II Esperienza: 3 -4 Aprile 2013
Legge di Hooke – statica e dinamica
Scopo dell'esperienza: L'esperienza si compone di due parti. Nella prima vengono misurate le costanti di
elasticità k di una molla singola, di due molle in serie e di due molle in parallelo. Nella parte dinamica viene
misurato il periodo del moto armonico, confrontandolo poi col valore teorico calcolato a partire dal valore di
k misurato nella prima parte dell' esperienza e dal valore della massa dell’equipaggio mobile. Si procede poi
con la misura del tempo caratteristico dello smorzamento delle oscillazioni a seguito dell’aggiunta di una
vela.
Strumentazione
Q.tà Strumento
Armadio
1
Sostegno graduato (alto)
Fondo aula
2
Molle grandi (in scatola di cartone)
1A
1
Equipaggio mobile*
1A
7
Dischi massivi (totale massimo 400-450g, 600g massimo carico)
1A
1
Bilancia elettronica
I banco
1
Scatola di cartone per bilancia elettronica
I banco
1
Indice di ferro (da attaccare all'equipaggio mobile per traguardare la scala) 1A
1
Gancio a V per fissare la molle in serie
1A
1
Disco per attrito (per la parte dinamica)
1
1
Sensore di posizione (sonar) dotato di cavo –
1
Utilizzare il Programma Logger- Pro**
* La massa dell’equipaggio mobile deve essere misurata interponendo una scatola di separazione tra
equipaggio e bilancia elettronica.
** Assicurarsi di alimentare il sensore prima di lanciare il programma. Non alimentarlo a lungo se
non utilizzato.
Apparato sperimentale.
Al sostegno graduato viene agganciata una prima molla e l’equipaggio mobile, la
cui massa è progressivamente aumentata tramite l’aggiunta di dischi massivi. Si
ripete la procedura con una seconda molla.
Nella fase statica si considerano poi le configurazioni in serie ed in parallelo
utilizzando il gancio a V.
Nella fase dinamica si effettuano misurazioni del periodo di oscillazione di una
delle due molle (ricordando qual è il suo valore di k misurato) tramite il sonar,
appoggiato sullo sgabello, interfacciato al computer (Programma Logger Pro).
I dati acquisiti devono essere memorizzati su memory stick.
Si aggiunge poi il disco di plastica per incrementare l’attrito viscoso con l’aria. Si
l’andamento del moto in funzione del tempo.
Teoria
Nella seguente trattazione assumiamo che le molle abbiano una massa trascurabile.
misura
Parte Statica – Molla singola
All'equilibrio la forza peso e la forza di richiamo della molla si bilanciano. Pertanto lungo l'asse z
possiamo scrivere per il modulo delle forze:
(1.1)
k(z - z0 ) - mg= 0
da cui si ricava la relazione tra l’elongazione della molla z e la massa del grave m:
g
z = z0 + m
k
si noti che l’unità di misura della costante di elasticità della molla è N/m=Kg/s2.
(1.2)
Si determini:
1) Il valore di k dalla relazione lineare di z in funzione di m per ciascuna delle due molle.
Parte Statica - due molle in serie
Consideriamo due molle, con costanti di elasticità k1 e k2. Si ha per il sistema con le due molle in
serie, cui possiamo associare una costante elastica di richiamo equivalente ke, che:
ke Dz - mg= 0
(1.3)
Dz = Dz1+Dz2
(1.4)
dove:
e
F1 = k1Dz1 = mg
e
F2 = k2Dz2 = mg
(1.5)
perché la tensione lungo le molle è controbilanciata dalla forza peso ed è la stessa lungo tutta la
catena.
Ne segue che:
mg mg mg
=
+
ke
k1
k2
ovvero
1 1 1
= +
ke k1 k2
(1.6)
Si determini:
2) Il valore di ke dalla relazione lineare di z in funzione di m per le due molle in serie e si verifichi la
(1.6).
Parte Statica – due molle in parallelo
Nel caso di due molle poste in parallelo, cui possiamo associare una costante elastica di richiamo
equivalente ke, l'elongazione delle due molle è:
z=z1=z2
(1.7)
e vale la relazione:
(1.8)
k1Dz + k2Dz = mg= ke Dz
Si ottiene in questo caso:
keq = k1 + k2
(1.9)
Si determini:
3) Il valore di ke dalla relazione lineare di z in funzione di m per le due molle in parallelo e si verifichi
la (1.9).
Parte Dinamica – periodo del moto armonico in funzione della costante di elongazione della molla.
Ricaviamo l'equazione dell'oscillatore armonico nel caso più generale possibile:
F = ma = FR + FA
(1.10)
dove FR ed FA sono rispettivamente la forza di richiamo della molla e la forza di attrito dove:
FA = -b v
(1.11)
dove è il coefficiente di attrito viscoso. Sostituendo in (1.10), si ottiene:
d 2z
dz
m 2 = -k(z - z0 ) - b
dt
dt
e dunque l'equazione del moto lungo z risulta essere:
d 2 z b dz k
k
+
+ z= z0
2
m dt m m
dt
Definiamo la pulsazione 0 come:
k
w02 =
m
e la costante caratteristica di smorzamento :
m
t =2
b
Otteniamo l'equazione differenziale del moto:
d 2 z 2 dz
+
+ w02 z= w02 z0
2
t
dt
dt
la cui di soluzione generale, in condizione di piccolo smorzamento in cui:
1
t >>
w0
è:
-
t
Z(t) = c1e e
t
-iw0 1-
1
w02t 2
t
-
t
+ c1e e
t
+iw0 1-
1
w02t 2
t
+ z0
(1.12)
(1.13)
(1.17)
(1.18)
che si può riscrivere nella forma:
-
t
Z(t) = e (c1e
t
-iw0 1-
1
w02t 2
t
+ c2e
+iw0 1-
1
w02t 2
t
) + z0
Poniamo:
w = w0 1-
1
w t2
2
0
e otteniamo:
-
t
Z(t) = e t [c1 cos(w t) - ic1 sin(w t) + c2 cos(w t) + ic2 sin(w t)]+ z0 =
-
t
= [(c1 + c2 )cos(w t) + i(c2 - c1 )sin(w t)]e t + z0
Ponendo:
(c1 + c2 ) = a
i(c2 - c1 ) = b
e
si ha che:
-
t
Z(t) = [a cos(w t) + bsin(w t)]e + z0 =
= a +b [
2
2
a
a 2 + b2
cos(w t) +
t
b
-
a 2 + b2
t
sin(w t)]e + z0 =
-
t
t
= a 2 + b2 [cos j cos(w t) + sin j sin(w t)]e t + z0 =
-
t
= Acos(w t - j )e t + z0
dove:
A = a 2 + b2
e
cosj =
a
a 2 + b2
;
sinj =
b
a 2 + b2
si tratta di un moto oscillatorio smorzato di pulsazione e tempo di smorzamento intorno alla
posizione di equilibrio z0.
Si determini:
4) Il valore del periodo di oscillazione dell’equipaggio mobile nel limite in cui non vi è attrito
viscoso, ovvero per =0. Il tal caso l’equazione del moto si riduce alla forma:
z(t) = Acos(w0t - j ) + z0
dove:
2p
k
=
T
m
Dalla misura della durata di un numero elevato n di oscillazioni dell’ampiezza (pari ad nT) si ricava
T con molta precisione. Verificare la compatibilità del valore di T così misurato con quello stimato
dai valori già determinati di k ed m.
w0 =
5) Dopo l’aggiunta del disco misurare l’andamento dell’ampiezza delle oscillazioni in funzione del
tempo e determinare:
- da un numero elevato n di oscillazioni il nuovo valore del periodo T, dato questa volta dalla
relazione:
w = w0 1-
1
tw
2
2
0
dove
w0 =
2p
k
=
e
T
m
t =2
m
b
- i valori massimi zmax delle ampiezze di oscillazione (opportunamente campionata) in funzione del
tempo. Dal grafico in carta semi-logaritmica di:
-
t
zmax (t) = Ae + z0
t
da cui
ln(zmax (t) - z0 ) = ln A-
t
t
ricavare il valore di . Utilizzarlo per stimare il valore di e per verificare la condizione di piccolo
smorzamento >> 1/0. Verificare inoltre che 0.
