La logica fregeana

La logica fregeana
- Quando parliamo di logica classica ci riferiamo a quell’insieme di regole
sviluppate innanzitutto da Aristotele e perfezionate dagli scolastici medievali.
Si parla infatti di logica aristotelico-medievale. In realtà la logica classica come
oggi è intesa e accolta dagli studiosi equivale alla reinterpretazione dovuta a
Frege (XIX sec.). questa reinterpretazione presenta però delle differenze
rispetto alla logica aristotelico-medievale, pertanto si parla più precisamente
di logica fregeana o logica formale (o logicismo), visto che nasce dal tentativo
di ridurre la matematica a logica. In sintesi all’interno della denominazione
logica classica intendiamo la logica da Aristotele a Frege. In questo lungo arco
di tempo la logica resta una logica estensionale a due valori: il valore di verità
dell’enunciato è funzione del valore di verità delle parti componenti
(estensionale) e ogni enunciato può avere due valori (vero o falso). A partire da
Aristotele quindi la logica serve a mettere a punto delle regole inferenziali
deduttive, ossia delle regole che ci consentano di verificare se un
ragionamento è corretto oppure no.
- La logica enunciativa è un capitolo della logica fregeana. In questo ambito
non ci interessa aprire l’enunciato, ma siamo interessati solo alla relazione tra
gli enunciati.
1. Connettivi
2. Tavole di verità
- analizzare il linguaggio non è facile, soprattutto per le differenze e
sfumature che ci sono tra le lingue.
- per questo è utile ridurre le proposizioni alla loro struttura.
- attraverso i simboli possiamo fare delle operazioni sul linguaggio che
altrimenti risulterebbero molto complesse.
- in un certo senso la logica ci permette, paradossalmente, di non pensare
tanto, cioè di operare sulle proposizioni in modo più spedito che se
dovessimo farlo lavorando direttamente sugli enunciati.
Asserti semplici e asserti complessi

Consideriamo l’esempio: “Il signor Rossi vive in Germania e
una volta alla settimana viene in
Italia”.

Si tratta di un enunciato complesso formato da due enunciati
semplici. Infatti ogni enunciato
semplice
deve
avere
due
caratteristiche:

1. deve essere autonomo
1

2. e non può essere ulteriormente scomposto, pena la perdita di
senso.


Ogni asserto semplice può essere sostituito da una
lettera (usiamo in questo caso le lettere minuscole)
Gli asserti possono essere uniti da diversi termini
(termini sincategorematici o connettivi)
Congiunzione
o Nell’esempio sopra riportato, i due enunciati
sono uniti dal termine sincategorametico e.
o Quando questo termine serve a unire due
enunciati, lo chiamiamo congiunzione e lo
indichiamo con un punto (•).
o L’asserto complesso, i cui asserti semplici
sono uniti dalla congiunzione, è funzione di
verità degli enunciati componenti.
o Il connettivo della congiunzione ci dice che
l’asserto complesso è vero solo se entrambi gli
asserti semplici sono veri.
o Si tratta quindi di un connettivo verofunzionale.
o I valori di verità assunti dall’asserto
complesso in funzione dei valori di verità
degli enunciati componenti possono essere
rappresentati mediante una tavola di verità1
che è l’equivalente del simbolo stesso della
congiunzione. Possiamo quindi dire il
connettivo della congiunzione o il connettivo
che ha questa tavola di verità:
p
V
V
F
F
p•q
V
F
F
F
q
V
F
V
F
NB: i valori di verità di p e q sono assunti in quest’ordine per convenzione e ci
permettono di avere le 4 situazioni possibili.
Negazione
Anche la negazione è un connettivo vero-funzionale.
Esso serve per negare un enunciato (è l’unico connettivo che si riferisce a un solo
enunciato).
Per es.
È falso che Napoli sia nel caos
Non c’è il sole
1
Le tavole di verità sono già presenti nell’opera di Boole, ma saranno rese note solo dal Tractatus di L. Wittgenstein.
2
Non tutti gli uomini sono mortali
Tutti questi asserti possono essere rappresentati così:
~p
L’equivalente del connettivo della negazione è la sua tavola di verità:
p
~p
V
F
F
V
Disgiunzione
Il termine italiano o può avere due significati.
Il primo lo chiamiamo disgiunzione inclusiva o debole.
Per es.:
“stasera entri in discoteca gratis se sei donna o se sei minorenne”
In questo caso la disgiunzione è vera sia se sei donna, sia se sei minorenne (ma uomo),
sia nel caso in cui sei donna e minorenne.
Per cui esso vuol dire: o l’uno o l’altro o eventualmente entrambi.
Il termine o può anche essere usato in senso esclusivo o forte, come quando in un menù
fisso si dice che a quel prezzo di può avere il dolce o la frutta, ma non entrambi.
La lingua latina distingue il termine o:
la disgiunzione inclusiva è resa con vel quella esclusiva con aut.
La tavola di verità della disgiunzione inclusiva (il cui simbolo è v) sarà allora:
p
q
pvq
V
V
V
F
“Berlusconi può parlare come presidente del consiglio o come azionista di Mediaset”
(conflitto di interessi)
La tavola di verità della disgiunzione esclusiva è:
p
q
p\q
F
V
V
F
Esempio: “All’esame o si è promossi o si è bocciati”
Implicazione
3
Se due asserti sono collegati dall’espressione “se…allora”, chiamiamo questo asserto
condizionale. L’enunciato preceduto dal “se” è l’antecedente e quello preceduto da
“allora” è il conseguente.
Il connettivo equivalente a “se…allora” è detto implicazione e possiamo indicarlo con
una freccia (→).
“Se Mario è iscritto al corso di logica allora deve fare l’esame il 19 dicembre”.
L’implicazione asserisce che se l’antecedente è vero allora il suo conseguente è vero.
O in altri termini che non si dà nello stesso tempo che l’antecedente sia vero e il
conseguente falso. Per cui “se p allora q” si può anche scrivere
~(p•~q) che esprime il valore di p→q
~
V
F
V
V
p
V
V
F
F
•
F
V
F
F
p→q
V
F
V
V
~q
F
V
F
V
quindi la tavola di verità dell’implicazione è
p
V
V
F
F
→
V
F
V
V
q
V
F
V
F
La tavola dell’implicazione può suscitere qualche perplessità, soprattutto circa gli ultimi
due casi: ciò l’asserto complesso è vero anche se l’antecedente è vero e il conseguente è
falso o se entrambi sono falsi.
Osserviamo però questo enunciato matematico:
“Tutti i numeri minori di due sono anche minori di quattro”
Indicando con x un numero qualunque, esso si può scrivere così:
Se x<2 allora x<4
Se proviamo a sostituire x con i numeri 1, 3 e 4, ricordando che l’asserto sarà sempre
vero, abbiamo infatti:
Se 1<2 allora 1<4 (primo caso della tavola)
Se 3<2 allora 3<4 (terzo caso della tavola)
Se 4<2 allora 4<4 (quarto caso della tavola)
L’asserto matematico da cui siamo partiti è ovviamente sempre vero, infatti non si può
mai verificare il caso 2, cioè il caso in cui l’antecedente è vero e il conseguente è falso.
Il connettivo dell’implicazione esprime anche il concetto di condizione necessaria.
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La condizione può essere sufficiente, necessaria o necessaria e sufficiente:
[domanda: quale tipo di condizione è espresso dall’implicazione e dall’equivalenza?]
Condizione sufficiente ma non necessaria (implicazione materiale)
Es: perché un uomo muoia è sufficiente attraversargli il cuore con un coltello, ma non è
una condizione necessaria, ce ne potrebbero essere molte altre diverse da quella.
È una condizione che, se si verifica, comporta il verificarsi anche della
conseguenza, ma non è necessario che ci sia per avere la conseguenza.
Condizione necessaria
Es: se non c’è benzina nella macchina, la macchina non parte, ma oltre ad esserci le
benzina devo anche mettere la chiave nell’accensione, la pompa della benzina non deve
essere rotta, la batteria deve funzionare ecc.
La condizione necessaria è quella in assenza della quale non si ha la conseguenza,
ma la sua presenza non garantisce che l’evento si verifichi.
Condizione necessaria e sufficiente (equivalenza materiale)
Es: se inserisco l’importo esatto in un distributore automatico immediatamente si
verifica l’evento emissione bevanda.
È la condizione al cui verificarsi, sicuramente si verifica l’evento.
Se inserisco 50 cent nel distributore ottengo un caffè
p→q
esercizio:
se A, B e C sono asserti veri e X, Y e Z sono asserti falsi, determinare quali dei seguenti
sono veri, usando le tavole di verità per i simboli di implicazione materiale,
congiunzione, disgiunzione e negazione
[(A•X)→Y]→[(X→A)→(A→Y)]
Equivalenza materiale (contenuto di verità)
Due asserti si dicono materialmente equivalenti quando sono o entrambi veri o entrambi falsi.
L’equivalenza può essere rappresentata dalla seguente tavola di verità:
p
V
V
F
F
≡
V
F
F
V
q
V
F
V
F
Un asserto di tale forma è detto anche bicondizionale.
Equivalenza logica
Si ha quando, dati due asserti, l’asserto complesso che esprime la loro equivalenza materiale è una
tautologia:
“Piove se e solo se non è vero che non piove”
5
≡
V
V
V
V
p
V
V
F
F
non
V
V
F
F
non
F
F
V
V
p
V
V
F
F
La differenza tra equivalenza materiale e equivalenza logica è importante, perché solo nel secondo
caso un asserto può essere sempre rimpiazzato da un altro asserto equivalente. Ciò non può essere
fatto quando si ha solo un’equivalenza materiale.
Tautologie e contraddizioni:
- Le tautologie sono proposizioni sempre vere / contraddizioni sono proposizioni
sempre false.
- Le leggi logiche sono necessariamente tautologie, in quanto una legge è tale
perché vale sempre.
Esercizi:
1. formalizzare il seguente enunciato usando le lettere p, q, r
“Se l’Argentina non si mobilita allora o il Brasile non protesterà all’ONU o il Cile
non chiederà un incontro di tutti gli stati dell’America latina”
p  (q v r)
sapendo che p è vero mentre q e r sono falsi verificare la verità o falsità
dell’enunciato molecolare
V  (F v F)
VF
F
2. formalizzare e verificare sapendo che p è falso q è vero e r è falso:
“Se la camorra sarà sconfitta e non uccideranno Saviano allora l’Italia sarà un
paese civile”: (p et non q) implica r
NB: quando c’è l’implicazione è l’ultima connettivo a dover essere verificato
3. non (p et q) implica (non p et q) verificare con le tavole di verità
I tre principi logici
Possono essere resi simbolicamente così:
6
principio di identità
“se una asserto è vero allora è vero”
p→p
principio di non-contraddizione
“nessun asserto può essere sia vero che falso”
~ (p • ~ p)
Principio del terzo escluso
“qualunque asserto è o vero o falso”
pv~p
Logica predicativa
La logica predicativa apre gli enunciati.
Mentre la logica aristotelico-medievale vede nell’enunciato una relazione tra soggetto
e predicato, la logica fregeana lo interpreta come formato da una funzione
proposizionale e da un argomento:
“Socrate è mortale” vuol dire che esiste un x (argomento) ed è mortale (funzione
proposizionale).
La x è l’argomento da saturare. Se esiste un argomento che può stare al posto di x
allora la formula è saturata e può essere vera o falsa, visto che solo un enunciato può
essere vero o falso. Fin quando la x non è saturata, la formula rimane aperta e non si
può porre il problema se sia vera o falsa.
La parte della logica che si occupa di questa saturazione si chiama calcolo dei
predicati o calcolo predicativo.
La logica predicativa studia innanzitutto
- Gli enunciati quantificati: “Tutti i camorristi sono delinquenti”; “Ogni
seminarista è battezzato” sono enunciati universali e il quantificatore (tutti,
ogni) è reso con il simbolo . Sono invece enunciati esistenziali: “qualche
studente non è in classe”; “alcuni uomini sono calvi”, il quantificatore
esistenziale (qualche, alcuni) è reso con il simbolo .
- Un enunciato è vero o falso solo se è quantificato, cioè solo se la variabile è
vincolata, altrimenti si tratta di una funzione proposizionale per la quale non si
pone il problema della verità o falsita.
- Per semplicità prendiamo solo in considerazione gli enunciati di attribuzione,
cioè enunciati quantificati in cui si predica qualcosa di qualcos’altro, e
consideriamo solo predicati monadici, cioè con una sola variabile:
7
o Enunciati quantificati universali: “Tutti gli f sono x” si rende (x)fx,
cioè “per ogni x, f di x”, vale a dire che tutti gli x possiedono la proprietà
f.
o Enunciati quantificati esistenziali: “Esiste un x che è f” è reso con
(x)fx, c’è almeno un x che gode della proprietà f.
NB: solo in espressioni quantificate la variabile è vincolata e dunque solo
queste espressioni solo enunciati veri e propri, per i quali si pone la
domanda se siano veri o falsi.
- Negazione con gli enunciati quantificati:
o Prendiamo l’enunciato universale “Tutti i gesuiti sono religiosi”: (x)fx
o Prendiamo il corrispondente enunciato esistenziale “Alcuni gesuiti sono
religiosi”: (x)fx
Proviamo a schmeatizzare le possibili negazioni
tutti i gesuiti sono
religiosi
(x)fx
alcuni gesuiti sono
religiosi
(x)fx
 (x)fx
non tutti i gesuiti sono
religiosi
o
alcuni gesuiti non sono
religiosi
 (x)fx
non esiste un gesuita
religioso
o
nessun gesuita è
religioso
(x)  fx
tutti i gesuiti non sono
religiosi
o
nessun gesuita è
religioso
(x)  fx
esiste almeno un
gesuita che non è
religioso
o
alcuni gesuiti non sono
religiosi
Da questo schema si capisce che negare il quantificatore e negare il predicato non
è la stessa cosa. Si vede però anche che una cosa può essere detta in due modi diversi.
Si può formulare la regola dello scambio dei quantificatori:
la negazione del quantificatore universale applicato a un certo predicato equivale al
quantificatore esistenziale applicato alla negazione dello stesso predicato e
viceversa.
Dallo schema possiamo anche dedurre che ci sono 4 tipi di enunciati:
- Tutti i gesuiti sono religiosi (Universale affermativo)
- Nessun gesuita è religioso (Universale negativo)
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- Alcuni gesuiti sono religiosi (Particolare affermativo)
- Alcuni gesuiti non sono religiosi (Particolare negativo)
Nella logica aristotelico-medievale erano state colte le relazioni tra questi quattro tipi
di proposizione. Rileggendo il quadrato logico alla luce della logica fregeana
possiamo costurire il seguente quadrato logico:
1. (x)fx
2. (x) fx
 (x)  fx
 (x) fx
3. (x) fx
4. (x)  fx
 (x)  fx
 (x) fx
9
1 e 2 sono contrarie (possono essere entrambe false, ma non entrambe vere): “Tutti i
gesuiti sono napoletani” / “Nessun gesuita è napoletano”
3 e 4 sono subcontrarie (possono essere entrambe vere, ma non entrambe false):
“Alcuni gesuiti sono napoletani” / “Alcuni gesuiti non sono napoletani”
1 e 4 sono contraddittorie (o è vera l’una o è vera l’altra, non possono essere né
entrambe vere né entrambe false): “Tutti i gesuiti sono napoletani” / “Alcuni gesuiti
non sono napoletani”
2 e 3 sono contraddittorie: “Nessun gesuita è napoletano” / “Alcuni gesuiti sono
napoletani”
1 e 3 sono subalterne (l’universale implica il particolare, ma non viceversa): “Tutti i
gesuiti sono napoletani” dunque è vero che “Almeno un gesuita è napoletano”
2 e 4 sono sublaterne: “Nessun gesuita è napoletano” dunque è vero che “Almeno un
gesuita non è napoletano”
Esercizi:
formalizzare secondo la logica dei predicati (distinguere qual è l’argomento e qual è
la funzione)
1.
2.
3.
4.
Nessun seminarista è sposato
Alcune suore portano il velo
Esiste almeno un politco che non è corrotto
Tutti gli uomini hanno dei genitori
10