Riassunto appunti del corso

STATICA DEI FLUIDI
La statica dei fluidi è interessata allo studio dei fluidi a riposo, per cui in tale ambito si suppone implicitamente che la
condizione di quiete iniziale sia sempre soddisfatta.
Proprietà dei fluidi
Il fluido è un mezzo continuo mobile e deformabile quando esso, in condizioni di quiete o di moto rigido, non è in
grado di esercitare al suo interno azioni di taglio per effetto di deformazioni statiche, ma esclusivamente azioni di
tipo normale. Considerare il fluido come un continuo significa che tutte le proprietà del fluido sono riferite al
comportamento macroscopico e fenomenologico del fluido.
La descrizione del modello continuo sarà valido se il numero di Knudsen:
, dove è il libero cammino
medio, che rappresenta la distanza media percorsa dalle molecole fra due urti successivi, e
caratteristica del problema studiato.
è la lunghezza
Per moto rigido si intende il moto che risulta dalla combinazione di una traslazione lungo una direzione qualunque e
di una rotazione attorno a un asse qualunque.
Pressione
La forza per unità di area causata dal fluido, che si trova nella parte verso cui punta la
normale alla superficie , è data da:
, dove P indica la pressione e il
segno – indica che è diretta dal fluido agente verso il fluido che si trova dalla parte
opposta. Il valore di P dipende dalla posizione in cui si trova la superficie :
, dove
è un campo di pressione.
Densità(di massa o massa volumica o specifica)
Rappresenta il rapporto tra la massa e il volume di una particella di fluido. Anche la densità dipende dalla posizione
in cui si trova la porzione di fluido, per cui:
.
Si utilizza spesso il peso specifico del fluido, che rappresenta la forza peso per unità di volume agente su di essa
vicino alla superficie della Terra, per cui:
, dove g è il campo gravitazionale vicino alla superficie terrestre.
Equazione di equilibrio di un fluido
Ogni moto rigido può essere visto come stato di quiete rispetto a un osservatore opportuno.
Per formulare la condizione di equilibrio di ogni particella di fluido dobbiamo considerare le forze che agiscono su di
essa:
dette forze di volume
dette forze di
superficie
Consideriamo un volume determinato V di fluido. La forza di volume complessiva dovuta al
campo di forze
esterne che agisce su questa porzione finita di fluido è data da:
.
In condizioni di equilibrio, ovvero quando la velocità del fluido è nulla in ogni punto, le forze
interne sono dovute alla sola azione della pressione e quindi la forza interna totale agente
attraverso tutta la superficie che delimita la porzione di fluido, sarà ottenuta sommando i
contributi dovuti a ciascun elemento di superficie:
La condizione di equilibrio per la porzione di fluido considerata è data da:
. Considerando il teorema del gradiente, per cui:
, ricavo:
è l’equazione di equilibrio in forma globale;
mentre,
è l’equazione di equilibrio in forma locale. Le incognite sono
.
Riscriviamo ora usando la convenzione per cui indichiamo esplicitamente le variabili indipendenti solo quando la
funzione è nota, mentre le funzioni incognite sono indicate senza alcun argomento:
che è
un’equazione differenziale del primo ordine, contenente derivate parziali, nella quale compaiono due funzioni
incognite, la pressione e la densità, per cui abbiamo 3 equazioni in 2 incognite. Poiché il numero di equazioni è
maggiore di quello delle incognite, l’equazione potrebbe non avere soluzione. Cioè, per un campo di forze
arbitrariamente assegnato, l’equilibrio del fluido potrebbe essere impossibile. Data
, sapendo dal
teorema del rotore che
, per qualunque f, si ricava che potranno esistere soluzioni solo se:
.
Fluido in un campo di forze conservative
, dove
è un campo di forze. Un campo vettoriale che soddisfa questa condizione si dice
irrotazionale e, nel caso in cui rappresenti un campo di forze, esso è detto conservativo. Si ricava che deve valere:
, che dice che i due vettori,
e
, sono paralleli in ogni punto del fluido in equilibrio. Dato che il
vettore gradiente di qualunque funzione è sempre perpendicolare alle sue superfici di livello della densità e della
pressione sono coincidenti e quindi, avendo
e
la stessa direzione, anche le superfici di livello della densità
sono perpendicolari alla direzione del campo di forze
in ogni punto del fluido. Di conseguenza, entrambe le
funzioni
e
varieranno solo muovendosi lungo le linee di campo vettoriale
. Pertanto
esisterà un legame fra queste due variabili e potremo scrivere
ovvero
. L’implicazione di questo
risultato è che l’equazione di equilibrio nel campo di forze conservative assume la forma più chiara:
, se
, che ha una sola variabile incognita,
. Quando il campo di forze
è conservativo, allora
esiste un’energia potenziale
(per unità di massa) che permette di esprimere il campo come gradiente, secondo
la relazione:
e l’equazione di equilibrio diventa:
. Quindi sulle superfici di livello della
densità e della pressione anche l’energia potenziale assume un valore costante.
Fluido in equilibrio vicino alla superficie terrestre
Consideriamo un fluido che si trova nel campo di gravitazione della Terra in prossimità
della sua superficie.
è un campo uniforme diretto verticalmente verso il basso e
assume la forma:
. Questo campo uniforme è irrotazionale e può essere
espresso in termini dell’energia potenziale gravitazionale
per unità di
massa, per cui avremo
. L’equazione di equilibrio del fluido
diventa:
. Quindi la pressione potrà variare solo con z, ovvero
e con la condizione
, impone anche alla densità di essere funzione della sola z, ovvero
. Pertanto, l’equazione vettoriale di equilibrio si riduce a una semplice relazione scalare:
un’opportuna condizione al contorno si determina il valore della costante di integrazione, ad esempio,
. Con
e
nota come legge di Pascal, per cui la pressione in un fluido che si trova nel campo
gravitazionale dipendente solo dalla quota z assume lo stesso valore in tutti i punti di ogni superficie orizzontale.
Equilibrio di un fluido con densità uniforme
Nel caso di liquido la cui densità è indipendente dalla quota, per cui l’equazione scalare di equilibrio si riduce a:
, dove
rappresenta la densità del fluido assunta uniforme, dalla quale si ricava:
nota
come legge di Stevino.
Misura della pressione nei fluidi in quiete
Barometro a colonna di mercurio  essendo la tensione di vapore del mercurio molto bassa a temperatura
ambiente, si può ritenere nulla la pressione nell’estremità superiore chiusa del tubo, per
cui l’altezza h permette di misurare la pressione dell’aria all’esterno:
, dove
e
Manometro con tubo a U  la differenza di pressione
misurata alle 2 superfici libere è:
, dove
peso specifico del fluido utilizzato e
è la differenza di altezza dei peli liberi.
è il
Si ricava quindi:
Equilibrio dell’atmosfera terrestre
Dalla legge di gravitazione universale di Newton, otteniamo il campo di gravità della Terra all’esterno della sua
superficie (che supponiamo sferica e di raggio
):
La condizione di equilibrio di un fluido in questo campo di gravità si scriverà:
sferica del campo di forze scriviamo questa relazione in coordinate sferiche:
e
per la simmetria
dove
e
Se consideriamo la temperatura dell’aria uniforme (atmosfera isoterma) e supponendo
che valga:
. Sostituendo nell’equazione di equilibrio si ottiene:
dove
è costante e ha le dimensioni di una lunghezza.
integrando:
condizione al contorno sulla superficie della Terra:
per
.
Caratteristiche dell’atmosfera terrestre
L’atmosfera è un sottile strato di gas composto principalmente da azoto e ossigeno.
Lo spessore dell’atmosfera è dell’ordine di 100km ed è quindi molto rispetto al
diametro della Terra.
. Pongo come
Forze di galleggiamento: legge di Archimede
Consideriamo un corpo solido di volume immerso in un fluido in equilibrio. La condizione di equilibrio indica la
presenza di una forza che equilibri la forza pesa, detta forza di galleggiamento (o spinta idrostatica).
La forza agente sul corpo sarà data dall’integrale esteso alla superficie, in questo caso chiuso ma se il corpo non è
completamente immerso allora è riferito alla superficie bagnata, della forza causata dalla pressione agente su ogni
elemento di superficie:
dove è entrante nel corpo.
La distribuzione della pressione all’interno del fluido dipende solamente dalla posizione. In condizioni di equilibrio, la
pressione non è influenzata dal fatto che nel fluido sia presente il corpo oppure che esso sia tolto e il suo posto sia
riempito da una determinata quantità del medesimo fluido, supposto ugualmente in equilibrio.
Supponiamo di effettuare questa sostituzione. Possiamo, quindi, scrivere l’equazione di equilibrio:
dove è uscente dalla superficie
Avremo quindi:
ed otteniamo quindi:
Pertanto il fluido esercita una forza sul corpo immerso che è opposta (e ha lo stesso punto di applicazione) del peso
agente su una quantità di fluido atta a riempire il volume immerso dal corpo considerato. Questa legge è nota come
principio di Archimede.
Un caso particolarmente importante di questa legge si ha quando la densità del fluido è uniforme, ossia
, ed
è uniforme anche il campo di gravità, come ad esempio il campo di gravità terrestre vicino alla superficie della Terra,
cosicché:
. In questo caso risulta:
Si noti che il verso della spinta idrostatica agente sul corpo è verso l’alto, quindi, la spinta di Archimede dipende solo
dal volume del corpo e non dalla forma né dall’orientazione del corpo nel fluido.
EQUAZIONI DELLA DINAMICA DEI FLUIDI
Rappresentazione del moto di un fluido
Supponiamo che una regione di spazio sia riempita da un fluido in movimento. Il moto può essere descritto con:
-
Punto di vista lagrangiano  si determina la posizione
in ogni istante di tempo di una
“particella” del fluido che se trova nel punto
all’istante
;
Punto di vista euleriano  si determina la velocità
, la densità
e altre variabili fisiche come la
pressione
, in ogni istante e in ogni punto
della regione occupata dal fluido.
Linee di corrente
Una linea di corrente di un campo vi velocità
è una curva avente la stessa direzione del vettore in ogni
punto del fluido in un istante di tempo determinato . Dal punto di vista matematica, una linea di corrente
del campo di velocità
può essere ottenuta risolvendo l’equazione differenziale
ordinaria:
dove
è la funzione incognita e
è una funzione arbitraria la cui forma
determina la scelta della parametrizzazione della curva. Questa equazione vettoriale esprime la condizione che la
curva
sia parallela in ogni punto al campo di velocità
. Esplicitando le componenti cartesiane, si ha:
La risoluzione di questo sistema in un determinato istante fornisce le linee di corrente in
quell’istante.
Traiettorie
La traiettoria è il luogo dei punti occupati al variare del tempo da una particella di fluido. La traiettoria
ottiene risolvendo:
si
. Nel caso di corrente non stazionaria, le traiettorie delle varie particelle, che
passano nello stesso punto
in istanti diversi, sono differenti in quanto le funzioni
la medesima equazione differenziale
corrispondenti soddisfano
, ma la condizione iniziale è specificata in istanti di tempo diversi:
. Nel caso di corrente stazionaria, l’equazione della traiettoria è soluzione del
problema:
passante per
, quindi fissato il punto si partenza
, la stessa funzione
caratterizza la sola traiettoria
, indipendentemente dall’istante di tempo iniziale scelto.
Nelle correnti stazionarie le traiettorie coincidono con le linee di corrente.
Tracce (curve di emissione o linee di flusso)
Luogo dei punti occupati a un determinato istante da tutte le particelle che sono passate dal punto di emissione
Nel caso della traccia non tutte le particelle passano nello stesso istante in
, quindi:
Nel caso stazionario le tracce coincidono con le traiettorie e quindi anche con le linee di corrente. (Campo di velocità
stazionario:
dipendono solo da
).
Equazione di conservazione della massa
Consideriamo una superficie chiusa immaginaria dentro il fluido che delimita una determinata regione dello
spazio. La superficie è detta “immaginaria” in quanto non costituisce in nessun modo una barriera al movimento
del fluido. Tale superficie è fissa nello spazio e non si muove con il fluido. Il moto del fluido è in generale in
stazionario.
La legge di conservazione della massa dice che un fluido non può essere né creato né distrutto, ovvero, in termini
quantitativi, la rapidità di variazione della massa di fluido contenuta in è uguale alla rapidità con cui il fluido entra
in attraverso . (Per fluido entrante si intende la quantità netta di fluido che entra in ).
La massa di
contenuta al tempo è data da:
La massa contenuta in
cambia con una rapidità che è espressa dalla sua derivata rispetto al tempo:
flusso totale di massa entrante (se positivo).
Il volume netto di fluido uscente da
attraverso l’elemento di area
, nell’intervallo
mentre la rapidità con cui il fluido esce da quella porzione di superficie è:
massa della superficie
dato da:
sarà:
, è dato da:
;
e quindi il flusso di
, e il flusso di massa, o rapidità con cui la massa esce da V attraverso S sarà
. Quindi la rapidità con cui la massa entra in
l’equazione di conservazione della massa in forma integrale.
è:
è
.
Utilizzando il teorema della divergenza otteniamo:
deve valere per qualunque dominio
. Questa equazione
nel fluido:
è l’equazione di conservazione della massa (o
di continuità del fluido) in forma differenziale, sotto l’ipotesi di
sufficientemente regolari.
Equazione della quantità di moto
Consideriamo il fluido contenuto in un volume V fisso nella spazio. In ogni istante la quantità di moto del fluido
contenuto in è:
La quantità di moto del fluido contenuto nella regione
varia con una rapidità:
La rapidità di variazione di
è causata in parte dalla quantità di moto che entra (o esce) da attraverso la sua
superficie (quantità di moto del fluido che attraversa ) e in parte da tutte le forze agenti sul fluido contenuto in :
-
forze di superficie, dovute all’azione della pressione e alla viscosità del fluido, che per ora non consideriamo;
forze di volume, per esempio gravitazionale o elettromagnetica.
Otteniamo quindi l’equazione di bilancio della quantità di moto in forma globale riferita ad una regione geometrica
fissa:
è
l’equazione di conservazione della quantità di moto in forma integrale.
Vogliamo ora ricavare la forma locale:
-
(con il teorema del gradiente)
-
Tornando all’equazione di conservazione della quantità di moto:
Raccogliendo:
Sostituendo:
che per arbitrarietà del volume:
che è
l’equazione della conservazione della quantità di moto in forma differenziale.
Il termine
Se costruiamo un sistema:
è lineare e diventa non lineare quando applicato alla velocità.
abbiamo 4 equazioni scalari e 5 incognite quindi manca
un’equazione scalare. Introduciamo anche le 2 equazioni di stato che legano fra loto le variabili termodinamiche:
e
Correnti incomprimibili dei fluidi non viscosi
Supponiamo che si possa assumere la corrente incomprimibile:
e
Nella condizione ideale di fluido incomprimibile, l’equazione di continuità si riduce a:
è la condizione di in comprimibilità (campo di velocità
a divergenza nulla in ogni istante)
Quindi, se è uniforme, il volume della particella di fluido non varia durante il moto. Le particelle di fluido
mantengono il loro volume durante il moto. Di conseguenza, nel caso di correnti incomprimibili, il sistema di 2
equazioni, conservazione della massa e conservazione della quantità di moto, diventa:
, dette equazioni di Eulero per correnti incomprimibili.
Abbiamo, dunque, 4 equazioni scalari in 4 incognite, essendo una costante nota. Pertanto, il sistema ha tante
incognite quante equazioni e può essere risolto senza far intervenire le equazioni di stato che definiscono le
proprietà termodinamiche del fluido.
CORRENTI INCOMPRIMIBILI NON VISCOSE
Accelerazione del fluido
Sia
una proprietà del fluido. Definendo la traiettoria della particella:
e la sua velocità
, l’accelerazione è data da:
che è l’accelerazione della particella (campo dell’accelerazione). L’operatore derivata sostanziale
è dato da:
.
Il campo di accelerazione non può essere stabilito in base all’andamento del solo campo di velocità istantaneo,
tranne nel caso particolare di corrente stazionaria. Infatti, nella definizione di
è presente il contributo
della derivata parziale
, che rappresenta la rapidità di variazione della velocità in un punto fisso. Invece, nel
caso di correnti stazionarie il campo di accelerazione del fluido è determinato dalla sola derivata spaziale del campo
di moto ed è dato da:
.
Vincoli di in comprimibilità
Supponiamo che la corrente sia incomprimibile (
indipendentemente sia dal tempo che dalla posizione
spaziale). In questo caso particolare la legge di conservazione della massa si riduce semplicemente alla condizione di
incomprimibilità:
che deve essere soddisfatta dal campo della velocità
in ogni punto e in ogni istante.
Equazioni di Eulero incomprimibili
Nel caso di corrente incomprimibile con fluido di densità uniforme, l’equazione della quantità di moto del fluido può
essere ricavata dalla II legge della dinamica (o II legge di Newton) considerando un elemento infinitesimo di fluido
contenuto nel volume
e quindi avente massa elementare
:
, dove
è il risultante delle
forze agenti sull’elemento. Per un fluido non viscoso vale:
. Quindi otteniamo:
, per corrente incomprimibile e non viscosa. Quindi le
equazioni di Eulero per le correnti incomprimibili sono:
Condizione iniziale e condizione al contorno
, 4 equaz in 4 incogn (
).
Le equazioni di Eulero sono delle equazioni differenziali alle derivate parziali e da sole non costituiscono ancora un
problema completo. Come in qualunque problema differenziale, è necessario specificare determinate condizioni
supplementari per ottenere un problema ben posto, avente una soluzione. Nel caso delle equazioni di Eulero è
necessario specificare una sola condizione iniziale: la velocità iniziale del fluido in ogni punto
. Non
esiste, invece, nessuna condizione iniziale per la pressione dato che non c’è alcuna equazione di evoluzione per
questa variabile, che sappiamo essere nelle correnti incomprimibili un semplice moltiplicatore di Lagrange. Ma il
sistema delle equazioni di Eulero è differenziale anche dal punto di vista spaziale, dato che contiene derivate rispetto
alle coordinate spaziali: il gradiente e la divergenza. Per ottenere un problema che possa avere una soluzione
occorre specificare delle condizioni al contorno. Nel caso delle equazioni per correnti incomprimibili non viscose
abbiamo una sola condizione al contorno scalare da imporre su tutta la frontiera del dominio , che consiste nello
specificare il valore della componente della velocità normale alla frontiera
. Questa condizione al contorno
per l’incognita sarà:
. Il volume al contorno
della componente normale
alla velocità deve essere per ogni punto
e per ogni
(Notare che
è una funzione scalare). E’
importante notare che nel caso di problemi con una corrente non viscosa, la condizione al contorno della velocità
riguarda solo la componente normale (ciò non significa ce la velocità della soluzione debba essere normale al
contorno; in generale, infatti, la componente tangente al contorno sarà diversa da 0).
Nel caso particolare in cui una parte del contorno coincide con un corpo solido fermo, che non permette il passaggio
di fluido attraverso la sua superficie, la condizione su questa superficie diventa omogenea:
(condizione al contorno di non permeabilità). Questa condizione lascia comunque la velocità di avere componenti
tangenti al contorno diverse da 0:
(c’è slittamento del fluido selle pareti dei corpi solidi).
Introdotte le condizioni al contorno, il sistema delle equazioni di Eulero costituirà il seguente problema completo:
Questo problema presenta una particolarità che sembra costituire un paradosso. Se i corpi
e
soddisfano le equazioni e le condizioni del problema e quindi forniscono una sola soluzione, allora anche la coppia
, dove
è una funzione arbitraria, è soluzione nelle medesime equazioni e condizioni
(infatti
, poiché
non dipende da ). Pertanto, data una soluzione del problema delle equazioni di
Eulero incomprimibili, esistono infinite altre soluzioni che differiscono soltanto per il valore di riferimento della
pressione, che può essere scelto arbitrariamente in ogni istante (conseguenza dell’ipotesi di in comprimibilità).
N.B. La funzione additiva
data da
.
non ha alcuna influenza sul moto del fluido perché la forza causata dalla pressione e
Condizioni di compatibilità dei e fra i dati
La presenza del vincolo di incomprimibilità implica che i dati delle condizioni iniziali e delle condizioni al contorno
e
delle equazioni di Eulero incomprimibili non possono essere assegnati in modo del tutto libero e
indipendente l’uno dall’altro. Infatti, a causa dell’incomprimibilità della corrente, la velocità iniziale
deve
soddisfare la condizione di comprimibilità:
.
Ma anche
non può essere scelto in modo completamente arbitrario, infatti, itegrando la condizione al
contorno su tutta la superficie :
e applicando il teorema della divergenza:
Esiste infine un’ulteriore condizione che esprime la compatibilità fra il dato iniziale e il dato al contorno, su
. Quest’ultima condizione di compatibilità ha la forma seguente:
per
L’insieme delle 3 condizioni di compatibilità è dato da:
Nel caso stazionario, non esiste alcun dato iniziale e il valore prescritto sul contorno per la velocità normale non
dipende dal tempo, abbiamo cioè
. Allora avremo solo la condizione di compatibilità globale:
Equazione della quantità di moto con la vorticità
L’equazione della quantità di moto per una corrente incomprimibile può essere scritta in forma alternativa,
introducendo il rotore del campo di velocità, detto vorticità:
.
Mediante l’identità vettoriale:
non lineare:
e sapendo che il termine
, l’equazione della quantità di moto per correnti incomprimibili può essere
scritta:
, sappiamo ora che la forza specifica esterna dovuta al campo
conservativa e passa essere espressa mediante un’energia potenziale specifica , ovvero
L’equazione della quantità di moto diventa:
sia
.
, valida per corrente
incomprimibile di fluido non viscoso sottoposto a un campo di forze di volume esterne conservative.
Teoremi di Bernoulli
-
I teorema di Bernoulli
Ipotesi:
o fluido incomprimibile e con densità uniforme;
o fluido non viscoso;
o forze di campo agenti sul fluido conservative;
o corrente stazionaria

, facendo il rapporto scalare di quest’equazione per un versore
parallelo alla velocità :
, il campo
della velocità
è in ogni punto perpendicolare al gradiente della funzione tra parentesi, allora la
funzione dentro l’operatore gradiente non cambia per spostamenti locali lungo ogni linea di corrente.
Il trinomio di Bernoulli è costante sulle linee di corrente e anche sulle linee di flusso della vorticità.
Pertanto lungo la linea di corrente risulta il teorema della linea di corrente di Bernoulli:
, dove
-
è una costante il cui valore dipende dalla linea di corrente
considerata.
II teorema di Bernoulli
Ipotesi:
o fluido incomprimibile e con densità uniforme;
o fluido non viscoso;
o forze di campo agenti sul fluido conservative;
o corrente stazionaria;
o campo di velocità irrotazionale:

il trinomio di Bernoulli: è costante in tutto il campo di moto

-
il teorema di Bernoulli per correnti irrotazionali, dove
è una costante che non
dipende dalla linea di corrente
III teorema di Bernoulli
Ipotesi:
o fluido incomprimibile e con densità uniforme;
o fluido non viscoso;
o forze di campo agenti sul fluido conservative;
o corrente stazionaria;
o campo di velocità irrotazionale;
o dominio semplicemente connesso
Se il dominio è semplicemente connesso, allora esiste un potenziale cinetico:
, se il potenziale è
sufficientemente regolare posso scrivere:
, il quadrinomio di Bernoulli è
costante in tutto il campo di moto
è il III teorema di Bernoulli
Vorticità
Dato un campo di velocità , il suo rotore si chiama campo di vorticità:
Nel caso di correnti piane:
, allora la sola componente non nulla del vettore
.
Interpretazione della vorticità in 2D: consideriamo un elemento di fluido che si deforma. Qual è la rotazione?
Calcoliamo la rotazione dei lati
e
e ne facciamo la media.
, sapendo che
, facendo il
prodotto vettoriale:
Si procede allo stesso modo per il
:
Quindi otteniamo:
allora
.
. Ma sapendo che la
, ma la vorticità è data da:
la vorticità è il doppio della rapidità con cui ruota la particella di fluido.
,
N.B. Esistono campi di velocità con rotore non nullo che sembrano privi di moto rotatorio, avendo linee di corrente
dritte e, viceversa, esistono campi di velocità con linee di corrente curve e con vorticità nulla. Non vi è alcun legame
tra la vorticità e la forma delle linee di corrente.
Circolazione
La circolazione è la circuitazione della velocità lungo la linea chiusa , ovvero:
, dove è il versore
tangente a l . La circolazione è legata al flusso di vorticità dalla seguente relazione:
Equazione della vorticità
L’equazione di Eulero della quantità di moto è data da:
. Prendendo il rotore
dell’equazione è possibile eliminare il gradiente, ottenendo:
. Usando l’identità:
e sostituendo nell’equazione:
è l’equaizone della vorticità per correnti incomprimibili in assenza di vorticità.
In una corrente incomprimibile non viscosa non esiste alcun meccanismo che permetta il trasferimento di vorticità
tra le particelle diverse del fluido.
Equazione della vorticità in 2D
Nel caso particolare di correnti in 2 D:
e
quindi l’equazione della vorticità per correnti piane sarà:
. Allora:
o anche
,
.
Nelle correnti incomprimibili non viscose in 2D, quando le forze di volume presenti sono conservative, la vorticità
(scalare) di ciascuna particella di fluido si conserva. Nel caso particolare di correnti stazionarie, l’equazione
precedente si riduce a:
per cui la vorticità è costante lungo ciascuna linea di corrente.
Irrotazionalità delle correnti 2D uniformi all’infinito
Nel caso di corrente piana stazionaria incomprimibile di un fluido non viscoso (
) che investe un corpo
cilindrico (supposto di lunghezza infinita in modo che la corrente possa essere descritta da un corpo di velocità 2D in
un piano perpendicolare all’asse cilindrico e con sezione del cilindro di forma qualsiasi), provenendo da una regione
lontana dove essa è uniforme, visto che tutte le linee di corrente provengono dall’infinito, dove è uniforme e
, allora
in qualunque altro punto e quindi la corrente 2D è irrotazionale.
4.
CORRENTI INCOMPRIMIBILI NON VISCOSE IRROTAZIONALI
Irrotazionalità della corrente e potenziale della velocità
Le equazioni di Eulero per correnti incomprimibili di fluidi non viscosi:
Il termine :
Supponendo che la corrente sia irrotazionale:
, che deve valere in ogni punto del campo di moto e
per ogni istante
. In realtà è sufficiente assumere che la vorticità sia nulla nell’istante iniziale
:
in condizioni di regolarità, per una corrente incomprimibile di un fluido non viscoso la vorticità rimarrà nulla in ogni
istante successivo a
La condizione di irrotazionalità
permette un’ulteriore semplificazione, che è permessa quando la regione
in cui si muove il fluido è un dominio semplicemente connesso, ovverosia privo di buchi che trapassano la regione
stessa. Sotto questa ipotesi il campo della velocità irrotazionale
può essere espresso, ad ogni , come il
gradiente di una funzione scalare
, chiamata potenziale cinetico:
Corrente incomprimibile ed equazione di Laplace
La condizione di in comprimibilità diventa:
, che è l’equazione di Laplace per il potenziale
, che deve essere completata da opportune condizioni al contorno. Per una corrente incomprimibile di un fluido
supposto non viscoso, la condizione al contorno da imporre sulla velocità è:
. Questa
condizione come condizione al contorno per il potenziale diventa:
La condizione al contorno che impone il valore sulla derivata normale si chiama condizione di Neumann. La
condizione al contorno che impone il valore dell’incognita sul contorno si chiama condizione di Dirichlet (non
interviene nel caso del potenziale della velocità).
L’equazione di Laplace completa della condizione di Neumann conduce al problema di Neumann: (funzione del
tempo)
Il dato al contorno
deve soddisfare la condizione di compatibilità globale:
affinché una soluzione possa esistere.
Teorema di Bernoulli per correnti non stazionarie
Supponiamo di aver risolto il problema di Neumann, per cui
nell’equazione della quantità di moto al posto di :
è noto. Sostituendo il campo vettoriale
che possiamo scrivere nella forma:
la cui integrazione (in senso spaziale):
che è il III teorema di
Bernoulli o teorema di Bernoulli per correnti irrotazionali potenziali dipendenti dal tempo.
La funzione arbitraria
potrebbe sparire dall’equazione assorbendola nel potenziale , che è definito a meno di
una funzione arbitraria del tempo. L’eliminazione di
è però impossibile nel caso stazionario, per cui conviene
lasciare inalterato il membro di destra, così l’equazione potrà essere specializzata al caso stazionario sostituendo
con una costante .
Ritorno al teorema di Bernoulli per correnti stazionarie
Nel caso di una corrente stazionaria, la velocità normale imposta sul contorno della regione del fluido non dipende
da :
, allora anche il potenziale non dipende da :
, che sarà soluzione del problema di
Neumann:
con il dato al contorno soggetto alla condizione globale
Il teorema di Bernoulli nel caso di corrente irrotazionale potenziale stazionaria:
punto
del fluido, che è il teorema di Bernoulli per correnti irrotazionali quando è possibile scrivere
Tale rappresentazione di una corrente irrotazionale è sempre permessa se il fluido si muove in una regione
semplicemente connessa. La presente versione potenziale del teorema di Bernoulli per correnti irrotazionali richiede
che:
-
la corrente sia stazionaria;
-
dominio semplicemente connesso;
campo di velocità irrotazionale;
fluido non viscoso;
corrente incomprimibile di densità uniforme;
forze di volume conservative.
Coefficiente di pressione (incomprimibile)
Un’applicazione importante del teorema di Bernoulli riguarda le correnti attorno a un corpo fisso quando il campo di
moto e la pressione a grande distanza da esso possono essere considerati uniformi. In tal caso la pressione in tutti i
punti del fluido può essere espressa in forma adimensionale considerando la differenza fra la pressione nel punto e
la pressione lontana dal corpo, dove la velocità è uniforme. Si definisce allora il coefficiente di pressione
dove
è la pressione del fluido nella regione lontana dal corpo e
è la velocità
uniforme del fluido.
è una funzione adimensionale i cui valori sono proporzionali alla differenza fra la
pressione in un punto del fluido e la pressione a grande distanza dal corpo. In particolare, se non esistono forze
esterne, per cui
, la relazione di Bernoulli si può scrivere:
di pressione nella definizione di coefficiente di pressione si ottiene:
delle correnti incomprimibili stazionarie. (
sempre,
e sostituendo il campo
è molto utilizzata nello studio
velocità nulla (punti di ristagno))
Correnti stazionarie 2D attorno a un cilindro circolare
Consideriamo un cilindro di lunghezza infinita e di sezione circolare di raggio ,
investita da una corrente incomprimibile di un fluido di densità uniforme, non viscoso
e avente velocità uniforme e di modulo
a grande distanza dal cilindro, in direzione
normale al suo asse. Consideriamo il caso di corrente stazionaria e irrotazionale.
Scegliamo un sistema di coordinate cilindriche
e prendiamo l’asse diretto
come la velocità del fluido all’infinito, cosicché
. supponiamo che il campo della velocità sia piano:
. Mettendo a sistema le equazioni che esprimono le condizioni di in comprimibilità
e irrotazionalità otteniamo:
che in coord cilindriche diventa:
Queste equazioni devono essere completate dalle condizioni al contorno:
dove
Per risolvere questo problema è conveniente sostituire le due equazioni del primo ordine con una sola equazione del
II ordine. Cerchiamo allora di eliminare l’incognita
che compare nella II equazione. A tal fine deriviamo la II
equazione rispetto a :
, scambiando l’ordine delle 2 derivate parziali:
equazione di II grado nella sola incognita
. Combinando l’equazione con le
sue condizioni al contorno otteniamo il problema:
Risolviamo questo problema lineare utilizzando il metodo di separazione delle variabili. Quindi cerchiamo soluzioni
elementari
dell’equazione per
aventi la seguente forma di prodotto:
. Sostituendo
allora nell’equazione di II grado si ha:
, in cui una funzione della sola
della sola
può essere uguale a una funzione
solo nel caso che entrambe siano costanti con le 2 costanti coincidenti.
Quindi ottengo 2 equazioni differenziali ordinarie:
-
se

per che
non è funzione periodica di periodo
non può essere accettato perché
(discontinuità su )

Quindi la soluzione elementare:
-
costante
nelle 2 costanti
se
: scegliamo
avendo assorbito la
e

-
, non è periodica (discontinua su ) quindi
Quindi la soluzione non è periodica di periodo
di nelle nostre soluzioni.
se
: scegliamo

e deve essere scartata. Non sono ammessi valori negativi
, la soluzione deve essere periodica di periodo
deve essere un intero :

svolgiamo la derivata:
equazione equidimensionale lineare. Le sue soluzioni sono del tipo:
e sostituendo si ha:
, dove per
Quindi la soluzione elementare:
La soluzione generale
sarà la combinazione lineare di tutte le soluzioni particolari:
soluzione generale
per correnti piane esterne (es. per un profilo alare).
Le condizioni al contorno del cilindro erano:
, dalla II condizione al contorno:
poiché
Dalla I condizione al contorno:
e stato assorbito da
Adesso voglio determinare
e da
, sappiamo che:
, svolgiamo la derivata:
, integriamo rispetto a
l’equazione
differenziale:
Per determinare la funzione
usiamo l’equazione che impone l’irrotazionalità del moto:
è il termine
che dà circolazione intorno al cilindro.
Quindi otteniamo:
dove
portanza
è il termine che fa sì che il cilindro sviluppi
è la soluzione generale della corrente
attorno al cilindro non simmetrica che comprende sia la componente simmetrica che il vortice rettilineo ( =intensità
del vortice rettilineo) (corrente simmetrica se
)
Per quanto riguarda il campo di pressione della corrente non simmetrica, esso può essere determinato mediante il II
teorema di Bernoulli (versione valida per correnti irrotazionali):
comporta un aumento della depressione nella zona del fluido sopra il cilindro e una riduzione della
depressione nella zona inferiore. Si ha allora una rottura della simmetria della posizione fra la regione superiore e
quella inferiore per cui il fluido eserciterà una forza trasversale rispetto alla direzione della corrente indisturbata, in
questo caso una portanza.
Teorema della portanza di Kutta-Joukowski
La presenza del vortice rettilineo nella soluzione della corrente irrotazionale non simmetrica (
) è all’origine di
una forza netta che il fluido esercita sul cilindro. Nel caso generale della corrente non simmetrica, la velocità sulla
superficie del cilindro è espressa dalla relazione:
Il teorema di Bernoulli (versione irrotazionale) permette allora di ricavare la pressione sulla superficie del cilindro:
Il coefficiente di pressione relativo alla soluzione non simmetrica:
La presenza del vortice rettilineo nella soluzione non simmetrica comporta un’asimmetria nel campo di moto e della
pressione fra la zona inferiore e quella superiore. Si noti che questa asimmetria della pression intorno al cilindro è
una conseguenza del teorema di Bernoulli. Infatti, quando il vortice ruota in senso orario, la sua velocità sulla
superficie del cilindro nella parte superiore ha lo stesso verso della velocità relativa al contributo simmetrico della
soluzione, per cui i 2 contributi si sommano producendo la velocità massima e quindi la pressione minima.
Veceversa, la velocità del vortice nella parte inferiore ha verso opposto a quella della parte simmetrica causando una
sottrazione dei due contributi per cui la velocità finale sarà minore e quindi la pressione sarà maggiore.
Per determinare la forza agente sul cilindro dobbiamo sommare le forze elementari dovute alla pressione che
agiscono su tutti gli elementi della sua superficie. Essendo noto il moto del fluido identico in ogni passo
perpendicolare all’asse del clindro, possiamo considerare la forza per unità di lunghezza del cilindro. Tale vettore
sarà dato da un integrale semplice lungo la circonferenza
, che rappresenta la sezione della superficie del
cilindro:
2
2
= 02 2 ∞2sin2
∞
sin +12 2 2
sin cos +sin
= 02 2 ∞2sin2
∞
sin2
=
02 2 ∞2sin2
∞
02 sin2
∞
∞
forza
esercitata dal fluido su un tratto del cilindro di lunghezza unitaria
La presenza di un vortice di circolazione in una corrente incomprimibile e irrotazionale genera una componente di
velocità che produce una forza sulla superficie del cilindro. Questa forza ha direzione perpendicolare sia alla
direzione della velocità uniforme
, che all’asse del cilindro e la sua intensità è proporzionale a e . Questa
forza è chiamata portanza se è diretta verso l’alto (vortice circola in senso orario,
) o deportanza se è diretta
verso il basso (vortice circola in senso antiorario,
). La relazione trovata stabilisce quindi che la portanza per
unità di lunghezza è proporzionale alla circolazione (teorema di Kutta-Joukowski).
5.
CORRENTI INCOMPRIMIBILI VISCOSE
Viscosità dinamica e viscosità cinematica
Consideriamo il semplice caso di una corrente cosiddetta di taglia, ovvero di un campo di velocità
piano unidirezionale del tipo:
Per un fluido viscoso il vettore sforzo ha una componente tangente tipicamente diversa da 0. Infatti, la velocità
del fluido nella zona superiore è maggiore di quella del fluido nella zona inferiore per cui il primo tenderà ad
aumentare la velocità del secondo, grazie ad una forza di taglio. A sua volta il fluido nella parte inferiore esercita una
forza sul fluido nella zona superiore, ed essendo la velocità nella zona inferiore più bassa di quella nella zona
superfiore, il fluido tenderà a ridurre la velocità di quella di sopra. Nel caso particolare di fluido viscoso newtoniano,
la componenti di taglio del vettore sforzo è proporzionale alla derivata della velocità, ovvero nel caso
considerato vale la relazione:
, dove
è la viscosità dinamica
e
è la viscosità cinematica
.
(Fluidi newtoniani: legame lineare tra forze viscose e rapidità di deformazione).
Forza di attrito viscoso
Consideriamo un volume di fluido di forma prismatica.
Las componente nella direzione
del vettore sforzo viscoso, che agisce sul fluido contenuto nel volumetto
attraverso la faccia superiore è:
Al contrario, la componente
di agente attraverso la faccia inferiore è:
La forza netta per unità di volume avente direzione
ed agente sulla faccia di superficie
, se
forza lungo la direzione
, parte della componente della
dovuta alla viscosità del fluido.
La componente nella direzione
la faccia
sarà data da:
anteriore è:
del vettore sforzo viscoso che agisce sul fluido contenuto nel volumetto attraverso
, mentre la componente agente attraverso la faccia posteriore è:
Quindi la forza netta per unità di volume avente direzione
e agente sulle facce
sarà:
Da ultimo la componente della velocità potrà variare anche muovendosi lungo la direzione . Esiste un
meccanismo di frenamento viscoso agente sulla velocità del fluido in direzione che si esercita attraverso le due
superfici elementari del volumetto perpendicolari alla direzione , di area
. Nel caso generale comprimibile,
questo frenamento viscoso, che si esercita sul fluido nella stessa direzione lungo la quale varia la velocità, fa
intervenire anche un altro coefficiente di viscosità, diverso da . Tuttavia, nel caso particolare di correnti
incomprimibili, l’effetto di attrito viscoso in direzione parallela alla velocità fa intervenire solo . Il terzo contributo
alla componente
delle
per unità di volume è dato da:
Sommando i tre contributi si ottiene la componente
, caso incomprimibile.
della forza viscosa per unità di volume:
. Il risultato trovato è valido per ognuna delle 3 componenti cartesiane della velocità. Quindi
possiamo scrivere l’espressione vettoriale della forza per unità di volume agente nel fluido in una corrente
incomprimibile:
, corrente
incomprimibile. Dividendo tutto per
, forza viscosa per unità di massa.
Equazioni di Navier-Stokes incomprimibili
Equazione di Navier-Stokes per correnti incomprimibili:
equazione vettoriale e una scalare e 2 incognite
, costituita da una
e .
Il sistema ha tante equazioni quante incognite e quindi può essere risolto una volta completato con le necessarie
condizioni iniziali e condizioni al contorno.
Irrotazionalità nelle correnti viscose
. Dalle tabelle:
. Applicando la stessa proprietà a:
Con la viscosità non è più vero che in un fluido incomprimibile se la vorticità è nulla inizialmente rimane nulla.
Validità dei teoremi di Bernoulli nel caso di correnti viscose
. Usando l’identità:
-
I teorema di Bernoulli
Ipotesi:
o fluido incomprimibile e con densità uniforme;
o fluido non viscoso;
o forze di campo agenti sul fluido conservative;
o corrente stazionaria
 facendo il rapporto scalare di quest’equazione per un versore parallelo alla velocità :
non vale il I teorema di Bernoulli per fluidi viscosi (il trinomio
-
non è costante).
II teorema di Bernoulli
Ipotesi:
o fluido incomprimibile e con densità uniforme;
o fluido non viscoso;
o forze di campo agenti sul fluido conservative;
o corrente stazionaria;
o campo di velocità irrotazionale:

-
il trinomio di Bernoulli: è costante in tutto il campo di moto
vale il II teorema di
Bernoulli per fluidi viscosi.
III teorema di Bernoulli
Ipotesi:
o fluido incomprimibile e con densità uniforme;
o fluido non viscoso;
o forze di campo agenti sul fluido conservative;
o corrente stazionaria;
o campo di velocità irrotazionale;
o dominio semplicemente connesso

vale il III teorema di Bernoulli per fluidi viscosi.
Condizione iniziale e condizione al contorno
Nelle equazioni di Navier-Stokes è necessario specificare solo una condizione iniziale (vettoriale):
La condizione al contorno consiste nello specificare il vettore velocità
.
su tutta la frontiera:
Nel caso in cui parte del contorno coincide con un corpo solidale fermo che non permette né il passaggio del fluido
attraverso la sua superficie né lo scivolamento del fluido su di esso, la condizione al contorno per la velocità su
questa parte del contorno diventa: :
Una volta completato delle condizioni iniziali e delle condizioni al contorno, il problema di Navier-Stokes costituirà
un problema completo:
Condizioni di compatibilità dei e fra i dati
Essendo la corrente incomprimibile, la velocità iniziale deve soddisfare la condizione di compatibilità:
Ma anche il dato al contorno
non può essere scelto in modo completamente arbitrario. Infatti, integrando
su tutta la superficie la componente normale della velocità
Utilizzando il teorema della divergenza:
Infatti, esiste un’ulteriore condizione che esprime la compatibilità tra il dato iniziale e il dato al contorno su
e per
Nei problemi stazionari non esiste un dato iniziale, per cui esiste la sola condizione di compatibilità:
.
Equazioni adimensionali: il numero di Reynolds
Vogliamo adimensionalizzare le equazioni di Navier-Stokes:
Usiamo il II teorema di Buckingham:
, dove
è la lunghezza caratteristica del sistema
ed la velocità caratteristica del fluido, che è funzione di
variabili esprimibili in termini
quantità
(grandezze) fisiche fondamentali (
) ed è quindi, secondo il teorema di pi greco, esprimibile come una
funzione di
variabili adimensionali.
Per adimensionalizzare il problema servono delle grandezza di riferimento. Abbiamo 3 grandezze fondamentali
e quindi ci serviranno 3 grandezze di riferimento e scegliamo
.
La prima equazione di Navier-Stokes ha dimensione:
1)
dove
, mentre la seconda ha dimensione
è la velocità adimensionalizzata. La divergenza di
, per cui:
è:
e
quindi se definiamo delle lunghezze adimensionali:
Quindi:
e perciò otteniamo:
, I equazione adimensionalizzata.
2) Devo dividere per la grandezza di riferimento:
.
Definiamo la pressione adimensionale come
Adesso prendiamo il primo termine di sinistra:
e definiamo il tempo adimensionale come
e quindi:
Adesso prendiamo il secondo termine di sinistra:
L’ultimo temine a sinistra:
. Sapendo che
quindi scrivendo:
.
Quindi il sistema adimensionalizzato diventa:
equazioni di Navier-Stokes
in forma adimensionale.
Se i domini di definizione sono identici ma opportunamente scalati, se le condizioni al contorno sono identiche ma
opportunamente scalate e i numeri di Reynolds sono uguali, la soluzione deve essere la stessa. (Nel caso
comprimibile serve anche il numero di Mach).
Se
avremo correnti uguali in situazioni diverse quando abbiamo
comprimibile) devono essere uguali sia
che e comanda .
uguali, mentre se
(caso
Soluzioni esatte per correnti stazionarie parallele
Ipotesi:
-
Fluido incomprimibile a proprietà costanti (
trascurabili;
Moto bidimensionale;
Velocità diretta come
);
Le equazioni diventano:
Dalle condizioni di in comprimibilità otteniamo che:
Dalla 2° equaz otteniamo:
è un’equazione del tipo
indipendenti, allora la relazione può essere soddisfatta solo se
coincidono. Definiamo:
, ma
e
e
sono variabili
sono entrambe costanti e le loro costanti
il gradiente di pressione in direzione
, il fluido è sempre spinto nella direzione in cui
diminuisce. La pressione lungo l’intercapedine fra le due lastre avrà andamento lineare, infatti, integrando:
, dove è una costante arbitraria; mentre la velocità
tra le due piastre dovrà soddisfare
l’equazione differenziale ordinaria:
assieme alle condizioni al contorno sulle 2 lastre.
1) Corrente di Couette piana
Ipotesi:
. Le condizioni al contorno sono:
, integrando due volte l’equazione differenziale otteniamo:
, per cui la soluzione è:
Il vettore sforzo viscoso nel fluido su una superficie parallela ai piani delle
lastre sarà:
relazione valida per correnti
incomprimibili, che esprime la forza per unità di area causata dall’attrito viscoso che il fluido da una parte di
una superficie esercita attraverso di essa sul fluido posto dall’altra parte. Sapendo che una superficie
parallela ai piani, la normale uscente
e sostituendo
, otteniamo:
otteniamo:
2) Corrente di Poiseuille piana
Ipotesi:
o
Lastre ferme
o
In questo caso il problema da risolvere è:
con le condizioni al contorno:
, integrando due
volte l’equazione differenziale otteniamo:
per cui la soluzione è:
. Se
il profilo di velocità è:
Il vettore sforzo viscoso associato alla direzione :
e ha andamento lineare con .
3) Corrente ibrida di Couette-Poiseuille
Ipotesi:
o Lastra superiore in movimento
o

con le condizioni al contorno:
. La
soluzione è:
Corrente di Poiseuille in un tubo a sezione circolare
Ipotesi:
-
Fluido incomprimibile a proprietà costanti
Moto stazionario
Il moto stazionario del fluido sarà governato dalle equazioni:
Dalla 1° equazione (in coordinate cilindriche):
assiale
Dalla 2° equazione (in coordinate cilindriche):
e per simmetria
Dalla componente rispetta a
, dalla componente rispetto a
e dalla componente
rispetto a , sapendo che
, che è un’equazione nella forma
, per cui essendo e due variabili indipendenti, le funzioni
costanti devono coincidere.
Definiamo:
e
devono essere costanti e le
il gradiente di pressione nella direzione , quindi il problema diventa:
,
integrando due volte otteniamo:
Abbiamo una condizione al contorno:
(solo 1 perché
non è un contorno) e imponiamo che
affinché la soluzione sia limitata (condizione di regolarità della corrente)
. Per cui la soluzione è:
profilo parabolico
Determiniamo la portata nel cilindro:
Lo sforzo viscoso agente sulla parete del cilindro sarà:
-
Sforzo di pressione agente sulle 2 pareti è:
-
Sforzo viscoso sulla superficie laterale è:
Le due forze si devono equilibrare:
fluido (quello che agisce sulla parete è
lo sforzo che agisce sul
perché il versore sarà
)
Avremo potuto calcolare gli sforzi anche in questo modo: dalla definizione di vettore sforzi:
dove
perché stiamo calcolando lo sforzo che agisce sul fluido (se stessimo calcolando lo sforzo agente
sul cilindro avremmo
). Usando le tabelle scriviamo:
sapendo che:
e
lo sforzo esercitato dal tubo sul fluido.
Adesso calcoliamo il coefficiente di perdita di carico. Una perdita di carico distribuita è definita come:
, sapendo che
(stiamo prendendo per convenzione un flusso che segue , ovvero
la pressione diminuisce lungo il tubo)
dove
Corrente lungo un piano inclinato causata dalla gravità
Ipotesi:
-
Moto stazionario
Fluido incomprimibile a proprietà costanti
-
(linee di corrente dirette come )
Le equazioni di Navier-Stokes che governano il moto del fluido viscoso sono:
dove
Dall’equazione di conservazione della massa:
Scriviamo le equazioni della quantità di moto:
Dalla 2° ricaviamo:
, dove la costante è una funzione costante perché si tratta di
un’equazione alle derivate parziali, e sostituendo il valore di
abbiamo
, quindi
nella 1° otteniamo:
, per cui
deve essere una costante.
Utilizzando la condizione al contorno sul pelo libero:
. Quindi otteniamo:
, dove
altrimenti non tornerebbe l’andamento della pressione. Tornando nella 1°:
è negativo
e integrando due volte:
e con le condizioni al contorno:
.
Il profilo di velocità è parabolico e raggiunge la velocità massima sulla superficie del
pelo libero.
Soluzioni esatte per correnti parallele dipendenti dal tempo
Traslazione istantanea di una lastra piana : I problema di Stokes
Ipotesi:
-
Fluido incomprimibile
Campo di moto piano:
(linee di corrente dirette come )
Le equazioni di Navier-Stokes non stazionarie per correnti bidimensionali sono:
Dall’equazione di conservazione della massa:
.
Supponiamo adesso che il moto del fluido sia causato dal moto della lastra, ovvero che il gradiente di pressione sia
nullo. Scriviamo la componente della quantità di moto lungo :
, che deve essere corredata dalle condizioni iniziali e condizioni al contorno:
∞
Per risolvere il problema dobbiamo individuare il tipo di legame esistente tra le variabili indipendenti
della
soluzione particolare ricercata. Procediamo adimensionalizzando la velocità:
Usiamo il teorema pi greco:
, funzione di
fondamentali
variabili adimensionali.
variabili esprimibili secondo
grandezze
Introduciamo allora la variabile si similitudine adimensionale:
Ci conviene quindi scegliere
, ottenendo:
Adesso sostituendo tutto nell’equazione adimensionalizzata:
equazione differenziale ordinaria
Possiamo scrivere
e ridurre l’ordine dell’equazione:
ed
integrando:
Tornando a:
e integrando:
dove possiamo determinare
imponendo le condizioni al contorno:
Quanto vale
? Facciamo un cambio di variabili:
Quindi dall 2° condizione al contorno:
, otteniamo quindi:
e ponendo
I profili di velocità
tempo
la velocità
, dove
a istanti di tempo differenti sono tutti geometricamente simili. Al
è funzione di
e al tempo
la velocità è funzione di
. La sola
e
cosa che accade al crescere del tempo è che il profilo della velocità risulta dilatato nello spazio di un coefficiente pari
a
. In altre parole, la soluzione in istanti di tempo differenti assume gli stessi valori ma essi sono distribuiti
sull’asse
in modo sempre più dilatato.
Ritornando ad esaminare la soluzione similare trovata, al tempo , gli effetti del momento istantaneo della lastra
sono limitati prevalentemente ad una distanza dell’ordine di
da esso. Un modo alternativo per interpretare
questo processo è in termini della diffusione di vorticità. Nel problema piano considerato la distribuzione della
vorticità nello spazio e nel tempo è data dalla funzione:
, che tende a zero
esponenzialmente altre una distanza dalla lastra dell’ordine di
. La diffusione della vorticità a causa dell’azione
viscosa distribuisce in modo sempre più uniforme lo strato di vorticità iniziale, ovvero rende sempre più piatta la
concentrazione infinita della vorticità iniziale (esistente in vistù della discontinuità tra la condizione al contorno
per
e la condizione iniziale
per
), mentre la vorticità è nulla inizialmente in tutto il
fluido (la condizione iniziale
per
implica
).
Traslazione oscillatoria di una lastra : II problema di Stokes
Supponiamo di porre in movimento la lamina con un moto oscillatorio in direzione con velocità:
dove
è una costante e la pulsazione del movimento della parete, legata alla frequenza, che rappresenta il numero di
oscillazioni al secondo, dalla relazione
.
Ipotesi:
-
Fluido incomprimibile
Campo di moto piano:
Linee di corrente dirette come :
Gradiente di pressione nullo (pressione uniforme:
)
Condizione al contorno:
Le equazioni di Navier-Stokes per correnti stazionarie bidimensionali sono:
Dalla 1° equazione:
Scriviamo la componente della quantità di moto rispetto a :
Adimensionalizziamo la velocità:
funzione di
variabili esprimibili secondo
funzione di
variabili adimensionali:
. Usiamo il teorema di Buckingham:
grandezze fondamentali
è quindi esprimibile come una
(la soluzione è funzione di 2 variabili)
Riscrivendo quindi l’equazione:
equazione lineare (l’operatore laplaciano è
lineare)
Per integrarlo utilizziamo la tecnica di separazione delle variabili:
devono essere costanti
Possiamo riscrivere queste equazioni come un sistema di 2 equazioni differenziali ordinarie del I ordine e del II
ordine:
. Integriamo la 1° equazione:
,
mentre integrando la 2° equazione:
dove
La soluzione elementare del problema è:
mentre la soluzione completa
sarà combinazione delle soluzioni elementari:
condizione al contorno:
, imponendo la
e trovo che:
. La soluzione completa diventa:
. Adesso dobbiamo determinare
e sempre dalla stessa condizione al contorno:
Adesso determiniamo quanto vale
e
:
e sostituendo
nell’equazione di
per ottenere la soluzione devo tornare alle variabili dimensionali e sapendo che:
e
, quindi la velocità si “smorza” allontanandosi dalla parete che oscilla.
Soluzioni esatte per correnti in geometria cilindrica
Corrente di Couette tra superfici cilindriche in rotazione
Ipotesi:
-
Moto piano e stazionario
Velocità diretta come (le linee di corrente sono delle circonferenze concentriche)
solo
per simmetria assiale
-
longitudinale nullo:
, ma la simmetria unita alla periodicità di
ci dice che
Le equazioni di Navier-Stokes sono:
La prima equazione in coordinate cilindriche diventa:
. Adesso scriviamo la componente
non dipende da
dell’equazione della quantità di moto:
,
dove
e integrando trovo:
. Abbiamo 2 condizioni al contorno:
, dalle quali otteniamo:
soluzione diventa:
. Quindi la
, dove
Se le velocità angolari il moto è rigido (i cilindri si muovono solidali tra loro e il fluido si muove solidale con loro). Se il
moto rigido è nullo, il moto è puramente irrotazionale.
Decadimento di un vortice rettilineo
Supponiamo di avere un campo di velocità iniziale costituito da un vortice rettilineo:
, dove
è una costante. Il vortice ha una vorticità nulla
, ma vorticità infinta in
In un fluido viscoso questo
vortice non può persistere: la vorticità tenderà a diffondersi verso l’esterno al crescere del tempo.
Scriviamo le equazioni di Navier-Stokes (sempre sotto l’ipotesi di
e
):
∞
Condizione iniziale:
Condizioni al contorno:
Ipotesi:
-
La soluzione resta piana
Le linee di corrente restano delle circonferenze:
Scriviamo
:
.
quindi
non dipende da
(lo si poteva ipotizzare
per simmetria)
Dall’equazione
scriviamo la componente rispetto a :
, dove
somiglia ad una circolazione, infatti
Quindi possiamo scrivere:
Adimensionalizziamo:
1
=0 , che è una funzione
,;
, ed usando il teorema di Buckingham è possibile esprimerlo come una
funzione di una scala adimensionale:
dove scegliamo come variabile similare:
Riscrivendo l’equazione completa:
e scegliendo
otteniamo:
Integrando una volta:
equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti non omogenea.
Dobbiamo prima risolvere l’omogenea associata:
. L’integrale particolare è una costante: . Quindi la soluzione completa sarà:
dove
che è soggetta a due condizioni al contorno:
ma
Vortice di Rankine (approssimazione lineare al centro)
∞
Questo modello nel tempo ha una “a” che cresce (diffusione del vortice) e il
picco scende e si sposta verso destra.
Viscosità nei fluidi reali (comprimibili)
Siccome nello spazio tridimensionale le direzioni indipendenti sono 3, l’azione interna tra le particelle del fluido sarà
rappresentata da 3 vettori distinti, ciascuno associato ad una direzione indipendente.
Con la relazione di Cauchy possiamo scrivere il vettore sforzo viscoso:
è la formula di Cauchy , dove
sono le componenti del versore lungo
(scalari),
sono le componenti vettoriali del
tensore, è il tensore degli sforzi viscosi. Più precisamente, rappresenta la forza per unità di area relativa alle 3
diverse orientazioni nello spazio. Precisamente una colonna del tensore rappresenta la forza per unità di area che
si esercita attraverso una superficie elementare
la cui normale è nella direzione corrispondente alla colonna
considerata (è un tensore simmetrico). In coordinate cartesiane:
Tensore rapidità di deformazione
Consideriamo due punti vicini tra loro e
, entrambi appartenenti al campo di moto. Quindi la differenza tra
le velocità dei due punti vicini
contiene sia le informazioni relative alla rapidità di rotazione sia
quelle relative alla rapidità di deformazione del fluido (roto-deformazione). Quindi il problema consiste nell’estrarre
dal campo di velocità soltanto la parte relativa alla rapidità con cui si deformano le particelle (la rotazione è definita
dalla vorticità:
). Esprimendo la velocità nel punto
per mezzo dello sviluppo in serie di Taylor della
velocità nell’intorno del punto e troncando la serie ai termini infinitesimi del primo ordine otteniamo:
dove
è il tensore del gradiente della
velocità
che descrive la rotodeformazione in un punto. Dobbiamo quindi estrarre dal tensore la parte
relativa soltanto al rapporto di deformazione:
dove è il tensore che descrive la rapidità di rotazione.
Consideriamo quindi un campo di velocità puramente rotatorio e quindi rigido con velocità angolare e sia un
punto appartenente all’asse di rotazione. La differenza della componente rotatoria della velocità tra i due punti
risulta:
. Sapendo che:
. Quindi svolgendo:
dove
antisimmetrico
è il tensore velocità angolare,
. Adesso possiamo ricavare
il tensore di
rapidità di deformazione:
Ogni tensore può essere scomposto nella somma di un tensore simmetrico e di un tensore antisimmetrico:
dove
dove
dove
descrive la rapidità di
deformazione di un fluido.
Nei fluidi newtoniano abbiamo un legame lineare tra forze viscose e rapidità di deformazione e quindi un legame
lineare tra e . Dobbiamo quindi scrivere che il tensore è proporzionale a (
):
dove
è il tensore doppio delle costanti di proporzionalità. Abbiamo dunque 81 componenti (incognite) ma i
tensori sono simmetrici e le componenti diventano 36. Considerando poi l’isotropia del fluido le componenti si
riducono a 2. Sono quindi sufficienti solo 2 coefficienti scalari per caratterizzare il legame lineare tra i due tensori
simmetrici e e tale legame assume la forma:
dove è il coefficiente di viscosità di taglio, è
il coefficiente di viscosità di dilatazione e è il tensore identità.
Vettore sforzo viscoso relativo ad una superficie
Il vettore sforzo viscoso relativo ad una superficie con normale generica
sia noto il tensore degli sforzi viscosi è:
in un punto di campo di moto
di cui
Forza di attrito viscoso
La forza viscosa per unità di volume
agenti sulla sua superficie:
si ottiene considerando un volumetto di fluido e sommando tutte le forze
.
Forze viscose nelle correnti incomprimibili
Se la viscosità di taglio può essere considerata costante, allora
all’operatore di rotore e
diventa:
comprimibilità,
ed inoltre può essere portata fuori
. Introducendo l’ipotesi di
e usando l’identità
Il vettore sforzo viscoso relativo ad una determinata direzione , per correnti incomprimibili, è dato da:
.
CORRENTI TURBOLENTI
Un flusso turbolento è caratterizzato da linee di corrente formate da curve estremamente complicate e un campo di
moto fortemente instazionario.
Il susseguirsi di instabilità, all’aumentare del numero di Reynolds, caratterizzano la transizione alla turbolenza. Le
fasi, che corrispondono a numeri di Reynolds crescenti sono:
-
Instabilità del flusso stazionario piano a perturbazioni piane non stazionarie con formazione di un flusso
periodico o quasi periodico, ossia caratterizzato da due frequenza non commensurabili;
Instabilità del flusso non stazionario piano a perturbazioni tridimensionali, con la formazione di una corrente
tridimensionale e non stazionaria;
Transizione alla turbolenza attraverso l’instabilità successiva delle strutture vorticose più grandi con la
formazione di strutture vorticose sempre più piccole all’aumentare del numero di Reynolds.
Il primo e il secondo tipo di instabilità possono verificarsi anche in ordine inverso, cioè si può avere prima
un’instabilità a perturbazioni tridimensionali e, per numeri di Reynolds più alti, un’instabilità a perturbazioni
dipendenti dal tempo.
Una corrente turbolenta completamente sviluppata è caratterizzata da alcune proprietà tipiche:
-
Comportamento caotico e imprevedibile delle grandezze puntuali istantanee: incapacità di prevedere
l’evoluzione di un sistema pur conoscendo le condizioni al contorno e le condizioni iniziali;
Tridimensionalità;
In stazionarietà;
Rotazionalità:
, cioè vorticità
ma non tutti i moti rotazionali sono turbolenti
Forte rimescolamento: all’aumentare del mescolamento aumenta la turbolenza e quindi anche gli sforzi di
taglio e la resistenza. Il mescolamento introduce degli sforzi di taglio che portano ad una perdita di carico.
Possiamo analizzare l’origine della turbolenza dal punto di vista matematico osservando che nelle equazioni di
Navier-Stokes, al crescere del numero di Reynolds il peso del termine non lineare, che rappresenta il termine
inerziale, tende a crescere rispetto al peso viscoso. Mentre, per equazioni di tipo lineare ben poste è lecito
attendersi l’unicità della soluzione, nel caso in cui la nonlinearità delle equazioni diventi importante è possibile che le
soluzioni diventino molteplici, con cambiamenti della natura della soluzione all’aumentare del peso dei termini
nonlineari all’interno delle equazioni. È lecito attendersi quindi che al crescere del numero di Reynolds la natura dei
fenomeni fluidodinamici cambi radicalmente, con lo sviluppo di correnti instabili e turbolente.
Le scale della turbolenza
L’instabilità della corrente procede partendo dalla formazione di strutture vorticose che hanno una dimensione,
anche detta scala spaziale, paragonabile alle dimensioni tipiche della corrente. Successivamente, le strutture
vorticose di grande scala divengono a loro volta instabili, producendo strutture di scala più piccola e così via
producendo strutture di scala sempre più piccola fino a quando la dimensione delle strutture turbolente diviene
talmente piccola da far divenire importante la dissipazione viscosa. Questo fenomeno di instabilità successive viene
detto cascata di energia, caratterizzata da 3 elementi:
1) Il processo di instabilità ha inizio alle grandi scale della corrente (scale energetiche);
2) Attraverso instabilità successive l’energia viene trasferita dalla grandi scale alle piccole scale (scale inerziali);
3) La dissipazione energetica avviene alle piccole scale, dove la viscosità del fluido gioca un ruolo importante
(scale dissipative).
Grazie alla teoria di Kolmorov e all’analisi dimensionale è possibile stimare l’ordine di grandezza delle scale di
lunghezza, velocità e tempo delle strutture turbolente che caratterizzano la turbolenza e come essi dipendano dal
numero di Reynolds. Iniziamo con l’identificare le strutture più grande della turbolenza. Detta una dimensione
caratteristica rilevante per il campo di moto in questione, le strutture più grandi avranno una dimensione dello
stesso ordine di grandezza e saranno caratterizzate da una velocità confrontabile con il modulo della velocità tipica
della corrente. Chiamiamo queste scale scale energetiche poiché qui è contenuta gran parte dell’energia cinetica
turbolenta.
Il numero di Reynolds associato alle strutture più grandi,
, sarà quindi grande, essendo dello stesso ordine di
grandezza del numero di Reynolds della corrente ed essendo la corrente turbolenta. Utilizzando l’analisi
dimensionale possiamo stimare l’ordine di grandezza dell’energia cinetica per unità di massa associata a queste
strutture,
, e la relativa scala di tempo ,
, quindi la produzione di energia turbolenta sarà:
.
La trasformata di Fourier
Si tratta di uno strumento utile allo studio delle equazioni differenziali, sia ordinarie che a derivate parziali, e nello
studio della turbolenza. Essa è definita come:
Consiste quindi in un cambiamento di variabile da a che permette di riscrivere una funzione integrabile come
combinazione lineare di funzioni sinusoidali i cui coefficienti sono rappresentati dalla funzione
. Infatti la
trasformata inversa di Fourier si scrive:
è combinazione linearedi funzioni sinusoidali di pulsazione
, dove
il cui coefficiente è
. Nel caso spaziale, in cui
la variabile indipendente è la posizione , la trasformata diventa:
, dove
rappresenta il numero d’onda vettoriale, che è legato in ogni direzione alla lunghezza d’onda della sinusoide
dalla relazione
, dove
è la lunghezza d’onda della sinusoide nella i-esima direzione.
La teoria di Kolmogorov (si applica alla turbolenza in equilibrio, produzione di energia
-
energia dissipata)
Ipotesi dell’isotropia locale  per numeri di Reynolds sufficientemente alti, i moti turbolenti di piccola scala,
cioè per
, sono statisticamente isotropi (piccola scala si può scrivere anche
, dove è l’energia
turbolenta per unità di massa:
Definendo
-
dove
è detto fluttuazione.
il numero d’onda,
)
Prima ipotesi di similarità  in ogni flusso turbolento, a numero di Reynolds sufficientemente alto, le
proprietà statistiche dei moti di piccola scala (scale dissipative), hanno una forma universale, che è
determinata univocamente dalla viscosità e dalla dissipazione energetica .
Le prime 2 ipotesi permettono di stimare le dimensioni delle sole scale dissipative. La scala di lunghezza della
scala dissipativa è:
. Utilizziamo l’analisi dimensionale:
, ma sapendo che
dove
dipende dalle grandezze delle grandi
scale (si ha produzione di energia alle scale energetiche)
. Analogamente:
Il numero di Reynolds alle scale dissipative:
in cui la viscosità assume un ruolo
predominante. Il rapporto tra le scale dissipative e le scale energetiche è:
-
Seconda ipotesi di similarità  in ogni flusso turbolento, a numeri di Reynolds sufficientemente alti, le
proprietà statistiche dei moti alle scale (scale inerziali), compreso tra la scala dissipativa e la scala della
produzione , hanno una forma universale che è determinata da ed è indipendente da . Adesso
determiniamo le dimensioni delle scale inerziali, utilizzando l’analisi dimensionale:
(non sono in
grado di costruire un gruppo adimensionale a partire da una
e quindi non sono in
grado di scrivere una lunghezza a partire da ).
Scriviamo quindi
dove
è la densità di energia turbolenta corrispondente al
numero d’onda
e quindi alle strutture di dimensione
(scale inerziali), con
il modulo del numero
d’onda vettoriale.

Caratterizzazione di variabili, processi e campi aleatori
La turbolenza non è un fenomeno deterministico, quindi assegnato un campo di moto con tutte le condizioni iniziali
e le condizioni al contorno opportune, non siamo in grado di prevedere l’evoluzione nel tempo delle grandezze
fluidodinamiche all’interno del campo. Questi fenomeni aleatori sono spiegabili con l’instabilità e la sensibilità alle
condizioni iniziali e al contorno, per numeri di Reynolds sufficientemente elevati, dalle equazioni di Navier-Stokes:
una piccola perturbazione è in grado di modificare sostanzialmente la soluzione. Non siamo quindi in grado di
prevedere con certezza il campo di moto al variare del tempo.
Data la natura aleatoria del fenomeno, per studiare la turbolenza ci possiamo avvalere degli strumenti matematici
propri della statistica.
Diamo a il nome di variabile aleatoria. Per caratterizzare la variabile aleatoria ci avvaliamo della funzione densità
di probabilità,
,in senso statistico, poiché, assegnato un valore ,
rappresenta la probabilità che il
valore della variabile sia contenuto in un intorno di ampiezza
e centrato in
:
Proprietà della funzione densità di probabilità
-
;
;
Per il calcolo del valore media si effettua il prodotto della probabilità per la variabile e si integra sull’intervallo dei
valori possibili:
Analogamente, il valore medio di una funzione della variabile aleatoria , si calcola:
L’operatore di media è un operatore lineare:
L’operatore di media applicato al valore medio restituisce il valore medio stesso:
Definiamo fluttuazione della variabile aleatoria
come:
(si vede subito che
)
Invece di considerare una sola componente del vettore velocità in un punto in un determinato istante, possiamo
considerare due componente,
e , ciascuna caratterizzata da una propria funzione densità di probabilità
e
rispettivamente. Ciascuna delle due componenti costituisce una variabile aleatoria, ma ciascuna non è
indipendente dall’altra poiché sono entrambe frutto di un medesimo fenomeno. Diremo allora che le due variabili
sono variabili aleatorie congiunte e indichiamo con
la funzione densità di probabilità congiunta delle
variabili
e . In questo cosa il prodotto
rappresenta la probabilità che, nel punto e nell’istante
prescelto, le variabili
e
assumono un valore contemporaneamente contenuto nell’intorno di e di
ampiezza
e
rispettivamente.
Nel caso delle equazioni di N-S avremo la densità di probabilità di un campo di velocità
, ma per
caratterizzare statisticamente in modo completo un intero campo di moto è necessario una grande mole di
informazioni che solitamente non è disponibile.
Le equazioni mediate della turbolenza
Utilizzando la teoria di Kolmogorov possiamo stimare la quantità di numeri a virgola mobile (punti di griglia)
necessari. Affinché la descrizione spaziale sia sufficientemente fine dobbiamo assicurare che la distanza tra due punti
che compongono la discretizzazione sia sufficientemente piccola da permettere di descrivere compiutamente le
scale più piccole della turbolenza, ossia le scale dissipative. Supponiamo quindi di costruire una griglia equispaziata
nelle 3 direzioni e che sia
la distanza tra due punti successivi nelle 3 direzioni. Possiamo assumere
ragionevolmente
(dimensione scale dissipative). Il numero di punti da utilizzare in ciascuna dimensione sarà
allora:
. Per quanto riguarda la discretizzazione temporale, ossia il numero di istanti di tempo per i quali
dobbiamo conoscere il valore delle variabili, anche in questo caso possiamo assumere:
numero totale di numeri a virgola mobile necessari per la discretizzazione sarà:
. Il
.
Tenendo conto che dal punto di vista ingegneristico,
non sono considerati particolarmente alti, in questo
caso atterremo
è necessario trovare metodi che permettono una descrizione più sintetica dei flussi
turbolenti.
Le equazioni mediate di Reynolds
Tutte queste informazioni però a noi non interessano. Scegliamo quindi di utilizzare un modello matematico meno
ricco di informazioni nello spazio e nel tempo. La media delle equazioni di N-S:
Sfruttando l linearità dell’operatore di media e la sua intercambiabilità con gli operatori di derivata, otteniamo:
Per quanto riguarda la 1° equazione, sappiamo che il tensore non lineare deriva da:
dove
ma sapendo che
e
applicandolo nel prodotto tensoriale:
L’equazione diventa:
dove
Si nota che l’energia turbolenta è:
e definiamo
il tensore isotropo:
, che era la stessa traccia di
Definiamo tensore degli sforzi di Reynolds o tensore degli sforzi turbolenti:
che differisce da
quello più propriamente detto per il segno sia per essere stato reso a traccia nulla (in analogia a quello degli sforzi
viscosi). Riscriviamo quindi le equazioni come:
e definiamo:
.
Otteniamo le equazioni mediate di Reynolds:
in cui si hanno 4
equazioni in 4+6 (6 componenti indipendenti del tensore) incognite.
Flussi da parete (praticamente unico utilizzo delle equazioni mediate di Reynolds)
Ipotesi:
-
Flusso in media stazionaria:
, non possiamo ipotizzare che la velocità sia stazionaria perché il
moto è turbolento ma possiamo ipotizzare che la velocità media sia stazionaria;
Moto piano:
;
Moto unidirezionale:
;
Velocità media sia funzione solo di
Consideriamo ora le equazioni mediate di Reynolds:
Dall’equazione della massa:
parete
, per la condizione di non penetrazione della
. Adesso consideriamo l’equazione della quantità di moto, prendiamo quindi la componente
rispetto a :
. Integrando una volta otteniamo:
bordo di non penetrabilità,
e grazie alla condizione al
. adesso derivando rispetto a
l’equazione:
è il gradiente di pressione
medio in direzione
(è uniforme in direzione )
Quindi l’equazione
possiamo scriverla:
Adesso scriviamo la componente rispetto a
dell’equazione della quantità di moto:
. Derivando
l’equazione rispetto a
otteniamo:
(
non dipende da ). Quindi riscriviamo
l’equazione in questo modo:
Ci servono delle condizioni al contorno: chiamiamo
lo sforzo a parete che agisce sulla parete inferiore:
La condizione al contorno sulla parete superiore sarà –
Otteniamo quindi:
lo sforzo turbolento che comprende sia la parete laminare che la parete
turbolenta.
Abbiamo ottenuto così una relazione che esprime lo sforzo in funzione della coordinata . In assenza di altre
considerazioni però questa relazione non ci permette di determinare un profilo di velocità. Infatti, lo sforzo è somma
di un contributo viscoso legato al profilo di velocità più un contributo dovuto agli sforzi turbolenti che non siamo in
grado di conoscere a priori. Se ci limitiamo alla zona vicina alla parete, possiamo determinare il profilo di velocità per
mezzo dell’analisi dimensionale. Molto vicino alla parete lo sforzo tangenziale sarà dato da:
conosciamo la velocità:
.
e in più
Sviluppando in serie di Taylor:
Adimensionalizziamo questa espressione (incognita è
riferimento, quindi introduciamo
, variabile indipendente è ). Ci servono 2 grandezze di
velocità di attrito:
Quindi procediamo all’adimensionalizzazione:
Questa relazione è ben verificata per
. Quindi si definisce: SUBSTRATO VISCOSO:
Adesso utilizziamo l’analisi dimensionale per dire qualcosa della corrente un po’ più lontano dalla parete.
Allontanandosi dalla parete e uscente dal substrato viscoso possiamo ipotizzare che, laddove vi è molto
rimescolamento a causa delle fluttuazioni turbolente della velocità, l’importanza della viscosità sia minore e quindi in
realtà facendo l’analisi dimensionale:
. Quindi in questo caso siamo in grado di costruire un solo
gruppo dimensionale che deve quindi essere costante:
In questa equazione stiamo mischiando grandezze dimensionali con grandezze adimensionali, quindi procedendo
all’adimensionalizzazione di
)
prima di integrare:
(sapendo che:
(dove
costante di Kàrmàn)
I modelli di turbolenza per la chiusura delle equazioni mediate di Reynolds
Nelle equazioni mediate di Reynolds tutti gli effetti dovuti alla turbolenza sono confinati all’interno del tensore degli
sforzi di Reynolds , essendo tutti gli altri termini esattamente identici a quelli presenti nelle equazioni di NavierStokes. Tuttavia questo non risolve il problema di determinare il flusso medio. Infatti allo stato attuale della
conoscenza, non è possibile ricavare il tensore degli sforzi di Reynolds a partire dalla conoscenza del flusso medio.
Affinché le equazioni mediate siano di qualche utilità, utilizziamo dei modelli di turbolenza in grado di ricavare gli
elementi del tensore degli sforzi di Reynolds a partire dal campo medio di velocità e pressione, in modo da ottenere
un sistema di equazioni con pari numero di equazioni e di incognite.
In termini delle equazioni mediate di Reynolds, che esprime gli sforzi turbolenti, è simile a quello che esprime gli
sforzi viscosi. L’idea di Boussinesq è quella di approssimare il tensore degli sforzi di Reynolds come prodotto tra la
rapidità de deformazione del campo medio e di un coefficiente di viscosità turbolenta , cioè di riscrivere il tensore
degli sforzi di Reynolds in maniera analoga a quella del tensore degli sforzi viscosi.
: questo tipo di approssimazione permette una notevole
semplificazione del problema iniziale, poiché si riduce le 6 incognite aggiuntive (costruite dalle componenti scalari
indipendenti del tensore degli sforzi) alla sola variabile . La semplificazione introdotta è piuttosto cruda e
l’analogia tra la diffusione della quantità di moto a causa dell’agitazione molecolare e la diffusione della quantità di
moto a causa delle fluttuazioni di velocità in un modo turbolento presenta evidenti limiti. Il limite principale è
costituito dal fatto che nel caso della diffusione molecolare vi è una netta separazione tra le scale su cui avvengono i
fenomeni di diffusione, nell’ordine del libero cammino medio delle molecole, e le scale su cui avvengono i fenomeni
fluidodinamici che ci interessano, se è valida l’ipotesi del continuo e il numero di Knudsen è sufficientemente
piccolo. Nel caso della turbolenza invece questa separazione di scala non esiste, anzi l fenomeno della costante di
energia mette in gioco tutte le scale a partire da quelle più grandi fino a quelle dissipative, passando per quelle
inerziali. Questo fatto impedisce di separare nettamente il flusso medio del flusso turbolento poiché i tempi
caratteristici della turbolenza non sono nettamente inferiori a quelli del flusso medio. Un altro limite evidente del
concetto di viscosità turbolenta è legato alla sua isotropia. Inoltre, la viscosità molecolare è in ottima
approssimazione uniforme del campo di moto se la temperatura è anch’essa uniforme. Questo non vale in alcun
modo per la viscosità turbolenta, che varia inevitabilmente da punto a punto.
Il problema della chiusura delle equazioni mediate di Reynolds non è quindi ancora stato risolto ma è stato
notevolmente semplificato.
Analizziamo adesso i 3 modelli di turbolenza che permettono di chiudere le equazioni:
-
Modello della lunghezza di mescolamento di Prandtl (modello più semplice)
Consideriamo una corrente che investe una lamina di spessore infinitesimo allineata con la corrente
indisturbata. Vogliamo costruire un semplice modello per calcolare la viscosità turbolenta. Utilizzando
l’analisi dimensionale:
quindi scegliamo
modello che
funziona bene per correnti vicino a pareti abbastanza dritte.
Il limite principale di questo modello consiste nel fatto di essere stato costruito esplicitamente per il flusso in
prossimità di una parete. Inoltre, per come è stato costruito, il modello prevede una diffusione turbolenta
nulla e quindi una viscosità turbolenta nulla, laddove la derivata
-
si annulla (es. asse di simmetria di un
getto o di una corrente piana). Questo aspetto è in contraddizione con l’esperienza.
Modello basato sull’energia turbolenta
Consiste nell’utilizzare una velocità caratteristica proporzionale alla radice quadrata dell’energia cinetica
turbolenta. In questo caso la viscosità cinematica turbolenta può essere espressa come:
. Il problema delle determinazione di
, dove
si è tradotto nel prblema di determinare l’energia
cinetica turbolenta e la lunghezza di mescolamento. Per quanto riguarda vengono date delle “ricette”,
mentre per quanto riguarda l’energia cinetica turbolenta possiamo ricavare direttamente un’equazione di
diffusione e trasporto che ne modella il comportamento. Per vederlo sottraiamo alle equazioni di N-S le
equazioni mediate di Reynolds:
prima equazione per le fluttuazioni
Adesso dall’equazione della quant di moto:
dove sappiamo che:

è la seconda equazione
per le fluttuazioni della velocità.
L’equazione per l’energia cinetica turbolenta può essere ottenuta dall’equazione della quantità di moto della
componente fluttuante moltiplicando scalarmente per la fluttuazione di velocità e prendendo la media:
Adesso analizziamo termine per termine:
o
o
derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica turbolenta
Possiamo riscrivere i primi 2 contributi come:
o
. Sapendo che:
, posso quindi scrivere anche:
, quindi scrivendo:
, dove
è la
produzione di energia turbolenta (alla produzione di energia turbolenta partecipa esclusivamente la
parte anisotropa del tensore degli sforzi turbolenti).
o
usando l’identità:
o
e se il versore
otteniamo che:
è simmetrico vale l’identità
, quindi
o
, sapendo che:
o
Quindi riscrivendo tutta l’equazione:
dove rappresenta un pozzo di
energia cinetica turbolenta perché se tutto fosse nullo tranne e
direbbe che la derivata sostanziale e
cioè l’energia continua a diminuire e quindi è un pozzo di energia. è definita dissipazione turbolenta e
rappresenta il rateo con cui l’energia cinetica turbolenta viene trasformata in energia interna a causa della
viscosità.
Analizzando l’equazione per l’energia turbolenta ci si rende conto immediatamente che sono state
introdotte delle nuove grandezze incognite il cui valore non è direttamente riconducibile al valore delle
incognite introdotte in precedenza. Potremo cercare di scrivere delle nuove equazioni per le restanti
incognite, ma ci accorgeremmo ben presto che nelle nuove equazioni emergono nuovi termini, che
richiedono a loro volta altri termini e via così all’infinito. Quindi dobbiamo modellare 2 termini che sono la
dissipazione di turbolenza e il termine di flusso.
-
Modello
Note
(il più utilizzato in ambito ingegneristico)
ed , utilizziamo l’analisi dimensionale per determinare
Quindi possiamo esprimere la viscosità turbolenta come:
Ha poco senso ricavare direttamente un’equazione per che abbia rilevanza alle scale dissipative per
utilizzarla per modellare i fenomeni su scala inerziale. Per questo motivo l’equazione per la dissipazione
turbolenta viene scritta direttamente in analogia con l’equazione dell’energia turbolenta:
dove

dove
Il secondo termine è modellato molto drasticamente assimilandolo alla diffusione del calore per conduzione
in cui il coefficiente di trasmissione è legato alla viscosità turbolenta mediante un numero di Reynolds
turbolento a cui viene assegnato generalmente valore unitario.
Per quanto riguarda la dissipazione, ipotizziamo che esso sia legato esclusivamente ai due parametri che
abbiamo utilizzato per caratterizzare la turbolenza: l’energia turbolenta e la lunghezza di mescolamento
, l’analisi dimensionale permette allora di ricavare:
6.
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE INCOMPRIMIBILE
Caratteristiche generali dello strato limite
La teoria dello strato limite è stata sviluppata da Prandtl per studiare correnti ad alti numeri di , in cui la velocità è
prevalentemente unidirezionale mentre le sue variazioni sono prevalentemente trasversali alla sua stessa direzione.
La teoria consiste in una riduzione delle equazioni di Navier-Stokes per correnti incomprimibili stazionarie ottenute
al prezzo di dover risolvere due problemi distinti e accoppiati tra loro, onde determinare il campo di moto in tutto il
dominio del fluido: un problema viscoso (risotto) nella regione vicina alla parete del corpo, dove gli effetti della
viscosità sono importanti a causa della condizione al contorno di velocità nulla, che p chiamato problema interno, e
un problema non viscoso nella regione lontana, chiamato problema esterno.
Guardando le equazioni di Navier-stokes in forma adimensionale:
Si potrebbe pensare che, essendo i numeri di Reynolds d’interesse ingegneristico molto alti, il termine viscoso sia
trascurabile, ma vi è una zona del fluido in cui le derivate seconde sono grandi e quindi il termine
non è
trascurabile (strato limite).
Aumentando la velocità, lo strato limite diminuisce, mentre aumentando
la corrente può diventare instabile. Sia
in grado di ritardare la transizione dello strato limite progettando opportunamente la distribuzione di pressione sul
profilo alare.
Quando avviene la separazione dello strato limite, si genera una zona di ricircolazione nella quale la pressione è in
buona approssimazione costante e la velocità sul profilo dietro al punto di distacco ha direzione opposta (
).
Un profilo con separazione di flusso non ha solo minore portanza ma anche maggiore resistenza.
La separazione avviene perché si sono particelle vicine alla parete che a causa di sforzi perdono energia e quindi si ha
separazione. Se lo stato limite è laminare, la corrente esterna fa fatica a trascinare le particelle, mentre, nel caso
turbolento, ci riesce. Se
è abbastanza alto, le particelle tornano indietro e si ha separazione.
Teoria dello strato limite di Prandtl
Ipotesi:
-
Corrente incomprimibile e fluido di densità uniforme;
-
Corrente stazionaria:
-
Corrente bidimensionale e
;
e
.
Le equazioni di Navier-Stokes in forma dimensionale:
Considerando una lastra piana semi-infinita investita da una corrente la cui velocità a grande distanza è parallela al
piano della lastra e perpendicolare al suo bordo d’attacco. Supponiamo che la corrente sia piana.
In questo problema non esiste una scala spaziale di riferimento definita, per cui si
potrà considerare solo la distanza dal bordo di attacco della lastra come lunghezza
utile per procedere alla formulazione adimensionale del problema. La grandezza
rappredenta quindi una stima dello spessore dello strato limite in corrispondenza del
punto sulla lastra. Supponendo che ad alti numeri di Reynolds la struttura del
campo di moto sia tale che l’andamento di
sia come quello mostrato in figura
sopra, tranne nella zona vicina al bordo d’attacco dove
, lo spessore dello
strato limite è supposto essere piccolo rispetto alla distanza , ovvero
.
La componente della velocità del campo di moto sarà di ordine , valore caratteristico della componente della
velocità della corrente esterna. Indichiamo con un valore tipico della componente verticale della velocità. Su
questa base è possibile fornire una stima delle derivate spaziali delle varibili incognite:
Dall’equazione della massa:
La condizione di piccolezza dello spessore dello strato limite,
moto del fluido nello strato limite è quasi parallelo alla lastra.
, implica che
, il che significa che il
Consideriamo adesso l’equazione di conservazione della quantità di moto in direzione : (ipotesi:
)
Affinché l’entità del termine viscoso sia dello stsso ordine di quella dei termini non lineari, come ipotizzato debba
accadere all’interno dello strato limite, dovrà valere la condizione:
il numero di Reynolds locale. All’aumentare di
dove
, lo spessore dello strato limite decresce. Lo spessore
adimensionale dello strato limite avrà la seguente dipendenza da
Consideriamo adesso l’equazione di conservazione della quantità di moto in direzione
è
Ricaviamo da:
il valore di
,
ma nelle correnti incomprimibili non esiste alcuna condizione per la pressione, per cui non è possibile trarre una
conclusione riguardo l’andamento della pressione dentro lo strato limite, lungo la lastra.
E’ necessario completare il modello matematico della corrente dello strato limite includendo un altro tipo di
informazione. La teoria di Prandtl prevede infatti di includere anche una descrizione della corrente nella regione in
cui gli effetti della viscosità possono essere trascurati. In tale regione la corrente incomprimibile è governata in modo
sufficientemente accurato dalle equazioni di Eulero ed è quindi possibile calcolare la pressione, che sarà indicata con
.
La teoria dello strato limite si basa quindi sull’uso simultaneo di due differenti modelli del comportamento del fluido:
un modello viscoso per la corrente interna e un modello non viscoso per la corrente all’esterno dello strato limite. La
corrente attorno al campo è determinato per mezzo di un procedimento iterativo che richiede la soluzione delle
equazioni dei due modelli. Le equazioni del modello viscoso saranno:
Esse hanno
come incognite
mentre
risulta dalla soluzione di un problema esterno. Per completare questo
problema matematico dobbiamo assegnare le condizioni al contorno:
-
In direzione , il problema è del I ordine: c.c.:
-
In direzione , il problema è del II ordine: c.c.:
;
[l’∞ dello strato limite non è l’∞
della corrente esterna, ma la parete della corrente esterna]
Il problema di Prandtl così formulato presenta una singolarità in corrispondenza del bordo d’attacco della lastra.
Infatti abbiamo:
e
, quindi nel punto
c’è discontinuità. Questa discontinuità dei dati al
contorno di implica una singolarità della soluzione.
Spessori dello strato limite
-
Spessore di spostamento  quantifichiamo di quanto vengano deviate le linee di corrente per la presenza
dello strato limite. Per determinare lo spostamento delle linee di corrente in direzione perpendicolare
scriviamo:
I flussi di massa devono essere uguali, è come se ci fosse una riduzione del tubo di flusso.
Possiamo quindi riscrivere l’equazione come:
-
Spessore della quantità di moto  consideriamo ora il trasporto di quantità di moto all’interno dello strato
limite. Ci domanderemo quale sia la diffusione nel trasporto di quantità di moto tra le due correnti, una
viscosa ad elevato
e una non viscosa, caratterizzata dalla stessa velocità esterna:
, dove
è
lo spessore di quantità di moto che coincide con lo spessore nel quale la corrente non viscosa trasporta una
quantità di moto pari al difetto di quantità di moto:
-
, è quindi un incremento dello
spessore di spostamento.
Spessore di energia cinetica  calcoliamo la diffusione nel trasporto di energia cinetica nel fluido tra la
corrente non viscosa e quella viscosa:
, dove
è lo spessore di energia
cinetica, spessore nel quale la corrente non viscosa trasporta un’energia cinetica pari al difetto di
, è un incremento dello spessore di spostamento.
Separazione dello strato limite
Quali sono le condizioni sotto le quali si può avere distacco dello strato limite? Scriviamo le equazioni dello strato
limite:
Per una superficie piana:
e nel punto di separazione
L’equazione della quantità di moto sulla parete:
, condizione necessaria affinché avvenga la separazione dello strato limite è che la derivata di
aumenti.
rispetto a
L’equazione integrale di Von Kàrmàn
Questa equazione è utile ai fini della simulazione numerica dello strato limite, derivare un modello matematico più
sintetico rispetto alle equazioni differenziali di Prandtl. Nel calcolo di un profilo alare, per esempio, dello strato limite
siamo interessati a conoscere la spesa di spostamento, lo sforzo di attrito a parete, l’eventuale separazione più che il
profilo delle due componenti di velocità di ogni stazione.
Integriamo quindi l’equazione di Prandtl della quantità di moto rispetto alla direzione perpendicolare alla parete,
così da eliminare la dipendenza rispetto a
(non ci interessa sapere come varia la velocità rispetto a ):
Ipotizziamo che la corrente esterna sia irrotazionale:
per cui vale il II teroema di Bernoulli:
e derivando rispetto a :
Otteniamo quindi:
Possiamo quindi riscrivere:
, dove
Dall’equazione di conservazione della massa:
, quindi l’integrale:
è integrabile per parti:
Riportando tutto nell’integrale si ottiene:
, con la regola di derivazione del prodotto:
, definendo il parametro di forma
, relazione integrale di Von Kàrmàn, le cui incognite sono
differenziale del I ordine , in generale non lineare a causa di
, equazione
.
Funzione di corrente
Ipotesi: corrente piana e incomprimibile.
La funzione di corrente
di un campo di velocità piano incomprimibile
è definita come portata
volumetrica del fluido che, in un determinato istante , passa tra l’origine e il punto
considerato (essendo
il campo di moto piano, la portata è da intendersi per unità di lunghezza normale al piano del moto). In termini
matematici, la portata volumetrica del fluido che passa tra l’origine e è data dall’integrale di linea:
. Vogliamo dimostrare che l’integrale considerato non dipende dal percorso scelto ma solo dal punto
iniziale e finale (origine e ). Per dimostrarlo scriviamo:
, applicando il teorema della divergenza:
, allora esiste una funzione costante per ogni linea di corrente.
Adesso, dalla definizione:
dove
e
componenti della velocità attraverso le sue derivate.
, quindi, conoscendo la corrente, posso conoscere le
è costante lungo una linea di corrente. Questo significa che le
curve
.
sono semplicemente le linee di corrente del moto incomprimibile piano del fluido rappresentato da
Corrente esterna uniforme: profilo di Blasius (soluzione esatta per lo strato limite)
Consideriamo una lastra piana semi-infinita immersa in una corrente esterna uniforme e parallela alla lastra con
velocità .
Ipotesi:
-
Stazionario;
Incomprimibile;
-
Pressione e velocità uniformi (essendo
Le equazioni di Prandtl diventano:
, il grad della pressione esterna è nullo:
)
e devono essere risolte con le relative condizioni al
contorno:
Data la mancanza di una scala spaziale di riferimento del problema considerato, si può immaginare che l’andamento
del profilo della velocità orizzontale nello strato limite “non dipenda” dalla coordinata , nel senso che al variare di
, si ha soltanto un cambiamento della scala dell’altra variabile spaziale , normale alla lamina. In termini
matematici, questo richiede che la dipendenza di dalle variabili e , si verifichi attraverso una variabile singola (di
similarità) che scriveremo:
, dove
è una funzione da determinare.
Il profilo di velocità adimensionale sarà funzione solo di:
Se esiste una soluzione
di questo tipo, il profilo di velocità a ogni distanza dal bordo d’attacco sarà
semplicemente una versione dilatata (o compresa) in direzione della velocità a qualunque altra distanza.
Utilizzando la funzione di corrente, scriviamo l’equazione di conservazione della massa:
, sotto
l’ipotesi di sufficiente regolarità.
Quindi mi resta l’equazione di conservazione della quantità di moto che, utilizzando la funzione di corrente, diventa
un’equazione di III grado:
, equazione non lineare di III grado.
Sapendo che
Adesso andiamo a risolvere l’equazione di III grado sostituendo
Adesso scriviamo:
. Per essere vera l’ipotesi di similarità, quest’equazione dovrebbe
essere solo funzione di , ma
e
sono funzione di , quindi
e
non devono essere funzione di x.
, dove il primo termine è funzione solo di , mentre il secondo solo di , allora è un’equazione
del tipo:
. Dato che
e
sono variabili indipendenti, lo sono anche
dell’equazione devono essere costanti:
e , allora i due termini
, dove
Poniamo la condizione al contorno in
La costante
è arbitraria non avendo definito che lo spessore dello strato limite sia
Per comodità
solitamente viene scelta:
Noi scegliamo:
Per completare il problema ci servono 3 condizioni al contorno:
-
Da condizione di perfetta adesione:
-
Da condizione di non penetrazione:
-
Dalla condizione al contorno:
Quando
∞, anche
∞
Una volta calcolato
, in cui
, possiamo calcolare lo sforzo a parete:
diminuisce come la radice di . Essendo
, abbiamo un punto di similarità sul bordo
d’attacco della lastra.
Equazione di Falkner-Skan
Equazione dello strato limite:
, con l’ipotesi di
Le equazioni similari sono molto convenienti perché permettono di ridurre il problema costituito dal consueto
sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali della teoria di Prandtl dello strato limite, ad un’unica
equazione differenziale ordinaria, che può essere integrata con tecniche più semplici. Cerchiamo quindi possibili
soluzioni similari delle equazioni dello strato limite. Ci chiediamo quindi per quali campi di velocità esterna le
equazioni dello strato limite possono essere risolte per similarità, ovvero quali sono le distribuzioni di
per le
quali il profilo di velocità:
similarità, anch’essa adimensionale.
, dove
è una funzione adimensionale e
è la variabile di
La funzione di corrente
permette di rappresentare il campo di velocità incomprimibile di una corrente piana
mediante le relazioni:
Sostituendo la funzione di corrente nelle equazioni di Prandtl, ci resta solo:
e sapendo che
, otteniamo:
Sostituiamo questi termini nell’equazione:
Affinché l’ipotesi di soluzione similare possa essere soddisfatta, all’interno dell’equazione non deve comparire la
variabile , ossia i due coefficienti del II e III termine devono essere costanti.
Indicando con
e
le due costanti, si ottiene il sistema di due equazioni differenziali ordinarie del I ordine:
che rappresentano le relazioni che la velocità esterna
e lo spessore
devono soddisfare
affinché si possa avere uno strato limite in similitudine, ossia esse costituiscano le “condizioni di similarità”.
Otteniamo quindi l’equazione:
velocità nello strato limite in condizioni di similarità.
equazione di Falkner-Skan, che descrive il profilo di
Le condizioni al contorno sono:
∞
Consideriano adesso le condizioni di similarità:
. Dividiamo termine a termine le due equazione:
Supponiamo di conoscere in un determinato punto
sia
che
e sostituendo la costante appena trovata:
. La relazione appena trovata dipende solamente dal rapporto tra
elevando tutto a ). Questa relazione può essere impiegata per eliminare alternativamente
differenziali del sistema e ricavare due equazioni indipendenti per le funzioni incognite
particolari però devono essere trattati a parte:
-
: lastra piana con gradiente di pressione nullo
Dalla 1° equazione differenziale:
Dalla 2° equazione differenziale:
e
e
e
(lo si vede
nelle due equazioni
. Alcuni casi
Ponendo
-
otteniamo la soluzione di Blasius:
: corrente nel punto di ristagno anteriore
Otteniamo:
Dall’altra equazione:
. Integrando e imponendo la condizione al bordo che
si annulli
per
, otteniamo:
che rappresenta il 1° termine della serie per la corrente incomprimibile e
irrotazionale di un fluido non viscoso nel punto di ristagno (detta corrente di Hiemenz). Grazie all’arbitrarietà
della definizione dello spessore dello strato limite, possiamo assumere
. Allora, il profilo di
-
velocità nello strato limite può essere ricavato risolvendo l’equazione:
: caso generale
Dalla relazione:
ricaviamo:
e sostituendo nell’equazione differenziale:
. Per
l’integrazione di questa equazione differenziale dobbiamo distinguere due casi:
o
Se
, ossia
, l’integrale risulta:
o
Se
, ossia
, l’integrale risulta:
Dobbiamo determinare la costante di integrazione
dall’equazione
, che possiamo riscrivere:
Facendo gli stessi passaggi:
Quindi sostituendo:
Corrente incomprimibile e irrotazionale in un diedro
Ipotesi:
-
Corrente stazionaria
Incomprimibile
Irrotazionale
Piana
Non viscosa (corrente esterna)
Ribaltiamo il problema e consideriamo solo una delle due lastre che compongono il diedro. Vogliamo risolvere il
problma della corrente esterna. Data la semplice connessione del dominio e le restanti ipotesi, il campo di velocità
può essere espresso attraverso il gradiente del potenziale cinetico:
, che descrive la corrente all’esterno dello
strato limite. Le equazioni di Eulero nel caso di irrotazionalità (
potenziale):
) si riducono all’equazione di Laplace (del
, che in coordinbate polari si scrive:
Possiamo cercare la soluzione del problema sfruttando la tecnica di separazione delle variabili. Ipotizziamo allora che
la soluzione possa essere espressa tramite il rpodotto di due funzioni, una che dipende soltanto da e una soltanto
da . Quindi cerchiamo soluzioni elementari
mediante le quali si può costruire una
combinazione lineare che è l’espressione
nell’equazione di Laplace:
Consideriamo i diversi casi:
-
Se
possiamo esprimerla come:
L’equazione:
diventa:
Dalle condizioni al contorno:
, sapendo che
deve valere
-
La 2° condizione al contorno non può essere soddisfatta allora
Se
ma
per le condizioni al contorno e quindi
Se
, possiamo esprimerla come:
Determiniamo
e
dalle condizioni al contorno:
Avremo quindi le soluzioni:
Passiamo ora al determinare
, integrando otteniamo:
l’equazione di
Eulero o equidimensionale.
La soluzione di questa equazione sarà del tipo:
. Sostituendo questa espressione nell’equazione:
Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, otteniamo:
La soluzione complessiva può essere scritta:
Le due componenti della velocità diventano:
poiché, per tali valori, la velocità tende a ∞ sia per
Possiamo scartare i valori negativi dell’esponente di
tende a 0, che per
che
che tende a ∞. Quindi otteniamo:
Possiamo distinguere a questo punto due casi:
-
-
Se
(angoli concavi): ci aspettiamo che la velocità tenda a 0 se
, infatti in questo caso il vertice
dell’angolo costituisce un punto di ristagno. In prossimità dell’origine allora possiamo considerare solo il
termine dominante, cioè quello con esponente più piccolo.
Se
(angoli convessi): la velocità nello spigolo deve tendere a ∞, a causa dell’annullarsi del raggio di
curvatura delle linee di corrente. Anche in questo caso consideriamo solo il termine dominante, che in
questo caso tende a ∞ per
. Possiamo esprimere dunque la velocità in prossimità del vertice del
diedro mediante il primo termine della serie:
Tornando al campo di velocità esterno richiesto dalla condizione di similarità:
dove
,
se scegliamo l’origine nel vertice del diedro, e possiamo eguagliare l’esponente di
primo termine della serie in
. Una volta determinata la velocità
con l’esponente del
è possibile calcolare anche lo
spessore
Esempi
-
Lastra piana:
-
Punto di ristagno anteriore del profilo alare:
la velocità non dipende da
. La velocità in questo caso cresce linearmente come ,
allontanandosi dal punto di ristagno.
Più la corrente accelera, più lo spessore dello strato limite si assottiglia (corrente decelerata comporta
gradiente di pressione avverso e quindi possibile distacco dello strato limite).