Primi numeri piramidali quadrati, i numeri di Fibonacci e il problema

Primi numeri piramidali quadrati, i numeri di
Fibonacci e il problema NP dell’impacchettamento
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this short paper we show a connection between
primes pyramidal square numbers and Fibonacci
numbers.
Riassunto
In questo breve lavoro mostriamo una sia pur
debole connessione tra i primi numeri piramidali
quadrati, i numeri di Fibonacci e i numeri di Lie .
Analogia con i numeri taxicab (somme di cubi) e le
partizioni di numeri p(n) con possibile
1
connessione con il noto problema NP
dell’impacchettamento
°°°°°°°°°°°°°
Abbiamo notato una certa vicinanza tra i primi
numeri piramidali quadrati e i numeri di
Fibonacci.
Cominciamo da Wikipedia, parzialmente, con la
voce “Numero piramidale quadrato”
“Numero piramidale quadrato
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Rappresentazione geometrica del numero piramidale 30=1+4+9+16.
2
Un numero piramidale quadrato è un numero figurato che rappresenta una piramide a base
quadrata. L'n-esimo numero di questo tipo è quindi la somma dei quadrati dei primi n numeri
naturali, che può essere espressa in formula come
Questa formula è un caso particolare della formula di Faulhaber), e si può dimostrare o utilizzando
il doppio conteggio, per induzione oppure per costruzione algebrica. Una formula equivalente si
trova nel Liber abaci di Fibonacci (1202, capitolo II.12).
Si osservi che tale formula restituisce sempre un numero intero, infatti:
•
•
n e n+1 sono due numeri consecutivi, quindi uno dei due è pari ;
uno tra n, n+1 e 2n+1 è multiplo di 3 (rispettivamente se n=3k, n=3k+2, n=3k+1);
il numeratore è allora un multiplo di 6 e si semplifica quindi con il denominatore.
I primi numeri piramidali quadrati sono
1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819[1].
Questi numeri possono essere costruiti nello spazio fisico, come mostrato in figura, attraverso una
piramide di sfere la cui base ha lato n....”
Nella seguente TABELLA 1 mostriamo la
connessione con i numeri di Fibonacci:
3
TABELLA 1
Numeri
piramidali
quadrati p
Numeri di
Fibonacci f
1
5
14
30
55
91
140
204
285
1
5
13
34
55
89
144
233
305 media tra
233 e 377
377
493 media tra
377 e 610
610
798 media
tra610 e 987
987
...
385
506
650
819
...
Differenze p – f
in valore
relativo e
assoluto
≈f
0
0
1
-4≈3
0
2
-4 ≈3
- 29 ≈ 34
-20 ≈ 21
8
13
40 ≈ 34
21
...
Come vediamo, la connessione ipotizzata risulta
4
molto evidente dalla Tabella 1, e anche le
differenze p – f sono prossime a numeri di
Fibonacci. Tentiamo ora una dimostrazione.
Possiamo cominciare dai numeri piramidali
triangolari (Nota 1 finale) , che sono anche somma
dei numeri triangolari T successivi,
Poiché i numeri di forma 2T+1 = n2 + n + 1,
( i numeri di forma 2T = n2 + n sono detti anche
numeri panici) sono anche i numeri di Lie,
coinvolti nelle simmetria della fisica (gruppi di Lie,
Rif. 1, 2 e 3), sono numeri molto vicini a numeri di
Fibonacci ) , i numeri piramidali quadrati (un
quadrato è il doppio di un triangolo rettangolo ,
quindi due triangoli rettangolo con cateti uguali,
5
uniti dalla diagonale del quadrato) sono molto
vicini ai numeri di forma 2T+1 , e quindi ai numeri
di Fibonacci.
TABELLA 3 sui numeri piramidali quadrati,
numeri di Fibonacci e numeri di forma 2T+1
o numeri di Lie (tabella a tre colonne)
TABELLA 3
Numeri piramidali
quadrati
q
Numeri di forma
2T+1
(numeri di Lie)
(tranne qualcuno,
per es.7, 21) o loro
medie intere
l
Numeri di
Fibonacci o loro
medie intere
Differenze q - l
Differenze q -f
Differenze l -f
f
1
1
1
0
0
0
5
3
5
2
6
0
-2
14
13
13
1
1
0
30
31
34
-3
-4
-1
55
57
55
0
-2
2
91
91
89
0
2
2
140
133
144
7
-4
-11
204
211
233
-7
-29
-22
285
273 media
tra 211 e 381
305
Media tra
233 e 377
12
-20
-32
7
385
381
377
4
8
4
506
507
493 media tra
377 e 610
-1
13
14
650
601
610
49
40
-9
819
756
798 media tra
610 e 987
63
21
-42
...
...
...
Le differenze massime q – l , q – f, l - f sono circa
d ≈ + 2n =√q , per esempio l - f = - 32 = -2*16,
con 16 ≈ 16,88 =√285.
Premettiamo che sia i numeri di Lie, e un po’
meno anche i numeri di Fibonacci, sono a circa
8
metà intervallo tra due quadrati successivi, e
quindi anche i numeri piramidali quadrati,
essendo molto vicini ad entrambi i numeri di Lie e
ai numeri di Fibonacci. I numeri di Lie sono
connessi alle simmetrie e ai gruppi di simmetria di
Lie (coinvolti nel modello Standard della Fisica),
poiché i multipli dei primi numeri di Lie sono i
numeri di dimensione dei primi gruppi di Lie
(14=2*7; 52=4*13, 133 = primo e 248 = 8*31 con 7,
13 e 31 numeri di Lie ( nella tabella mancano il 7 e
il 31 perché non sono numeri piramidali q).
I numeri di Fibonacci sono invece notoriamente
connessi a molti fenomeni naturali di crescita (fiori,
foglie, spirali di conchiglie, pigne, ecc.). Per i vicini
9
numeri piramidali quadrati, invece, non si
conoscono ancora applicazioni in fisica o in
biologia, e sono considerati soltanto nel contesto
matematico come somma di quadrati successivi,
ma non escludiamo tale possibilità.
Tale considerazione è solo una proposta di
dimostrazione, da approfondire successivamente
da parte nostra o di altri matematici
eventualmente interessati all’argomento.
Ora vediamo le connessioni con le partizioni di
numeri p(n), anche queste coinvolte in fenomeni
naturali, e all’incirca anch’esse vicino alla metà tra
un quadrato e l’altro (con la seguente distribuzione
media : numeri di Fibonacci circa al 40%
10
dell’intervallo quadratico, i numeri di Lie al
50% e le partizioni di numeri al 60%).
Per i numeri q piramidali quadrati, essendo i più
vicini ai numeri di Lie ( le differenze q – l sono le
più piccole) possiamo dire che anch’essi, come i
numeri di Lie, sono molto vicini al 50% .
Poiché i numeri piramidali quadrati possono essere
scritti come somme di quadrati successivi, essi sono
una particolare partizione di q, cioè, com’è noto,
uno dei p(q) modi in cui q può essere scritto come
somma di numeri più piccoli, in questo modo di
numeri che sono tutti quadrati perfetti.
Per esempio, per q = 5, p(5) = 7 modi diversi, e
solo uno di essi è somma di due quadrati, in questo
11
caso 5 = 4 +1, così anche per tutti gli altri numeri q
piramidali quadrati. E questo riporta
indirettamente al problema NP del millennio noto
come problema dell’impacchettamento e ad una
sua soluzione, anche se in questo caso il problema
è bidimensionale: se abbiamo una superficie piana
S = q da riempire con superfici più piccole, e
sappiamo che S è un numero q piramidale
quadrato (ovviamente i numeri q sono infiniti,
essendo infiniti tutti i quadrati successivi), allora
abbiamo già la soluzione: in q possiamo sistemare
tutti i quadrati successivi (1 compreso) fino a
riempire perfettamente tutta la superficie S,
evitando i numerosissimi tentativi con altri numeri
12
non quadrati. Il quadrato massimo della serie è,
almeno inizialmente , il quadrato più vicino a q/3
con 3 stima approssimativa del rapporto q/ ultimo
quadrato
TABELLA 4
q
Somma di
quadrati più
piccoli
Ultimo
quadrato
stimato
intero > q/3
Ultimo
quadrato
reale
successivo a
q/3
1
5
14
30
55
91
1+4
1+4+9
1+4+9+16
1+4+9+16+25
55 +36
1<
4<
10<
18 <
30 <
4
9
16
25
36
140
204
285
385
506
91+49
140 + 64
204 + 81
285 +100
385 +121
46 <
68 >
95 >
128 >
168 >
49
64
81
100 e di 121
121 e di 144
13
650
506 +144
216 >
819
627 +169
273 >
...
...
...
144 e di 169
e di 196
169,
196,225,256
...
Fino a 140 il quadrato massimo è minore di quello
reale (46 < 49), dopo diventa maggiore, e salta
anche qualche quadrato superiore a quello reale
Per es. , tra 273 e 169 (per q = 819) reale ci sono i
quadrati 196, 225, e 256. In realtà il rapporto tra
q e l’ultimo quadrato della partizione cresce
lentamente in modo proporzionale a circa √√q; ,
per es. per 819 abbiamo:
√√819= 5,34, e 819 /5,34 = 153,37: il quadrato
reale 169, successivo a 153: usando solo la parte
intera di 5,34, e cioè 5, abbiamo 819/5 = 163,8 più
14
vicino all’ultimo quadrato reale 169. Per cui la
Tabella 4 può essere modificata in TABELLA 5
TABELLA 5
q
Somma di
quadrati più
piccoli
Rapporto
intero
stimato
r ≈ √√q
Ultimo
quadrato
intero
stimato con
q/r ≈ valore
reale
1
5
14
30
55
91
1+4
1+4+9
1+4+9+16
1+4+9+16+25
55 +36
1
1,93≈ 2
2
2
3*
5 ≈ 4
7
9
15
16
27
25
30
36
140
204
285
385
506
650
819
...
91+49
140 + 64
204 + 81
285 +100
385 +121
506 +144
627 +169
...
3*
3*
4
4
4
5
5
...
46
68
71
96
126
130
163
...
15
49
64
81
100
121
144
169
3* = precedente stima approssimativa.
Con questa stima di r e il rapporto q/r, abbiamo
una stima dell’ultimo quadrato molto vicino al suo
valore reale. Questa potrebbe essere una novità
inedita sui numeri piramidali quadrati.
Ma torniamo al problema dell’impacchettamento,
passando a quello tridimensionale, dei volumi. Ora
invece dei quadrati abbiamo i cubi , e le somme
(partizioni) di cubi diversi, 1 compreso, si
chiamano Taxicab (Rif. 4) al quale rimandiamo:
avendo un volume corrispondente ad un numero
taxicab T(k) , possiamo impacchettarlo
perfettamente riempiendolo con i k cubi di cui è la
16
somma, risolvendo esattamente il problema NP
dell’impacchettamento, almeno per i soli numeri
T(k) taxicab.
Un esempio per tutti:
Preso dalla relativa voce di Wikipedia
“Numero taxicab
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In matematica, l'n-esimo numero taxicab - indicato con Ta(n) - è il più piccolo numero
rappresentabile in modi come somma di cubi positivi. Il nome di questi numeri prende origine da
uno dei più famosi aneddoti della storia della matematica moderna, secondo il quale il matematico
inglese Godfrey Harold Hardy, recatosi in ospedale in visita al matematico indiano Srinivasa
Ramanujan, tanto per dire qualcosa osservò che il numero del taxi che aveva preso (1729) sembrava
piuttosto insulso. Al che Ramanujan rispose immediatamente: "No Hardy, è un numero
estremamente interessante: è il minimo intero che si può esprimere come somma di due cubi in due
modi diversi!" Infatti il valore di Ta(2) è 1729, chiamato anche Numero di Hardy-Ramanujan.
17
Godfrey Harold Hardy e E. M. Wright hanno dimostrato che questo numero esiste per ogni valore
di n, ma la dimostrazione non aiuta a trovarne i valori. Gli unici numeri Taxicab attualmente (2008)
conosciuti sono quelli per 1 < n < 6 (sequenza A011541 dell'OEIS):
I primi numeri taxicab sono quindi
per
è probabile, ma non certo, che si abbia
18
”
...”
Abbiamo notato che c’è un nuovo numero taxicab
vicino al prodotto del precedente taxicab per 10000,
per cui il numero delle cifre di ogni taxicab T(k) è
formato da circa 4k cifre (o meglio, il numero
delle cifre tende a 4k).
Per esempio, T(6) è formato da 23 cifre, quindi
circa 4*6=24 cifre previste. Il prossimo numero
Taxicab T(7), ancora non calcolato esattamente,
dovrebbe quindi avere 4*7 = 28 , o almeno 27.
19
T(8) quindi sarà formato da circa 4*8 =32, o
almeno 31.
TABELLA 6
k
T(k)
1
1
2
1729
3
87539319
4
....
5
...
6
...
7
?
8
?
...
...
20
Numero cifre
reale
Numero cifre
stimato con 4k
1
1
4
8
8
12
13
16
17
20
23
24
27?
28
31?
32
...
Si vedrà quando saranno calcolati T(7) e T(8).
Conclusioni
Possiamo quindi concludere che, oltre alla
vicinanza con i numeri di Lie e i numeri di
Fibonacci, abbiamo notato come i numeri
piramidali quadrati sono connessi al problema NP
dell’impacchettamento bidimensionale (somme dei
quadrati successivi) , e tramite i numeri taxicab
T(k) (somme di k cubi anche non consecutivi), al
problema dell‘impacchettamento tridimensionale.
Come analoga somma di cubi successivi, invece,
possiamo costruire una nuova e apposita Tabella 6
21
TABELLA 6
n
n^3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
Somma n^e
successivi, C
1
9
36
100
225
441
784
1296
2025
3025
Le somme dei cubi consecutivi sono anche quadrati
della somma dei numeri n successivi, ma questo
era già noto.
Per es. 441 = 212 con 21 = 1+2+3+4+5+6
22
La formula generale è questa:
C = (1+2+3+4+..+n) ^2 = 1^3+2^3*3^3+4^3 +...+
n^3
Anche queste somme di cubi possono risolvere il
problema dell’impacchettamento di un volume C,
potendo essere riempito con i cubi successivi di cui
C è somma. Il rapporto r C/ c con c il cubo più
grande della somma ora è ≈ √√√C approssimato
per eccesso. Per esempio 3025/ 1000=3,025 e
√√√C =√√√3025 =2,72, per eccesso 3, e 3025/3 =
1008 prossimo a 1000 ultimo cubo della somma.
784/343= 2,28, √√√C = √√√784 = 2,30; cifra
superiore 3 , 748/3 = 249 tra 216 e 343 ,
quest’ultimo è il cubo maggiore della somma dei
23
cubi successivi la cui somma è 784.
Riferimenti (sul nostro sito)
1) L’EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA:
n2 + n + 1 (alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei numeri
di Fibonacci, delle partizioni di numeri, delle simmetrie e delle
teorie di stringa)
(aggiornamento all’1.1.2012 con alcune tabelle finali)
GRUPPO ”B. RIEMANN”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
2) L’EQUAZIONE PREFERITA DALLA NATURA
E I RELATIVI GRAFICI PARABOLICI
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
3) Dai numeri primi alla realtà fisica attraverso i
numeri primi, i numeri di Fibonacci, i numeri di Lie (e
relative simmetrie), le partizioni di numeri, la funzione
zeta, l’ipotesi di Riemann, e le teorie di stringa (effetti
quantistici microscopici e macroscopici)
“Gruppo B. Riemann”*
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
4) Il problema dell’impacchettamento come problema
NP - Le partizioni di numeri e i Taxicab
24
come possibili esempi di soluzione
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Sul nostro sito http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
NOTA 1
Numero tetraedrico
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Piramide di spigolo 5 contenente 35 sfere. Ogni livello rappresenta uno dei primi cinque numeri
triangolari.
Un numero tetraedrico, o numero piramidale triangolare, è un numero figurato che rappresenta
una piramide con una base triangolare (un tetraedro). L'n-esimo numero tetraedrico è la somma dei
primi n numeri triangolari.
I primi numeri tetraedrici sono:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969[1]
La formula per calcolare l'n-esimo numero tetraedrico è
I numeri tetraedrici sono presenti anche nel triangolo di Tartaglia: sono la quarta diagonale da
sinistra (o da destra: il triangolo è simmetrico).
Tutti i numeri tetraedrici sono pari, eccetto i Tn per i quali
modulare).
(vedi aritmetica
La somma dei reciproci dei numeri tetraedrici è 3/2: il risultato può essere trovato usando le serie
telescopiche.
25
Inoltre la somma dei primi quattro numeri tetraedrici è il quinto di questi numeri.
La congettura di Pollock asserisce che ogni numero naturale può essere rappresentato come la
somma al massimo di cinque numeri tetraedrici.
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Piramide di spigolo 5 contenente 35 sfere. Ogni livello rappresenta uno dei primi cinque numeri
triangolari.
Un numero tetraedrico, o numero piramidale triangolare, è un numero figurato che rappresenta
una piramide con una base triangolare (un tetraedro). L'n-esimo numero tetraedrico è la somma dei
primi n numeri triangolari.
I primi numeri tetraedrici sono:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969[1]
La formula per calcolare l'n-esimo numero tetraedrico è
I numeri tetraedrici sono presenti anche nel triangolo di Tartaglia: sono la quarta diagonale da
sinistra (o da destra: il triangolo è simmetrico).
Tutti i numeri tetraedrici sono pari, eccetto i Tn per i quali
modulare).
(vedi aritmetica
La somma dei reciproci dei numeri tetraedrici è 3/2: il risultato può essere trovato usando le serie
telescopiche.
Inoltre la somma dei primi quattro numeri tetraedrici è il quinto di questi numeri.
La congettura di Pollock asserisce che ogni numero naturale può essere rappresentato come la
somma al massimo di cinque numeri tetraedrici.
26
Commento
Anche i primi numeri piramidali triangolari
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969[1]
come i numeri piramidali quadrati, sono
vicini ai numeri di Fibonacci, anche non
consecutivi :
numeri
piramidali
triangolari t
Numeri di
Fibonacci f
1
4
10
1
5
8
13
21
34
55
89
20
35
56
84
120
Differenze
t - f, anch’esse
numeri di
Fibonacci in
valore assoluto
0
-1
2
-1
1
1
-5
27
144
165
220
286
364
233
-13
377
...
-13
...
NOTA 2
“Numero triangolare” , da Wikipedia
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Disambiguazione – "Formula di Gauss" rimanda qui. Se stai cercando la formula per il calcolo
dell'area di poligoni qualunque, vedi Formula dell'area di Gauss.
In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di
triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in
oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo
rettangolo isoscele o un triangolo equilatero, come nella figura sotto.
1
3
6
10
15
21
...”
28
...