microeconomia

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta
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QUESTE BREVI NOTE RAPPRESENTANO SOLTANTO LO SCHEMA
DELLE LEZIONI DEL CORSO DI MICROECONOMIA
NON SOSTITUISCONO IL LIBRO DI TESTO E/O GLI APPUNTI
PRESI A LEZIONE!!!
1
Un esempio di modello
• Modello: rappresentazione semplificata della realtà
• Mercato degli appartamenti:
2 tipi di appartamenti: vicini (V) e lontani (L); prezzo (p) di L variabile
esogena; p di V variabile endogena
• Problemi:
1) determinare il p di affitto;
2) chi saranno i locatari;
3) statica comparata;
4) confronto tra i diversi meccanismi di allocazione.
• Principio di ottimizzazione e di equilibrio
• Curva di domanda (D) e prezzo di riserva
• Curva di offerta (S) di breve periodo: molti proprietari che agiscono in
modo indipendente disposti a dare in affitto il proprio appartamento al prezzo
più alto consentito dal mercato (meccanismo concorrenziale)
• prezzo di equilibrio p∗ : viene determinato dall’incontro tra D e S
• p < p∗ : eccesso di domanda;
• p > p∗ : eccesso di offerta;
• chi abiterà in V dipende dalla disponibilità a pagare (prezzo di riserva)
• Statica comparata:
1) aumento/diminuzione dell’offerta;
2) vendita di appartamenti;
3) imposta sulle abitazioni
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• Meccanismi di allocazione:
1) Concorrenza perfetta
2) Monopolista discriminante
3) Monopolista puro: applica un prezzo p = pM tale che massimizzi il suo
ricavo pD(p)
4) Controllo degli affitti: pmax < p∗
• Miglioramento paretiano: è possibile aumentare la soddisfazione di qualcuno senza diminuire quella di qualcun altro (vengono effettuati tutti gli
scambi volontari)
• Una allocazione è Pareto-efficiente se non è possibile un miglioramento
paretiano
• Osservazione: chi paga l’affitto in V ha un prezzo di riserva più elevato: concorrenza e monopolista discriminante sono Pareto-efficienti (gli altri meccanismi no);
• ESERCIZIO: Sia D(p) = 100 − 2p la curva di domanda di appartamenti.
Se un monopolista disponesse di 60 appartamenti, quale prezzo pM massimizzerebbe il ricavo? Quanti saranno gli appartamenti affittati? E se il
monopolista disponesse di 40 appartamenti? Confrontare con la concorrenza
perfetta.
2
Vincolo di bilancio
• Problema del consumatore: scegliere la migliore combinazione di beni
tra quelle che è in grado di acquistare
• p1 x1 + p2 x2 ≤ m vincolo di bilancio
• i panieri di consumo (x1 , x2 ) che soddisfano il vincolo li chiameremo insieme di bilancio
• retta di bilancio: x2 =
m
p2
−
p1
x
p2 1
• interpretazione economica di p1 /p2 (costo opportunità) e delle intercette
• p1 x1 + x2 ≤ m, dove x2 bene composito
• bene numerario: un bene il cui prezzo è stato fissato pari a 1
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• Variazioni della retta (variazioni del reddito o dei prezzi)
• Osservazione: retta di bilancio e inflazione
• tassa sulla quantità: p1 + t (retta più ripida)
• tassa ad valorem: (1 + τ )p1
• sussidi: p1 − s (sulla quantità), (1 − σ)p1 (ad valorem)
• tasse e sussidi globali (non modificano l’inclinazione)
• m ↑ o pi ↓ =⇒ soddisfazione ≥
• ESERCIZI:
1) Riscrivere la retta p1 x1 + p2 x2 = m se p1 raddoppia, p2 aumenta otto volte
e m sei volte;
2) Se p2 ↑ (m, p1 invariati) si disegni lo spostamento subito dalla retta di
bilancio
3) Se p1 raddoppia e p2 triplica, la retta diventa + ripida o + piatta?
4) Se spendi tutto il tuo reddito per acquistare (100, 50) quando p1 = 2 e
p2 = 4, di quanto deve aumentare m per consumare lo stesso paniere se
p1 = 3?
5) Consideriamo 3 beni. Siano i prezzi p1 = 2, p2 = 4, p3 = 6.
a) Scrivere la retta di bilancio se m = 360
b) Sia il bene 1 il numerario. Si riscriva la retta di bilancio.
6) Si scriva la retta di bilancio in presenza di una tassa globale T, di una
tassa sulla quantità t (sul bene 1) e un sussidio sulla quantità s sul bene 2.
7) Se m ↑ e pi ↓ (i = 1, 2), il consumatore è altrettanto soddisfatto?
3
Preferenze
• Relazione di preferenza debole %, forte ≻, indifferenza ∼
• Assunzioni: completezza, riflessività, transitività
• Curva di indifferenza (CI) e insieme preferito debolmente
• Costruzione della curva: (x1 , x2 ) ∼ (x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 )
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• Perfetti sostituti: saggio di sostituzione costante (CI inclinazione costante)
• Perfetti complementi: vengono consumati congiuntamente in proporzioni
fisse (CI forma a L)
• Mali, beni neutrali, sazietà, beni discreti: curve di indifferenza
• Preferenze regolari: soddisfano anche la monotonicità e la convessità
• Saggio marginale di sostituzione (SMS): rappresenta l’inclinazione della
CI
• monotonicità =⇒ SMS negativo
• convessità =⇒ SMS decrescente
• interpretazione del SMS come disponibilità marginale a pagare
• SMS e saggio di scambio
• ESERCIZI
1) “Essere almeno altrettanto alto di ...” è una relazione transitiva? E’
completa?
2) “Essere strettamente più alto di ...” è una relazione transitiva? E’ completa? E’ riflessiva?
3) “Essere più robusto e più veloce di ...” è una relazione transitiva? E’
completa?
4) Due curve di indifferenza possono intersecarsi?
5) Se consideriamo due mali, come rappresentiamo le curve di indifferenza?
4
Utilità
• la funzione di utilità, u : R2 → R, è un modo per associare un numero ad
ogni possibile paniere di consumo rispettando le preferenze:
A % B ⇔ u(A) ≥ u(B)
• utilità ordinale e cardinale
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• Esempi
perfetti sostituti: u(x, y) = ax + by
perfetti complementi: u(x, y) = min{ax, by}
Cobb-Douglas: u(x, y) = xc y d
• SMS e utilità marginale
∂u
∂x
SMS = − ∂u
∂y
• SMS di preferenze Cobb-Douglas
SMS = −
cy
dx
• ESERCIZI
1) Calcolare il SMS delle seguenti funzioni di utilità
a) u(x, y) = x + 3y
b) u(A, C) = A(1 + C)
c) u(x, y) = 14x2 y
2) Data u(x, y) = x2 y 2
a) Calcolare l’utilità marginale di x e y
b) determinare y affinchè A ∼ B, dove A = (4, 3) e B=(2,y)
3) Data u(x, y) =
√ √
x y
a) calcolare il SMS;
b) si determini la funzione della curva di indifferenza passante per il
paniere (9, 16)
c) si stabilisca l’ordinamento dei seguenti panieri:
A=(9,16), B = (49,81), C=(25,9), D=(4,1), E=(9,4)
4) Siano u1 (x, y) =
sumatori 1 e 2.
xy
100
e u2 (x, y) = 1000x2 y 2 le funzioni di utilità dei con-
a) si calcoli il SMS delle due funzioni;
b) si determini, per entrambe le funzioni di utilità, la funzione della curva
di indifferenza passante per il paniere (4, 4)
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Scelta
• Problema del consumatore: scegliere il paniere preferito tra quelli appartenenti al suo insieme di bilancio
• Intuizione geometrica: la scelta ottima si ha in corrispondenza del punto in
cui la CI è tangente alla retta di bilancio (con preferenze regolari e ottimo
interno)
• la scelta ottima rappresenta il paniere domandato dal consumatore, dati i
prezzi e il reddito
funzione di domanda del bene i:
xi = xi (p1 , p2 , m), i = 1, 2
• perfetti sostituti:
x1 = m/p1 se p1 < p2
x1 = 0 se p1 > p2
x1 ∈ [0, m/p1 ] se p1 = p2
• preferenze Cobb-Douglas u(x1 , x2 ) = xc1 xd2 :
x1 =
c m
c + d p1
x2 =
d m
c + d p2
c
Osserviamo che la frazione c+d
esprime la frazione del reddito che il consumatore spende per acquistare il bene 1 (idem per il bene 2)
Infatti:
p1 x1 =
c
m
c+d
ESERCIZI
1) Scrivere la funzione di domanda del bene 2 nel caso di beni perfetti sostituti
2) Quale frazione del reddito viene spesa per l’acquisto del bene 2 da parte
di un consumatore con preferenze del tipo u(x, y) = xy 4 ?
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3) Se l’inclinazione della curva di indifferenza fosse −b, quali sarebbero le
scelte ottime del consumatore dati i prezzi p1 , p2 e il reddito m ?
4) Dati u(x, y) = x3 y, R = 16, px = 4 e py = 5:
a) scrivere l’equazione del vincolo di bilancio;
b) scrivere il sistema di equazioni che rappresenta la scelta ottima;
c) calcolare la scelta ottima;
d) si determini la scelta ottima se il reddito aumenta di un quarto;
e) si determini la scelta ottima se px = 2;
f) il consumatore è più felice nel caso d) o nel caso e)?
5) Sia u(x, y) = x + y
a) si determini la scelta ottima se px = 2, py = 6 e R = 200
b) e se R = 400?
c) e se px = 6?
6) Sia u(x, y) = 15xy e py = 3. Se la scelta ottima fosse (25, 20), a quanto
ammonterebbero px e R?
6
Domanda
• La funzione
xi = xi (p1 , p2 , m)
esprime la quantità domandata del bene i in funzione dei prezzi e del reddito
• E’ naturale chiedersi come varia la domanda di un bene al variare dei prezzi
o del reddito
• Una variazione del reddito comporta uno slittamento della retta di bilancio
senza modificarne l’inclinazione
• In generale ci aspettiamo che la quantità domandata di un bene aumenti
1
> 0): in tal caso si parla di bene normale
all’aumentare del reddito ( ∂x
∂m
• Quando la quantità domandata di un bene diminuisce all’aumentare del red1
dito ( ∂x
< 0) si parla di bene inferiore
∂m
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• Una variazione del prezzo di uno dei beni modifica l’inclinazione della retta
di bilancio e una delle sue intercette
• Ci aspettiamo che la quantità domandata di un bene diminuisca all’aumentare
1
del prezzo ( ∂x
< 0): in tal caso si parla di bene ordinario
∂p1
• Se invece la quantità domandata di un bene aumenta all’aumentare del
1
> 0) si parla di bene di Giffen
prezzo ( ∂x
∂p1
• La curva reddito-consumo rappresenta i panieri domandati in corrispondenza di diversi livelli del reddito, mentre la curva di Engel rappresenta la
quantità domandata di un bene in funzione del reddito
• La curva prezzo-consumo rappresenta i panieri domandati in corrispondenza di prezzi diversi di un bene, mentre la curva di domanda rappresenta
la quantità domandata di un bene in funzione del suo prezzo
• Con la funzione di domanda inversa esprimiamo il prezzo in funzione
della quantità. Una sua interpretazione è la seguente:
dalla condizione di ottimo kSMSk = p1 /p2 , si ottiene p1 = p2 kSMSk
Supponiamo che il bene 2 rappresenti la moneta a disposizione per l’acquisto
degli altri beni (p2 = 1): il SMS rappresenta la quantità di moneta cui uno
è disposto a rinunciare per ottenere una quantità leggermente superiore del
bene 1. Il prezzo del bene 1 rappresenta pertanto la disponibilità marginale
a pagare. La curva di domanda con inclinazione negativa si ricollega al
concetto di SMS decrescente.
• surplus del consumatore rappresenta la differenza tra quanto un consumatore è disposto a pagare per un bene e quanto egli paga effettivamente
per l’acquisto di quel bene. Graficamente il surplus del consumatore è dato
dall’area compresa tra la curva di domanda e la linea del prezzo
• domanda di mercato (o aggregata) si ottiene sommando le curve di
domanda individuali
X1 (p1 , p2 , m1 , . . . , mn ) =
n
X
xi1 (p1 , p2 , mi )
i=1
Esprimendo, a livello aggregato, il prezzo in funzione della quantità, si ottiene la funzione di domanda inversa. Essa rappresenta il SMS di ciascun
consumatore che acquisti il bene (nota: i prezzi sono uguali per tutti =⇒
il SMS è uguale per tutti).
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• Elasticità della domanda rispetto al prezzo
è il rapporto tra la variazione percentuale della quantità e la variazione percentuale del prezzo
ǫ=
∆q/q
∆q p
=
∆p/p
∆p q
per variazioni infinitesimali
ǫ=
dq p
dp q
• il segno dell’elasticità è generalmente negativo (la curva di domanda ha inclinazione negativa).
In valore assoluto:
se ǫ = 1 la domanda ha elasticità unitaria (all’aumentare del prezzo la quantità domandata diminuisce nella stessa proprozione)
se ǫ > 1 la domanda è detta elastica (all’aumentare del prezzo la quantità
domandata diminuisce più che proporzionalmente)
se ǫ < 1 la domanda è detta inelastica (all’aumentare del prezzo la quantità
domandata diminuisce meno che proporzionalmente)
• Esempio: domanda lineare q = a − bp
l’elasticità è data da ǫ =
−bp
q
=
−bp
a−bp
e varia tra zero e infinito
• Il ricavo è dato dal prodotto tra il prezzo e la quantità
R = pq
Se p ↑ =⇒ q ↓: il ricavo aumenta o diminuisce? Possiamo dare una risposta
a questa domanda analizzando la relazione tra ricavo e elasticità.
Chiamiamo p + ∆p e q + ∆q i nuovi livelli del prezzo e della quantità. La
variazione del ricavo sarà data da (trascurando il termine ∆p∆q)
∆R = q∆p + p∆q
Dividendo ambo i lati per ∆p si ha
∆R
∆q
=q+p
∆p
∆p
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da cui
∆R
∆p
> 0 =⇒
p ∆q
q ∆p
10
> −1 =⇒ kǫk < 1
I ricavi aumentano all’aumentare del prezzo se l’elasticità della domanda è
inferiore a uno (in valore assoluto).
ESERCIZI
1) Data u(x, y) = 4x + 3y si determini la scelta ottima se px = 6, py = 3 e
R = 36. Come varia la scelta al crescere del reddito (curva di Engel)?
2) Data u(x, y) = 6xy, px = 3 e py = 2 si determini
a) la curva di Engel di x e y
b) la scelta ottima se m = 100
c) come varia la scelta se m = 420
d) si rappresentino le 2 curve di Engel
3) Dati u(x1 , x2 ) = x21 x2 , p2 = 2000 e m = 60.000
a) si determini la curva di domanda del bene 1
b) si determini la quantità domandata del bene 1 se p1 = 1000
4) Date le preferenze U(x, y) = 2xy, si determini la scelta ottima che consente
di conseguire un livello di utilità pari a 400 se px = 10 e py = 5.
5) Dati u(x1 , x2 ) = 4x1 x2 , R = 300, p1 = 20 e p2 = 40
a) si determini la scelta ottima
b) si determini la scelta ottima se p1 = 40 e se p1 = 60
c) tracciare la curva prezzo consumo e la curva di domanda
6) La curva di domanda di un consumatore è p = 5 − 21 q. Se il prezzo varia
da 1 a 2, qual’è la variazione del surplus?
7) Dati u(x, y) = xy, px = 2 e py = 6
a) si determini la curva di Engel di x e y
b) si determini la curva di domanda se R = 140
c) se vi fossero n consumatori con le stesse preferenze, quale sarebbe la
funzione di domanda aggregata di x e y?
8) pA = 10 − 12 qA e pB = 20 − qB sono le funzioni di domanda di A e B
a) rappresentare graficamente le due funzioni
b) determinare la funzione di domanda aggregata e rappresentarla graficamente
9) Sia q = 80 − 4p la domanda di un bene. Se p = 5 conviene al produttore
aumentare il prezzo?
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10) Siano qA = p30A e qB =
l’elasticità rispetto al prezzo.
60
pB
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due funzioni di domanda. Si determini
11) Noti q = 5, p = 10, ǫ = 7, scrivere la funzione di domanda della forma
q = a − bp
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Tecnologia e profitto
• L’impresa impiega input per produrre output
• L’insieme di produzione rappresenta tutte le combinazioni di input/output
tecnicamente realizzabili
• La funzione di produzione y = f (x1 , x2 ) rappresenta la frontiera di questo
insieme, ovvero il massimo livello di output che può ottenersi impiegando un
dato livello input.
• Un isoquanto di produzione rappresenta tutte le combinazioni di input che
consentono di produrre una data quantità di output (analogia con le curve
di indifferenza e i casi perfetti sostituti, complementi, Cobb-Douglas)
• Ipotizziamo che la tecnologia sia monotona (la quantità prodotta non diminuisce
aumentando la quantità impiegata di almeno un input ) e convessa (dati due
modi diversi di produrre la stessa quantità di output, la loro combinazione
lineare consente di produrre almeno la stessa quantità)
• Definiamo P Mi il prodotto marginale del fattore i, la quantità di output
addizionale ottenibile da un’unità addizionale di xi ; per variazioni infinitesimali
P M1 =
∂f (·)
∂xi
(analogia con l’utilità marginale)
• il saggio tecnico di sostituzione rappresenta il saggio al quale sostituire un input con l’altro per ottenere lo stesso livello di output; è dato
dall’inclinazione dell’isoquanto
ST S = −
P M1
P M2
(analogia con SMS)
• legge della produttività marginale decrescente: il prodotto marginale
di un input diminuisce quando se ne impiegano quantità via via crescenti
(mantenendo fissi tutti gli altri input)
• Breve periodo: alcuni fattori sono fissi
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• Lungo periodo: tutti i fattori produttivi possono variare
• Rendimenti di scala: ci dicono come varia l’output quando variamo gli
input nella stessa proporzione
costanti:
f (tx1 , tx2 ) = tf (x1 , x2 )
crescenti:
f (tx1 , tx2 ) > tf (x1 , x2 )
decrescenti:
f (tx1 , tx2 ) < tf (x1 , x2 )
• Il fine dell’impresa è la massimizzazione del profitto π:
π = py − w1 x1 − w2 x2
• supponiamo che l’impresa sia price-taker, ossia i prezzi dell’output e dell’input
sono dati
• se siamo nel breve periodo e x1 è il fattore variabile, l’impresa sceglie la
quantità di x1 che massimizza π; la condizione di massimizzazione è
pP M1 = w1
il valore del prodotto marginale di un fattore deve essere uguale al suo prezzo
• graficamente possiamo rappresentare la scelta ottima del fattore x1 con la
condizione di tangenza
P M1 =
w1
p
tra la funzione di produzione y = f (x1 , x¯2 ) e la retta di isoprofitto
y=
w1
π w2
+
x¯2 +
x1
p
p
p
che esprime tutte le combinazioni (x1 , y) associate allo stesso livello del profitto π
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• Nel lungo periodo la condizione di massimizzazione sarà
pP M1 = w1
pP M2 = w2
ESERCIZI
1) Che rendimenti di scala presentano le seguenti funzioni di produzione?
1/2 1/3
x x2
f (x1 , x2 ) = x21 x22 ; f (x1 , x2 ) = 4x1 x2 ; y = x1 + x2 ; y = x11+x22 ; y =
18x1 + 0.5x2 + 6x3 ;
2) Dimostrare che il tipo di rendimenti di scala della funzione di produzione
y = Axa1 xb2 dipendono dal valore di a + b.
3) Il STS tra x2 e x1 è −4. Per produrre lo stesso output impiegando 3 unità
in meno di x1 , quante unità in più di x2 devono essere utilizzate?
4) Se pP M1 > w1 , l’impresa deve aumentare o diminuire la quantità impiegata di x1 per aumentare il profitto?
5) Se il prezzo del fattore fisso x2 diminuisse, come varierebbero la quantità impiegata di x1 e il profitto dell’impresa? E se aumentasse il prezzo
dell’output?
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Costi
• La massimizzazione del profitto implica la minimizzazione dei costi
• la funzione di costo c(y) esprime i costi minimi necessari per produrre il
livello di output desiderato, ovvero
min w1 x1 + w2 x2
x1 ,x2
t.c.
f (x1 , x2 ) = y
• la soluzione al problema di minimizzazione (x∗1 , x∗2 ) viene rappresentata graficamente dalla condizione di tangenza
ST S = −
w1
w2
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tra la curva di isoquanto e la retta di isocosto
x2 =
C
w1
−
x1
w2 w2
che rappresenta le combinazioni (x1 , x2 ) il cui costo è C
• c(1) rappresenta il costo necessario per produrre una unità di output. Se i
rendimenti di scala sono costanti allora c(y) = c(1)y
, il costo per unità di output; se i rendimenti
• Definiamo il costo medio, c(y)
y
sono costanti il costo medio risulta costante; se sono crescenti esso risulta
decrescente; se sono decrescenti esso risulta crescente
• I costi totali sono dati dalla somma dei costi variabili e costi fissi: c(y) =
cv(y) + CF ; i costi medi totali sono dati dalla somma dei costi medi variabili
e costi medi fissi
• la curva del costo medio totale di breve periodo ha un andamento a U: il
tratto decrescente dipende dalla diminuzione dei costi fissi, il tratto crescente
dall’aumento dei costi variabili dovuto alla rigidità dei fattori fissi
• la curva del costo marginale misura la variazione dei costi corrispondente
=
ad una variazione dell’output; per variazioni infinitesimali è data da dc(y)
dy
′
c (y)
• Osservazione:
se c′ (y) < c(y)/y =⇒ c(y)/y decresce
se c′ (y) > c(y)/y =⇒ c(y)/y cresce
pertanto c′ (y) = c(y)/y nel punto di minimo di c(y)/y (stesso ragionamento
per cv(y)/y).
ESERCIZI
1) Sia y = 4LT una funzione di produzione.
a) Determinare (L∗ , T ∗ ) se il budget dell’impresa è di 6400 e wL = 80 e
wT = 100;
b) Determinare y ∗
c) Si supponga di voler produrre y = 10240. Determinare (L∗ , T ∗ );
d) Determinare i costi sostenuti per produrre y = 10240 e verificare se il
costo medio è aumentato o diminuito;
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2) Sia y = 3S + N una funzione di produzione.
a) Tracciare gli isoquanti per y = 30 e per y = 60;
b) Verificare che tipo di rendimenti presenta;
c) Se wS = 2 e wN = 1 qual’è la scelta ottima di fattori? Se wS < 3wN
converrebbe impiegare N?
d) Se i i prezzi fossero wS , wN quale sarebbe il costo necessario per produrre y = 60?
3) Data la funzione di produzione y = 4K 1/2 L1/2 e i prezzi wK = 4 e wL = 8,
determinare la funzione di costo di lungo periodo e di breve periodo se K =
49.
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Offerta in concorrenza perfetta
• La concorrenza perfetta è una forma di mercato in cui le imprese sono pricetaker; un’ipotesi ragionevole è quella di pensare ad un gran numero di imprese che offrono un prodotto omogeneo: ciascuna impresa deve soltanto
decidere quanto produrre e può vendere qualsiasi quantità al prezzo di mercato (la curva di domanda dell’impresa è orizzontale in corrispondenza del
prezzo di mercato)
• L’impresa massimizza il profitto segliendo l’output
max py − c(y)
y
il livello di output ottimale y ∗ è tale che (condizione di massimizzazione
del profitto)
p = c′ (y ∗)
• la curva di offerta dell’impresa di breve periodo è data dalla curva
del costo marginale al di sopra della curva del costo medio variabile: infatti
l’impresa produrrà soltanto se π > −CF ovvero py−cv(y)−CF ≥ −CF =⇒
py − cv(y) ≥ 0 =⇒ p ≥ cv(y)/y
• la curva di offerta dell’impresa di lungo periodo è data dalla curva del
costo marginale al di sopra della curva del costo medio totale
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• il surplus del produttore: l’area al di sopra della curva di offerta fino al
livello del prezzo di mercato. Rappresenta la differenza tra la somma minima
alla quale il produttore sarebbe disposto a vendere y unità di output e quanto
egli effettivamente ottiene
• l’offerta dell’industria o offerta di mercato è data dalla somma delle singole curve di offerta
S(p) =
X
Si (p)
• Il prezzo e la quantità di equilibrio sono dati dall’incontro tra domanda e
offerta di mercato
D(p) = S(p)
• Osservazione: l’equilibrio di un mercato concorrenziale è pareto efficiente: non esiste il modo di aumentare il benessere di qualcuno senza
ridurre quello di qualcun altro (la somma del surplus del consumatore e del
produttore è massimizzata) In particolare, l’offerta del bene viene allocata
tra i consumatori che gli attribuiscono un valore più elevato e la domanda
del bene viene allocata tra i produttori che sostengono i costi più contenuti
ESERCIZI
1) Data la domanda di mercato D = 3000 − 2p e l’offerta di mercato S =
−600 + 3p, determinare il prezzo e la quantità di equilibrio. Qual’è il prezzo
minimo affinchè S > 0?
2) Data la funzione di costo c(y) = 2y 2 + 100:
a) scrivere le funzioni di costo medio (totale, fisso e variabile) e marginale;
b) Determinare y ∗ se p = 20 o se p = 40;
c) Calcolare il profitto in entrambi i casi.
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Monopolio
• In questa forma di mercato l’industria è caratterizzata dalla presenza di una
sola impresa, il monopolista
• Data la domanda di mercato p(y), il monopolista deve decidere quanto produrre per massimizzare il profitto p(y)y − c(y)
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• Scrivendo i ricavi totali come r(y) = p(y)y, il monopolista
max r(y) − c(y)
y
• la condizione di massimizzazione
r ′ (y) = c′ (y)
ci dice che il monopolista deve uguagliare il ricavo marginale al costo marginale
• Osservazione: in concorrenza perfetta p = r ′ (y) = r(y)/y
• Poichè r ′ (y) =
dp
y
dy
+ p(y), possiamo scrivere
p(y)(1 −
1
) = c′ (y)
|ǫ|
Il monopolista non produrrà un y tale che |ǫ| < 1 perchè altrimenti r ′ (y) < 0.
Per c′ (y) > 0, y m è tale che |ǫ| > 1, il che implica che p(y) > c(y).
• Caso particolare: curva di domanda lineare p(y) = a − by. Il ricavo totale è
ay − by 2 e il ricavo marginale è r ′ (y) = a − 2by, che ha la stessa intercetta
verticale della curva di domanda ma pendenza doppia
• Osservazione: il monopolista non ha una curva di offerta perchè definisce
prezzo e quantità simultaneamente
• Confronto tra concorrenza perfetta e monopolio:
- l’industria in concorrenza perfetta produce in corrispondenza del punto in
cui p = c′ (y)
- il monopolista produce in corrispondenza del punto in cui p > c′ (y), pertanto l’output sarà inferiore e il prezzo maggiore rispetto alla concorrenza
• Possiamo rappresentare graficamente la perdita netta di monopolio, che
misura il valore dell’output perduto
• Per capire se un mercato sarà concorrenziale o un monopolio si confrontano
le dimensioni del mercato con la scala minima efficiente, che rappresenta
il livello di output che minimizza il costo medio: se la prima è elevata rispetto
alla seconda si avrà probabilmente un mercato conccorrenziale e viceversa
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• I monopoli possono anche sorgere perchè una risorsa chiave è detenuta da
un’unica impresa, perchè lo stato concede il diritto esclusivo di produrre il
bene ad un’unica impresa o per collusione (cartello) tra imprese
• Discriminazione di prezzo: la pratica di vendere unità diverse dello stesso
prodotto a prezzi diversi (es. biglietti per spettacoli, biglietti aerei, buoni
sconto,...).
ESERCIZI
1) Sia p = 60 − q la domanda di mercato.
a) Rappresentarla graficamente.
b) Si derivi l’espressione del ricavo marginale
c) E’ possibile che il profitto del monopolista sia massimizzato se y m = 40?
d) Determinare y m se c(y) = 10 + 15y
2) Un monopolista fronteggia una domanda D(p) = 100−2p. La sua funzione
di costo è c(y) = 2y. Determinare y m e pm .
3) Sia D(p) = 63 − 21 p la domanda di mercato e c(y) = 3y 2 + 6y la funzione
di costo del monopolista
a) Determinare y m, pm
b) Calcolare la perdita di benessere sociale rispetto alla concorrenza perfetta e rappresentarla graficamente
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Oligopolio
• E’ una forma di mercato caratterizzata dalla presenza di imprese di dimensioni tali da influenzare, ognuna con le proprie scelte, le decisioni delle concorrenti (interazione strategica)
• Limiteremo la nostra attenzione al duopolio (due imprese) che ipotizziamo
producano lo stesso bene: in tale situazione le variabili rilevanti sono il prezzo
o la quantità fissata da ciascuna impresa
• Modello di Cournot: le due imprese determinano simultaneamente la
quantità prodotta considerando data la quantità prodotta dall’altra
• Il problema dell’impresa 1 (identico a quello dell’impresa 2)
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max π1 = p(y1 + y2 )y1 − c1 (y1 )
y1
la cui soluzione, y1∗ = f1 (y2 ), rappresenta la funzione di reazione dell’impresa
1, cioè il livello ottimale di output che l’impresa deve produrre dato l’output
prodotto dall’impresa 2
• l’equilibrio di Cournot rappresenta la combinazione (y1∗, y2∗) t.c.
y1∗ = f1 (y2∗)
y2∗ = f2 (y1∗)
• Esempio: domanda lineare p = a − b(y1 + y2 ) e costi marginali nulli
L’impresa 1 eguaglia il ricavo marginale al costo marginale (che è zero)
Il ricavo totale è (a − b(y1 + y2 ))y1 , pertanto
a − 2by1 − by2 = 0 =⇒
y1 =
a − by2
2b
(funzione di reazione dell’impresa 1)
• per l’impresa 2 avremo
y2 =
a − by1
2b
• l’intersezione delle 2 funzioni di reazione è (a/3b, a/3b) che rappresenta la
quantità prodotta dalle due imprese (equilibrio di Cournot)
• Modello di Stackelberg: un’impresa, il leader, fissa la quantità prima
dell’altra, il follower
• Supponiamo che 1 sia il leader. L’impresa 1 sa che 2 fisserà un livello di
output y2 = f2 (y1) e terrà conto di questo fatto nel massimizzare il proprio
profitto
max π1 = p(y1 + f2 (y1 ))y1 − c1 (y1 )
y1
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• Esempio: domanda lineare p = a − b(y1 + y2 ) e costi marginali nulli
L’impresa 1 eguaglia il ricavo marginale al costo marginale (che è zero)
1
Tenuto conto che y2 = a−by
(funzione di reazione) e che il ricavo totale è
2b
(a − b(y1 + y2 ))y1 , possiamo riscrivere l’equazione del ricavo totale
(a − b(y1 +
a − by1
))y1
2b
pertanto il ricavo marginale uguagliato a zero sarà:
a − 2by1 − a/2 + by1 = 0
• L’impresa 1 produrrà un output pari a y1∗ = a/2b mentre l’impresa 2 produrrà
a−by ∗
y2 = 2b 1 =⇒ y2∗ = a/4b
• L’equilibrio di Stackelberg è dato da (a/2b, a/4b)
• Modello di Bertrand: la variabile strategica è il prezzo (si ipotizza che le
imprese concorrano determinando simultaneamente i prezzi). L’equilibrio
alla Bertrand coincide con quello concorrenziale: ciascuna impresa fissa un
prezzo uguale al proprio costo marginale
• Cartello: in questo caso ipotizziamo che le imprese colludano, cioè cooperano determinando congiuntamente l’output per massimizzare il profitto totale dell’industria
max p(y1 + y2 )(y1 + y2 ) − c1 (y1 ) − c2 (y2 )
y1 ,y2
Le condizioni di ottimo sono:
dp(y) ∗
(y1 + y2∗ ) + p(y1∗ + y2∗ ) = c′1 (y1∗ )
dy
dp(y) ∗
(y1 + y2∗ ) + p(y1∗ + y2∗ ) = c′2 (y2∗ )
dy
pertanto in equilibrio c′1 (y1∗) = c′2 (y2∗)
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• calcoliamo l’output nell’esempio precedente (domanda lineare e costi marginali
nulli)
il ricavo totale è
(a − b(y1 + y2 ))(y1 + y2 )
e la condizione di ottimo è
−b(y1∗ + y2∗ ) + (a − b(y1∗ + y2∗)) = 0 =⇒
(y1∗ + y2∗) =
a
2b
• Osservazione: il cartello non rappresenta un equilibrio stabile perchè ogni
impresa è tentata a non rispettare i patti. Infatti:
dp ∗
dp
dπ1
=
y1 + p(y1∗ + y2∗ ) − c′1 (y1∗) = − y2∗ > 0
dy1
dy
dy
se l’impresa 1 ritiene che l’impresa 2 produca y2∗, avrà convenienza ad aumentare il proprio livello di produzione (idem per l’impresa 2)
• Riassumendo:
Cournot
Stackelberg
Bertand
Cartello
y
p
π
2a/3b a/3 2a2 /9b
3a/4b a/4 3a2 /16b
a/b
0
0
2
a/2b a/2 a /4b
Esercizio
La domanda di mercato è p = 10−y e le due imprese hanno la stessa struttura
di costi: c1 (y1 ) = 2y1 e c2 (y2 ) = 2y2 .
a) Trovare l’equilibrio di Bertrand, calcolare il surplus dei consumatori e
i profitti dei produttori
b) Trovare l’equilibrio di Cournot, calcolare il surplus dei consumatori e i
profitti dei produttori
c) Trovare l’equilibrio di Stackelberg (l’impresa 1 è il leader), calcolare il
surplus dei consumatori e i profitti dei produttori
d) Trovare l’equilibrio in caso di collusione, calcolare il surplus dei consumatori e i profitti dei produttori
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Teoria dei giochi
• Analizza l’interazione strategica e il conflitto tra soggetti attraverso modelli
matematici
• Un gioco comprende: i giocatori, le strategie e i payoff (premi o perdite che
dipendono dalle strategie scelte)
• Possiamo rappresentare un gioco attraverso la matrice dei payoff
• Esempio: dilemma del prigioniero
Giocatore 1
Conf essare
Negare
Giocatore 2
Conf essare
Negare
−3, −3
0, −6
−6, 0
−1, −1
• La strategia “confessare” è la strategia dominante per entrambi i giocatori,
(è la scelta ottima indipendentemente dalla scelta che farà l’altro giocatore)
• Osservazione: l’equilibrio ottenuto dai giocatori < conf essare, conf essare >
non è pareto-efficiente (analogia con il cartello)
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• Non sempre esiste una strategia dominante; in alcuni giochi è possibile
trovare una soluzione eliminando ripetutamente le strategie dominate
• Esempio:
Giocatore 1 su
giu
Giocatore 2
sinistra centro
destra
1, 0
1, 2
0, 1
0, 3
0, 1
2, 0
Il giocatore 1 sa che il giocatore 2 preferirà sempre “centro” a “destra”.
Pertanto il giocatore 2 sa che il giocatore 1 giocherà “su”. L’equilibrio è
< su, centro, >.
• In altri giochi questa tecnica non è applicabile:
Giocatore 1
sinistra
centro
destra
Giocatore 2
sinistra centro
destra
0, 4
4, 0
5, 3
4, 0
0, 4
5, 3
3, 5
3, 5
6, 6
• il risultato < destra, destra > rappresenta un equilibrio di Nash: la scelta
del giocatore 1 è ottima data la scelta del giocatore 2 e viceversa (si osservi
la differenza rispetto a una strategia dominante, che è una scelta ottima
indipendentemente dalle scelte dell’altro giocatore). Nessun giocatore è incentivato a deviare.
• L’equilibrio di Cournot è un equilibrio di Nash.
• Osservazione 1: l’equilibrio di Nash non è necessariamente unico.
In questo esempio
Moglie
T eatro
Boxe
Marito
T eatro Boxe
2, 1
0, 0
0, 0
1, 2
esistono due equilibri: < teatro, teatro > e < boxe, boxe >
• Osservazione 2: l’equilibrio di Nash può non esistere (considerando le strategie pure)
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Giocatore 2
T
C
1, −1 −1, 1
−1, 1 1, −1
Giocatore 1 T
C
• I giochi descritti precedentemente prevedono che entrambi i giocatori decidano simultaneamente. In molte situazioni le decisioni vengono prese sequenzialmente (si pensi al modello di Stackelberg)
• Con l’esempio seguente illustriamo un gioco che presenta due equilibri di
Nash se giocato simultaneamente e un equilibrio se giocato sequenzialmente
• Esempio
Giocatore 1
Giocatore 2
sinistra destra
1, 9
1, 9
0, 0
2, 1
alto
basso
• < alto, sinistra > e < basso, destra > sono i due equilibri di Nash
• Supponiamo ora che il giocatore 1 muova per primo e rappresentiamo il gioco
in forma estesa
1
alto
2
s
1, 9
d
1, 9
basso
2
s
0, 0
d
2, 1
l’equilibrio è < basso, destra >. Infatti il giocatore 1 sa che giocando “alto”
riceverebbe un payoff 1 mentre giocando “basso” riceverebbe 2 perché il
giocatore 2 non giocherà “s” (riceverebbe un payoff 0) ma “d”. Anche se 2
minacciasse di giocare s, 1 sa che questa minaccia non sarebbe credibile.
• Come applicazione possiamo pensare che il giocatore 1 sia una impresa che
decide se entrare (in) o non entrare (out) in un mercato e che il giocatore
2 sia un’impresa già presente nel mercato che può decidere se reagire o non
reagire. L’equilibrio è < in, non r >.
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1
out
in
2
r
1, 9
non r
0, 2
2, 3
• L’impresa 2 potrebbe rendere credibile la minaccia di reagire sostenendo
dei costi indipedentemente dalla decisione presa da 1. Pensiamo a questa
variante del gioco precedente in cui l’impresa 2 sostiene dei costi per prevenire
strategicamente l’ingresso dell’impresa 1.
1
out
in
2
r
1, 7
0, 3
non r
2, 2
ESERCIZI
1) Due imprese possono scegliere se applicare un prezzo alto o basso. Questa
è la matrice dei payoff:
Impresa 1
P alto
P basso
Impresa 2
P alto P basso
10, 10
−5, 20
20, −5
0, 0
a) Esistono strategie dominanti? b) Quale sarebbe l’equilibrio del gioco
in caso di concorrenza alla Bertrand? c) E se le imprese colludessero?
L’equilibrio sarebbe stabile?
2) Due imprese decidono quanto spendere in pubblicità (i payoff rappresentano i profitti)
a) Esiste una strategia dominante per l’impresa 1? E per l’impresa 2?
b) Trovare l’equilibrio.
c) Quale sarebbe l’equilibrio in caso di collusione?
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4
Impresa 1 6
8
10
5
50, 50
75, 40
90, 30
100, 25
Impresa 2
7, 5
10
40, 60
30, 50
45, 50
40, 45
50, 40
50, 35
45, 30
50, 25
3) Trovare l’equilibrio in questo gioco sequenziale.
L
2, 0
1
R
2
L
R′
1
′
1, 1
L′′
3, 0
R′′
0, 2
27