimenti r ′ (y) < 0.
Per c′ (y) > 0, y m è tale che |ǫ| > 1, il che implica che p(y) > c(y).
• Caso particolare: curva di domanda lineare p(y) = a − by. Il ricavo totale è
ay − by 2 e il ricavo marginale è r ′ (y) = a − 2by, che ha la stessa intercetta
verticale della curva di domanda ma pendenza doppia
• Osservazione: il monopolista non ha una curva di offerta perchè definisce
prezzo e quantità simultaneamente
• Confronto tra concorrenza perfetta e monopolio:
- l’industria in concorrenza perfetta produce in corrispondenza del punto in
cui p = c′ (y)
- il monopolista produce in corrispondenza del punto in cui p > c′ (y), pertanto l’output sarà inferiore e il prezzo maggiore rispetto alla concorrenza
• Possiamo rappresentare graficamente la perdita netta di monopolio, che
misura il valore dell’output perduto
• Per capire se un mercato sarà concorrenziale o un monopolio si confrontano
le dimensioni del mercato con la scala minima efficiente, che rappresenta
il livello di output che minimizza il costo medio: se la prima è elevata rispetto
alla seconda si avrà probabilmente un mercato conccorrenziale e viceversa
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• I monopoli possono anche sorgere perchè una risorsa chiave è detenuta da
un’unica impresa, perchè lo stato concede il diritto esclusivo di produrre il
bene ad un’unica impresa o per collusione (cartello) tra imprese
• Discriminazione di prezzo: la pratica di vendere unità diverse dello stesso
prodotto a prezzi diversi (es. biglietti per spettacoli, biglietti aerei, buoni
sconto,...).
ESERCIZI
1) Sia p = 60 − q la domanda di mercato.
a) Rappresentarla graficamente.
b) Si derivi l’espressione del ricavo marginale
c) E’ possibile che il profitto del monopolista sia massimizzato se y m = 40?
d) Determinare y m se c(y) = 10 + 15y
2) Un monopolista fronteggia una domanda D(p) = 100−2p. La sua funzione
di costo è c(y) = 2y. Determinare y m e pm .
3) Sia D(p) = 63 − 21 p la domanda di mercato e c(y) = 3y 2 + 6y la funzione
di costo del monopolista
a) Determinare y m, pm
b) Calcolare la perdita di benessere sociale rispetto alla concorrenza perfetta e rappresentarla graficamente
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Oligopolio
• E’ una forma di mercato caratterizzata dalla presenza di imprese di dimensioni tali da influenzare, ognuna con le proprie scelte, le decisioni delle concorrenti (interazione strategica)
• Limiteremo la nostra attenzione al duopolio (due imprese) che ipotizziamo
producano lo stesso bene: in tale situazione le variabili rilevanti sono il prezzo
o la quantità fissata da ciascuna impresa
• Modello di Cournot: le due imprese determinano simultaneamente la
quantità prodotta considerando data la quantità prodotta dall’altra
• Il problema dell’impresa 1 (identico a quello dell’impresa 2)
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max π1 = p(y1 + y2 )y1 − c1 (y1 )
y1
la cui soluzione, y1∗ = f1 (y2 ), rappresenta la funzione di reazione dell’impresa
1, cioè il livello ottimale di output che l’impresa deve produrre dato l’output
prodotto dall’impresa 2
• l’equilibrio di Cournot rappresenta la combinazione (y1∗, y2∗) t.c.
y1∗ = f1 (y2∗)
y2∗ = f2 (y1∗)
• Esempio: domanda lineare p = a − b(y1 + y2 ) e costi marginali nulli
L’impresa 1 eguaglia il ricavo marginale al costo marginale (che è zero)
Il ricavo totale è (a − b(y1 + y2 ))y1 , pertanto
a − 2by1 − by2 = 0 =⇒
y1 =
a − by2
2b
(funzione di reazione dell’impresa 1)
• per l’impresa 2 avremo
y2 =
a − by1
2b
• l’intersezione delle 2 funzioni di reazione è (a/3b, a/3b) che rappresenta la
quantità prodotta dalle due imprese (equilibrio di Cournot)
• Modello di Stackelberg: un’impresa, il leader, fissa la quantità prima
dell’altra, il follower
• Supponiamo che 1 sia il leader. L’impresa 1 sa che 2 fisserà un livello di
output y2 = f2 (y1) e terrà conto di questo fatto nel massimizzare il proprio
profitto
max π1 = p(y1 + f2 (y1 ))y1 − c1 (y1 )
y1
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• Esempio: domanda lineare p = a − b(y1 + y2 ) e costi marginali nulli
L’impresa 1 eguaglia il ricavo marginale al costo marginale (che è zero)
1
Tenuto conto che y2 = a−by
(funzione di reazione) e che il ricavo totale è
2b
(a − b(y1 + y2 ))y1 , possiamo riscrivere l’equazione del ricavo totale
(a − b(y1 +
a − by1
))y1
2b
pertanto il ricavo marginale uguagliato a zero sarà:
a − 2by1 − a/2 + by1 = 0
• L’impresa 1 produrrà un output pari a y1∗ = a/2b mentre l’impresa 2 produrrà
a−by ∗
y2 = 2b 1 =⇒ y2∗ = a/4b
• L’equilibrio di Stackelberg è dato da (a/2b, a/4b)
• Modello di Bertrand: la variabile strategica è il prezzo (si ipotizza che le
imprese concorrano determinando simultaneamente i prezzi). L’equilibrio
alla Bertrand coincide con quello concorrenziale: ciascuna impresa fissa un
prezzo uguale al proprio costo marginale
• Cartello: in questo caso ipotizziamo che le imprese colludano, cioè cooperano determinando congiuntamente l’output per massimizzare il profitto totale dell’industria
max p(y1 + y2 )(y1 + y2 ) − c1 (y1 ) − c2 (y2 )
y1 ,y2
Le condizioni di ottimo sono:
dp(y) ∗
(y1 + y2∗ ) + p(y1∗ + y2∗ ) = c′1 (y1∗ )
dy
dp(y) ∗
(y1 + y2∗ ) + p(y1∗ + y2∗ ) = c′2 (y2∗ )
dy
pertanto in equilibrio c′1 (y1∗) = c′2 (y2∗)
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• calcoliamo l’output nell’esempio precedente (domanda lineare e costi marginali
nulli)
il ricavo totale è
(a − b(y1 + y2 ))(y1 + y2 )
e la condizione di ottimo è
−b(y1∗ + y2∗ ) + (a − b(y1∗ + y2∗)) = 0 =⇒
(y1∗ + y2∗) =
a
2b
• Osservazione: il cartello non rappresenta un equilibrio stabile perchè ogni
impresa è tentata a non rispettare i patti. Infatti:
dp ∗
dp
dπ1
=
y1 + p(y1∗ + y2∗ ) − c′1 (y1∗) = − y2∗ > 0
dy1
dy
dy
se l’impresa 1 ritiene che l’impresa 2 produca y2∗, avrà convenienza ad aumentare il proprio livello di produzione (idem per l’impresa 2)
• Riassumendo:
Cournot
Stackelberg
Bertand
Cartello
y
p
π
2a/3b a/3 2a2 /9b
3a/4b a/4 3a2 /16b
a/b
0
0
2
a/2b a/2 a /4b
Esercizio
La domanda di mercato è p = 10−y e le due imprese hanno la stessa struttura
di costi: c1 (y1 ) = 2y1 e c2 (y2 ) = 2y2 .
a) Trovare l’equilibrio di Bertrand, calcolare il surplus dei consumatori e
i profitti dei produttori
b) Trovare l’equilibrio di Cournot, calcolare il surplus dei consumatori e i
profitti dei produttori
c) Trovare l’equilibrio di Stackelberg (l’impresa 1 è il leader), calcolare il
surplus dei consumatori e i profitti dei produttori
d) Trovare l’equilibrio in caso di collusione, calcolare il surplus dei consumatori e i profitti dei produttori
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Teoria dei giochi
• Analizza l’interazione strategica e il conflitto tra soggetti attraverso modelli
matematici
• Un gioco comprende: i giocatori, le strategie e i payoff (premi o perdite che
dipendono dalle strategie scelte)
• Possiamo rappresentare un gioco attraverso la matrice dei payoff
• Esempio: dilemma del prigioniero
Giocatore 1
Conf essare
Negare
Giocatore 2
Conf essare
Negare
−3, −3
0, −6
−6, 0
−1, −1
• La strategia “confessare” è la strategia dominante per entrambi i giocatori,
(è la scelta ottima indipendentemente dalla scelta che farà l’altro giocatore)
• Osservazione: l’equilibrio ottenuto dai giocatori < conf essare, conf essare >
non è pareto-efficiente (analogia con il cartello)
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• Non sempre esiste una strategia dominante; in alcuni giochi è possibile
trovare una soluzione eliminando ripetutamente le strategie dominate
• Esempio:
Giocatore 1 su
giu
Giocatore 2
sinistra centro
destra
1, 0
1, 2
0, 1
0, 3
0, 1
2, 0
Il giocatore 1 sa che il giocatore 2 preferirà sempre “centro” a “destra”.
Pertanto il giocatore 2 sa che il giocatore 1 giocherà “su”. L’equilibrio è
< su, centro, >.
• In altri giochi questa tecnica non è applicabile:
Giocatore 1
sinistra
centro
destra
Giocatore 2
sinistra centro
destra
0, 4
4, 0
5, 3
4, 0
0, 4
5, 3
3, 5
3, 5
6, 6
• il risultato < destra, destra > rappresenta un equilibrio di Nash: la scelta
del giocatore 1 è ottima data la scelta del giocatore 2 e viceversa (si osservi
la differenza rispetto a una strategia dominante, che è una scelta ottima
indipendentemente dalle scelte dell’altro giocatore). Nessun giocatore è incentivato a deviare.
• L’equilibrio di Cournot è un equilibrio di Nash.
• Osservazione 1: l’equilibrio di Nash non è necessariamente unico.
In questo esempio
Moglie
T eatro
Boxe
Marito
T eatro Boxe
2, 1
0, 0
0, 0
1, 2
esistono due equilibri: < teatro, teatro > e < boxe, boxe >
• Osservazione 2: l’equilibrio di Nash può non esistere (considerando le strategie pure)
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Giocatore 2
T
C
1, −1 −1, 1
−1, 1 1, −1
Giocatore 1 T
C
• I giochi descritti precedentemente prevedono che entrambi i giocatori decidano simultaneamente. In molte situazioni le decisioni vengono prese sequenzialmente (si pensi al modello di Stackelberg)
• Con l’esempio seguente illustriamo un gioco che presenta due equilibri di
Nash se giocato simultaneamente e un equilibrio se giocato sequenzialmente
• Esempio
Giocatore 1
Giocatore 2
sinistra destra
1, 9
1, 9
0, 0
2, 1
alto
basso
• < alto, sinistra > e < basso, destra > sono i due equilibri di Nash
• Supponiamo ora che il giocatore 1 muova per primo e rappresentiamo il gioco
in forma estesa
1
alto
2
s
1, 9
d
1, 9
basso
2
s
0, 0
d
2, 1
l’equilibrio è < basso, destra >. Infatti il giocatore 1 sa che giocando “alto”
riceverebbe un payoff 1 mentre giocando “basso” riceverebbe 2 perché il
giocatore 2 non giocherà “s” (riceverebbe un payoff 0) ma “d”. Anche se 2
minacciasse di giocare s, 1 sa che questa minaccia non sarebbe credibile.
• Come applicazione possiamo pensare che il giocatore 1 sia una impresa che
decide se entrare (in) o non entrare (out) in un mercato e che il giocatore
2 sia un’impresa già presente nel mercato che può decidere se reagire o non
reagire. L’equilibrio è < in, non r >.
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1
out
in
2
r
1, 9
non r
0, 2
2, 3
• L’impresa 2 potrebbe rendere credibile la minaccia di reagire sostenendo
dei costi indipedentemente dalla decisione presa da 1. Pensiamo a questa
variante del gioco precedente in cui l’impresa 2 sostiene dei costi per prevenire
strategicamente l’ingresso dell’impresa 1.
1
out
in
2
r
1, 7
0, 3
non r
2, 2
ESERCIZI
1) Due imprese possono scegliere se applicare un prezzo alto o basso. Questa
è la matrice dei payoff:
Impresa 1
P alto
P basso
Impresa 2
P alto P basso
10, 10
−5, 20
20, −5
0, 0
a) Esistono strategie dominanti? b) Quale sarebbe l’equilibrio del gioco
in caso di concorrenza alla Bertrand? c) E se le imprese colludessero?
L’equilibrio sarebbe stabile?
2) Due imprese decidono quanto spendere in pubblicità (i payoff rappresentano i profitti)
a) Esiste una strategia dominante per l’impresa 1? E per l’impresa 2?
b) Trovare l’equilibrio.
c) Quale sarebbe l’equilibrio in caso di collusione?
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4
Impresa 1 6
8
10
5
50, 50
75, 40
90, 30
100, 25
Impresa 2
7, 5
10
40, 60
30, 50
45, 50
40, 45
50, 40
50, 35
45, 30
50, 25
3) Trovare l’equilibrio in questo gioco sequenziale.
L
2, 0
1
R
2
L
R′
1
′
1, 1
L′′
3, 0
R′′
0, 2
27