CONTENUTI di MATEMATICA QUARTA - Liceo Statale Galileo Galilei
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Liceo Statale “Galileo Galilei” di Dolo (VE ) PROGRAMMAZIONE di MATEMATICA Anno scol. 2014/15 Classe 5^ B Docente LINA CASARIN Premessa La maggior parte degli studenti di 5^B seguono oltre ai nuovi programmi del Liceo Scientifico un progetto di potenziamento dell’asse linguistico (3 ore di francese in più). Per quanto riguarda il programma di matematica, i nuovi argomenti introdotti hanno l'intento di avvicinare la scuola secondaria sia ai contenuti universitari che allo studio di fenomeni e problematiche di maggior attualità. Si presentano ai ragazzi nuove strutture e teorie matematiche: alcune delle quali rimangono prettamente astratte, e pongono affascinanti interrogativi sulle potenzialità conoscitive della mente umana; mentre altre hanno applicazioni pratiche, e pertanto hanno contribuito in modo decisivo allo sviluppo di diverse scienze. Gli studenti hanno perciò la possibilità sia di comprendere alcune delle tecniche utilizzate dalle scienze sociali-economiche o sperimentali, sia di conoscere contenuti e teorie astratte, che svilupperanno approfonditamente all'università. Relazione sulla Classe Insegno in questa classe solo dallo scorso anno, quest’anno la classe è composta da 19 studenti (13 femmine) tutti provenienti dalla stessa classe terza. In queste prime settimane ho rilevato che gli studenti pur partecipando alle lezioni, con interventi e domande non tutti si applicano a casa; solo alcuni di loro studiano regolarmente e svolgono i compiti assegnati. Tra loro solo cinque studenti denotano conoscenze solide sul programma degli anni precedenti, molti hanno rimosso quanto appreso, commettono errori di calcolo e di scelta del procedimento. Sto insistendo molto sul metodo di studio e sul tempo da dedicare regolarmente al ripasso. Confidando in un graduale ma definitivo superamento dei problemi iniziali, dovuti anche alle differenti personalità ed esperienze scolastiche degli allievi, la programmazione viene fatta prevedendo un regolare sviluppo del programma. FINALITA' Nel corso del triennio l’insegnamento della matematica prosegue ed amplia il processo di preparazione scientifica e culturale dei giovani e concorre insieme alle altre discipline allo sviluppo dello spirito critico e alla loro promozione umana ed intellettuale. Lo studio della matematica promuove le facoltà sia intuitive che logiche, educa a processi di astrazione e di formazione dei concetti, esercita a ragionare induttivamente e deduttivamente, sviluppa capacità sia di analisi che di sintesi. Tutto questo sviluppa tra le altre cose: l'abitudine alla precisione del linguaggio, la coerenza argomentativa e il gusto per la ricerca. OBIETTIVI DIDATTICI E FORMATIVI Il mio principale obiettivo sarà quello di farli studiare regolarmente e ripassare quando trovo delle lacune sul programma degli anni scorsi. Nell'ultimo anno si affronta lo studio dell'analisi matematica ma si riprenderanno anche alcuni argomenti affrontati negli anni passati con un maggiore approfondimento. Mano a mano che procederà nello studio della materia lo studente dovrà saper individuare i concetti fondamentali e le strutture di base delle varie branche della disciplina, e dovrà saper affrontare a livello critico situazioni problematiche di varia natura, scegliendo in modo flessibile e personalizzato le strategie di approccio. Inoltre il ragazzo deve essere in grado di inquadrare storicamente l'evoluzione delle idee matematiche fondamentali e saper cogliere interazioni tra pensiero filosofico e pensiero matematico. Deve anche aver compreso ed analizzato i vari contributi dati dalla matematica allo sviluppo delle scienze sperimentali ed ecomomiche-sociali. Alla fine della quinta ogni studente dovrà: aver dimestichezza con le tecniche di calcolo relative a limiti, derivate ed integrali; saper studiare una funzione a variabile reale e costruirne il grafico; risolvere problemi geometrici legati al piano e allo spazio utilizzando diversi metodi e l'analisi (problemi di massimo e minimo); utilizzare metodi e strumenti di natura probabilistica e statistica; aver riflettuto sul sistema assiomatico e sulla natura delle geometrie non euclidee; saper compilare programmi di: ordinamento, ricerca di soluzioni approssimate, calcolo approssimato di e e ; conoscere alcune problematiche relative alla programmazione quali la rappresentazione interna dei numeri, la complessità computazionale, l'approssimazione e la precisione. COLLEGAMENTI INTERDISCIPLINARI Si esamineranno alcuni sviluppi della matematica legati alla ricerca dei fondamenti, ai sistemi assiomatici, agli sviluppi della logica del '900 in collaborazione con il docente di filosofia. PROGRAMMA MATEMATICA LIMITI E CONTINUITA' - Proprietà delle operazioni sui numeri Reali. - Assiomi dei numeri Reali. - Topologia sulla retta reale: definizione di intorno di un punto, definizione di punto di accumulazione e di punto isolato per un insieme numerico. 31/10/2014 Prog. di Matematica 5^B - 5 pagine 1 - Definizione di estremo superiore ed inferiore, di massimo e di minimo per un insieme numerico. - Definizione di limite. - Teoremi sui limiti: T. dell'unicità del limite, T. del confronto, T. della permanenza del segno. Teoremi riguardanti le operazioni con i limiti. - Forme indeterminate. - Limiti fondamentali. - Calcolo di limiti. - Definizione di asintoto verticale, orizzontale ed obliquo per una funzione. - Determinazione degli asintoti di una funzione. - Definizione di funzione continua in un punto ed in un intervallo. - Teoremi sulle funzioni continue, in particolare enunciati del T. di Weierstrass e di quello di Bolzano. - Esempi di funzioni continue. - Continuità delle funzioni inverse e composte. - Funzioni discontinue in un punto. - Esempi di funzioni discontinue. DERIVATE E STUDIO DI FUNZIONE - Concetto di derivata e suo significato geometrico. - Definizione di derivata di una funzione in un punto. - Relazione tra derivabilità e continuità di una funzione in un punto. - Derivate fondamentali. - Teoremi sul calcolo delle derivate. - Derivata di una funzione composta e della funzione inversa. - Definizione di una funzione crescente e decrescente in un punto ed in un intervallo. - Teorema di Rolle, Teorema di Cauchy e Teorema di Lagrange con varie applicazioni. - Teorema di De l'Hòpital con vari esempi esplicativi. - Definizione di punto di massimo e minimo relativo per un insieme. - Risoluzione di problemi di massimo e minimo applicati alla geometria e alla fisica. - Definizione di punto angoloso e di cuspide. - Definizione di funzione concava e convessa in un intervallo. - Definizione di punto di flesso ; flesso a tangente orizzontale, verticale ed obliqua. - Costruzione del grafico di una funzione in una variabile, definita nei reali e a valore nei reali. INTEGRALI - Definizione di funzione primitiva di una data funzione. - Definizione di integrale indefinito. - Regole di integrazione immediata, per sostituzione e per parti. - Definizione di integrale definito secondo Rimena. - Relazione tra continuità, derivabilità ed integrabilità di una funzione in un intervallo. - Definizione di Valor Medio di una funzione in un intervallo e Teorema della Media. - Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ( di Torricelli -Barrow ). - Integrali impropri o generalizzati. - Applicazione del calcolo integrale per determinare aree di regioni finite di piano, superfici e volumi di solidi di rotazione, lunghezze di archi. - Teoremi di Guldino. - Equazioni differenziali: definizioni fondamentali. - Equazioni del primo ordine a variabili separabili ed omogenee. SERIE - Definizione di serie; definizione e calcolo del limite di una serie; serie convergenti, divergenti o indeterminate. - Applicazioni: somma di termini di progressioni geometriche, numeri periodici e frazioni generatrici; misura dell'area di un segmento parabolico; misura dell'area del cerchio; e misura della circonferenza. - Criteri di convergenza delle serie. - Serie di funzioni e di potenze. - Serie di Taylor e di Mc -Laurin. - Notazione esponenziale di un numero complesso. GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO - Definizione ed equazione cartesiana di una sfera. - Relazione tra rette, piani e sfere. - Definizione ed equazione cartesiana di un ellissoide, paraboloide , iperboloide, cilindro e cono. STATISTICA - Distribuzioni continue: distribuzione normale, uniforme ed esponenziale. - Legge dei grandi numeri. RISOLUZIONE DI ESERCIZI PROPOSTI AGLI ESAMI DI STATO RIPASSO ARGOMENTI TRIENNIO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Risoluzione di particolari equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo mediante scomposizione o divisione. Equazioni e disequazioni: razionali, irrazionali, goniometriche , logaritmiche ,esponenziali. Disequazioni con valore assoluto. Sistemi di equazioni e disequazioni. Risoluzioni di equazioni per via grafica. FUNZIONI Definizione di funzione. Funzioni in una variabile definite in R e a valori in R. Funzioni razionali intere e fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, goniometriche e loro inverse. La funzione valore assoluto. Simmetrie e periodicità delle funzioni. Determinazione del dominio delle varie funzioni. Determinazione delle funzioni inverse. Corrispondenza biunivoca tra insieme dei numeri reali e punti sulla retta. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO Coordinate di punti. Distanza tra due punti. Punto medio. Equazione di una retta. Distanza punto retta. Coniche : proprietà ed equazione canonica. Fasci di rette e di coniche. Determinazione di particolari luoghi geometrici. Classificazione delle coniche nel piano. TRIGONOMETRIA PIANA 31/10/2014 2 Prog. di Matematica 5^B - 5 pagine Funzioni goniometriche seno, coseno, tangente, cotangente e loro inverse: definizione e grafico. Relazione tra coefficiente angolare di una retta e tangente goniometrica; determinazione dell’angolo tra due rette. Formule per la somma e la differenza di angoli, di duplicazione e di bisezione. Teoremi dei triangoli rettangoli. Teoremi: corda, seni, Carnot. Risoluzione triangoli qualsiasi. NUMERI COMPLESSI Coordinate polari nel piano. Equazione di rette, coniche e di altri luoghi geometrici utilizzando le coordinate polari. Il Campo C dei numeri complessi: assiomi e proprietà. Le regole del calcolo con i numeri complessi. Il coniugato e il reciproco di un numero complesso. Le radici ennesime di un numero complesso. Il campo C come ampliamento di R. Il teorema fondamentale dell'algebra. INSIEMI NUMERICI Proprietà degli insiemi numerici. Confronto tra insiemi infiniti. Cardinalità del numerabile e del continuo. SUCCESSIONI Proprietà delle operazioni sui i numeri naturali. Assiomi dei numeri Naturali. Definizione di successione; definizione e calcolo del limite di una successione; successioni convergenti, divergenti e oscillanti. Progressioni aritmetiche e geometriche. Principio di induzione. GEOMETRIA EUCLIDEA DELLO SPAZIO Similitudine. Assiomi dello spazio. Rette e piani nello spazio. Applicazioni dei teoremi di similitudine nello spazio. Diedri, angoloidi. Poliedri. Definizione e proprietà del prisma, del parallelepipedo e della piramide. Caratteristiche dei poliedri regolari. I corpi rotondi; solidi di rotazione. Cilindro, cono e sfera. Estensione della superficie dei solidi e sua misura. Estensione del volume dei solidi. La relazione di equivalenza tra solidi. Principio di Cavalieri. Misura del volume dei solidi. GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO Applicazioni di geometria analitica nello spazio. Equazione cartesiana di un piano. Distanza punto piano. Equazione parametrica e cartesiana di una retta. PROBABILITA' Calcolo combinatorio: disposizioni semplici, disposizioni con ripetizione, permutazioni, combinazioni semplici, coefficienti binomiali e loro proprietà, binomio di Newton. Calcolo delle probabilità: definizione classica e definizione assiomatica di probabilità. Eventi incompatibili, eventi indipendenti, probabilità condizionata; il teorema di Bayes. STATISTICA Elementi di statistica: definizione di variabile casuale; definizione di moda, media e varianza di una variabile casuale. Statistica descrittiva bivariata: matrice dei dati, tabelle a doppia entrata. Distribuzioni statistiche (congiunte, condizionate, marginali). Funzione di ripartizione. Rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità: la distribuzione binomiale, la distribuzione di Poisson, la distribuzione normale. Testo adottato: Autori P. Baroncini, R. Manfredi, I. Fragni “Lineamenti.MATH BLU 5” Editore Ghisetti&Corvi Autori P. Baroncini, R. Manfredi, I. Fragni “Lineamenti.MATH BLU 4 e 3” Editore Ghisetti&Corvi Tempi del Percorso Formativo Mese MATEMATICA PERIODO ARGOMENTI NUOVI Laboratorio di Informatica Ripasso Limiti e Continuità Settembre / Ottobre Disequazioni e proprietà degli insiemi numerici GEOGEBRA per la rappresentazione di funzioni. Problemi di geometria analitica nel piano e di trigonometria piana GEOGEBRA per la rappresentazione di funzioni Problemi con calcolo di limiti Derivate Derivate Novembre / Dicembre Studio di funzione Problemi di massimo e minimo e di applicazione al calcolo infinitesimale. Integrali Indefiniti Gennaio Febbraio Integrali Definiti Calcolo di lunghezze, aree e volumi. Serie: serie di Taylor Ripasso geometria Euclidea nello spazio Problemi di geometria analitica nello spazio GEOGEBRA per la rappresentazione della geometria solida. Probabilità. Equazioni differenziali Marzo Statistica descrittiva Geometria Analitica nello Spazio Aprile EXCEL foglio elettronico per dati e distribuzioni statistiche. Statistica: distribuzioni discrete Statistica: distribuzioni continue. Maggio Esercizi in preparazione agli Esami di Stato Tutto Giugno 31/10/2014 3 Prog. di Matematica 5^B - 5 pagine INDICAZIONI METODOLOGICHE Didattica Il metodo di insegnamento verrà articolato a seconda dei diversi momenti, delle esigenze della classe e dei particolari aspetti del programma, privilegiando, dove è possibile, la metodologia del Problem Solving. Principalmente verranno tenute lezioni frontali introducendo i nuovi argomenti in modo intuitivo ed utilizzando le rappresentazioni grafiche; quindi si procederà alla sistematizzazione teorico-formale cui seguiranno varie applicazioni. Durante le spiegazioni l'insegnante cercherà di instaurare un dialogo costante con la classe, facendo intervenire i ragazzi stessi per condurre un ragionamento, per risolvere un nuovo problema o per completare un esercizio; in questo modo si cercherà di sviluppare le capacità intuitive e logiche degli studenti. Il docente potrà invitare gli studenti a costruire, anche a casa, solidi o particolari figure geometriche piane, per verificare varie proprietà sia geometriche che algebriche. L’insegnante potrà assegnare agli studenti ricerche da realizzare - anche a carattere interdisciplinare – e da esporre poi alla classe anche con mezzi multimediali, per promuovere la ricerca e migliorare le capacità organizzative, critiche ed espositive. Si potranno organizzare attività di gruppo anche per recupero e o approfondimento. Verranno svolte lezioni anche in laboratorio di informatica o mediante l’utilizzo della LIM in classe, che permetteranno di sviluppare in modo efficace parte dei programmi o di consolidare, tramite la verifica pratica, alcune nozioni con l'utilizzo di pacchetti applicativi. Attività I docenti faranno partecipare gli studenti ad alcune gare d’istituto quali Giochi di Archimede (Olimpiadi di Matematica), Matematica Senza Frontiere (per le classi seconde e terze) e/o altre gare da individuare tra quelle proposte dal MIUR o da altre Istituzioni. Gli insegnanti potranno inserire nella loro programmazione uscite didattiche in parchi attrezzati per applicazioni matematiche e/o visite guidate a mostre di carattere matematico informatico, a laboratori didattici e musei specifici. Mezzi e spazi I mezzi principali sono il libro di testo, la lavagna, la LIM nelle classi dove è presente e/o supporti multimediali per la presentazione di alcuni argomenti. Si utilizzeranno altri libri e riviste invitando gli studenti a frequentare la biblioteca scolastica. Compatibilmente con il programma e la disponibilità si svolgeranno alcune lezioni in laboratorio di Informatica. Si integreranno alcuni argomenti con fotocopie. Azioni di recupero L'azione di recupero va fatta continuamente durante l'anno scolastico, con le verifiche l’insegnante ha dati oggettivi sul grado di comprensione ed assimilazione dei vari contenuti. Si cercherà quindi di intervenire dopo ogni prova scritta rispiegando i punti meno chiari e proponendo nuovi esercizi per superare le difficoltà incontrate. Va tuttavia rilevato che alcuni studenti manifestano più difficoltà di altri, o per uno studio discontinuo o per difficoltà varie di approccio alla materia, per questi studenti va indicata un’attività di sostegno in itinere ( anche attraverso l’azione degli studenti tutor o partecipando al Club delle Scienze ) e/o di recupero in alcuni periodi dell’anno. Valutazione La valutazione è parte integrante della programmazione didattica in quanto fornisce i dati per guidare e migliorare il processo di insegnamento-apprendimento; i parametri disciplinari su cui essa si basa sono: capacità di analisi di un problema, correttezza nell’applicazione di regole e procedure, ordine e chiarezza concettuale, completezza delle soluzioni, originalità nell’individuazione del percorso risolutivo, capacità di sintesi, rigore logico, uso del linguaggio specifico. Il voto dello scritto indica in che misura lo studente è in grado di comprendere ed utilizzare il linguaggio matematico, impostare autonomamente e risolvere problemi applicando con coerenza e correttezza le varie procedure, eseguire completamente varie tipologie di esercizi, rappresentare disegni geometrici e costruire grafici di funzioni; Il voto dell’orale indica in che misura lo studente utilizza consapevolmente il linguaggio matematico, (argomenta e) risponde in modo coerente ai quesiti proposti, conosce gli aspetti teorici, esegue (autonomamente) dimostrazioni. Come prove per lo scritto: si eseguiranno almeno tre verifiche per quadrimestre con problemi ed esercizi. Come prove per l’orale: si avranno almeno due valutazioni per quadrimestre, di cui almeno una è l’esito di un colloquio, mentre altri voti potranno provenire anche da prove scritte composte da test a risposta multipla e/o quesiti a risposta aperta su aspetti teorici della disciplina e/o esercizi applicativi. Saranno valutati anche i lavori personali di approfondimento. Nella valutazione orale confluirà anche l’interesse e la partecipazione alle lezioni e alle attività di laboratorio, l’impegno nello studio ed il regolare svolgimento dei compiti assegnati per casa. 31/10/2014 4 Prog. di Matematica 5^B - 5 pagine Il voto dello scrutinio è unico, il voto unico sarà una sintesi dei due, dove però il voto dello scritto avrà comunque un peso maggiore. Le varie prove, a seconda della tipologia, avranno peso diverso nella valutazione. Il voto finale quindi sarà frutto di una media ponderata dei voti conseguiti durante l’anno. La valutazione delle prove scritte è generalmente ottenuta con un procedimento a due fasi: 1. l'attribuzione di un punteggio sulla base di una tabella analitica delle soluzioni degli esercizi proposti che tiene conto essenzialmente delle difficoltà cognitive e della tipologia degli errori; 2. l'attribuzione del voto sulla base di una analisi statistica dei punteggi che cerca di evidenziare i risultati individuali relativamente ai risultati medi della classe. GRIGLIA DI VALUTAZIONE Caratteristiche del colloquio Giudizio e Voto Lo studente: dimostra di non conoscere i vari contenuti e/o commette molti e gravi errori; presenta difficoltà ad affrontare applicazioni di base e/o evidenza incoerenza nei vari tentativi; non conosce il linguaggio matematico. Lo studente: dimostra di avere conoscenze frammentarie o commette gravi errori; presenta difficoltà a condurre applicazioni di base o evidenzia passaggi incoerenti; fa confusione nell'utilizzo del linguaggio matematico. Nullo 1 - 2 Scarso 3 Lo studente: dimostra di avere conoscenze lacunose in vari argomenti fondamentali o commette diversi errori; presenta difficoltà a completare alcune applicazioni di base oppure le completa in modo errato o rivelando una certa incoerenza; fa errori nell’utilizzo del linguaggio matematico. Gravemente Insufficiente Lo studente: dimostra di possedere conoscenze parziali su alcuni argomenti e/o commette qualche errore nelle applicazioni standard; denota difficoltà a completare alcune tipologie di esercizi e/o a condurre autonomamente una dimostrazione; evidenzia incertezze nell'utilizzo del linguaggio matematico. Insufficiente 4 5 Lo studente: dimostra di conoscere gli aspetti principali dei contenuti svolti; esegue le applicazioni standard di media difficoltà ma denota incertezze nell'affrontare le parti più impegnative; evidenzia qualche intuizione e/o sa completare un ragionamento seppur con alcune imprecisioni; conosce le strutture essenziali del linguaggio matematico. Sufficiente 6 Lo studente: dimostra di avere conoscenze puntuali; esegue con una sicurezza le applicazioni di media difficoltà ma denota qualche incertezza nell'affrontare punti più complessi; evidenzia capacità intuitive e sa completare un ragionamento di un certo livello pur con qualche imprecisione; utilizza il linguaggio matematico con qualche improprietà. Discreto 7 Lo studente: dimostra di avere buone conoscenze applicando correttamente le varie procedure; evidenzia capacità intuitive e/o logiche nell'effettuare deduzioni e ragionamenti di una certa complessità anche se con qualche imperfezione; utilizza correttamente il linguaggio matematico. Buono Lo studente: dimostra di saper utilizzare le proprie conoscenze nell'applicare con sicurezza le varie procedure; evidenzia capacità intuitive e logiche nell'effettuare deduzioni e ragionamenti complessi; sa esprimere riflessioni sul testo proposto; utilizza con sicurezza il linguaggio matematico. Ottimo Lo studente: dimostra di saper utilizzare al meglio le proprie conoscenze nello scegliere le strategie risolutive più sintetiche e vantaggiose; evidenzia capacità intuitive e logiche nell'effettuare deduzioni e ragionamenti complessi; sa esprimere riflessioni ponderate e personali sul testo proposto; utilizza con eleganza formale il linguaggio matematico. Eccellente DOLO 30 ottobre 31/10/2014 8 9 10 2014 Prof.ssa Lina Casarin 5 Prog. di Matematica 5^B - 5 pagine
