Primi numeri piramidali quadrati, i numeri di Fibonacci e il problema NP dell’impacchettamento Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this short paper we show a connection between primes pyramidal square numbers and Fibonacci numbers. Riassunto In questo breve lavoro mostriamo una sia pur debole connessione tra i primi numeri piramidali quadrati, i numeri di Fibonacci e i numeri di Lie . Analogia con i numeri taxicab (somme di cubi) e le partizioni di numeri p(n) con possibile 1 connessione con il noto problema NP dell’impacchettamento °°°°°°°°°°°°° Abbiamo notato una certa vicinanza tra i primi numeri piramidali quadrati e i numeri di Fibonacci. Cominciamo da Wikipedia, parzialmente, con la voce “Numero piramidale quadrato” “Numero piramidale quadrato Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca Rappresentazione geometrica del numero piramidale 30=1+4+9+16. 2 Un numero piramidale quadrato è un numero figurato che rappresenta una piramide a base quadrata. L'n-esimo numero di questo tipo è quindi la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali, che può essere espressa in formula come Questa formula è un caso particolare della formula di Faulhaber), e si può dimostrare o utilizzando il doppio conteggio, per induzione oppure per costruzione algebrica. Una formula equivalente si trova nel Liber abaci di Fibonacci (1202, capitolo II.12). Si osservi che tale formula restituisce sempre un numero intero, infatti: • • n e n+1 sono due numeri consecutivi, quindi uno dei due è pari ; uno tra n, n+1 e 2n+1 è multiplo di 3 (rispettivamente se n=3k, n=3k+2, n=3k+1); il numeratore è allora un multiplo di 6 e si semplifica quindi con il denominatore. I primi numeri piramidali quadrati sono 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819[1]. Questi numeri possono essere costruiti nello spazio fisico, come mostrato in figura, attraverso una piramide di sfere la cui base ha lato n....” Nella seguente TABELLA 1 mostriamo la connessione con i numeri di Fibonacci: 3 TABELLA 1 Numeri piramidali quadrati p Numeri di Fibonacci f 1 5 14 30 55 91 140 204 285 1 5 13 34 55 89 144 233 305 media tra 233 e 377 377 493 media tra 377 e 610 610 798 media tra610 e 987 987 ... 385 506 650 819 ... Differenze p – f in valore relativo e assoluto ≈f 0 0 1 -4≈3 0 2 -4 ≈3 - 29 ≈ 34 -20 ≈ 21 8 13 40 ≈ 34 21 ... Come vediamo, la connessione ipotizzata risulta 4 molto evidente dalla Tabella 1, e anche le differenze p – f sono prossime a numeri di Fibonacci. Tentiamo ora una dimostrazione. Possiamo cominciare dai numeri piramidali triangolari (Nota 1 finale) , che sono anche somma dei numeri triangolari T successivi, Poiché i numeri di forma 2T+1 = n2 + n + 1, ( i numeri di forma 2T = n2 + n sono detti anche numeri panici) sono anche i numeri di Lie, coinvolti nelle simmetria della fisica (gruppi di Lie, Rif. 1, 2 e 3), sono numeri molto vicini a numeri di Fibonacci ) , i numeri piramidali quadrati (un quadrato è il doppio di un triangolo rettangolo , quindi due triangoli rettangolo con cateti uguali, 5 uniti dalla diagonale del quadrato) sono molto vicini ai numeri di forma 2T+1 , e quindi ai numeri di Fibonacci. TABELLA 3 sui numeri piramidali quadrati, numeri di Fibonacci e numeri di forma 2T+1 o numeri di Lie (tabella a tre colonne) TABELLA 3 Numeri piramidali quadrati q Numeri di forma 2T+1 (numeri di Lie) (tranne qualcuno, per es.7, 21) o loro medie intere l Numeri di Fibonacci o loro medie intere Differenze q - l Differenze q -f Differenze l -f f 1 1 1 0 0 0 5 3 5 2 6 0 -2 14 13 13 1 1 0 30 31 34 -3 -4 -1 55 57 55 0 -2 2 91 91 89 0 2 2 140 133 144 7 -4 -11 204 211 233 -7 -29 -22 285 273 media tra 211 e 381 305 Media tra 233 e 377 12 -20 -32 7 385 381 377 4 8 4 506 507 493 media tra 377 e 610 -1 13 14 650 601 610 49 40 -9 819 756 798 media tra 610 e 987 63 21 -42 ... ... ... Le differenze massime q – l , q – f, l - f sono circa d ≈ + 2n =√q , per esempio l - f = - 32 = -2*16, con 16 ≈ 16,88 =√285. Premettiamo che sia i numeri di Lie, e un po’ meno anche i numeri di Fibonacci, sono a circa 8 metà intervallo tra due quadrati successivi, e quindi anche i numeri piramidali quadrati, essendo molto vicini ad entrambi i numeri di Lie e ai numeri di Fibonacci. I numeri di Lie sono connessi alle simmetrie e ai gruppi di simmetria di Lie (coinvolti nel modello Standard della Fisica), poiché i multipli dei primi numeri di Lie sono i numeri di dimensione dei primi gruppi di Lie (14=2*7; 52=4*13, 133 = primo e 248 = 8*31 con 7, 13 e 31 numeri di Lie ( nella tabella mancano il 7 e il 31 perché non sono numeri piramidali q). I numeri di Fibonacci sono invece notoriamente connessi a molti fenomeni naturali di crescita (fiori, foglie, spirali di conchiglie, pigne, ecc.). Per i vicini 9 numeri piramidali quadrati, invece, non si conoscono ancora applicazioni in fisica o in biologia, e sono considerati soltanto nel contesto matematico come somma di quadrati successivi, ma non escludiamo tale possibilità. Tale considerazione è solo una proposta di dimostrazione, da approfondire successivamente da parte nostra o di altri matematici eventualmente interessati all’argomento. Ora vediamo le connessioni con le partizioni di numeri p(n), anche queste coinvolte in fenomeni naturali, e all’incirca anch’esse vicino alla metà tra un quadrato e l’altro (con la seguente distribuzione media : numeri di Fibonacci circa al 40% 10 dell’intervallo quadratico, i numeri di Lie al 50% e le partizioni di numeri al 60%). Per i numeri q piramidali quadrati, essendo i più vicini ai numeri di Lie ( le differenze q – l sono le più piccole) possiamo dire che anch’essi, come i numeri di Lie, sono molto vicini al 50% . Poiché i numeri piramidali quadrati possono essere scritti come somme di quadrati successivi, essi sono una particolare partizione di q, cioè, com’è noto, uno dei p(q) modi in cui q può essere scritto come somma di numeri più piccoli, in questo modo di numeri che sono tutti quadrati perfetti. Per esempio, per q = 5, p(5) = 7 modi diversi, e solo uno di essi è somma di due quadrati, in questo 11 caso 5 = 4 +1, così anche per tutti gli altri numeri q piramidali quadrati. E questo riporta indirettamente al problema NP del millennio noto come problema dell’impacchettamento e ad una sua soluzione, anche se in questo caso il problema è bidimensionale: se abbiamo una superficie piana S = q da riempire con superfici più piccole, e sappiamo che S è un numero q piramidale quadrato (ovviamente i numeri q sono infiniti, essendo infiniti tutti i quadrati successivi), allora abbiamo già la soluzione: in q possiamo sistemare tutti i quadrati successivi (1 compreso) fino a riempire perfettamente tutta la superficie S, evitando i numerosissimi tentativi con altri numeri 12 non quadrati. Il quadrato massimo della serie è, almeno inizialmente , il quadrato più vicino a q/3 con 3 stima approssimativa del rapporto q/ ultimo quadrato TABELLA 4 q Somma di quadrati più piccoli Ultimo quadrato stimato intero > q/3 Ultimo quadrato reale successivo a q/3 1 5 14 30 55 91 1+4 1+4+9 1+4+9+16 1+4+9+16+25 55 +36 1< 4< 10< 18 < 30 < 4 9 16 25 36 140 204 285 385 506 91+49 140 + 64 204 + 81 285 +100 385 +121 46 < 68 > 95 > 128 > 168 > 49 64 81 100 e di 121 121 e di 144 13 650 506 +144 216 > 819 627 +169 273 > ... ... ... 144 e di 169 e di 196 169, 196,225,256 ... Fino a 140 il quadrato massimo è minore di quello reale (46 < 49), dopo diventa maggiore, e salta anche qualche quadrato superiore a quello reale Per es. , tra 273 e 169 (per q = 819) reale ci sono i quadrati 196, 225, e 256. In realtà il rapporto tra q e l’ultimo quadrato della partizione cresce lentamente in modo proporzionale a circa √√q; , per es. per 819 abbiamo: √√819= 5,34, e 819 /5,34 = 153,37: il quadrato reale 169, successivo a 153: usando solo la parte intera di 5,34, e cioè 5, abbiamo 819/5 = 163,8 più 14 vicino all’ultimo quadrato reale 169. Per cui la Tabella 4 può essere modificata in TABELLA 5 TABELLA 5 q Somma di quadrati più piccoli Rapporto intero stimato r ≈ √√q Ultimo quadrato intero stimato con q/r ≈ valore reale 1 5 14 30 55 91 1+4 1+4+9 1+4+9+16 1+4+9+16+25 55 +36 1 1,93≈ 2 2 2 3* 5 ≈ 4 7 9 15 16 27 25 30 36 140 204 285 385 506 650 819 ... 91+49 140 + 64 204 + 81 285 +100 385 +121 506 +144 627 +169 ... 3* 3* 4 4 4 5 5 ... 46 68 71 96 126 130 163 ... 15 49 64 81 100 121 144 169 3* = precedente stima approssimativa. Con questa stima di r e il rapporto q/r, abbiamo una stima dell’ultimo quadrato molto vicino al suo valore reale. Questa potrebbe essere una novità inedita sui numeri piramidali quadrati. Ma torniamo al problema dell’impacchettamento, passando a quello tridimensionale, dei volumi. Ora invece dei quadrati abbiamo i cubi , e le somme (partizioni) di cubi diversi, 1 compreso, si chiamano Taxicab (Rif. 4) al quale rimandiamo: avendo un volume corrispondente ad un numero taxicab T(k) , possiamo impacchettarlo perfettamente riempiendolo con i k cubi di cui è la 16 somma, risolvendo esattamente il problema NP dell’impacchettamento, almeno per i soli numeri T(k) taxicab. Un esempio per tutti: Preso dalla relativa voce di Wikipedia “Numero taxicab Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca In matematica, l'n-esimo numero taxicab - indicato con Ta(n) - è il più piccolo numero rappresentabile in modi come somma di cubi positivi. Il nome di questi numeri prende origine da uno dei più famosi aneddoti della storia della matematica moderna, secondo il quale il matematico inglese Godfrey Harold Hardy, recatosi in ospedale in visita al matematico indiano Srinivasa Ramanujan, tanto per dire qualcosa osservò che il numero del taxi che aveva preso (1729) sembrava piuttosto insulso. Al che Ramanujan rispose immediatamente: "No Hardy, è un numero estremamente interessante: è il minimo intero che si può esprimere come somma di due cubi in due modi diversi!" Infatti il valore di Ta(2) è 1729, chiamato anche Numero di Hardy-Ramanujan. 17 Godfrey Harold Hardy e E. M. Wright hanno dimostrato che questo numero esiste per ogni valore di n, ma la dimostrazione non aiuta a trovarne i valori. Gli unici numeri Taxicab attualmente (2008) conosciuti sono quelli per 1 < n < 6 (sequenza A011541 dell'OEIS): I primi numeri taxicab sono quindi per è probabile, ma non certo, che si abbia 18 ” ...” Abbiamo notato che c’è un nuovo numero taxicab vicino al prodotto del precedente taxicab per 10000, per cui il numero delle cifre di ogni taxicab T(k) è formato da circa 4k cifre (o meglio, il numero delle cifre tende a 4k). Per esempio, T(6) è formato da 23 cifre, quindi circa 4*6=24 cifre previste. Il prossimo numero Taxicab T(7), ancora non calcolato esattamente, dovrebbe quindi avere 4*7 = 28 , o almeno 27. 19 T(8) quindi sarà formato da circa 4*8 =32, o almeno 31. TABELLA 6 k T(k) 1 1 2 1729 3 87539319 4 .... 5 ... 6 ... 7 ? 8 ? ... ... 20 Numero cifre reale Numero cifre stimato con 4k 1 1 4 8 8 12 13 16 17 20 23 24 27? 28 31? 32 ... Si vedrà quando saranno calcolati T(7) e T(8). Conclusioni Possiamo quindi concludere che, oltre alla vicinanza con i numeri di Lie e i numeri di Fibonacci, abbiamo notato come i numeri piramidali quadrati sono connessi al problema NP dell’impacchettamento bidimensionale (somme dei quadrati successivi) , e tramite i numeri taxicab T(k) (somme di k cubi anche non consecutivi), al problema dell‘impacchettamento tridimensionale. Come analoga somma di cubi successivi, invece, possiamo costruire una nuova e apposita Tabella 6 21 TABELLA 6 n n^3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 Somma n^e successivi, C 1 9 36 100 225 441 784 1296 2025 3025 Le somme dei cubi consecutivi sono anche quadrati della somma dei numeri n successivi, ma questo era già noto. Per es. 441 = 212 con 21 = 1+2+3+4+5+6 22 La formula generale è questa: C = (1+2+3+4+..+n) ^2 = 1^3+2^3*3^3+4^3 +...+ n^3 Anche queste somme di cubi possono risolvere il problema dell’impacchettamento di un volume C, potendo essere riempito con i cubi successivi di cui C è somma. Il rapporto r C/ c con c il cubo più grande della somma ora è ≈ √√√C approssimato per eccesso. Per esempio 3025/ 1000=3,025 e √√√C =√√√3025 =2,72, per eccesso 3, e 3025/3 = 1008 prossimo a 1000 ultimo cubo della somma. 784/343= 2,28, √√√C = √√√784 = 2,30; cifra superiore 3 , 748/3 = 249 tra 216 e 343 , quest’ultimo è il cubo maggiore della somma dei 23 cubi successivi la cui somma è 784. Riferimenti (sul nostro sito) 1) L’EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA: n2 + n + 1 (alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri, delle simmetrie e delle teorie di stringa) (aggiornamento all’1.1.2012 con alcune tabelle finali) GRUPPO ”B. RIEMANN” Francesco Di Noto, Michele Nardelli 2) L’EQUAZIONE PREFERITA DALLA NATURA E I RELATIVI GRAFICI PARABOLICI Gruppo “B. Riemann” Francesco Di Noto, Michele Nardelli 3) Dai numeri primi alla realtà fisica attraverso i numeri primi, i numeri di Fibonacci, i numeri di Lie (e relative simmetrie), le partizioni di numeri, la funzione zeta, l’ipotesi di Riemann, e le teorie di stringa (effetti quantistici microscopici e macroscopici) “Gruppo B. Riemann”* Michele Nardelli, Francesco Di Noto 4) Il problema dell’impacchettamento come problema NP - Le partizioni di numeri e i Taxicab 24 come possibili esempi di soluzione Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Sul nostro sito http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ NOTA 1 Numero tetraedrico Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca Piramide di spigolo 5 contenente 35 sfere. Ogni livello rappresenta uno dei primi cinque numeri triangolari. Un numero tetraedrico, o numero piramidale triangolare, è un numero figurato che rappresenta una piramide con una base triangolare (un tetraedro). L'n-esimo numero tetraedrico è la somma dei primi n numeri triangolari. I primi numeri tetraedrici sono: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969[1] La formula per calcolare l'n-esimo numero tetraedrico è I numeri tetraedrici sono presenti anche nel triangolo di Tartaglia: sono la quarta diagonale da sinistra (o da destra: il triangolo è simmetrico). Tutti i numeri tetraedrici sono pari, eccetto i Tn per i quali modulare). (vedi aritmetica La somma dei reciproci dei numeri tetraedrici è 3/2: il risultato può essere trovato usando le serie telescopiche. 25 Inoltre la somma dei primi quattro numeri tetraedrici è il quinto di questi numeri. La congettura di Pollock asserisce che ogni numero naturale può essere rappresentato come la somma al massimo di cinque numeri tetraedrici. Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca Piramide di spigolo 5 contenente 35 sfere. Ogni livello rappresenta uno dei primi cinque numeri triangolari. Un numero tetraedrico, o numero piramidale triangolare, è un numero figurato che rappresenta una piramide con una base triangolare (un tetraedro). L'n-esimo numero tetraedrico è la somma dei primi n numeri triangolari. I primi numeri tetraedrici sono: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969[1] La formula per calcolare l'n-esimo numero tetraedrico è I numeri tetraedrici sono presenti anche nel triangolo di Tartaglia: sono la quarta diagonale da sinistra (o da destra: il triangolo è simmetrico). Tutti i numeri tetraedrici sono pari, eccetto i Tn per i quali modulare). (vedi aritmetica La somma dei reciproci dei numeri tetraedrici è 3/2: il risultato può essere trovato usando le serie telescopiche. Inoltre la somma dei primi quattro numeri tetraedrici è il quinto di questi numeri. La congettura di Pollock asserisce che ogni numero naturale può essere rappresentato come la somma al massimo di cinque numeri tetraedrici. 26 Commento Anche i primi numeri piramidali triangolari 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969[1] come i numeri piramidali quadrati, sono vicini ai numeri di Fibonacci, anche non consecutivi : numeri piramidali triangolari t Numeri di Fibonacci f 1 4 10 1 5 8 13 21 34 55 89 20 35 56 84 120 Differenze t - f, anch’esse numeri di Fibonacci in valore assoluto 0 -1 2 -1 1 1 -5 27 144 165 220 286 364 233 -13 377 ... -13 ... NOTA 2 “Numero triangolare” , da Wikipedia Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca Disambiguazione – "Formula di Gauss" rimanda qui. Se stai cercando la formula per il calcolo dell'area di poligoni qualunque, vedi Formula dell'area di Gauss. In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangolo isoscele o un triangolo equilatero, come nella figura sotto. 1 3 6 10 15 21 ...” 28 ...