CONTENUTI di MATEMATICA QUARTA - Liceo Statale Galileo Galilei

Liceo Statale “Galileo Galilei” di Dolo (VE )
PROGRAMMAZIONE di MATEMATICA
Anno scol. 2014/15
Classe 5^ B
Docente LINA CASARIN
Premessa
La maggior parte degli studenti di 5^B seguono oltre ai nuovi programmi del Liceo Scientifico un progetto di
potenziamento dell’asse linguistico (3 ore di francese in più).
Per quanto riguarda il programma di matematica, i nuovi argomenti introdotti hanno l'intento di avvicinare la
scuola secondaria sia ai contenuti universitari che allo studio di fenomeni e problematiche di maggior
attualità. Si presentano ai ragazzi nuove strutture e teorie matematiche: alcune delle quali rimangono
prettamente astratte, e pongono affascinanti interrogativi sulle potenzialità conoscitive della mente umana;
mentre altre hanno applicazioni pratiche, e pertanto hanno contribuito in modo decisivo allo sviluppo di
diverse scienze. Gli studenti hanno perciò la possibilità sia di comprendere alcune delle tecniche utilizzate
dalle scienze sociali-economiche o sperimentali, sia di conoscere contenuti e teorie astratte, che
svilupperanno approfonditamente all'università.
Relazione sulla Classe
Insegno in questa classe solo dallo scorso anno, quest’anno la classe è composta da 19 studenti (13
femmine) tutti provenienti dalla stessa classe terza. In queste prime settimane ho rilevato che gli studenti pur
partecipando alle lezioni, con interventi e domande non tutti si applicano a casa; solo alcuni di loro studiano
regolarmente e svolgono i compiti assegnati.
Tra loro solo cinque studenti denotano conoscenze solide sul programma degli anni precedenti, molti hanno
rimosso quanto appreso, commettono errori di calcolo e di scelta del procedimento. Sto insistendo molto sul
metodo di studio e sul tempo da dedicare regolarmente al ripasso. Confidando in un graduale ma definitivo
superamento dei problemi iniziali, dovuti anche alle differenti personalità ed esperienze scolastiche degli
allievi, la programmazione viene fatta prevedendo un regolare sviluppo del programma.
FINALITA'
Nel corso del triennio l’insegnamento della matematica prosegue ed amplia il processo di preparazione
scientifica e culturale dei giovani e concorre insieme alle altre discipline allo sviluppo dello spirito critico e
alla loro promozione umana ed intellettuale.
Lo studio della matematica promuove le facoltà sia intuitive che logiche, educa a processi di astrazione e di
formazione dei concetti, esercita a ragionare induttivamente e deduttivamente, sviluppa capacità sia di
analisi che di sintesi. Tutto questo sviluppa tra le altre cose: l'abitudine alla precisione del linguaggio, la
coerenza argomentativa e il gusto per la ricerca.
OBIETTIVI DIDATTICI E FORMATIVI
Il mio principale obiettivo sarà quello di farli studiare regolarmente e ripassare quando trovo delle lacune sul
programma degli anni scorsi. Nell'ultimo anno si affronta lo studio dell'analisi matematica ma si
riprenderanno anche alcuni argomenti affrontati negli anni passati con un maggiore approfondimento. Mano
a mano che procederà nello studio della materia lo studente dovrà saper individuare i concetti fondamentali
e le strutture di base delle varie branche della disciplina, e dovrà saper affrontare a livello critico situazioni
problematiche di varia natura, scegliendo in modo flessibile e personalizzato le strategie di approccio.
Inoltre il ragazzo deve essere in grado di inquadrare storicamente l'evoluzione delle idee matematiche
fondamentali e saper cogliere interazioni tra pensiero filosofico e pensiero matematico. Deve anche aver
compreso ed analizzato i vari contributi dati dalla matematica allo sviluppo delle scienze sperimentali ed
ecomomiche-sociali.
Alla fine della quinta ogni studente dovrà: aver dimestichezza con le tecniche di calcolo relative a limiti,
derivate ed integrali; saper studiare una funzione a variabile reale e costruirne il grafico; risolvere problemi
geometrici legati al piano e allo spazio utilizzando diversi metodi e l'analisi (problemi di massimo e minimo);
utilizzare metodi e strumenti di natura probabilistica e statistica; aver riflettuto sul sistema assiomatico e sulla
natura delle geometrie non euclidee; saper compilare programmi di: ordinamento, ricerca di soluzioni
approssimate, calcolo approssimato di e e ; conoscere alcune problematiche relative alla programmazione
quali la rappresentazione interna dei numeri, la complessità computazionale, l'approssimazione e la
precisione.
COLLEGAMENTI INTERDISCIPLINARI
Si esamineranno alcuni sviluppi della matematica legati alla ricerca dei fondamenti, ai sistemi assiomatici,
agli sviluppi della logica del '900 in collaborazione con il docente di filosofia.
PROGRAMMA MATEMATICA
LIMITI E CONTINUITA'
- Proprietà delle operazioni sui numeri Reali.
- Assiomi dei numeri Reali.
- Topologia sulla retta reale: definizione di intorno di un punto, definizione di punto di accumulazione e di punto isolato per un insieme
numerico.
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Prog. di Matematica 5^B - 5 pagine
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- Definizione di estremo superiore ed inferiore, di massimo e di minimo per un insieme numerico.
- Definizione di limite.
- Teoremi sui limiti: T. dell'unicità del limite, T. del confronto, T. della permanenza del segno. Teoremi riguardanti le operazioni con i
limiti.
- Forme indeterminate.
- Limiti fondamentali.
- Calcolo di limiti.
- Definizione di asintoto verticale, orizzontale ed obliquo per una funzione.
- Determinazione degli asintoti di una funzione.
- Definizione di funzione continua in un punto ed in un intervallo.
- Teoremi sulle funzioni continue, in particolare enunciati del T. di Weierstrass e di quello di Bolzano.
- Esempi di funzioni continue.
- Continuità delle funzioni inverse e composte.
- Funzioni discontinue in un punto.
- Esempi di funzioni discontinue.
DERIVATE E STUDIO DI FUNZIONE
- Concetto di derivata e suo significato geometrico.
- Definizione di derivata di una funzione in un punto.
- Relazione tra derivabilità e continuità di una funzione in un punto.
- Derivate fondamentali.
- Teoremi sul calcolo delle derivate.
- Derivata di una funzione composta e della funzione inversa.
- Definizione di una funzione crescente e decrescente in un punto ed in un intervallo.
- Teorema di Rolle, Teorema di Cauchy e Teorema di Lagrange con varie applicazioni.
- Teorema di De l'Hòpital con vari esempi esplicativi.
- Definizione di punto di massimo e minimo relativo per un insieme.
- Risoluzione di problemi di massimo e minimo applicati alla geometria e alla fisica.
- Definizione di punto angoloso e di cuspide.
- Definizione di funzione concava e convessa in un intervallo.
- Definizione di punto di flesso ; flesso a tangente orizzontale, verticale ed obliqua.
- Costruzione del grafico di una funzione in una variabile, definita nei reali e a valore nei reali.
INTEGRALI
- Definizione di funzione primitiva di una data funzione.
- Definizione di integrale indefinito.
- Regole di integrazione immediata, per sostituzione e per parti.
- Definizione di integrale definito secondo Rimena.
- Relazione tra continuità, derivabilità ed integrabilità di una funzione in un intervallo.
- Definizione di Valor Medio di una funzione in un intervallo e Teorema della Media.
- Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ( di Torricelli -Barrow ).
- Integrali impropri o generalizzati.
- Applicazione del calcolo integrale per determinare aree di regioni finite di piano, superfici e volumi di solidi di rotazione, lunghezze di
archi.
- Teoremi di Guldino.
- Equazioni differenziali: definizioni fondamentali.
- Equazioni del primo ordine a variabili separabili ed omogenee.
SERIE
- Definizione di serie; definizione e calcolo del limite di una serie; serie convergenti, divergenti o indeterminate.
- Applicazioni: somma di termini di progressioni geometriche, numeri periodici e frazioni generatrici; misura dell'area di un segmento
parabolico; misura dell'area del cerchio; e misura della circonferenza.
- Criteri di convergenza delle serie.
- Serie di funzioni e di potenze.
- Serie di Taylor e di Mc -Laurin.
- Notazione esponenziale di un numero complesso.
GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
- Definizione ed equazione cartesiana di una sfera.
- Relazione tra rette, piani e sfere.
- Definizione ed equazione cartesiana di un ellissoide, paraboloide , iperboloide, cilindro e cono.
STATISTICA
- Distribuzioni continue: distribuzione normale, uniforme ed esponenziale.
- Legge dei grandi numeri.
RISOLUZIONE DI ESERCIZI PROPOSTI AGLI ESAMI DI STATO
RIPASSO ARGOMENTI TRIENNIO
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Risoluzione di particolari equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo mediante scomposizione o divisione. Equazioni e
disequazioni: razionali, irrazionali, goniometriche , logaritmiche ,esponenziali. Disequazioni con valore assoluto. Sistemi di equazioni e
disequazioni. Risoluzioni di equazioni per via grafica.
FUNZIONI
Definizione di funzione. Funzioni in una variabile definite in R e a valori in R. Funzioni razionali intere e fratte,
irrazionali, esponenziali, logaritmiche, goniometriche e loro inverse. La funzione valore assoluto. Simmetrie e periodicità delle funzioni.
Determinazione del dominio delle varie funzioni. Determinazione delle funzioni inverse. Corrispondenza biunivoca tra insieme dei
numeri reali e punti sulla retta.
GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO
Coordinate di punti. Distanza tra due punti. Punto medio. Equazione di una retta. Distanza punto retta. Coniche : proprietà ed equazione
canonica. Fasci di rette e di coniche. Determinazione di particolari luoghi geometrici. Classificazione delle coniche nel piano.
TRIGONOMETRIA PIANA
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Prog. di Matematica 5^B - 5 pagine
Funzioni goniometriche seno, coseno, tangente, cotangente e loro inverse: definizione e grafico. Relazione tra coefficiente angolare di
una retta e tangente goniometrica; determinazione dell’angolo tra due rette. Formule per la somma e la differenza di angoli, di
duplicazione e di bisezione. Teoremi dei triangoli rettangoli. Teoremi: corda, seni, Carnot. Risoluzione triangoli qualsiasi.
NUMERI COMPLESSI
Coordinate polari nel piano. Equazione di rette, coniche e di altri luoghi geometrici utilizzando le coordinate polari. Il Campo C dei
numeri complessi: assiomi e proprietà. Le regole del calcolo con i numeri complessi. Il coniugato e il reciproco di un numero complesso.
Le radici ennesime di un numero complesso. Il campo C come ampliamento di R. Il teorema fondamentale dell'algebra.
INSIEMI NUMERICI
Proprietà degli insiemi numerici. Confronto tra insiemi infiniti. Cardinalità del numerabile e del continuo.
SUCCESSIONI
Proprietà delle operazioni sui i numeri naturali. Assiomi dei numeri Naturali. Definizione di successione; definizione e calcolo del limite di
una successione; successioni convergenti, divergenti e oscillanti. Progressioni aritmetiche e geometriche. Principio di induzione.
GEOMETRIA EUCLIDEA DELLO SPAZIO
Similitudine. Assiomi dello spazio. Rette e piani nello spazio. Applicazioni dei teoremi di similitudine nello spazio. Diedri, angoloidi.
Poliedri. Definizione e proprietà del prisma, del parallelepipedo e della piramide. Caratteristiche dei poliedri regolari. I corpi rotondi;
solidi di rotazione. Cilindro, cono e sfera. Estensione della superficie dei solidi e sua misura. Estensione del volume dei solidi. La
relazione di equivalenza tra solidi. Principio di Cavalieri. Misura del volume dei solidi.
GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
Applicazioni di geometria analitica nello spazio. Equazione cartesiana di un piano.
Distanza punto piano.
Equazione parametrica e cartesiana di una retta.
PROBABILITA'
Calcolo combinatorio: disposizioni semplici, disposizioni con ripetizione, permutazioni, combinazioni semplici, coefficienti binomiali e
loro proprietà, binomio di Newton. Calcolo delle probabilità: definizione classica e definizione assiomatica di probabilità. Eventi
incompatibili, eventi indipendenti, probabilità condizionata; il teorema di Bayes.
STATISTICA
Elementi di statistica: definizione di variabile casuale; definizione di moda, media e varianza di una variabile casuale. Statistica
descrittiva bivariata: matrice dei dati, tabelle a doppia entrata. Distribuzioni statistiche (congiunte, condizionate, marginali). Funzione di
ripartizione. Rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità: la distribuzione binomiale, la distribuzione di Poisson, la
distribuzione normale.
Testo adottato:
Autori P. Baroncini, R. Manfredi, I. Fragni “Lineamenti.MATH BLU 5” Editore Ghisetti&Corvi
Autori P. Baroncini, R. Manfredi, I. Fragni “Lineamenti.MATH BLU 4 e 3” Editore Ghisetti&Corvi
Tempi del Percorso Formativo
Mese
MATEMATICA
PERIODO
ARGOMENTI NUOVI
Laboratorio di Informatica
Ripasso
Limiti e Continuità
Settembre /
Ottobre
Disequazioni e proprietà degli
insiemi numerici
GEOGEBRA
per la rappresentazione di funzioni.
Problemi di geometria analitica nel
piano e di
trigonometria piana
GEOGEBRA
per la rappresentazione di funzioni
Problemi con calcolo di limiti
Derivate
Derivate
Novembre /
Dicembre
Studio di funzione
Problemi di massimo e minimo
e di applicazione al calcolo infinitesimale.
Integrali Indefiniti
Gennaio
Febbraio
Integrali Definiti
Calcolo di lunghezze, aree e volumi.
Serie: serie di Taylor
Ripasso geometria Euclidea nello
spazio
Problemi di geometria analitica nello
spazio
GEOGEBRA per la
rappresentazione della geometria
solida.
Probabilità.
Equazioni differenziali
Marzo
Statistica descrittiva
Geometria Analitica nello Spazio
Aprile
EXCEL foglio elettronico per dati e
distribuzioni statistiche.
Statistica: distribuzioni discrete
Statistica: distribuzioni continue.
Maggio
Esercizi in preparazione agli Esami di Stato
Tutto
Giugno
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Prog. di Matematica 5^B - 5 pagine
INDICAZIONI METODOLOGICHE
Didattica
Il metodo di insegnamento verrà articolato a seconda dei diversi momenti, delle esigenze della classe e dei
particolari aspetti del programma, privilegiando, dove è possibile, la metodologia del Problem Solving.
 Principalmente verranno tenute lezioni frontali introducendo i nuovi argomenti in modo intuitivo ed
utilizzando le rappresentazioni grafiche; quindi si procederà alla sistematizzazione teorico-formale cui
seguiranno varie applicazioni. Durante le spiegazioni l'insegnante cercherà di instaurare un dialogo
costante con la classe, facendo intervenire i ragazzi stessi per condurre un ragionamento, per risolvere
un nuovo problema o per completare un esercizio; in questo modo si cercherà di sviluppare le capacità
intuitive e logiche degli studenti.
 Il docente potrà invitare gli studenti a costruire, anche a casa, solidi o particolari figure geometriche
piane, per verificare varie proprietà sia geometriche che algebriche. L’insegnante potrà assegnare agli
studenti ricerche da realizzare - anche a carattere interdisciplinare – e da esporre poi alla classe anche
con mezzi multimediali, per promuovere la ricerca e migliorare le capacità organizzative, critiche ed
espositive. Si potranno organizzare attività di gruppo anche per recupero e o approfondimento.
 Verranno svolte lezioni anche in laboratorio di informatica o mediante l’utilizzo della LIM in classe, che
permetteranno di sviluppare in modo efficace parte dei programmi o di consolidare, tramite la verifica
pratica, alcune nozioni con l'utilizzo di pacchetti applicativi.
Attività
I docenti faranno partecipare gli studenti ad alcune gare d’istituto quali Giochi di Archimede (Olimpiadi di
Matematica), Matematica Senza Frontiere (per le classi seconde e terze) e/o altre gare da individuare tra
quelle proposte dal MIUR o da altre Istituzioni. Gli insegnanti potranno inserire nella loro programmazione
uscite didattiche in parchi attrezzati per applicazioni matematiche e/o visite guidate a mostre di carattere
matematico informatico, a laboratori didattici e musei specifici.
Mezzi e spazi
I mezzi principali sono il libro di testo, la lavagna, la LIM nelle classi dove è presente e/o supporti
multimediali per la presentazione di alcuni argomenti. Si utilizzeranno altri libri e riviste invitando gli studenti
a frequentare la biblioteca scolastica. Compatibilmente con il programma e la disponibilità si svolgeranno
alcune lezioni in laboratorio di Informatica. Si integreranno alcuni argomenti con fotocopie.
Azioni di recupero
L'azione di recupero va fatta continuamente durante l'anno scolastico, con le verifiche l’insegnante ha dati
oggettivi sul grado di comprensione ed assimilazione dei vari contenuti. Si cercherà quindi di intervenire
dopo ogni prova scritta rispiegando i punti meno chiari e proponendo nuovi esercizi per superare le difficoltà
incontrate. Va tuttavia rilevato che alcuni studenti manifestano più difficoltà di altri, o per uno studio
discontinuo o per difficoltà varie di approccio alla materia, per questi studenti va indicata un’attività di
sostegno in itinere ( anche attraverso l’azione degli studenti tutor o partecipando al Club delle Scienze ) e/o
di recupero in alcuni periodi dell’anno.
Valutazione
La valutazione è parte integrante della programmazione didattica in quanto fornisce i dati per guidare e
migliorare il processo di insegnamento-apprendimento; i parametri disciplinari su cui essa si basa sono:
capacità di analisi di un problema, correttezza nell’applicazione di regole e procedure, ordine e chiarezza
concettuale, completezza delle soluzioni, originalità nell’individuazione del percorso risolutivo, capacità di
sintesi, rigore logico, uso del linguaggio specifico.
Il voto dello scritto indica in che misura lo studente è in grado di comprendere ed utilizzare il linguaggio
matematico, impostare autonomamente e risolvere problemi applicando con coerenza e correttezza le varie
procedure, eseguire completamente varie tipologie di esercizi, rappresentare disegni geometrici e costruire
grafici di funzioni;
Il voto dell’orale indica in che misura lo studente utilizza consapevolmente il linguaggio matematico,
(argomenta e) risponde in modo coerente ai quesiti proposti, conosce gli aspetti teorici, esegue
(autonomamente) dimostrazioni.
Come prove per lo scritto: si eseguiranno almeno tre verifiche per quadrimestre con problemi ed esercizi.
Come prove per l’orale: si avranno almeno due valutazioni per quadrimestre, di cui almeno una è l’esito di
un colloquio, mentre altri voti potranno provenire anche da prove scritte composte da test a risposta multipla
e/o quesiti a risposta aperta su aspetti teorici della disciplina e/o esercizi applicativi. Saranno valutati anche i
lavori personali di approfondimento. Nella valutazione orale confluirà anche l’interesse e la partecipazione
alle lezioni e alle attività di laboratorio, l’impegno nello studio ed il regolare svolgimento dei compiti assegnati
per casa.
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Prog. di Matematica 5^B - 5 pagine
Il voto dello scrutinio è unico, il voto unico sarà una sintesi dei due, dove però il voto dello scritto avrà
comunque un peso maggiore.
Le varie prove, a seconda della tipologia, avranno peso diverso nella valutazione. Il voto finale quindi sarà
frutto di una media ponderata dei voti conseguiti durante l’anno.
La valutazione delle prove scritte è generalmente ottenuta con un procedimento a due fasi:
1. l'attribuzione di un punteggio sulla base di una tabella analitica delle soluzioni degli esercizi proposti che
tiene conto essenzialmente delle difficoltà cognitive e della tipologia degli errori;
2. l'attribuzione del voto sulla base di una analisi statistica dei punteggi che cerca di evidenziare i risultati
individuali relativamente ai risultati medi della classe.
GRIGLIA DI VALUTAZIONE
Caratteristiche del colloquio
Giudizio e Voto
Lo studente: dimostra di non conoscere i vari contenuti e/o
commette molti e gravi errori; presenta difficoltà ad affrontare
applicazioni di base e/o evidenza incoerenza nei vari tentativi; non
conosce il linguaggio matematico.
Lo studente: dimostra di avere conoscenze frammentarie o
commette gravi errori; presenta difficoltà a condurre applicazioni di
base o evidenzia passaggi incoerenti; fa confusione nell'utilizzo del
linguaggio matematico.
Nullo
1 - 2
Scarso
3
Lo studente: dimostra di avere conoscenze lacunose in vari
argomenti fondamentali o commette diversi
errori; presenta
difficoltà a completare alcune applicazioni di base oppure le
completa in modo errato o rivelando una certa incoerenza; fa errori
nell’utilizzo del linguaggio matematico.
Gravemente Insufficiente
Lo studente: dimostra di possedere conoscenze parziali su alcuni
argomenti e/o commette qualche errore nelle applicazioni standard;
denota difficoltà a completare alcune tipologie di esercizi e/o a
condurre autonomamente una dimostrazione; evidenzia incertezze
nell'utilizzo del linguaggio matematico.
Insufficiente
4
5
Lo studente: dimostra di conoscere gli aspetti principali dei
contenuti svolti; esegue le applicazioni standard di media difficoltà
ma denota incertezze nell'affrontare le parti più impegnative;
evidenzia qualche intuizione e/o sa completare un ragionamento
seppur con alcune imprecisioni; conosce le strutture essenziali del
linguaggio matematico.
Sufficiente
6
Lo studente: dimostra di avere conoscenze puntuali; esegue con
una sicurezza le applicazioni di media difficoltà ma denota qualche
incertezza nell'affrontare punti più complessi; evidenzia capacità
intuitive e sa completare un ragionamento di un certo livello pur con
qualche imprecisione; utilizza il linguaggio matematico con qualche
improprietà.
Discreto
7
Lo studente: dimostra di avere buone conoscenze applicando
correttamente le varie procedure; evidenzia capacità intuitive e/o
logiche nell'effettuare deduzioni e ragionamenti di una certa
complessità anche se con qualche imperfezione; utilizza
correttamente il linguaggio matematico.
Buono
Lo studente: dimostra di saper utilizzare le proprie conoscenze
nell'applicare con sicurezza le varie procedure; evidenzia capacità
intuitive e logiche nell'effettuare deduzioni e ragionamenti
complessi; sa esprimere riflessioni sul testo proposto; utilizza con
sicurezza il linguaggio matematico.
Ottimo
Lo studente: dimostra di saper utilizzare al meglio le proprie
conoscenze nello scegliere le strategie risolutive più sintetiche e
vantaggiose; evidenzia capacità intuitive e logiche nell'effettuare
deduzioni e ragionamenti complessi; sa esprimere riflessioni
ponderate e personali sul testo proposto; utilizza con eleganza
formale il linguaggio matematico.
Eccellente
DOLO
30 ottobre
31/10/2014
8
9
10
2014
Prof.ssa Lina Casarin
5
Prog. di Matematica 5^B - 5 pagine