Problemi del corso di Fondamenti di Fisica Teorica
Esercizi del 28/10/2011 da consegnare entro il 7/11/2011
1
Operatori momento e posizione
Considerate la funzione d’onda di una particella in una dimensione. Mostrate che per ogni
possibile stato ψ(x) il valore di aspettazione dell’operatore p2 è strettamente positivo.
Mostrate che se la funzione d’onda ψ(x) è una funzione reale si ha hpi = 0.
Dato uno stato ψ(x) con posizione media e momento medio nulli (hxi = hpi = 0) e con
indeterminazione su posizione e momento date rispettivamente da ∆x = σx e ∆p = σp ,
calcolate il valore di aspettazione di x, p e delle indeterminazioni ∆x e ∆p per lo stato
0
i
ψ (x) = e −h p0 x ψ(x − x0 ) ,
(1)
dove p0 , x0 ∈ R sono costanti.
2
Stati legati in un potenziale con due delta di Dirac
Studiate lo spettro discreto dell’hamiltoniana per una particella nel seguente potenziale in una
dimensione
V (x) = −gδ (x + a) − gδ (x − a) ,
g>0.
(2)
Spiegate perché ci si può limitare allo studio di funzioni d’onda che siano funzioni pari o dispari
della coordinata x. Mostrate che la condizione per l’esistenza di uno stato pari è
tanh ηa = −1 +
2mg
,
−
h2 η
(3)
coth ηa = −1 +
2mg
,
−
h2 η
(4)
e per uno stato dispari è
dove
−2 2
hη
.
(5)
2m
Determinate come varia il numero di soluzioni e l’energia degli stati legati corrispondenti al
variare di a ∈ [0, ∞), in particolare calcolate il valore di a al di sotto del quale non ci sono
stati dispari. Confrontate il risultato con lo spettro discreto di due funzioni delta infinitamente
distanti e con quello di un potenziale V (x) = −2gδ(x). Riportate in un grafico i livelli
energetici in funzione di a. Risolvete in modo approssimato le equazioni precedenti nel limite
E2 = −
1
g m a >> −h2 e mostrate che ci sono due soluzioni, una pari ed una dispari, con energia data
rispettivamente da
mg 2
− 2amg
−
2
h
E± ∼ −E∞ 1 ± 2e
,
E∞ = − 2 .
(6)
2h
Fate un grafico delle funzioni d’onda corrispondenti e discutete qualitativamente i risultati
ottenuti spiegando perché lo stato pari sia legato più fortemente di quello dispari e perché lo
stato dispari dello spettro discreto esista solo al di sopra di un valore minimo della distanza a.
3
Velocità di gruppo per onde di Bloch
Considerate il seguente potenziale periodico
X
V (x) =
δ(x − na) .
(7)
n∈Z
Posto
−2 2
hk
,
2m
le bande di energia sono determinate dall’equazione
(8)
E=
cos qa = cos ka +
mg
−
h2 k
sin ka .
(9)
Studiate questa relazione per valori di k vicini all’estremo superiore dell’n-esima banda di
energia ponendo
ka = nπ − a∆k ,
a∆k << nπ .
(10)
Posto anche
qa = nπ − a∆q ,
a∆q << nπ ,
(11)
esprimete ∆k in funzione di ∆q e calcolate En (q) al primo ordine non banale in ∆q. In questa
approssimazione calcolate la velocità di gruppo vn (q) e la massa effettiva m∗n (q) dell’onda
corrispondente all’autovalore En (q) usando le definizioni
1
1 d2 En
= −2
.
m∗n (q)
h dq 2
1 dEn
vn (q) = −
,
h dq
4
(12)
Gradino di potenziale
Considerate il seguente potenziale
V (x) = 0 ,
V (x) = V0 ,
2
x<0,
x>0,
(13)
con V0 > 0. Non essendo nullo il potenziale all’infinito, mostrate che per E > V0 il comportamento asintotico delle soluzioni incidenti da sinistra è
ψl,k ∼ eikx + ρ(k)e−ikx ,
ψl,k ∼ τ (k)eiqx ,
dove
x → −∞ ,
x→∞,
(14)
−
hk 2
2mV0
E=
,
q2 = k2 − − 2 .
(15)
h
2m
Calcolate la corrente di probabilità per l’onda incidente, riflessa e trasmessa e mostrate che i
coefficienti di trasmissione e riflessione sono
R(k) = |ρ(k)|2 ,
T (k) =
q
|τ (k)|2 .
k
(16)
Usate la conservazione della corrente di probabilità per provare che 1 = T (k)+R(k). Mostrate
che per onde incidenti da destra
0
ψr,k ∼ τ (k)e−ikx ,
0
ψr,k ∼ e−iqx + ρ (k)eiqx ,
si ha
0
ρ (k) = −ρ∗ (k)
τ (k)
,
τ ∗ (k)
x → −∞ ,
x→∞,
0
τ (k) =
q
τ (k) .
k
(17)
(18)
Determinate gli stati stazionari dello spettro continuo sia per 0 < E < V0 che per E > V0 ,
scrivendo esplicitamente le funzioni d’onda corrispondenti. Nel secondo caso determinate τ (k),
ρ(k), T (k) e R(k) e fate un grafico di T (k) in funzione dell’energia.
3
