Programma definitivo di Analisi Matematica II A.A. 2013/14.

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA
Programma di Analisi Matematica II
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
Docente: prof.ssa Maria Stella Fanciullo
1. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Criterio di Cauchy. Teoremi di
continuità, derivabilità, passaggio al limite sotto il segno di integrale. Serie di funzioni. Convergenza puntuale,
assoluta, uniforme e totale. Criterio di Cauchy. Serie di potenze. Intervallo e raggio di convergenza. Teorema
di Cauchy - Hadamard. Teorema di Abel. Serie di Taylor. Condizioni sufficienti per la sviluppabilità in serie
di Taylor. Alcuni sviluppi notevoli. Cenni sulle serie di potenze nel campo complesso. Applicazione alla
trasformata Zeta. Serie di Fourier.
2. Funzioni di più variabili. Spazi metrici e spazi normati. Definizione ed esempi. Funzioni tra spazi
metrici. Limiti di funzioni. Continuità. Teorema della permanenza del segno. Teorema di esistenza degli zeri.
Teorema di Weierstrass. Uniforme continuità e Teorema di Cantor.
3. Calcolo differenziale. Derivate parziali e direzionali. Differenziale primo e sua rappresentazione.
Differenziabilità e continuità. Teorema del differenziale totale. Regole di differenziazione. Teorema di Schwartz.
Formula di Taylor. Estremi relativi. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per gli estremi relativi.
Funzioni implicite. Teorema di Dini. Sistemi di funzioni implicite e Teorema di Dini per i sistemi. Estremi
vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
4. Teoria dell’integrazione secondo Lebesgue. Insiemi misurabili secondo Lebesgue e loro principali
proprietà. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue e sue proprietà. Teorema di B.Levi. Teorema di
Lebesgue. Integrazione per serie. Teoremi di Fubini e Tonelli. Teorema di cambio di variabili. Integrali
dipendenti da parametri. Derivazione sotto il segno di integrale. Applicazione alla trasformata di Fourier e di
Laplace.
5. Curve. Curve regolari. Vettore tangente. Curve generalmente regolari. Curve rettificabili e loro
lunghezza. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo e sue proprietà. Baricentri. Cenni sulle superfici regolari.
6. Forme differenziali. Definizione di forma differenziale. Potenziale. Integrale di una forma differenziale
su una curva. Indipendenza dalla curva. Criteri di integrabilità. Forme differenziali chiuse. Relazione tra
chiusura ed esistenza del potenziale. Teorema di Poincaré. Aperti semplicemente connessi. Secondo criterio
di integrabilità. Teorema di Gauss e sue conseguenze.
7. Equazioni e sistemi differenziali. Equazioni e sistemi in forma normale. Problema di Cauchy.
Esistenza ed unicità locale e globale per il problema di Cauchy. Sistemi lineari e lineari affini. Metodo di
Lagrange. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore al primo. Sistemi a coefficienti costanti.
Testi consigliati:
G. Di Fazio - P. Zamboni, Analisi Matematica Due, Ed. Monduzzi.
G. Emmanuele, Analisi Matematica II, Foxwell and Davies.
M. S. Fanciullo - A. Giacobbe - F. Raciti, Eesercizi di Analisi Matematica 2, Medical Books.
M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Esculapio.
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