Meccanica Quantistica II
Prof. Mauro Villa
1
Dettaglio del corso - II
•
Stati liberi e stati legati
- Eq. di Schroedinger con
potenziale
- Casi unidimensionali:
-- Stati stazionari;
-- buca di potenziale infinita
-- buca di potenziale finito
-- Oscillatore armonico
-- barriera di potenziale (step
singolo e doppio)
--effetto tunnel
Esempi: microscopia ad effetto
tunnel, decadimenti beta,
fusione nucleare
•
•
L’atomo di idrogeno
- Problemi in 3 dimensioni
-- Livelli energetici, numeri
quantici
Spin e fisica atomica
– Spin ed elettroni in un campo
B
– Spin e statistica
– Interazione spin orbita e
doppietti spettrali
2
Materiale didattico e testi
• Quanto già presentato dal Prof. Massa
• Halliday-Resnik, Meccanica Quantistica, CEA
• Max Born, Fisica Atomica, Boringhieri
• Lucidi ed altro materiale in ISHTAR:
• http://ishtar.df.unibo.it/Uni/bo/ingegneria/all/
/villa/stuff/2005/LS/FisicaModerna.html
Prima parte: Stati legati
•
•
•
•
Equazione di Schrödinger con potenziale
Soluzioni all’eq. di Schrödinger: stati stazionari
Normalizzazione e continuità delle funzioni d’onda
Esempio I: buca di potenziale infinita
•
•
•
•
•
Grandezze fisiche: operatori ed incertezze; osservabili
Esempio II: buca di potenziale finita
Esempio III: Forza elastica / Oscillatore armonico
Sovrapposizione ed evoluzione di stati
Principio di corrispondenza: M. Quantistica ÅÆM. Classica
4
Equazione di Schrödinger (particella libera)
2
w
\ x, t w\ x, t Eq per la particella libera (1D): =
i=
2
2m wx
wt
2
Caratteristiche principali:
eq differenziale lineare su quantità energetiche
Vale il Principio di sovrapposizione:
\1 ;\ 2 soluzioni \ a\1 b\ 2 soluzione
Ae rappresenta un’onda piana.
Sostituendo nella equazione di Schrödinger, si ottiene
La soluzione \ x, t =2k 2
2m
=Z
i kx Z t
e quindi, utilizzando
E
p
=Z ½
p2
¾ K {
=k ¿
2m
che rispecchia la proprietà della particella libera
(non soggetta a forze, e quindi senza energia potenziale).
E
5
Eq. di Schrödinger con potenziale
• In meccanica classica l’equazione energetica di riferimento e’
E
1 2
mv U ( x)
2
p2
U ( x)
2m
• Una naturale estensione dell’equazione di Schrödinger in
presenza di potenziali è quindi:
= 2 w 2 < ( x, t )
w< ( x, t )
U
(
x
)
<
(
x
,
t
)
i
=
2m wx 2
wt
• Il principio di corrispondenza MC ļ MQ è così soddisfatto
In MC, il moto di un corpo è determinato sulla base delle equazioni
cardinali della meccanica: eq. sulle forze e sui momenti delle forze.
In MQ, lo stato di un sistema (Ȍ) è determinato sulla base
dell’equazione di Schrödinger: trovare la Ȍ(x,y) conoscendo la U(x)
6
Soluzioni all’eq. di Schrödinger: stati stazionari (I)
L’eq. di Schrödinger è una eq lineare alle derivate parziali in
Ȍ(x,t) che si risolve in diversi passi.
Conseguenze della linearità:
\ 1 ;\ 2 soluzioni
\
a\ 1 b\ 2 soluzione
Come trovo una prima soluzione?
Ipotesi. Separazione delle variabili: Ȍ(x,t) = ȥ(x)ij(t)
\ ( x) parte spaziale
M (t ) parte temporale
=2
wM (t )
w 2\ ( x)
=
M (t )
\
M
\
U
x
x
t
i
x
(
)
(
)
(
)
(
)
wt
wx 2
2m
Infine divido tutto per ȥ(x)ij(t):
= 2 1 w 2\ ( x)
1 wM (t )
U
x
i
(
)
=
M (t ) wt
2m \ ( x) wx 2
C
costante
C non dipende
7
da x o da t
Stati stazionari: II - parte temporale ij(t)
Iniziamo ad analizzare la parte temporale.
Si tratta di una eq differenziale lineare al primo ordine:
1 wM (t )
i=
M (t ) wt
dM (t )
Co
dt
La cui soluzione è facile:
Notare il cambio
ĺd
C
i M (t )
=
I (t )
Ae i ( C / = ) t
Si tratta della parte temporale dell’equazione delle onde.
Questa soluzione ha una pulsazione data da: Z C / =
E quindi una energia E data da : E =Z C
La costante C ha le dimensioni dell’energia (verificare!) e
rappresenta l’energia associata ad una determinata funzione d’onda.
Nel processo di separazione delle variabili abbiamo imposto che
l’energia del sistema sia ben definita!
8
Stati stazionari: III – definizione ed energia
Proprietà principale degli stati ad energia E definita:
< ( x, t ) \ ( x)M (t ) \ ( x) e iEt / =
Notare l’assenza di A
La densità di probabilità non dipende dal tempo:
P ( x, t ) < * ( x, t ) < ( x, t ) [\ * ( x)e iEt / = ][\ ( x)e iEt / = ] \ * ( x)\ ( x)
P( x)
Poiché la probabilità P(x,t) non varia con t, lo stato osservabile del
sistema non varia nel tempo. Tali stati quantistici sono detti
stati stazionari.
Per tali stati l’energia E è nota con precisione. Per il principio di
indeterminazione di Heisenberg, in tali stati il tempo è una
quantità non determinabile: 'E 't ! = / 2
9
Stati stazionari: IV – parte spaziale ȥ(x)
Riprendiamo l’eq di Schrödinger e sostituiamo la ij(t):
=2
w 2\ ( x)
wM (t )
U ( x)\ ( x)M (t ) \ ( x)i=
M (t )
2
2m
wx
wt
E\ ( x)M (t )
Dopo alcuni passaggi si perviene all’equazione di Schrödinger
indipendente dal tempo:
= 2 d 2\ ( x)
U ( x)\ ( x)
2
2m dx
E\ ( x)
Caratteristiche: eq differenziale lineare alle derivate seconde
(no derivate parziali in 1D) senza termini complessi. La ȥ(x)
può essere reale (ma ricordate che se ȥ(x) è una soluzione allora
anche aȥ(x) con a costante complessa lo è!)
10
Normalizzazione delle funzioni d’onda
Che significato fisico diamo all’ampiezza della funzione d’onda?
• Probabilità di trovare la particella in un intervallo di ampiezza
dx:
*
P ( x, t )dx \ ( x)\ ( x)dx
• Certezza di trovare la particella da qualche parte:
f
³
< * ( x, t )< ( x, t )dx
f
*
\
³ ( x)\ ( x)dx 1
L’eq definisce la costante moltiplicativa della funzione d’onda.
Solitamente si tratta di un numero definito a meno di una fase
ininfluente.
Se ȥ(x) è soluzione norm. ĺ anche ȥ(x) eiș lo è
ikx
Eccezione: onde piane. O non si fa la normalizzazione o \ ( x) e
o si normalizza in un “volume” (lunghezza) arbitrario (V)
P(V)=1 ĺ
\ ( x) eikx / V
11
Continuità della funzione d’onda (I)
• Riscriviamo l’equazione di Schrödinger nella forma:
d 2\ ( x)
dx 2
2m
(U ( x)\ ( x) E\ ( x))
2
=
• Se U(x) è una funzione continua e ȥ(x) è almeno una funzione C0,
Æ ȥ''(x) è continua, ȥ(x) è una funzione almeno C2
• In generale, se U(x) è una funzione Cn, allora ȥ(x) è
una funzione Cn+2
• Se U(x) presenta un salto finito,
allora la ȥ''(x) sarà discontinua, ma la ȥ'(x) sarà continua e
così anche la ȥ(x)
12
Continuità della funzione d’onda (II)
d 2\ ( x)
dx 2
2m
(U ( x)\ ( x) E\ ( x))
2
=
• Se U(x) presenta un salto infinito,
allora la ȥ''(x) sarà discontinua,
così anche la ȥ'(x),
ma la ȥ(x) sarà ancora continua.
U ( x)
­ f
®
¯ u
x0
x!0
Regola generale: la ȥ(x) è sempre continua
La nostra prima soluzione: ȥ(x)=0 per x<0
per
d 2\ ( x)
x ! 0:
dx 2
2m
(u E )\ ( x) o \ ( x)
2
=
Asen(kx) B cos(kx)
La continuità in x=0 ci impone:\ (0) 0 A sin 0 B cos 0 B o B 0
per
x ! 0 : \ ( x)
Asen(kx) con k
2 m( E u ) / =
13
Esempio I: buca di potenziale infinita (I)
Determiniamo la funzione d’onda per un potenziale dato da:
U ( x)
x 0 (I )
­ f
°
0 x L ( II )
®0
°f
x ! L ( III )
¯
(buca di
potenziale)
d 2\ ( x) 2m
0
(
U
(
x
)
\
(
x
)
E
\
(
x
))
=2
dx 2
La nostra prima soluzione: ȥI(x)=0 per x<0
e ȥIII(x)=0 per x>L
La particella non può mai trovarsi a x negative, né a x>L
Soluzione:
d 2\ ( x)
2mE
\ ( x)
per 0 x L :
2
2
dx
=
o \ II ( x) Asen(kx) B cos(kx)
con k
L
x
2mE
=2
14
Esempio I: buca di potenziale infinita (II)
Nella regione II:
\ II ( x)
Asen(kx) B cos(kx)
A, B, E(k), incogniti. Richiedo la continuità per x=0:
per
x
0, \ I (0) \ II (0) o 0
B
\ II ( x)
Asen(kx)
Richiedo la continuità per x=L:
per
x
L, \ II ( L) \ III ( L) o A sin kx
0
o A 0 oppure kL S n con n intero
k
nS
L
o E
S 2=2
2
2mL
Normalizzazione:
n
2
f
Solo certi valori di energia sono permessi;
L’energia è quantizzata
L
*
*
*
\
(
x
)
\
(
x
)
dx
1
o
\
(
x
)
\
(
x
)
dx
1
o
A
AL / 2 1
II
II
³
³
f
Posso scegliere A reale:
0
\ II ( x) sen(kx) 2 / L
15
Esempio I: buca di potenziale infinita (III)
• Soluzione completa all’eq. Indipendente da t:
U ( x)
0
­
°
®sen(kx) 2 / L
°
0
¯
x 0 (I )
­ f
°
0 x L ( II ) o \ ( x)
®0
°f
x ! L ( III )
¯
Dove k kn
nS
L
o E
En
S 2 =2
2
2mL
n2
Reintroduciamo il tempo:
< n ( x, t ) sen(kn x)e iEnt / = 2 / L
x 0 (I )
0 x L ( II )
x ! L ( III )
con n intero >0
Soluzione con
energia En definita
Usiamo il principio di sovrapposizione per trovare la soluzione
più generale:
< ( x, t )
f
¦ cn < n ( x, t )
1
f
¦ cn sen(kn x)e
1
iEn t / =
2/ L
con
f
¦ cn
1
I coefficienti cn sono determinati dalle condizioni iniziali.
2
1
16
Buca di potenziale infinita: riassunto
• Abbiamo visto:
1) Come passare dall’eq di Schrödinger completa a quella
indipendente dal tempo (separazione delle variabili);
2) Come risolvere la parte temporale (energia definita);
3) Come risolvere la parte spaziale (per regioni omogenee)
4) Come usare la continuità della funzione d’onda per
determinare alcune caratteristiche della ȥ(x)
5) Come ottenere la quantizzazione dell’energia imponendo la
continuità:
S 2 =2 2
En
n
2
con n intero;
2mL
6) Come ricomporre la funzione d’onda completa Ȍn(x,t)
7) Come ottenere la soluzione più generale
< ( x, t )
f
¦ cn sen(kn x)eiEnt / = 2 / L
1
con
f
¦ cn
1
2
1
17
Buca di potenziale infinita
Primi stati
stazionari:
Livello di minima energia (n=1, ground state):2
<1 ( x, t ) sen(S x / L)e iE1t / = 2 / L
E1
Secondo livello energetico (n=2):
< 2 ( x, t ) sen(2S x / L)e i 4 E1t / = 2 / L
E2
S =2
2mL2
S 2 =2
2
2mL
n2
n 2 E1
4 E1
18
Applet Java
19
Grandezze fisiche: operatori ed incertezze
• Abbiamo una soluzione completa all’equazione di
Schrödinger. Ormai sappiamo tutto del nostro sistema
quantistico….
• Ma come si determina la posizione, l’impulso, la velocità e
l’energia di una particella conoscendo la funzione d’onda?
Generalizzando il concetto di probabilità:
è la probabilità di trovare la particella
nell’intervallo x, x+dx. La probabilità di misurare un valore x in
un intorno di x, x+dx è quindi: P( x)dx \ * ( x)\ ( x)dx
Calcolo il valore medio della quantità x attraverso l’espressione
della media pesata:
P ( x)dx \ * ( x)\ ( x)dx
x
³ xP( x)dx
*
\
³ ( x) x\ ( x)dx
20
Incertezze
Stati stazionari:
Posizione:
x
*
\
³ ( x) x\ ( x)dx
³ xP( x)dx
Potenze della posizione:
xn
n
x
³ P( x)dx
*
n
\
(
x
)
x
\ ( x)dx
³
(U ( x) U 0 U1 x U 2 x 2 U 3 x 3 .....)
Incertezza sulla posizione:
x x 'x
2
x2 x
2
Stati non stazionari:
Posizione:
x (t )
*
³ xP( x, t )dx ³ < ( x, t ) x< ( x, t )dx
Incertezza sulla posizione:
'x(t)
x x 2
x2 x
2
Per gli stati non stazionari le grandezze fisiche osservabili (e le
21
loro incertezze) sono funzione del tempo t
Generalizzando….
Possiamo facilmente generalizzare per funzioni generiche
della posizione: f ( x) f 0 f1 x f 2 x 2 f3 x3 .....
f ( x) (t )
³
f ( x) P( x, t )dx
*
<
³ ( x, t ) f ( x)< ( x, t )dx
Generalizziamo ulteriormente utilizzando il concetto
di operatore funzionale ƿ: O< ( x, t ) f ( x, t )
L’operatore funzionale è una operazione sulla funzione Ȍ(x,t)
O (t)
*
<
³ (x, t)O<(x, t)dx
³^
`
<* (x, t) ª¬O<(x, t)º¼ dx
In MQ, tutte le quantità fisiche misurabili (posizione, energia) sono
operatori funzionali. I valori medi di tali operatori sono detti
“osservabili” (quantità osservabile, misurabile), per distinguerli
22
dalla funzione d’onda che non è osservabile né misurabile.
Principali osservabili fisiche
• Posizione. Operatore O x
Osservabile:
x
³ xP( x)dx ³\
• Impulso. Operatore O p i=
Osservabile:
p
• Energia. Operatore
E
E
*
<
³ ( x, t )i=
i=
( x) x\ ( x)dx
w
wx
³ < * ( x, t )i=
O
*
w< ( x, t )
dx
wx
³\ * ( x)i=
d\ ( x)
dx
dx
w
wt
w< ( x, t )
dx
wt
2
¦ cn En
Nota bene: l’equazione di Schrödinger è tra operatori:
§ p2
·
w<( x, t )
=2 w 2 <( x, t )
(
)
(
,
)
(
)
U
x
<
x
t
i
o
U
x
=
¨
¸ <( x, t ) E<( x, t )
2
2m wx
wt
© 2m
¹
23
Esercizio sulla buca di potenziale infinita
• Calcolare le osservabili posizione e impulso e le loro
incertezze per la funzione d’onda di minima energia
<1 ( x, t ) sen(S x / L)e
iE1t / =
2/ L
L
Posizione:
x
*
1
³\ ( x) x\ 1 ( x)dx
L
x2
'x
Impulso:
p2
E1
*
2
\
x
x
\ 1 ( x)dx
(
)
1
³
x2 x
2
S 2 =2
2mL2
2
x
sen
(k1 x)dx(2 / L)
³
0
2
2
x
sen
(k1 x)dx(2 / L)
³
0
L/2
1 ·
§1
L2 ¨ 2 ¸
© 3 2S ¹
0,181L
L
d\ ( x)
p ³\ 1* ( x)i= 1 dx i= ³ k1 sen(k1 x) cos(k1 x) dx(2 / L) 0
dx
0
2
d
\
(
x
)
S=
2
2
1
= 2 ³\ 1* ( x)
'
dx
2
mE
p
p
p
1
dx 2
L
Principio di indeterminazione: 'x 'p 0.568=
Rifare l’esercizio
per Ȍ2(x,t) 24
Esempio II: buca di potenziale finita
Determiniamo la funzione d’onda dello stato fondamentale per un
III
U(x) II
potenziale dato da: ­ 0
x 0 (I )
U ( x)
°
®U 0
° 0
¯
0 x L ( II )
x ! L ( III )
I
L
0
x
Soluzione:
Il sistema sarà caratterizzato da stati liberi e da stati legati.
Gli stati liberi (E>0) saranno simili ad onde piane (quando UoÆ0),
Gli stati legati (E<0) saranno simili a quelli per la buca di potenziale
Infinita (quando UoÆ-)
Soluzione non
Limitiamoci agli stati legati: E<0
normalizzabile: D=0
Nella regione I (x<0) si ha:
d 2\ ( x)
2mE
2mE
Dx
D x
\
(
x
)
\
(
x
)
Ce
De
con
D
o
25
dx2
=2
=2
Buca di potenziale finita (II)
• Ricerchiamo una soluzione nella forma
\ ( x)
2mE
­
Ce D x
x 0 (I )
D
2
°
=
A
sen(
kx
)
B
cos(
kx
)
0
x
L
(
II
)
con
®
2m(U 0 E )
D x
°
Ge
x
L
(
III
)
!
k
¯
=2
Imponiamo la continuità di ȥ e di ȥ' in 0 e in L
\ I (0) \ II (0) o C
B
\ Ic (0) \ IIc (0) o CD
Fisso A e B
kA
Fisso G
\ II ( L) \ III ( L) o A sin(kL) B cos(kL) Ge D L
c ( L) o Ak cos(kL) kB sin(kL) D Ge D L
\ IIc ( L) \ III
Sostituendo e riarrangiando i termini:
2 cot(kL)
E’ una relazione di quantizzazione!
k
D
D
k
26
Buca di potenziale finita (III)
Notare le
differenze tra la
buca di potenziale
finita (sinistra),
l’analogo classico
e la buca a
potenziale infinito
(destra).
In questo caso, la particella NON è confinata nella buca, ma può
Essere trovata anche nelle regioni I e III, non permesse classicamente
Lunghezza di penetrazione į: ȥ(x) = e-Įx
G
1
D
=
2m(U E )
27
Esempio III: Forza elastica / Oscillatore armonico
Caso classico:
Legge di Hooke: Fx
Potenziale:
Equazione del moto:
Moto oscillatorio tra
Caso quantistico:
Potenziale: U ( x)
1
2
kx
Fx
ma
mx
U ( x) 12 k x 2
x(t ) A cos(Zt M0 ) con Z
k/m
x=-A e x=+A
k x2
= 2 d 2\ ( x) 1 2
k x \ ( x)
Eq. di Schrödinger: 2
2m dx
2
E\ ( x)
Quantizzazione: esistono soluzioni solo quando
E
=Z0 (n 12 ) con Z0
k / m , n 0,1, 2,...
Lunghezza caratteristica: l=1/bÆ b
mk =
2
1
4
28
Le soluzioni per l’oscillatore armonico
n
E
0
1
2
= Z0
1
3
2
= Z0
2
5
2
= Z0
3
7
2
= Z0
n (n )=Z0
1
2
\ n ( x)
b
S
b
2 S
b
8 S
e
12 b 2 x 2
(2bx)e
12 b 2 x 2
(4b 2 x 2 2)e
12 b 2 x 2
b
1 b2 x2
(8b3 x3 12bx)e 2
48 S
b
12 b 2 x 2
H n (bx)e
2n n ! S
Hn(bx) : polinomi di Hermite
*
n
³\ ( x)\ m ( x)dx G nm
­1
®
¯0
per n
m
per n z m
Vale per ogni insieme di soluzion
stazionarie
29
Lo stato fondamentale
b
\ 0 ( x)
S
e
12 b 2 x 2
Posizione media: <x>=0
Incertezza su x:
'x
x x Incertezza sull’impulso:
x
(notare:
p
n
0 n)
n
0 n)
1
b
2
Impulso medio: <p>=0
'p
(notare:
p
p
2
=b
2
Relazione di indeterminazione di Heisenberg: 'x 'p = / 2
Energia: E
1
2
=Z0
con Z0
k /m
Regola generale (su tutti gli stati QM): l’energia minima NON è mai 0
il corpo appare sempre in moto (ǻp0), anche se non si sposta (p!=0)
Per questo comportamento non esiste un analogo classico.
30
Sovrapposizione di stati
Supponiamo di avere un oscillatore armonico in una
sovrapposizione di stati stazionari (n=0, n=1):
< ( x, t )
1
2
< 0 ( x, t ) 1
2
< 1 ( x, t )
1
2
b
S
e
12 b 2 x 2 12 iZ0t
b
1
2
2 S
Determiniamo l’osservabile posizione:
x (t )
*
<
³ ( x, t ) x< ( x, t )dx
³
1
2
< *0 ( x, t ) 1
2
< *1 ( x, t ) x
1
2
(2bx)e
< 0 ( x, t ) 1
2
12 b 2 x 2 32 iZ0t
<1 ( x, t ) dx
1
1
1
*
*
*
<
(
x
,
t
)
x
<
(
x
,
t
)
dx
<
(
x
,
t
)
x
<
(
x
,
t
)
dx
<
0
0
1
1
0 ( x, t ) x< 1 ( x, t ) dx ³
³
³
2
2
2
1
³ <1* ( x, t ) x< 0 ( x, t ) dx 0 0 Re ª¬ ³ < 0* ( x, t ) x<1 ( x, t ) dx º¼
2
t
ª
Re «
¬
b
b
S
2 S
e
12 iZ0t 23 iZ0t
³e
12 b 2 x 2
x(2bx)e
12 b 2 x 2
º
dx »
¼
1
cos(Z0t )
Sb
La sovrapposizione degli stati produce il moto nel sistema! AppletÆ
31
Esempi di oscillatori armonici: molecole, nuclei
MC: dato un potenziale arbitrario U(x) con un minimo, in prossimità
del minimo il sistema ha delle oscillazioni (piccole oscillazioni)
MQ: per minimi sufficientemente profondi, il sistema si comporta
come un oscillatore armonico: livelli energetici equispaziati
U(x)
x
Esempi:
molecole biatomiche,
nuclei
32
Principio di Corrispondenza MQ ļ MC
Meccanica Classica:
G
F
Meccanica Quantistica:
= 2 w 2 < ( x, t )
w< ( x, t )
U
(
x
)
<
(
x
,
t
)
i
=
2m wx 2
wt
G
ma ,
Fx
mx o x(t )
o < ( x, t )
La Ȍ(x,t) descrive completamente lo stato QM ma non è misurabile
Osservabile fisica:
O (t )
*
<
³ ( x, t )O< ( x, t )dx
Esempio: osservabile posizione
x (t )
*
<
³ ( x, t ) x< ( x, t )dx
Usando l’eq di Schrödinger si può verificare che:
d 2 x (t )
m
dt 2
d2
m 2
dt
·
³ < ( x, t ) x<( x, t )dx ³ < ( x, t ) §¨© dU
¸ < ( x, t )dx
dx ¹
*
*
Gli osservabili accelerazione e forza verificano:
dU
dx
Fx
dU
dx
Fx
m x
33
La base della MC è una relazione tra valori medi sugli stati quantistici
Riassumendo
34
Esercizio I: condizione di normalizzazione
• Un sistema quantistico è soggetto ad un potenziale U(x) che
produce solo stati legati. Siano < n ( x, t ) \ n ( x)e iE t / = con
n=0,1,2,…. le soluzioni normalizzate degli stati stazionari.
n
³\
*
n
( x)\ m ( x)dx G nm
­1
®
¯0
per n m
per n z m
Verificare che per uno stato arbitrario
< ( x, t )
f
¦ cn < n ( x, t )
0
f
iEn t / =
c
\
(
x
)
e
¦n n
0
Vale la condizione di normalizzazione
f
¦ cn
2
1
0
35
Esercizio 2: Energia di un sistema
• Un sistema quantistico è soggetto ad un potenziale U(x) che
produce solo stati legati. Siano < n ( x, t ) \ n ( x)e iE t / = con
n=0,1,2,…. le soluzioni normalizzate degli stati stazionari.
Verificare che per uno stato arbitrario
n
< ( x, t )
f
¦ cn < n ( x, t )
0
f
iEn t / =
c
\
(
x
)
e
¦n n
0
l’energia media vale:
E
*
<
³ ( x, t )i=
w< ( x, t )
dx
wt
2
¦ cn En
36
Esercizio 3: Evoluzione di un sistema
• Al tempo t=0, un sistema quantistico è descritto da una
iE t / =
funzione d’onda data ij(x) . Sapendo che < n ( x, t ) \ n ( x)e
con n=0,1,2,…. sono le soluzioni normalizzate degli stati
stazionari, determinare l’evoluzione futura (t>0) della funzione
d’onda.
n
Soluzione: devo trovare i cn per cui
f
¦ cn < n ( x, t )
< ( x, t )
0
Sapendo che:
³<
*
n
( x, t )< ( x, t )dx
f
¦c
m
0
e
< ( x, t
³\
iEn t / = iEm t / =
e
*
n
iEn t / =
c
\
(
x
)
e
¦n n
0
0) M ( x)
( x)e
*
n
f
iEn t / =
§ f
iEm t / = ·
c
\
(
x
)
e
¨¦ m m
¸ dx
© 0
¹
³\ ( x)\ m ( x)dx
f
¦c e
m
0
iEn t / = iEm t / =
e
G nm
cn
37
Esercizio 3: Evoluzione di un sistema II
• Soluzione:
*
<
³ n ( x, 0)M ( x)dx
< ( x, t )
f
*
\
³ n ( x)M ( x)dx cn
¦ cn < n ( x, t )
0
f
iEn t / =
c
\
(
x
)
e
¦n n
0
In questo modo sono sicuro che:
< ( x, t
0) M ( x)
38
