UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA
Programma di Metodi Analitici per l’Ingegneria II
Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura
A.A. 2013/14
Docente: Dott.ssa Drago Concetta
Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni di variabile reale. Convergenza puntuale ed uniforme. Criteri di convergenza
puntuale e uniforme secondo Cauchy. Teorema della continuità del limite. Teorema di passaggio al
limite sotto il segno di derivata*. Teorema di passaggio al limite sotto il segno d’integrale. Serie di
funzioni di variabile reale. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale. Test di Weirstrass.
Teorema sulla continuità della somma. Teorema di integrazione per serie. Teorema di derivazione
per serie. Serie di potenze. Lemmi di Abel. Teorema sul raggio di convergenza*. Teorema di Abel*.
Teorema di D’Alembert e di Cauchy-Hadamard. Teorema sul raggio di convergenza della serie
derivata. Teorema di derivazione e di integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor. Criteri di
sviluppabilità in serie di Taylor. Criterio di derivabilità. Sviluppi notevoli e applicazioni. Serie di
Fourier. Teorema di convergenza puntuale delle serie di Fourier*.
Funzioni reali di piu variabili reali. Spazi metrici. Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz. Insiemi chiusi,
aperti, limitati. Punti interni, esterni, di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Derivato e
chiusura di un insieme. Insiemi completi, compatti in 𝑅 𝑛 . Insiemi connessi e connessi per poligonale.
Funzioni reali definite in 𝑅 𝑛 . Limiti e continuità. Teorema della permanenza del segno. Teorema di
esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass*. Funzioni uniformemente continue. Teorema di
Cantor*. Funzioni lipschitziane. Derivate parziali, teorema di Schwartz*. Vettore gradiente. Funzioni
differenziabili. Differenziabilità e continuità. Teorema del differenziale totale*. Funzioni composte,
teorema di derivazione delle funzioni composte*. Derivate direzionali di una funzione differenziabile.
Funzioni con gradiente nullo in un connesso. Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di
Lagrange e con il resto di Peano*. Massimi e minimi relativi. Condizioni necessarie del primo e del
secondo ordine e condizioni sufficienti per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Criteri per la
ricerca dei punti di massimo e minimo relativi. Massimi e minimi assoluti.
Funzioni implicite. Teorema del Dini per le funzioni implicite di una e di due variabili reali*.
Conseguenze del teorema del Dini. Massimi e minimi relativi per funzioni definite implicitamente.
Determinanti Jacobiani. Teorema del Dini per i sistemi di funzioni implicite*. Massimi e minimi
vincolati e teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali. Definizioni e terminologia. Teorema di
esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy relativo a una equazione differenziale in forma
normale*. Teorema di esistenza e unicità globale*. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali
non lineari del primo ordine: equazioni differenziali a variabili separabili, equazioni a coefficiente
omogeneo ed equazioni ad esse riconducibili. Equazioni differenziali lineari di ordine n: struttura
dell'insieme delle soluzioni e proprietà del Wronskiano. Equazioni differenziali lineari del primo
ordine, equazioni di Bernoulli. Caratterizzazione dell’integrale generale delle equazioni differenziali
lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Equazioni differenziali lineari del
secondo ordine non omogenee e metodo delle variazioni delle costante arbitrarie*.
Curve, integrali curvilinei e forme differenziali. Curve regolari, rettificabilità di una curva*, ascissa
curvilinea, integrali curvilinei di una funzione. Baricentro di una curva regolare. Forme differenziali:
definizione. Forme differenziali esatte. Integrale curvilineo delle forme differenziali. Teorema di
integrazione delle forme differenziali esatte. Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali
esatte. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in un rettangolo. Forme differenziali in un
aperto semplicemente connesso*
Superfici e integrali di superficie. Superfici regolari, piano tangente, area di una superfice regolare.
Superfici di rotazione e Teorema di Guldino*. Integrali di superficie di una funzione.
Integrali multipli. Integrali doppi su domini normali. Integrabilità delle funzioni continue. Formule di
riduzione per gli integrali doppi*. Proprietà degli integrali multipli. Calcolo di baricentri. Formule di
Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti.
Formule per il calcolo dell’area. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi*. Solidi di rotazione e
teorema di Guldino. Integrali tripli su domini normali. Cambiamento di variabili negli integrali tripli:
coordinate sferiche e coordinate cilindriche.
Le dimostrazioni relative agli argomenti contrassegnati con * possono essere omesse.
Materiale didattico consigliato:
N. Fusco, P. Marcellini e Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore –
Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea
S.Salsa e A. Squellati, Esercizi di analisi matematica 2, Zanichelli
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Matematica, vol. 2 tomi 1, 2,3, e 4, Liguori Editore.
Fanciullo, Giacobbe, Raciti. Esercizi di Analisi Matematica 2, Medical books
